苏科版新八年级数学暑假自学课：实数有关概念及性质（原卷版+解析）

第12讲实数有关概念及性质

凶【学习目标】

1、体验发现无理数的过程，知道什么是无理数。

2、会区分有理数和无理数。

3、了解数的范围，从整数一有理数一实数的扩展过程，知道实数的意义及分类

【基础知识】

无理数

（1）、定义：无限不循环小数叫做无理数.

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数.如圆周率、2的平方根

等.

（2）、无理数与有理数的区别：

①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

比如4=4.0,13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562.

②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能.

（3）学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有TT的

数，如分数Tt2是无理数，因为TT是无理数.

无理数常见的三种类型

（1）开不尽的方根，如近,迎，相等.

（2）特定结构的无限不循环小数，

如0.303003000300003…（两个3之间依次多一个0）.

（3）含有TT的绝大部分数，如2n.

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果.如J元是有理数，而不是无理数.

—.实数

（1）实数的定义：有理数和无理数统称实数.

（2）实数的分类：

（正有理数

有理数0'正实数

〔负有理数或实数:

实数：，«0

无理数1正无理数负实数

负无理数

三.实数的性质

（1）在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样.实数。的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与

原点的距离.

（2）实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

（3）实数。的绝对值可表示为|a|={a（a20）-a（a<0）,就是说实数。的绝对值一定是一个非负数，即

|a|20.并且有若|x|=a（aNO）,则尤=±a.

实数的倒数

乘积为1的两个实数互为倒数，即若。与b互为倒数，则必=1;反之，若必=1,则a与b互为倒数，这

里应特别注意的是0没有倒数.

四.实数与数轴

（1）实数与数轴上的点是一一对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表

示的数，不是有理数，就是无理数.

（2）在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数a的绝对值就是在

数轴上这个数对应的点与原点的距离.

（3）利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点

左侧，绝对值大的反而小.

【考点剖析】

一.无理数（共3小题）

1.（2021秋•镇江期末）下列各数：-5,0,—,3.14,其中无理数有（）

37

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.（2021秋•鼓楼区校级期末）下列各数中，是无理数的是（）

A.11B.2万C.-0.5D.0

3.（2021秋•玄武区校级月考）下列各数中：12,—,--0.1010010001...（每两个1之间的0

73

依次加1）,其中，无理数有一个.

二.实数（共2小题）

4.（2021秋•东台市月考）将下列各数填入相应的集合中：

-7,0,-22-,-2.55555.....3.01,+9，4.020020002...,+10%,一2万

3

有理数集合：｛无理数集合：｛...｝;

整数集合：｛...｝;分数集合：｛...）.

5.（2021秋•吴江区月考）把下列各数分别填入相应的大括号中.

-5,I--I-0,-3.14,—,0,1010010001...,+1.5,-（-6）,,1.515151...,300%,-|+5.2|.

473

（1）正数集合：｛______________________...｝；

(2)负数集合：｛____________________...｝:

(3)负整数集合：｛

(4)非负分数集合：｛...)

(5)无理数集合：｛...)

三.实数的性质（共4小题）

6.（2022春•江津区期中）下列各组数中相等的是（）

A.-3与J（-3）2B.-2与双）C.||与D.-2与-5

7.（2021•汇川区三模）|1+>/3|+|1-A/3|=.

8.（2021秋•射阳县校级期末）已知实数。、6互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值为风,

求代数式（a+b+cd）x+Ja+b-的值.

9.（2022春•如皋市校级月考）已知|x|=石，y是11的平方根，且x>y,求x+y的值.

四.实数与数轴（共3小题）

10.（2022春•海安市校级月考）实数A,B,C,。在数轴上的对应点的位置如图所示，其中互为相反

数的两个数是（）

।、岁।q।a

-3-2-10123T

A.A和。B.A和CC.3和。D.3和C

11.（2021秋•江阴市期末）实数a、6在数轴上对应点的位置如图所示，化简|〃-勿+“的值是.

—!------!--------1->

a0b

12.（2020秋•泰兴市期中）（1）求出下列各数：

①-27的立方根；

②5的平方根；

③4的算术平方根—.

（2）将（1）中求出的每一个数准确地表示在数轴上（可通过构造相应的直角三角形准确地找到无理数所

对应的点），并用〈连接大小.

-7-6-5-4-3-2-10123456

0【过关检测】

选择题（共9小题）

1.（2021秋•安宁市校级期末）在实数4，0,y,W125,0.1010010001...,旧,］中无理数有（

）

A.0个B.1个C.2个D.3个

2.（2021秋•梁溪区期末）在0、万、0.0101101110...（每两个0之间的1依次增加）、-3.14、一中，

11

无理数的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

3.（2021秋•姑苏区校级期末）在实数0.101001000L..,0,g0.12,-1.414中，有理数的个数有（

）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2021秋•江阴市期末）百-1的相反数是（）

A.1+73B.1-^C.-1+73D.-1-73

5.（2021春•广安区校级期末）若正+娠=0,则“与6的关系是（）

A.a=b=0B.a与。相等

C.。与b互为相反数D.a=—

b

6.（2022春•海门市校级月考）下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②过一点有且只有一条直

线与已知直线垂直；③负数没有立方根；④16的平方根是±4,用式子表示是，记=±4；⑤某数的绝对值,

相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0,其中错误的是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

7.（2021秋•泰兴市月考）下列说法正确的有（）

①自然数就是正整数；②几个有理数相乘时，当负因数的个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数是偶

数个时，积为正；③一个有理数不是整数就是分数，一个分数不是正分数就是负分数；④分数中既有有理

数也有无理数；⑤有理数分为正有理数、零和负有理数，无理数可分为正无理数、零和负无理数.

A.0个B.1个C.2个D.3个

8.（2022•巴彦县二模）-石的倒数是（）

A.-也B.C.；D.A/3

v3v3

9.（2022•江都区一模）如图，数轴上A、B、C、。四个点中可能表示实数"的点是（）

ABCD

Il.l

-1012345

A.点AB.点/C.点。D.点。

二.填空题（共7小题）

10.（2021秋•阜宁县期末）在士，27，-1--0.181181118…四个数中，无理数有个.

34

11.（2022•朝阳区一模）写出一个比4大且比5小的无理数：

12.（2020春•鼓楼区校级月考）在屿，拒,不，-1.6,J证这五个数中，有理数有个.

3

13.（2021秋•亭湖区校级月考）六个数：0.123,—,3.1416,一2%，（-1.5）3,0.1020020002（相邻两个2

7

之间0的个数逐次加1）,若其中无理数的个数为尤，整数的个数为y,非负数的个数为z,则x+y+z=_

14.（2021秋•玄武区校级月考）在9.3,-24,0,-0.33,0.333...,141421356,2万,3.3O3OO3OOO3…（每

相邻两个3之间依次多一个0）,-3.1415中属于整数集合的有—，属于负分数集合的有—，属于无理

数集合的有—.

15.（2020春•吴忠期末）1的相反数是.

16.（2021秋•泗阳县期末）无理数可以用数轴上的点表示，如图，数轴上点A表示的数是—.

17.（2021秋•六合区期中）在数轴上画出表示迷、-后的点，并标上必要的数据.

-3-2-10123

18.（2021•盐城）如图，点A是数轴上表示实数。的点.

（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数0的点P；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）利用数轴比较近和。的大小，并说明理由.

______।_______।।

401

19.（2021秋•射阳县月考）把下列各数分别填入相应的集合中：

-（+7）,2018,-0.10,-|-5|,0,0.10101000...,―,.

837

（1）非正整数集合：｛—...）;

（2）负分数集合：｛...｝；

（3）无理数集合：｛

20.（2021秋•淮安期末）我们知道数轴上的点可以表示一个有理数或无理数，任意一个有理数或无理数都

可以用数轴上的一个点来表示.这样形就可以用数来精准描述，而数也可以用形去直观体现，这就是我们

常说的“数形结合”数学思想方法.数形结合数学思想常常可以帮我们直观地去分析问题并解决问题.

问题：（1）已知数。对应数轴上点A,且点A在原点左侧，OA=3,则〃=;点3是该数轴上另外一

点.若钻=4,则点3表示的数是；

（2）若数轴上点C对应的数是4,点P、。分别从A、C两点出发，分别以每秒2个长度单位、3个长度

单位的速度同时沿数轴向左运动，设它们运动时间为f秒.

①用含f的代数式分别表示点P、。对应的数；

②当PQ=4时，求f的值；

③当f为何值时，P、A、Q中其中一点到另外两点距离相等？

AO、

4Q

（备用图）

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9/26

第12讲实数有关概念及性质

❷【学习目标】

1、体验发现无理数的过程，知道什么是无理数。

2、会区分有理数和无理数。

3、了解数的范围，从整数一有理数一实数的扩展过程，知道实数的意义及分类

【基础知识】

无理数

(1)、定义：无限不循环小数叫做无理数.

说明：无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数，即无限不循环小数.如圆周率、2的平方根

等.

(2)、无理数与有理数的区别：

①把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成有限小数和无限循环小数，

比如4=4.0,13=0.33333…而无理数只能写成无限不循环小数，比如2=1.414213562.

②所有的有理数都可以写成两个整数之比；而无理数不能.

(3)学习要求：会判断无理数，了解它的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有TT的

数，如分数112是无理数，因为TT是无理数.

无理数常见的三种类型

(1)开不尽的方根，如、历，«，相等.

(2)特定结构的无限不循环小数，

如0.303003000300003…(两个3之间依次多一个0).

(3)含有7T的绝大部分数，如27T._

注意：判断一个数是否为无理数，不能只看形式，要看化简结果.如，正是有理数，而不是无理数.

—.实数

(1)实数的定义：有理数和无理数统称实数.

(2)实数的分类：

((正有理数

有理数0'正实数

［负有理数或实数一

实数：，0

f正无理数

无理数负实数

负无理数

三.实数的性质

(1)在实数范围内绝对值的概念与在有理数范围内一样.实数。的绝对值就是在数轴上这个数对应的点与

原点的距离.

10/26

(2)实数的绝对值：正实数a的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.

(3)实数a的绝对值可表示为⑷={aQN0)-a(a<0),就是说实数a的绝对值一定是一个非负数，即

|a|20.并且有若|x|=a(a20),贝!Jx=±a.

实数的倒数

乘积为1的两个实数互为倒数，即若。与。互为倒数，则必=1;反之，若加=1,则。与6互为倒数，这

里应特别注意的是0没有倒数.

四.实数与数轴

(1)实数与数轴上的点是一一对应关系.

任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表

示的数，不是有理数，就是无理数.

(2)在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两旁，并且两点到原点的距离相等，实数。的绝对值就是在

数轴上这个数对应的点与原点的距离.

(3)利用数轴可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在原点

左侧，绝对值大的反而小.

KJ【考点剖析】

无理数(共3小题)

1.(2021秋•镇江期末)下列各数：-5,0,y,3.14,其中无理数有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和

无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.

【解答】解：-5,0是整数，属于有理数；

y是分数，属于有理数；

7

3.14是有限小数，属于有理数，

无理数有工，共1个.

3

故选：A.

【点评】本题主要考查了无理数.解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：万，

2万等；开方开不尽的数；以及像O.1O1OO1OOOL..,等有这样规律的数.

2.(2021秋•鼓楼区校级期末)下列各数中，是无理数的是()

A.11B.2万C.-0.5D.0

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数

与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.

【解答】解：A.11是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

B.2万是无理数，故本选项符合题意；

C.-0.5是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；

D.。是整数，属于有理数，故本选项不合题意；

故选：B.

11/26

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：万，2万等；开方开不尽的数；

以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0）,等有这样规律的数.

3.（2021秋•玄武区校级月考）下列各数中：12,乌，-1-11，0.1010010001…（每两个1之间的0

73

依次加1）,其中，无理数有2个.

【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）判断即可.

【解答】解：无理数有3，0.101001000L.（每两个1之间的0依次加1）,共有2个，

故答案为：2.

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：万，2万等；开方开不尽的数；

以及像。.101001。001..（每两个1之间的0依次加1）,等有这样规律的数.

二.实数（共2小题）

4.（2021秋•东台市月考）将下列各数填入相应的集合中：

-7,0,-22---2.55555...，3.01,+9,4.020020002...,+10%,一2万

3

有理数集合：｛一7,0,-22-,-2.55555....,3.01,+9,+10%...）；

----------3———

无理数集合：｛—...｝；

整数集合：｛...｝；

分数集合：｛...｝.

【分析】找出给定数列中有理数、无理数、整数以及分数，此题得解.

【解答】解：在-7,0,-22J，-2.55555....,3.01,+9,4.020020002...,+10%,一2万中，

3

有理数有：一7,0,-22-,-2.55555....，3.01,+9,+10%；

3

无理数有：4.020020002...,-2%；

整数有：-7,0,+9；

分数有：-221,-2.55555...，3.01,+10%.

3

故答案为：-7,0,-22J，-2.55555....,3.01,+9,+10%；4.020020002...,-2%；-7,0,+9：-22--

33

-2.55555....,3.01,+10%.

【点评】本题考查了实数，牢记有理数、无理数、整数以及分数的定义是解题的关键.

5.（2021秋•吴江区月考）把下列各数分别填入相应的大括号中.

-5,,0,-3.14,—,0.1010010001...,+1.5,-（-6）,,1.515151...,300%,-|+5.2|.

473

12/26

322

(1)正数集合：｛一，0.1010010001...,+1.5,-(-6),1.515151...,300%...｝;

(2)负数集合：｛...｝；

(3)负整数集合：...｝；

(4)非负分数集合：｛—...｝；

(5)无理数集合：｛—

【分析】根据正数，负数，负整数，非负分数，无理数的定义可得出答案.

【解答】解：(1)正数集合:｛I--I,一，0.1010010001...,+1.5,-(-6),1.515151...,300%...｝；

47

(2)负数集合：｛-5,-3.14,-1,-1+5.21...)；

(3)负整数集合:｛-5…｝;

(4)非负分数集合：｛|—三|,—,+1.5...);

47

rr

(5)无理数集合：｛0.1010010001...,——

QTT

故答案为：|一口，—，0.1010010001...,+1.5,-(-6),1.515151...,300%；-5,-3.14,——,一|+5.2|；

473

-5；|--|,—,+1.5：0.1010010001...,一一.

473

【点评】本题考查实数分类，关键是根据实数的分类解答.

三.实数的性质(共4小题)

6.(2022春•江津区期中)下列各组数中相等的是()

A.-3与J(-3)2B.—2与强C.I-石|与dD.一2与-;

【分析】直接利用绝对值的性质以及二次根式的性质分别化简，进而判断得出答案.

【解答】解：A.-3与斤豕=3,不相等，故此选项不合题意；

B.-2与册=2,不相等，故此选项不合题意；

C.6|与石，相等，故此选项符合题意；

D.-2与-工不相等，故此选项不合题意；

2

故选：C.

【点评】此题主要考查了绝对值的性质以及二次根式的性质等知识，正确化简各数是解题关键.

7.(2021•汇川区三模)11+731+11-73|=_2A/3_.

【分析】先依据各数的符号化去绝对值，再合并同类二次根式即可.

13/26

【解答】解：|1+旧|+|1-若1=1+有+8-1=26.

故答案为：2班.

【点评】本题主要考查了实数的性质，正实数。的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，。的绝

对值是0.

8.(2021秋•射阳县校级期末)已知实数a、6互为相反数，c、d互为倒数，尤的绝对值为回，

求代数式(a+6+cd)x+'Ja+b-yfcd的值.

【分析】根据题意可得a+b=0,cd=\,x=±7,然后代入代数式求值即可.

【解答】解：屈=7,

,ra、6互为相反数，

Q+Z?=0,

・・・C、d互为倒数，

/.cd=1,

••・X的绝对值为

x=±7，

当尤=7时，

原式=(0+l)x7+C-加

=7-1

=6,

当彳=_7时，

原式=(0+l)x(_7)+C-*

=-7-1

=-8,

，所求代数式的值为6或-8.

【点评】此题主要考查了实数运算和求代数式的值，关键是掌握相反数和为0,倒数积为1.

9.(2022春•如皋市校级月考)已知|x|=g,y是11的平方根，且x>y,求x+y的值.

【分析】直接利用绝对值的性质以及平方根的性质分类讨论得出答案.

【解答】解：•」x|=更,

x=±A/5,

•jy是11的平方根，

y=±^/17,

••,x>y,

:.当x=芯,则y=-"T,

14/26

^X+_Y=A/5-A/TT，

当x=-A/5,贝!Jy=-A/TT,

故x+y=-芯-^/TT,

综上所述：x+y的值为6-而或-有-而.

【点评】此题主要考查了实数的性质，正确分类讨论是解题关键.

四.实数与数轴（共3小题）

10.（2022春•海安市校级月考）实数A,B,C,。在数轴上的对应点的位置如图所示，其中互为相反

数的两个数是（）

-I_%_&___I-；1____1___

-3-2-10123x

A.A和DB.A和CC.3和。D.3和C

【分析】根据相反数位于原点的两侧且到原点的距离相等，可得答案.

【解答】解：由相反数位于原点的两侧且到原点的距离相等，

得。与d互为相反数，

故选：A.

【点评】本题考查了实数与数轴，利用相反数位于原点的两侧且到原点的距离相等是解题关键.

11.（2021秋•江阴市期末）实数°、6在数轴上对应点的位置如图所示，化简|。-切+。的值是_b_.

―!-----1----------1->

a0b

【分析】根据数轴上。，。的正负情况化简.

【解答】解：由图可知，a<O<b,

/Ja—b\+a=b—a+a=b.

故答案为：b.

【点评】本题考查数轴上点的意义及绝对值化简，解题关键是注意绝对值的非负性.

12.（2020秋•泰兴市期中）（1）求出下列各数：

①-27的立方根_-3_；

②5的平方根；

③4的算术平方根—.

（2）将（1）中求出的每一个数准确地表示在数轴上（可通过构造相应的直角三角形准确地找到无理数所

对应的点），并用〈连接大小.

-7-6-5-4-3-2-10123456>

【分析】（1）根据平方根，立方根的定义可求.

（2）根据数的正负号及距离找到对应点.

【解答】（1）07=-3.

5的平方根：土石.

4的算术平方根：74=2.

15/26

故答案为：-3,土非,2.

（2）如图所示

故答案为：-3<->/5<2<^.

【点评】本题主要考查立方根、平方根、算术平方根的计算，以及如何在数轴上描出表示无理数的点.可

以根据勾股定理计算，然后在数轴上描出来.63+22,所以在数轴上构作边长为1和2的直角三角

形，斜边长即为百，同时主要平方根有两个.

9【过关检测】

选择题（共9小题）

1.（2021秋•安宁市校级期末）在实数/，0,—,孙125,0.1010010001...,旧,工中无理数有（

72

）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】根据无理数的定义即可判断选择项.

【解答】解：在实数6，0,—,W125,0.1010010001...,石，三中，

72

"=2是整数，。是整数，工是分数，河石=0.5是小数这4个数是有理数，

7

0.1010010001...,也,工这3个数是无理数.

2

故选：D.

【点评】本题主要考查无理数等知识点，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数.如

ri,6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式.

74

2.（2021秋•梁溪区期末）在0、万、0.0101101110...（每两个0之间的1依次增加）、-3.14、一中，

II

无理数的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数

与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.

【解答】解：0是整数属于有理数；

-3.14是有限小数，属于有理数；

16/26

二是分数，属于有理数；

11

无理数是万、0.0101101110...（每两个0之间的1依次增加），共2个.

故选：C.

【点评】此题考查了无理数的定义.解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：万，

2万等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）,等有这样规律的数.

3.（2021秋•姑苏区校级期末）在实数0.101001000L..,|,0,g0.12,-1.414中，有理数的个数有（

）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】根据有理数的定义可得答案.

97T9

【解答】解：在实数0.1010010001…，—，0,0.12,-1.414中，有理数有—，0,0.12,-1.414,有

727

理数的个数有4个.

故选：D.

【点评】本题考查了实数，熟练掌握有理数的定义是解题关键.

4.（2021秋•江阴市期末）0-1的相反数是（）

A.I+A/3B.1-gC.-1+73D.-1-退

【分析】根据相反数的定义即可得出答案.

【解答】解：目-1的相反数是-（若-1）=1-百，

故选：B.

【点评】本题考查了实数的性质，体现了整体思想，把百-1看作整体，根据。的相反数是-。是解题的关

键.

5.（2021春•广安区校级期末）若孤+的=0,则。与6的关系是（）

A.Q=Z?=08.々与/?相等

C.a与6互为相反数D.a=-

b

【分析】根据立方根的意义和性质：正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0.则a=.所

以。与6互为相反数，由此解决问题.

【解答】解：•:也+&=0,

l[a=-ifb,

二a与6的关系是互为相反数（或a+b=0,或°=-3.

故选：C.

【点评】此题考查了立方根.解题的关键是得到独=-蛎这一步.

6.（2022春•海门市校级月考）下列说法：①实数和数轴上的点是一一对应的；②过一点有且只有一条直

线与已知直线垂直；③负数没有立方根；④16的平方根是±4,用式子表示是。语=±4；⑤某数的绝对值，

17/26

相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0,其中错误的是（）

A.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】根据实数，绝对值，平方根，立方根，平行公理等知识逐项判断即可.

【解答】解：①实数和数轴上的点是一一对应的，正确；

②应该是“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”，故错误；

③负数没有立方根，错误；

④16的平方根是±4,用式子表示是±&%=±4,故错误；

⑤某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0,正确；

故错误的有：②，③，④，

故选：D.

【点评】本题主要考查了实数，绝对值，平方根，立方根，熟练掌握它们的定义及平行公理等知识是解答

此题的关键.

7.（2021秋•泰兴市月考）下列说法正确的有（）

①自然数就是正整数；②几个有理数相乘时，当负因数的个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数是偶

数个时，积为正；③一个有理数不是整数就是分数，一个分数不是正分数就是负分数；④分数中既有有理

数也有无理数；⑤有理数分为正有理数、零和负有理数，无理数可分为正无理数、零和负无理数.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【分析】①根据自然数的概念判断即可；②根据有有理数乘法法则判断即可；③根据有理数的概念判断即

可；④根据分数的概念判断即可；⑤根据有理数、无理数的概念判断即可.

【解答】解：①自然数就是正整数，不正确，还有0；

②几个非零有理数相乘时，当负因数的个数是奇数个时，积为负；当负因数的个数是偶数个时，积为正；

故原说法不正确；

③一个有理数不是整数就是分数，一个分数不是正分数就是负分数，正确；

④分数是有理数，故原说法不正确；

⑤有理数分为正有理数、零和负有理数，无理数可分为正无理数和负无理数，故原说法不正确.

正确的有：③.

故选：B.

【点评】此题考查的是实数、有理数的乘法，掌握实数的概念及乘法法则是解决此题的关键.

8.（2022•巴彦县二模）-♦的倒数是（）

A.-73B.--C.上D.6

扣73

【分析】根据倒数的定义写出即可.

1

【解答】解:-后的倒数是-

忑

故选：B.

18/26

【点评】考查了实数的性质及倒数的定义，属于基础题，比较简单.

9.（2022•江都区一模）如图，数轴上A、B、C、。四个点中可能表示实数而的点是（）

ABCD

।I.I।牛I.I.IA

-1012345

A.点AB.点BC.点。D.点。

【分析】首先运用夹逼法确定逐在哪两个相邻的整数之间，然后根据数轴上的点与实数一一对应的关系即

可得到表示娓的点在2~3之间.

【解答】解：■.<a<屈<也，

2<^/6<3,

.•.在数轴上表示卡的点在2~3之间，即点3.

故答案为：B.

【点评】本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应.也考查了无理数的估算.

二.填空题（共7小题）

71

10.（2021秋•阜宁县期末）在—，2%,-1-,0.181181118…四个数中，无理数有2个.

34--------

【分析】理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和

无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数.

【解答】解：士，-1工是分数，属于有理数；

34

无理数有2万，0.181181118...,共2个.

故答案为：2.

【点评】本题主要考查了无理数.解题的关键是掌握无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：万，

2万等；开方开不尽的数；以及像Q1010010001…，等有这样规律的数.

11.（2022•朝阳区一模）写出一个比4大且比5小的无理数：—历一

【分析】由于4=9，5=725,所以可写出一个二次根式，此根式的被开方数大于16且小于25即可.

【解答】解：比4大且比5小的无理数可以是而

故答案为

【点评】本题考查了对估算无理数的大小的应用，注意：无理数是指无限不循环小数，此题是一道开放型

的题目，答案不唯一.

12.（2020春•鼓楼区校级月考）在3，下,万，-1.6,Ji石这五个数中，有理数有3个.

3

【分析】直接利用有理数的定义分析得出答案.

【解答】解：在"，A/3,万，-1.6,J证这五个数中，有理数有：—,-1.6,J正共3个.

33

19/26

故答案为：3.

【点评】此题主要考查了实数，正确掌握有理数的定义是解题关键.

13.（2021秋•亭湖区校级月考）六个数：0.123,—,3.1416,-2万，（-1.5）3,0.1020020002（相邻两个2

7

之间0的个数逐次加1）,若其中无理数的个数为x,整数的个数为y,非负数的个数为z,则x+y+z=3

【分析】由于无理数就是无限不循环小数.初中范围内学习的无理数有：不，2万等；开方开不尽的数；以

及O.1O1OO1OOOL..,等有这样规律的数，由此即可判定无理数x的值，根据整数的定义非负数的定义即可判

定y、z的值，然后即可求解.

【解答】解：无理数有：-2%，0.1020020002（相邻两个2之间0的个数逐次加1）,则x=2；

没有整数：则y=0；

非负数有：0.123,—,3.1416,0.1020020002（相邻两个2之间0的个数逐次加1）,共4个；

7

贝！Jz=4.

则x+y+z=6.

故答案为：6.

【点评】本题主要考查实数的分类.无理数和有理数统称实数.有一定的综合性.

14.（2021秋•玄武区校级月考）在9.3,—24,0,-0.33,0.333...,141421356,2万，3.3030030003…（每

相邻两个3之间依次多一个0）,-3.1415中属于整数集合的有-24、0,属于负分数集合的有一，

属于无理数集合的有一.

【分析】根据实数的分类标准解决此题.

【解答】解：根据整数的定义，整数有-24、0；

根据负分数的定义，负分数有-0.33；

根据无理数的定义，无理数有2万、3.3030030003....

故答案为：—24、0；-0.33；2万、3.3030030003....

【点评】本题主要考查实数分类，熟练掌握实数分类标准是解决本题的关键.

15.（2020春•吴忠期末）如-1的相反数是_1

【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答.

【解答】解：6-1的相反数是1-石.

故答案为：1-松.

【点评】本题考查了实数的性质，是基础题，熟记概念是解题的关键.

16.（2021秋•泗阳县期末）无理数可以用数轴上的点表示，如图，数轴上点A表示的数是——忘

20/26

【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，得到。4的长度，即可得到点A表示的数.

【解答】解：根据勾股定理得，仔+仔=应,

OA=^/2,

点表示的数为-0.

故答案为：-五.

【点评】本题考查了实数与数轴，勾股定理，掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方是解

题的关键.

三.解答题（共4小题）

17.（2021秋•六合区期中）在数轴上画出表示行、-6的点，并标上必要的数据.

【分析】在数轴上作直角三角形，根据勾股定理可得两个数的位置.

【解答】解：如图，

【点评】本题考查实数与数轴，明确数轴上的点与实数一一对应是解题关键.

18.（2021•盐城）如图，点A是数轴上表示实数a的点.

（1）用直尺和圆规在数轴上作出表示实数点的点尸；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）利用数轴比较0