2025秋初中数学九年级上册人教版教案设计 22.2二次函数与一元二次方程(1)-1教案

课程基本信息课例编号2020QJ09SXRJ032学科数学年级九年级学期第一学期课题22.2二次函数与一元二次方程(1)教科书书名：义务教育教科书数学九年级上册出版社：人民教育出版社出版日期：2014年6月教学目标教学目标：1．理解一元二次方程ax2+bx+c=m根的情况与抛物线y=ax2+bx+c和直线y=m交点的情况之间的关系；能够应用二次函数的图象解决有关一元二次方程的根的问题.2．通过对“小球飞行”问题的探究，使学生理解二次函数与一元二次方程的关系，从而提高学生分析问题、解决问题的能力以及归纳概括的能力.3．通过二次函数与一元二次方程之间关系的探究，使学生体会数形结合思想，激发学生学习数学的兴趣.教学重点：正确理解一元二次方程ax2+bx+c=m根的情况与抛物线y=ax2+bx+c和直线y=m交点的情况之间的联系.教学难点：正确理解一元二次方程ax2+bx+c=m根的情况与抛物线y=ax2+bx+c和直线y=m交点的情况之间的联系，并应用其解决相关问题.教学过程时间教学环节主要师生活动4’回顾旧知引入新课在之前学习一次函数时，我们曾尝试从一次函数的角度看一元一次方程，再认识它们之间的联系:典型应用：1．关于x的一元一次方程kx+b=0的解为x=1，则当x=时，一次函数y=kx+b的函数值为0.分析：函数值为0即y=0，从数的角度关于x的一元一次kx+b=0的解，可以看成是一次函数y=kx+b当函数值y=0时所对应的自变量x的值，可得x=1.一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的一元一次方程kx+b=0的解为．分析：由图从形的角度，知直线y=kx+b与x轴（直线y=0）交点的横坐标，可得关于x的一元一次kx+b=0的解.站在函数的角度，我们从数、形两方面看一元一次方程的解：关于x的一元一次ax+b=0的解，从函数解析式上看，可以看成是：一次函数y=ax+b当函数值y=0时所对应的自变量x的值；从函数图象上看，可以转化成：直线y=ax+b与x轴（直线y=0）交点的横坐标；反过来，我们也可以从数、形两方面将一次函数问题转化成一元一次方程的解的问题，体现了数形结合的思想.从一次函数的角度我们认识了一次函数和一元一次方程之间有这样一种联系，那么从二次函数的角度看一元二次方程，它们之间是否也有类似的联系呢？12’解决问题探究新知问题如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h=20t-5t2，考虑以下问题：小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？（3）小球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）小球从飞出到落地要用多少时间？分析：这几个问题我们都可以看成已知飞行高度h，求飞行时间t.由于小球的飞行高度h与飞行时间t有函数关系h=20t-5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h的值.解：（1）解方程15=20t-5t2，t2-4t+3=0，t1=1，t2=3；当小球飞行1s和3s时，它的飞行高度都为15m.思考1如何从函数解析式上（数的角度）理解一元二次方程的两个不相等的实数根呢？思考2如何从函数图象上（形的角度）理解一元二次方程的两个不相等的实数根呢？（2）解方程20=20t-5t2，t2-4t+4=0，t1=t2=2.当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.提问：如何从数、形两方面说明方程的两个根呢？（3）解方程20.5=20t-5t2，t2-4t+4.1=0，因为Δ=（-4）2-4×4.1＜0，所以方程无实数根.这就是说，小球的飞行高度达不到20.5m.提问：如何从数、形两方面说明方程没有实数根呢？（4）小球飞出时和落地时的飞行高度都是0m，解方程0=20t-5t2，t2-4t=0，t1=0，t2=4.当小球飞行0s和4s时，它的飞行高度为0m.这表明小球从飞出到落地要用4s.提问：如何从数、形两方面说明方程没有实数根呢？归纳二次函数与一元二次方程的关系：从函数解析式上看：一元二次方程ax2+bx+c=m的根可以看成二次函数y=ax2+bx+c当y=m时所对应的x的值；从函数图象上看：一元二次方程ax2+bx+c=m的根可以转化成抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m交点的横坐标；反之亦然.6’巩固练习应用新知课堂练习：1．方程x2-2x-8=7的根可以看作是抛物线___________与直线________交点的横坐标.2．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示：（1）关于x的方程ax2+bx+c=-4的根的是__________.（2若关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根是：.变式：关于x的方程ax2+bx+c+3=0根是.3’课堂小结反思提升课堂小结：1.知识层面：2.思想方法层面：数形结合的数学思想、类比的数学思想.布置作业课后巩固课后作业：1．已知二次函