数列的概念-2023年高考数学一轮复习小题多维练（新高考专用）

专题12数列

第36练数列的概念

1维练基础

1.（2022•云南曲靖•二模（文））设S”是数列｛%｝的前〃项和，若5="+2",则为022=（）

A.4045B.4043C.4041D.2021

【答案】A

【解析】解：因为5“=1+2%

S22

所以021m=2022-邑021=2022+2x2022-（2021+2x2021）=4045；

故选：A

2.（2022,江西南昌•一k模（文））数列｛q｝中，“1=2,am+n=ciman,则。4=（）

A.8B.16C.12D.24

【答案】B

【解析】因为数列｛〃〃｝中，4=2,am+n=aman,

所以令机=〃=1,则％+i=2x2=4,即%=4,

令m=n=2,贝|。2+2=%%=4x4=16,gptz4=16,

故选：B

3.（2022•山东济南•二模）在数列｛q｝中，q=3,a2=-lfan+2=3an+i+anf则〃5等于（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】%=3%+q=-3+3=0,%=3%+%=—1,

a5=3%+%=-3.

故选：D

4.（2022•四川省泸县第二中学模拟（文））己知数列｛〃"｝满足％+广%=2",%=1,则%=（）

A.30B.31C.22D.23

【答案】B

【解析】因为数列｛%｝满足。用-%=2",4=1,

234

所以出一4=2]，a3-a2=2,a4-a3=2fa5-a4=2,

所以（％—《）+（%—。2）+（“4—%）+（〃5—。4）=2]+2?+23+2,‘

所以的=1+2]+22+23+24=31,

故选：B

2

5.（2022•陕西•交大附中模拟（文））设数列｛%｝的前〃项和为S“，Sn=n+n,则a“=.

【答案】2〃

【解析】当〃=1时，…i=2,

22

当,22时，Sn_t=（«-1）+（n-1）=n-M,

所以%=S“-S"_1=2",

4=2也符合上式，

所以4=2”.

故答案为：In

6.（2022•陕西•西北工业大学附属中学模拟（文））己知S”是数列｛an｝的前〃项和，的=2,a,=l--（n>2）,

an-l

贝”§2022=•

【答案】1011

【解析】因为4=2,an=l--（n>2）,所以。3=T,%=:吗=2吗=:，3=T，因此数列｛玛｝具有周期

an-\22

332022

性，7=3,%+%+%=],故邑022=5*~~-=1011.

故答案为：1011.

7.（2022•内蒙古•乌兰浩特一中模拟（文））已知数列｛%｝满足刍=2,约+1=3则求60°=

【答案】T948

【解析】马=2,%+i=an-n,

•*­%-4二一上

.・2—4二-1,

a3-a2=-2^

%一%=—3,

%oo-%9=-99,

将以上99个式子都加起来可得4oo-4=-1-2-3-…-99=-99x（；+99）=_495（）,

010G=-4948.

故答案为：-4948.

8.（2022•北京•人大附中模拟）能说明命题“若无穷数列｛4｝满足外…），则｛4｝为递增数列”

an

为假命题的数列｛%｝的通项公式可以为%=.

【答案】-〃

【解析】因无穷数列｛%｝满足->1（〃=1，2,3,…），当4>0时，an+l>an,数列｛4｝为递增数列，给定命

an

题是真命题，

当“<0时，a,1+1<an,数列｛4｝为递减数列，给定命题是假命题，

。2-（n+1）n+1<

因此，取为=一九，显然有---=-------=---->1,〃〃+]=_（〃+D<_〃=〃“，

an—nn

所以为二-九.

故答案为：-〃

1.（2022•上海普陀•二模）数列｛q｝的前"项的和S”满足S"M+S”=〃5€N*）,则下列选项中正确的是（）

A.数列｛。用+%｝是常数列

B.若％<；,则｛4｝是递增数列

C.若。1=一1,则$2022=1°13

D.若%=1,则｛%｝的最小项的值为-1

【答案】D

【解析】当〃=1时，邑+y=2%+%=1,

当“22时，S“+S“T=〃-1,则%+4=1,

而％+4=1不一定成立，故｛。用+%｝不一定是常数列，A错误；

由%+1+%=。"+""-1=…=/+。2=1，显然%+1=4,-1="”一3=…旦。"=。"-2=。"-4=…，即｛4｝不单调，B错

误；

若％=-1,贝|2=3,%=-2,故〃22,｛%｝偶数项为3,奇数项为-2,

而$2022=01+（°2+。3）+（。4+。5）+…+（。2020+。2021）+。2022=-1+1010+3=1012,C错误；

若％=1,则2=T，/=2,故"22,｛%｝偶数项为-1,奇数项为2,故｛%｝的最小项的值为-1,D正确.

故选：D

2.（2022•四川省内江市第六中学模拟（理））已知数列｛%｝满足：%=1024,点（〃,%）在函数y=qg）（aeR）

的图象上，记S“为｛%｝的前w项和，则％-Sg=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】由题得q=1024=ga,解得4=2”,故q=2»",所以L-SgMqo+aun,+ZOnS

故选:A.

3.（2022•湖北•模拟）函数y=7'（口（xe[O』）对任意q«O,l）,由="?乂〃€曰）得到的数列｛%｝均

是单调递增数列，则下列图像对应的函数符合上述条件的是（）

【答案】A

【解析】由题可知4+1=/■(«,)(〃€N*),an+l>an,

故函数〃尤)满足〃x)>x,即函数〃尤)的图像在直线y=x的图像上方，故排除BCD.

故选：A.

4.(2022•河南安阳•模拟(理))已知数列｛叫满足用q+2=-l(〃eN*),q=-3,若｛4｝的前w项积

的最大值为3,则出的取值范围为()

A.[-l,0)u(0,l]B.[-1,0)C.(0,1]D.(-<x>,-l)o(l,+w)

【答案】A

【解析】数列｛4｝中，“eN*,an-an+1-an+2=-1,则有％•4用•4+3=T，因此，V〃eN*,

an+3=an，

因数列｛4｝的前几项积的最大值为3,则当〃=6Z«£N*,｛4｝的前几项积力%…%=1工3,

当〃=6左+1,左£N*,{4}的前n项积q%“=4=一343,

当方=6左+2,/$N*,{%}的前〃项积a。…。〃=。陷2=-3%<3,解得〃2之一1,

当〃=6左+3,左wN*,{〃〃}的前几项积。伤…=4。2。3=-143,

当〃=6左+4,左wN*,{〃“}的前n项积…%==一％=3<3,

当〃=6左+5,左£N*,{q}的前n项积…。〃=。1。2。3。4。5=-。1。2=34(3,解得。241，

显然为W0,综上得一1<％<0或0<生41，

所以出的取值范围为[T，。)。(。，1].

故选：A

5.(2022•江苏省木渎高级中学模拟)已知数列｛?｝满足：①先单调递减后单调递增：②当〃=3时取得最

小值.写出一个满足条件的数列｛4｝的通项公式%=.

【答案】见=(〃-3)2(〃£N*)

22

［解析］设%=(〃―3)2(〃WN)则4+1=("2)2,an+1-an=(n-2)-(n-3)=2n-5,

当1"V2,限-。=2〃-5<0,数列单调递减,

当〃23,4,+1-。“=2〃-5>。，数列单调递增，即q>4

可得当"=3时数列取得最小值，

故答案为：=(〃-3)2(〃eN*)

6.(2022•湖南•长沙一中模拟)已知正项数列｛%｝满足用，若｛%｝的前〃项和为S,,且

5s“=1电，则，=

【答案】1

a

【解析】因为正项数列｛〃“｝满足风=。〃+n+l，

所以」a_+4也2=yi,即一1+—1二i,

册册+i%%+i

1111

则---+----=1,因此----=—，即4+2=%，

aaa

n+\n+2n+2册

数列｛凡｝是周期为2的数列，

因止匕由5sli=1电可得，5[5(%+4)+%]=11[23+12)+4]，

解得4=%，即亍"=1，

故答案为：1.

7.(2022・上海•华师大二附中模拟)已知数列｛%满足q=1,“同=""'(〃eN*).设a为

[an+n,an<n

乌，?，•.・，〃”中取值为1的项的个数，贝！J4+H+----H^2022=.

【答案】12525

【解析】解：当机N1时，若册=1,贝|4+1=1+根，4+2=l+m+(m+l),

依此类推，可归纳证得4+2-=根+2-女，am+2k=2m+\+k(l<A:<m),

从而%«+i=1.

因此，an=i,当且仅当〃=?«eN*),从而4=口幅(2〃+1)],

故恰有3,个〃,=%.

贝!।瓦+%+...+Z?2022，

=1X3+2X32+...+6X36+7X(2022-36-35-...-3)=12525,

故答案为：12525

8.(2022•山西运城•模拟(文))斐波那契数列(Fibonaccisequence)又称分割数列，是数学史上一个著名

a=\,

的数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,........已知在斐波那契数列｛4｝中，％=1,2a„+2=a„+1+(neN+),

若«2022=m,则数列｛4｝的前2020项和为(用含m的代数式表示).

【答案】m-1

【解析】由2=。"+1+4，可知%+1=%+%_,……，a4=a3+a2,a3=a2+a,,

将以上各式相加得%+2+“"+i+…+/=4+1+2%+2an_1+---+2a2+ax,

整理得4+2=6+S“,

则$2020=°2022—%=〃?一1.

故答案为：7”-1.

3雉练素养

1.(2022•浙江•模拟)已知数列｛g｝满足9=1，，M=C3；]”N,则()

A.GJB.岛]C.GTD-盟

【答案】c

【解析】由C"M=3：]，〃eN,得-L-S±l一,9*112c11

-+cn,neN,------------=cn>0,所以--->—,又q=1〉0,

c〃+icncn+lcn

%+1C"+lC"cn

所以数列是递增数列且]=]+3+3c「+g6〉[j_1+3,所以

nJ\^nJ\^nJ

J]>3,«eN"',

VCn+\J\Cn)

z\3rz\3z、3"|rz\3z、3/\3z\3"Iz、3

1][1)(1][1)(1][1]f1)\1]

所以一=一-一十---------F———+—>3x17+1=52,

Jlj<C18)\C17)<C17)\C16)\C2j\C1J\C1>

/[\3]___7

G1A、

所以一>52,一>为^>不.当〃=1,得Q=c；；i=2,由°<c".得"We/,

J18J-

H，J+c2+3+3cc

[r-J=[r«J=[rJ>^[r]+3+4g3,

（iY(iV

33333

同上由累加法得—<1—J+3xl7+4(q+c2+c3+...+c17)<56+4-c2-16=64

<C18>

1,71,12

所以一<4,所以彳<一<4,则〈三.

18

%2c1847

故选：C.

71

a=b

n+ln+一

an

2.（2022•浙江金华•三模）已知数列也｝,也｝满足弓=2,,〃eN*,则下列选项错

1

%=an+~T

bn

误的是（)

a.1

A.~r~~：B.。50,"50<112

b24

D.1%)—b501Vl5

【答案】D

1

a+一j1ahn+1

„+i=b,b+————

【解析】因为]£NAT*,所以铲

n+l1

b,,+ian+T~

b.b.

1

所以0_=幺_=2=J_，故A正确;

b2a24

l、

1

a+

由题意得：an+lbn+ln~T=a/n+2H------22+2=4,

n7aA

当且仅当。1A=4时，取等号;

a„bn

所以即

1=2x2+〃48048+11

所以。50,，50=2+a49b49+

1

—...—2x49+aQiH-------!-,,•+

apx

又4=2,4=；，所以。so%>2+2x49=100,a50l>50<2+2x49+^x48=112,故B正确;

1+1a+b1

又〃计1+"+1=〃拉+2+一T-=(nn)1+^7

M"ah

2

+%)-=(%+b)1+--2%+2+l

所以（4+i=(a„+bn)

a„b„a,"

所以（4，+1+2+1『=（a“+b“y==（/+（『=25

aaba

„+A,+i„„A4

所以回土出"na50+%,=*扃贰，故C正确；

她042

（1,

%+i-4+1=（么一%）1+-T

所以（%-%）2=（%-2）［+=（%-£）2.5A1

Ianbn）a„b„

叩（。“+1一2+1）2（%一2）==（。|—4）2「9

%+色+1他aa4

所以砥。一%）|=9^^菰＞9乂9=15,故D错误.

故选：D.

3.（2022•河南•模拟（理））在数列｛q｝中，q=32（彳＜0）,%+22"=a"+2储+、且对任意机，〃eN*,

—则实数2的取值范围是（）

anI。）

【答案】A

n+i1

［解析］an+i+2丸〃=%+2X"+i=>an+l—2A=cin—2储=•••=ax—22=3A—22=A

=an=2X'+A.

・「4=3X<0,且对任意九£N*,」£（Z，6］,故。<0,

。〃（6）

2

a2=22+2<0,.，・％e,止匕时对任意〃£N*,〃〃w0.

ii

2n-1

当一］<几<0时，0<|2|<-,%=忆「"+%>%，a2„_1^-2|A|+Z<2,

由指数函数的单调性知，｛4｝的偶数项单调递减，奇数项单调递增，且％,

故｛%｝的最大值为4=2%+2,最小值为％=32,

a%22+1a,3

由题意，Nm的最大值及最小值分别为上=^^和‘

anq3%2%+1

.24+113,左力/日1.八

由一~一>:及—;―7<6，斛得-7</<。♦

3622+14

综上所述，4的取值范围为［-；,。］

故选：A.

4.（2022•江苏•南京师大附中模拟）若数列｛%｝满足：对Vi,/eN*,若i<j,则q,称数列｛%｝为“鲤

鱼跃龙门数列”下列数列｛4｝是“鲤鱼跃龙门数列”的有（）

2

A.an=w-4n+1B.an=C.an=sinrm

【答案】BD

【解析】对于A,不妨取i=l</=3,但％=-2=%,不满足故A错误；

对于B,=1一一二对M/wN*,若，</，则」

〃+2〃+2i+2j+2

贝1J1一万/<1一1卫,即《<%•,故B正确；

对于C,不妨取i=2<j=4，但。2=。=4，不满足《<%,故C错误；

对于D,an=In—=ln（l一一二），对ViJcN*,若，<九则」

1~9

贝）1一」7<1-~~\故1口（1一」--^―）,gpat<aj,故D正确；

i+lj+li+lj+\

故选：BD

5.（2022•江苏泰州•模拟）己知数列｛%｝满足弓=1,-------=a„（/2eNT前〃项和为S“，贝U（）

一%%

A.an>1Caw100、<—cuD.S<n

【答案】BCD

【解析】由％=1知，A错;

-------——+%,4=1>0,a>0f

aa

n+ln

〃=1时，5=1；

〃之2时，Sn=a{+a2-\-----an<ax+ax-\------a{=nfD对;

7-11.

=4+2-1-->+2,

\2

111

9—<3

=%+2+W'..[tian，

7

匕"-I),/<3〃一2,”>1

2

11111

“22时,-I-<<―/:,>-1———1之------,BX't

A/3/7-2yj2n-]V6066-2J'60641012

12

，C对.

故选：BCD

6.(2022•重庆市求精中学校一模)设｛4｝是无穷数列，若存在正整数鼠使得对任意“eN*,均有％+*>%,

则称｛%｝是间隔递增数列，k是｛4｝的间隔数.则下列说法正确的是()

A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列

B.已知乙=〃+«,则｛4“｝是间隔递增数列

n

C.已知%=2〃+(-1)",则｛%｝是间隔递增数列且最小间隔数是2

D.己知%=/-5+2021,若｛。“｝是间隔递增数列且最小间隔数是3,贝U4Wf<5

【答案】BCD

【解析】〃，左wN*.

1

对A,设也｝公比为4,贝IJan+k-an=-W'T=-1),因为q>1,所以q-(二一1)>0,若%<0,

则an+k-an<0,不是间隔递增数列.A错误；

(4\(4、+JctT一4

对B,an+k-an=\n+k+---n+-\=k--~--,易得《")="+初一4是递增数列，贝心(1)=左一3,

所以k>3时，®｝一定是间隔递增数列.B正确；

对C,。”一。“=2(〃+%)+(-1)""一[2〃+(-1)[=24+(-1)"[(一琰一1],

“为奇数时，an+k-an,显然％=1时，an+k-an>0,

”为偶数时，氏+上-。“=2/+[(-以-1],显然左=2时，a.+「a”>0.C正确；

对"D,a,.—=(〃+4—r(w+Z^)+2021—广一tn~\-2021)=2kn+k~—tk>0对〃cN*恒成贝！I

2左+左2—很>0恒成立，因为最小间隔是3,所以2上+左2-很>0即左>/一2对于左23恒成立，且上W2时,

k<t-2,于是4W/<5.D正确.

故选：BCD.

7.（2022•上海•模拟）若数列｛%｝满足。“+1=242,存在MeR,对任意”eN*,使得1*<加，则%022的取

值范围是.

【答案】0,1

【解析】由题意得，当心2时，«„>0,而am=2*，收=2".，

IanI

①当。”>3时，储>1,｛|%|｝为递增数列，且当〃趋向于无穷大时，为趋向于无穷大，故不合题意，

②当时，，*41,此时当〃趋向于无穷大时，。“趋向于0,符合题意，

故答案为：04

8.（2022•上海•复旦附中模拟）已知｛《｝是各项均为正整数的数列，且4=3,%=8,对任意％wN*,

ak+\=ak+1与%+1=g%+2有且仅有一个成立,则a\+出+…+。7的最小值为.

【答案】20

【解析】由已知/£N*(i=2,3,4,5,6),所以4=2,3,4,5,6),

若4=1(1=23,4,5,6),,因为％w0,所以q—0_户1,故%1=2《=2,

所以q+4+i23,

(1)若“2=1，则%=2,

当。4=1时,%=2,若“6=1，则〃7=2,与条件相矛盾，

当包=1时，%=2,若4=2,则%=4,与条件相矛盾，

当包=1时，%=2,若。6=3,则为可以取8,此时%+%+~+%=20,

当。4=2时，%=4,又。621,则q+%+…+%>21,

当包»3时，a5+々623,则%+%H—+>20,

(2)若。2=2,则g=4,贝lj/24,则％+。2~1----F%221,

(3)若。2=3,贝！］%=6,则。4+。5+。6»4,则%+%+…+%224,

(4)若出》4,贝IJ/+%+〃5+〃626,贝ljq+〃2+…+〃7221,

所以q+4+…+%的最小值为20.

故答案为：20

9.(2022•北京海淀•二模)在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列｛%｝,｛2｝分

别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：a„+1=2a„+bn,bn+i=an+2bn(»=1,2L),描

述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足%>4,则在该模型中，

关于两组信息，给出如下结论：

@VneN*,a„>bn-

②也cd；

使得当〃〉上时，总有