高考数学专项复习：双曲线（七大题型+模拟练+核心素养分析+方法归纳）解析版

专题26双曲线（七大题型+模拟精练）

01

目录：

•»«oi双曲线的的定义

•第农02双曲线的的标准方程

♦做＜03双曲线的的顶点，虚、实轴，渐近线方程等

•**04双曲线的的离心率

♦题受05等轴双曲线

♦肿（06双曲线的应用

♦就＜07解答综合题

♦做‘笆）1双曲线的的定义

X2y2i

1.设P是双曲线而-瓦=上一点，耳/分别是双曲线左右两个焦点，若附卜.则附I等于（）

A.1B.17C.1或17D.5或13

【答案】R

【分析】先求出aba,然后根据双曲线的定义结合I阿卜9可求得IM|.

工上.1

【解析】双曲线】0-0的…b・?6c・6,

由双曲线的定义可得附卜附I'”・8.

因为附卜°,所以"附卜8,得冏卜I或］7,

若冏卜L则P在右支上，应有网L不成立；

若四.「，则P在左支上，应有冏户wl°,成立.

故选：B.

二

2.若点P是双曲线C：而一万一上一点，£6分别为C的左、右焦点,则〃冏卜8〃是〃附卜16〃

的（）

A.既不充分也不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.充分不必要条件

【答案】D

【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.

【解析】a=40=3a=".3=5,

当点P在左支时，附I的最小值为

当点P在右支时，的最小值为a+c=9,

因为I附卜8,则点P在双曲线的左支上，

由双曲线的定义附卜附卜附H・％・8,解得附卜16；

当朋卜16,点p在左支时附卜8；在右支时，阀卜?4；推不出附卜8；

故为充分不必要条件，

故选：D.

3.已知双曲线的左、右焦点分别为B,F2,在左支上过尸/的弦A8的长为5,若2〃=8,那么aABB的

周长是（）

A.16B.18C.21D.26

【答案】D

【分析】如图，根据题意和双曲线的定义直接得出结果.

【解析】如图所示，由双曲线的定义知，

k讣眼卜8,（1）

I更H麻卜8,⑵

又M卜圈卜阀・5,⑶

所以由⑴，（2）,⑶得Ml♦色卜”,

故用的周长为M卜阳卜回・"

故选：D.

4.已知双曲线04--J、64=°的两个焦点分别为耳，为，°为坐标原点，若尸为°上异于顶点的任

意

一点，则一0°耳与。我妈的周长之差为（）

A.8B.16C..8或8D.T6或16

【答案】D

【分析】将双曲线转化成标准方程，得到根据双曲线的定义得出结论.

99

匚二=1O

【解析】c的方程可化为6416，所以

易知一P"与居周长差的绝对值为'■16,

故一汽比与APO4的周长之差为-16或16.

故选：D.

•««02双曲线的的标准方程

5.已知双曲线C的焦点为＜0・纥），则。的方程为（）

A.犬-尸=1B.户/=1C./-5'=?D.r-X：»2

【答案】D

【分析】根据双曲线的标准方程计算即可.

【解析】因为双曲线C的焦点为◎蛇）在纵轴上，所以4＜。，

且双曲线c方程二22I_二£..1满足（-力+（-为=丁,，

故4,一?,则。的方程为了'一/'?.

故选：D.

/IJ：]

6.若曲线4+4C-1"表示双曲线，则2的取值范围是（）

A.I/）B.（-1）51.*01

（（＜VKO）

c-4UD-».-4][1,-

【答案】c

【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案.

【解析】根据题意，若曲线"+二表示双曲线，则有仔,4）体”）＜°,

解得-4C＜1.

故选：C

7.若双曲线的渐近线方程为『=卅1,实轴长为为■】，且焦点在x轴上，则该双曲线的标准方程为

（）.

犷或A』B.今"

【答案】C

【分析】根据双曲线的性质求解.

aa.1

【解析】由题可得二。■?,解得

因为焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为

故选:C.

故渐近线方程为】‘幼，

故选：C.

c二上=1

11.己知双曲线5bl的焦距为6,则双曲线c的焦点到渐近线的距离为（）

A.V3B.2C.4D.

【答案】R

【分析】由题意可得，C=3,由5.0-9,解得才「二可得》，求出渐近线方程，再由点到直线的距离

公式计算即可得到.

（-3,01,（10）

【解析】由题意可得，c-3,焦点为9

则5♦加,9,解得匕■?,又。,芯,

则双曲线的渐近线方程为.9

旬

则焦点到渐近线的距离为V5.

故选：B.

「X-J=lC*--J2=1

12.己知双曲线5：-与G:-，则（）

A.C与C的实轴长相等B.0与。的渐近线相同

c.G与G的焦距相等D.C与G的离心率相等

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出两条双曲线实半轴长、虚半轴长、半焦距，渐近线方程及离心率即可判断得

解.

2

C^:r--__ik6,半焦距・渐近线方程为

【解析】双曲线-的实半釉长°=l,虚半釉长。’cb,

1土6，离心率％=也

双曲线c~x5的实半轴长生虚半轴长”=1,半:

离距C.43,渐近线方程为.2,离

■出

心率42,

因此,与。的焦距都是二",只有CTF确.ABD错误.

故选：c

13已知双曲线ab的右焦点为F,直线J=・'一】口过点尸，且与双曲线只有一个

公共点，则下列说法正确的是（）

匚上・1

A.双曲线£的方程为520

叵

B.双曲线E的离心率为3

c.双曲线后的实轴长为万

D.双曲线后的顶点坐标为（好•叫

【答案】A

【分析】根据直线与曲线有且只有一个公共点可知渐近线方程，再根据焦点坐标可得双曲线方程，进而判

断各选项.

【解析】由直线过点F,

得耳（5,0）,c-5,

所以W-2S,

又直线,r=与双曲线只有一个公共点，

当直线『=八-1°与双曲线渐近线平行时，

卜V士上・1

可得卜第'，双曲线方程为520_,

当直线与双曲线渐近线不平行时，

后A

联立直线与双曲线得伊-4。1八4而x--10而・0

△|9方-1。而）・0,即

又W・25,则5T*75・0,无解，

工上二1

所以双曲线方程为520,A选项正确：

离心率a9,B选项错误；

顶点坐标为仕“川，D选项错误：

实轴长为勿,L，C选项错误；

故选：A.

♦脓<04双曲线的的离心率

=1（。>。力>。）Q

14.双曲线J9的一条渐近线为1-V",则C的离心率为（）

A.6

B.SC.2D.4

【答案】C

【分析】利用双曲线的性质计算即可.

【解析】由双曲线方程易知。的渐近线为.

所3"则"时=序=1

故选：C

”的离心率分别为%，%,若则。・

15.设双曲线a,，椭圆

)

6£亚

A.TB.Vc.-D.3

【答案】B

【分析】先求得椭圆的离心率，进而可求得双曲线的离心率，可求a的值.

【解析】由椭圆“.了+,1可得3■咕f

所以所以椭圆的离心率“：=丁，

又’所以双曲线的离心率为0=$,

又双曲线标一，所以c・G・+

\解得“邛

所以a

故选：B.

---今=l|a>0力>0）p（5.01

16.已知双曲线"b的一条渐近线经过点尸1工刃，则该双曲线的离心率为（）.

A.4。B.：C,2J2D.后

【答案】A

【分析】根据渐近线方程及离心率公式可得解.

•-匚=l（a>0,b>0）r«±—r

【解析】双曲线^的渐近线方程为.a

又渐近线过点叫切,即r:”则尸,

-r-♦♦3--^io-

所以离心率oa,

故选：A.

二上』

17.已知双曲线方程为丁一丁一,界，6是双曲线的两个焦点，点4是双曲线上任意一点，若A点关

于尸的对称点为点B,点8关于再的对称点为点C,线段月。的长度是8,则双曲线的离心率是（）

A.6B.2C.D.4

【答案】B

|F^|=-UC|=4、

【分析】分析可知।।11，即可得c-・，进而可得离心率.

【解析】由题意可知：*、石分别为48、A7的中点,

由方程可知：＞-3,则-1,

所以离心率。.

故选：B.

18.已知双曲线”的左、右焦点分别为％反，过点少且与实轴垂直的直线交双曲线”于两点若

£/因为等边三角形，则双曲线”的离心率为（）

A.AB.£C,2D.

【答案】A

【分析】设网则U月卜％,I即卜后■%,再根据双曲线的定义求出肛从而求出

离心率.

【解析】设k耳卜刚因为〜明为等边三角形，贝悭―明・谆・£

乂附卜巧卜训•夕

c2cJim

—=s—VI

所以双曲线A，的离心率

♦质电05等轴双曲线

19.己知等轴双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，与直线交于A,3两点,若四4・二而，则

该双曲线的方程为（）

A.广＜B.rc.『-9DJ—16

【答案】C

【分析】设出双曲线方程，联立直线，求出交点坐标，即可求解

【解析】由题意可设双曲线方程为।一、一\；”0,

广一:T-JW

由［x+.r・0得3r则,)”0,

工、巴

不妨假设,则

由图象的对称性可知,

K4-厉可化为104卜西，

即“十历解得.9,

故双曲线方程为:

故选：c

20.已知双曲线X,-J,f点尸、行为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若冏门耳，则

阳I的值为

【答案】4百

【分析】首先根据定义得到归力-归门=4,再结合勾股定理求出卢‘IP・，L最后平方即可求解.

4化为标准方程为卜?।

【解析】双曲线丫

由定义知附卜附II—①,

又因为冏1M,由勾股定理可知,附f♦附（■（上）■32②

①式平方得附"附上2附|附|76③，

联立②③得附I冏H,则（冏卜附『•附卜冏卜2附|圈卜力讨〃48,

则冏I+附卜4百

故答案为：4百

21.已知双曲线c，‘尸■司1>°）的左、右焦点分别为"，过原点。的直线仃・八仔山与0交

于48两点.若四I•尸产I,且的面积为2,则。的焦距为

【答案】

【分析】由题意可知双曲线为等轴双曲线，四边形下从’3为矩形，设双曲线的半焦距为c,利用双曲线

的定义和勾股定理，及,"O歹的面积为2,求出a与C的值即可得双曲线的焦距.

【解析】双曲线「为等轴双曲线，设双曲线的半焦距为c,则小・为：

由双曲线的对■称性可知四边形尸&为平行四边形,

£AF.B^XFAF=:

因为1^1■但上1,所以四边形为矩形,

不妨设点A在C的右支上，ME,则

所以“+（为*巾）’■内•■叼二得加♦力力■方，

所以S\”如牛四卜:心"1）.*1得a.2,

又c.鼻一可,所以。的焦距为4JT.

故答案为：4g.

22.已知反比例函数।■’的图象。是以'轴与】‘轴为渐近线的等轴双曲线.设人、人为双曲线。的两个顶

点，点"（X"。）、ML是双曲线。上不同的两个动点.则直线必与"1r交点的轨迹》的方程

为一；

父+尸-2(x*±l)

【答案】

■工

【分析】设直线4M与4"交点为RtJ）,通过4"〃4尸和从N"从尸可构造等式，将’*代入等式

且进行消“。即可求解

【解析】由题意可得双曲线0的两个顶点、“用，4.L"）,

因为点“（2。）、加几小）是双曲线。上不同的两个动点，则及~±1且

设直线必与4W交点为尸（7）,屈〃不，且俞一|%-1/・1）,

所以，kT（FT）■（几7）（KTI①,

丽「旃且4W・（Jo+Lq.l）,4P.（x.lj.l）,

所以，（司+②，

1

rus__

因为点"（W。）在双曲线c上，则…X。，且3±1,

九=-J»——（KT）

将I代入①式化简可得入③，

1

将,1代入②式化简可得J.JIN.J④，

③式与④式相乘可得可得K、J：・：I,

因此，轨迹》的方程为…'叫""）.

故答案为：Um）

♦Bi隹06双曲线的应用

23.阿波罗尼斯（约公元前262年〜约公元前190年），古希腊著名数学家，主要著作有《圆锥曲线

论》、《论切触》等.尤其《圆锥曲线论》是一部经典巨著，代表了希腊几何的最高水平，此书集前人之

大成，进一步提出了许多新的性质.其中也包括圆锥曲线的光学性质，光线从双曲线的一个焦点发出，通

二上■[

过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点.已知双曲线C炉b：.（。>0,6>0）

的左、右焦点分别为界，石，其离心率”=/，从石发出的光线经过双曲线。的右支上一点E的反射，

反射光线为EP,若反射光线与入射光线垂直，则5m（）

2或i迈

A.6B.5C.5D.5

【答案】B

【分析】设四尸卜用，卜”利用双曲线的定义、勾股定理可得方程，解得进而得出结论.

【解析】设阳・TI即卜〃，同"，由题意知，…•勿，乱”,

所以wi：+；i：_2mm.4a：,c.岛,所以%：_2a：.叼［

乂/一〃・%,所以“：+5-8a：-0,解得

4"月—I%s

所以附|.而5.

故选:B.

24.在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点射出的光线，经过双曲

线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上.如图，已知双曲线的离心率为2,则

当入射光线尺P和反射光线互相垂直M（其中尸为入射点），8S/3月P的值为（）

【答案】D

2

y3Ja.

【分析】由题意可得c=%，。・&,不妨设双曲线的标准方程为"T",1跳卜冽，结合双曲线

的定义和勾股定理求出〃?，即可求解.

［解析］因为.・£■.，所以£・%,得b・4-a

X*—

不妨设双曲线的标准方程为设P用■吗则附卜,

所以）”+“”+?「=4,解得或（舍去）.

附|币-1

幽「4

所以

故选：D.

25.从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个

焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光

学装置由有公共焦点歹、石的椭圆厂与双曲线S构成，现一光线从左焦点月发出，依次经$与T反射,

又回到了点历时：秒；若将装置中的5去掉，如图②，此光线从点尸发出，经r两次反射后又回到

了点少，历时〃秒：若乙=”，则T的长轴长与S的实轴长之比为（）

c

D.31

【答案】c

【分析】设出椭圆方程和双曲线方程，由椭圆定义和双曲线定义得到相关方程，求出LF的周长和

-CD7r的周长，进而根据题意得到方程，求出°二为，得到答案.

二+J二普』

【解析】设椭圆方程为ab,双曲线方程为“b,

由图①可得阳♦附卜刈阳・"卜气

其中国-|8月卜|四故上面两式相减得|A3|+|即|+|凹卜力

由图②可得阳卜匹卜熙卜*

故|3同5|♦朋卜PE卜帖，

—然卜阳|.欧|_,4。

由题意得网+阿卜阳|，即％-X,

即%.羽■，,解得a-久，

—«2

故r的长轴长与s的实轴长之比为”.

故选：c

♦收里07解答综合题

26.求下列各曲线的标准方程

⑴帼物线的焦点是双曲线16r2-9尸的左顶点，求抛物线标准方程.

£>££■[

⑵已知椭圆元*片与圆“】：+U-»=g,双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与

圆M相切，求双曲线G的标准方程.

【答案】（1）1

⑵曰"

【分析】（1）根据双曲线的性质求出抛物线的焦点坐标，可得抛物线的标准方程.

（2）利用椭圆和双曲线的几何性质，得到双曲线的焦点，然后，列出0°的相关方程进行求解即可.

工上■]

t解析】（1）对双曲线：⑹-g「=144=916.其左顶点为（・工01

对抛物线，焦点为所以抛物线的标准方程为：丁.=一]女.

（2）椭圆。：5025’的焦点坐标为：（・10）,（5・0）

如图:

直线°。与圆“：”+（F”「=9相切，

k«tantanZQMC*—

设直线"的倾斜角为e,则’3.

c-5

b4f・5

amlH

所以对双曲线G焦点在X轴上，且

土—匕■]

所以双曲线G的标准方程为：V府.

C。>。b>0）

27.已知双曲线^的焦距为1°・9为双曲线的右焦点，且点尸到渐近线的距离为

4.

⑴求双曲线。的方程；

（2）若点4（k",点P为双曲线。左支上一点,求同+冏的最小值.

二_£■]

【答案】（1）916

（2）23

【分析】（1）利用点到直线的距离公式列方程得到力根据焦距得到C,然后根据4・5得到°即可

得到双曲线的方程；

（2）根据双曲线的定义将附卜阳的最小值转化为因‘附卜”的最小值，然后根据两点之间线段最

短求最小值即可.

【解析】（1）f一fI的一条渐近线的方程为即八•勺・0,

W--

点F（C,O）到h-中=0的距离妒寻，

又因为2c・1°,所以。・5,

工上.1

所以a'・c'-"・9,所以双曲线。的方程为916.

记双曲线C的左焦点为界，则叫■刈,

|四卜冏・WI+1现卜%・眼卜附1+6,

当只界/三点共线时，网.四I最小,且最小值为Ml，。

故网+附I的最小值为17+6・23.

28.已知在平面直角坐标系码♦中，双曲线。：7-户过’疝⑸和亿成I两点.

⑴求双曲线C的标准方程；

（2）若S,T为双曲线。上不关于坐标轴对称的两点，M为仃中点，且立为圆G的一条非直径的弦，记

GM斜率为工，0”斜率为"，证明：凡为定值.

二二1

【答案】⑴73

⑵证明见解析

【分析】（1）根据双曲线上两点，代入方程解方程组即可得解；

（2）利用"点差法”可得直线S1斜率与0M斜率关系，再由圆的性质可得斜率的关系，化简即可

得证.

143——竺.

【解析】（1）代入双曲线上两点得亍・齐・，丁丁=,

竺—6.竺

故丁一■后，解得这一，加・3,

故双曲线C标准方程为：7

（2）如图,

由题知7373,

■♦■)(*-/).Erjlr「打)

相减得

/

*12，一3

If7（另+川_0]7&

所以[2}

由S7为圆G的一条非直径的弦，M为ST中点得GM_L£T,故％•=

%=一7

因此々3为定值.

02模拟精练

一、单选题

1.（2024•福建福州•模拟预测）以『■士”为渐近线的双曲线可以是（）

【答案】B

【分析】利用渐近线的求法，直接求出各个选项的渐近线方程，即可求解.

--F'=lr=±—r

【解析】对于选项A,由3得渐近线方程为.3,所以选项A错误,

对于选项B,由9得渐近线方程为了二士九，所以选项B正确，

对于选项C,由丁、'得渐近线方程为所以选项C错误，

对于选项D,由‘一了"得渐近线方程为‘.土所以选项D错误，

故选：B.

C---r2=l(m＞0)总n

2.(2024・四川成都•模拟预测)双曲线”的一条渐近线为5T则其离心率为

().

A.3B.3C.3D.3

【答案】A

【分析】根据渐近线方程解得巾-3,再由离心率公式求解即可.

【解析】解：因为双曲线。的一条渐近线为A

JM-巴

即.W,

-亘＜0

所以渐近线的斜率为南，

b1W

即aF",

解得。-3,

.c.2273

所以双曲线的离心率0诟忑3.

故选：A.

入x2y2.

3.(2024•广西桂林•模拟预测)已知耳、耳是双曲线0：0：的左、.右焦点，过石作双曲线一条渐

近线的垂线，垂足为尸，且阳♦附「■勤，则双曲线。的离心率为

()

552J3叵

A.3B.4C.3D.3

【答案】D

【分析】先根据点到直线得距离公式求出户F-〃，在-PC弓和一P°F中，求出8叱呼,8工作,

利用余弦相反构造ab＜的齐次式，即可得解.

【解析】三c°),点石到渐近线八一平=°的距离为历不,即11

因为附＞附(•时，所以附卜人即卜气

•PQFcos"。耳=

在一产Q界中，由余弦定理得：2ac

因为/8£+/m=三所以8SNPO£=-C3ZR£

所以-=-（""-7也又护”3,所以/・5,

C：£r-、■=l（a>0）r—

4.（2024•湖南•三模）双曲线a的上焦点斗到双曲线一条渐近线的距离为•，则双曲

线两条渐近线的斜率之积为（）

A.-4B.4C.-2D.2

【答案】A

【分析】由点到直线的距离公式、焦点、潮近线以及u・a+l的关系即可求解.

【解析】由对称性，不妨设工"'",双曲线的渐近线是『・士或，

cc.a

―■I・

则由题意"K'2,解得a・2,故所求为-晨・7.

故选：A.

5.（2024•河南濮阳•模拟预测）在平面直角坐标系I"中，点尸的坐标为以线段/P为直径的圆

与圆°”+尸=3相切，则动点P的轨迹方程为（）

【答案】B

【分析】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解.

【解析】由题意可知：圆°r"=3的圆心为0（0.0）,半径.力，

设厂|一二山，以线段尸尸为直径的圆的圆心为M,半径为R,

若圆A/与圆O外切，则圈卜2加卜中*町附卜"

可得附卜附+

若圆M与圆。内切，则阳一阿卜邛-。

可得附卜附卜2K・2俨一）・2r・2";

综上所述：阀卜阿卜明

可知动点尸的轨迹是以几F为焦点的双曲线，且a・五・c'？，则“/'-a：・1,

x2，.1

所以动点夕的轨迹方程为HP-.

故选：B.

工上=1

6.（2024・陕西榆林•模拟预测）设耳，弓是双曲线°丁一了一的左，右焦点，过广的直段与F轴和0

的右支分别交于点P,2,若是正三角形，则第卜（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【分析】根据双曲线的定义及等边三角形的性质计算可得.

【解析】对于双曲线C7.彳,则a-2,

根据双曲线定义有3ITQE卜”=4.

又|。耳HPEIMPQI,I因HWI,故12门=」

故选：B

7.（2024.河南.二模）双曲线°不-户的左、右隹点分别为过£作

圆：（X-C）、『：=C：的切线，切点为A/,该切线交双曲线。的一条渐近线于点P,若心=MP,则双

曲线。的离心率为（）

理且

C.W

A.2B.?D.枢

【答案】B

【分析】如图，连接亭C则型IEM卜。，由|尸月卜N,得IF*上任，"F；月・30•，进

而可求得点F的坐标，结合点F在渐近线上求解即可.

阳的中点,

|PF|=|FF|=2C>|FMKJPF.・MF=&,4年产=30*

：J.01版SR3s。G,i-2后8B30*-C-2c,

..•点H%&）在渐近线'=G”上，

b底6

a2c2,

e=；=Ji^W

离心率aia・.

故选：B.

C-----=IH>O,d>0）

8.（2024•福建泉州•二模）双曲线，&,左、右顶点分别为A,B,O为坐标原点,

如

图，已知动直线/与双曲线。左、右两支分别交于P,Q两点，与其两条渐近线分别交于R,S两点，则

下列命题正确的是（）

A.存在直线/,使得即〃。S

B.当且仅当直线，平行于x釉时，IPRHS。

c.存在过（0/）的直线/,使得S-取到最大值

若直线/的方程为1

D.,则双曲线C的离心率为A

【答案】D

【分析】根据与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点可对A项判断；设直线/丫=4♦’分别与双

曲线联立，渐近线联立，分别求出和坐标，从而可对B、c项判断；根据而-33S,求出匕-G,从而

可对D项判断.

【解析】解：对于A项：与渐近线平行的直线不可能与双曲线有两个交点，故A项错误；

匕户.]

对于B项：设直线；J=Q+'，与双曲线联立丁丁,得：

U-门，1丁-,：小_9++"°|=0,其中.0,

Za'kt♦a2t2

设呐由根与系数关系得：…'二:尸"--b'f,

N

所以线段PQ中点

将直线7r■crL与渐近线a联立得点S坐标为

.■上Dt

将直线‘r=c,'与渐近线।.一£'联立得点R坐标为b+ak'b+8

arki02kli

M

(

所以线段RS中点b'-a<*b-rk'

所以线段吟线段5点重合.所以,对任意的印都产卜吗吧如故B项不正

确;

■_2。

对于C项：因知侬1为定值，当〃越来越接近渐近线I.一£'的斜率■了时，S•一趋向于无为,

所以“一会趋向于无穷，不可能有最大值，故c项错误;

y

对于D项：联立直线/与渐近线

联立直线，与渐近线'解得I-，*。由题可知,而,疯,

“「小况,号T3,解得“也所以故D项正确.

故选：D.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的三种方法：

①定义法：通过已知条件列出方程组，求得a。得值，根据离心率的定义求解离心率。：

②齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于0的一元二次方程求解;

③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.

二、多选题

qCC1C,：4-4=4

9.（2024•河南新乡•模拟预测）已知口力＞口，则双曲线ab与.tr夕有相同的

（）

A.焦点B.焦距C.离心率D.渐近线

【答案】CD

【分析】由双曲线的几何性质逐一判断即可；

【解析】对于选项A、B：i殳*4♦&,易知0的左、右焦点坐标分别为I"，。）和（C。），

/J：T,,

而c的标准方程为（勿丁（的，故其左、右焦点坐标分别为阳和仁⑪），

显然q和G的焦点和焦距均不框同，故A,B错误；

Cm±—x

对于选项C、D：C和G的离心率均为渐近线方程均为故c,D正确.

故选：CD.

；2

10.（2024•河北保定•三模）已知双曲线。：丁的左、右焦点分别为开，6,过点

K的

直线与C的左支相交于P,。两点，若％1空且4困卜3圈则（）

A.1国卜打B.京=-讶

c.C的离心率为3D.直线F0的斜率为±4

悟案】ACD

【分析】设pF卜二卜］’，结合双曲线的定义与勾股定理可以求得'J的值，即可判断出A,B选

项；再结合勾股定理可以求得ac的关系，再求出离心率；求直线的斜率，在直角三角形中，用斜率的定

义求正切值可以求得直线的斜率.

【解析】如图,由4闱一附I,可设阕•㈣附卜机

因为*可，所以网…

_24

设附If网卜儿则4m-K・2a,5m-j=2a-见解得m.丁，

2a4a

・丁丁・丁

则3,3,

所以园•包故A选项正确：QFXP,故B选项错误；

在J空中，由阳♦附1二阳，得力警"1则"/

后

从而0的离心率为3,故C选项正确.

tan/P”■展7

又'/口，所以直线即的斜率为±4,故D选项正确.

/r*

7方=*\">"的左、右焦点分别为昂久.过万的直线）

11.（2025•安徽•一模）已知双曲线

交双曲线C的右支于从、8两点，其中点A在第一象限.一盟区的内心为l乂4与1轴的交点为P,记

一亦尸，的内切圆’的半径为44明£的内切圆（的半径为口，则下列说法正确的有（）

也

A.若双曲线渐近线的夹角为60・，则双曲线的离心率为2或丁

B.若且闽W则双曲线的离心率为亍

C.若a=l,b=^,则Z-q的取值范围是卜色石I

5

D.若直线，的斜率为石则双曲线的离心率为了

【答案】ABD

【分析】根据基本量运算直接得出离心率判断A,结合双曲线定义判断B,结合内切圆性质判断C,结合定

义及余弦定理计算可得离心率判断D.

【解析】对于A,双曲线渐近线的夹角为6『，则卜"或者三率故"用"=2或

腐邛

对于B,设Mlf则上卜…%.

Jo

故『+（左-2<）**心）’，解得工■力.又/+（1却.=”"而=忆，故"T.

对于c,令圆4切4["尸，尸分别为点。。了,则IMHMU界DH耳TI4%QH中I,

5TI-I/7Hpi■见。HH恋卜”，令点丁（0・°）,而耳（Y,0）/C0）,

因此解得又】八FR,则点4横坐标为凡同理点4横坐标为巴

即直线H的方程为i=a,

设直线4B的倾斜角为“，那么"尸’=6,42=亍-6

在”人中「■—陶寻力…）士

在3月丁中，「一阐6,渐近线的斜率为土G.

60*<笫<120*.3『<6<60*.tan。€

因为月、B均在右支上，故

k用・1便卜为

故，尸卜04上,以工卜：!c-aZFF/-12Q・

，5

由余弦定理可知伊♦叫•住M3♦红、2c心-孙也1,故

故选:ABD.

【点睛】关键点点睛：1.根据几何性质确定儿上的横坐标都是巴2.设倾斜角为纪，将；一；表示为0的

三用函数.

三、填空题

"+1

12.（2024•贵州•模拟预测）我们把离心率为二的双曲线称为“黄金双曲线已知"黄金双曲

C:—£—二=依＞0）