2026届高三一轮复习讲义(教师基础版)数学第七章7.7向量法求空间角(一)

§7.7向量法求空间角(一)课标要求能用向量法解决异面直线所成角、直线与平面所成角的问题，并能描述解决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用.1.异面直线所成的角若异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别是u，v，则cosθ=|cos〈u，v〉|=|u2.直线与平面所成的角如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sinθ=|cos〈u，n〉|=u·n|1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角.(×)(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角.(×)(3)两异面直线所成角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2(4)直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sinθ=cos〈u，n〉.(×)2.若直线l的一个方向向量u=(1，0，1)，平面α的一个法向量n=(0，-1，1)，则l与α所成角的大小为()A.π6 B.C.π3或2π3 D.π答案A解析设l与α所成角为θ0≤因为直线l的一个方向向量u=(1，0，1)，平面α的一个法向量n=(0，-1，1)，所以sinθ=|cos〈u，n〉|=12×2因为0≤θ≤π2，所以θ=π3.已知直线l1的方向向量s1=(1，0，1)与直线l2的方向向量s2=(-1，2，-2)，则直线l1和l2所成的角为()A.π6 B.π4 C.π3答案B解析设直线l1与l2所成的角为θ，因为s1=(1，0，1)，s2=(-1，2，-2)，所以cosθ=|cos〈s1，s2〉|=|s1·s2又θ∈0，π2，所以θ4.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为.

答案30解析建立如图所示的空间直角坐标系.设BC=CA=CC1=2，则A(2，0，0)，B(0，2，0)，M(1，1，2)，N(1，0，2)，所以BM=(1，-1，2)，AN=(-1，0，2).设BM与AN所成的角为θ，则cosθ=|cos〈BM，AN〉|=|=36×5所以BM与AN所成角的余弦值为30101.斜线与平面所成的角是斜线与平面内直线所成角中的最小角.2.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sinθ=|cos〈a，n〉|.题型一异面直线所成的角例1(1)如图，圆锥的轴截面ABC为等边三角形，D为弧AB的中点，E，F分别为母线BC，AC的中点，则异面直线BF和DE所成角的大小为()A.π4 B.π3 C.π2答案C解析取AB的中点O，连接OC，OD，如图，以OD，OB，OC所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设AB=2，则B(0，1，0)，D(1，0，0)，C(0，0，3)，A(0，-1，0)，又E，F分别为母线BC，AC的中点，所以E0，12，则BF=0，-32，设异面直线BF和DE所成的角为θ，则cosθ=|cos〈BF，DE〉|=|BF·DE||BF||DE|=-3(2)(2024·吉安模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，G为线段B1D1上的动点，则异面直线AG与EF所成角的最大值为()A.π6 B.π4 C.π3答案C解析以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，G(a，a，2)，a∈[0，2]，∵E，F分别为AB，BC的中点，则A(2，0，0)，E(2，1，0)，F(1，2，0)，故AG=(a-2，a，2)，EF=(-1，1，0)，设两异面直线所成的角为α，其中α∈0，故cosα=|AG·EF||∵a∈[0，2]，则当a=0或a=2时，cosα取得最小值，最小值为12又∵y=cosα在0，则α的最大值为π3思维升华用向量法求异面直线所成的角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系.(2)用坐标表示异面直线的方向向量.(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值.(4)注意异面直线所成角的范围是0，π跟踪训练1(1)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值为()A.36 B.63 C.13答案A解析连接AC与BD交于点O，连接PO，由题意得AC⊥BD，且PO⊥平面ABCD，以O点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设四棱锥P-ABCD各棱长均为2，则AO=BO=CO=2，PO=2，可得A(2，0，0)，E0，22，22，C(-2，0，0)，P(0则AE=-2，22，22，PC=(-2设异面直线AE与PC所成的角为θ，则cosθ=|cos〈AE，PC〉|=|AE·PC||(2)如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2.E，F分别是BC，A1C1的中点.设D是线段B1C1上的(包括两个端点)动点，当直线BD与EF所成角的余弦值为104时，线段BD的长为.答案22解析如图，以E为坐标原点建立空间直角坐标系，则E(0，0，0)，F32，12，2，B(0设D(0，t，2)(-1≤t≤1)，则EF=32，12，2，BD=(0，设直线BD与EF所成的角为θ，所以cosθ=|EF·BD||即23t2+14t-37=0，解得t=1或t=-3723(舍去)所以|BD|=02+2题型二直线与平面所成的角例2(2024·沈阳模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面三角形ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，侧面AA1C1C是边长为2的菱形，且∠A1AC=60°.(1)求点A1到平面ABC的距离；(2)求直线A1B与平面AB1C所成角的余弦值.解(1)取AC的中点D，连接A1C，A1D，因为侧面AA1C1C为菱形，且∠A1AC=60°，所以△AA1C为等边三角形，所以A1D⊥AC.又平面ABC⊥平面AA1C1C，A1D⊂平面AA1C1C，平面AA1C1C∩平面ABC=AC，所以A1D⊥平面ABC，所以A1D的长即为点A1到平面ABC的距离，又A1D=AA1sin∠A1AC=AA1sin60°=3，故点A1到平面ABC的距离为3.(2)连接DB，因为AB=BC，所以DB⊥AC，则DB，DC，DA1两两垂直.以D为坐标原点，DB，DC，DA1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题可知D(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A(0，-1，0)，A1(0，0，3)，则A1B=(1，0，-3)，AB=(1，1，0由A1B1得B1(1，1，3).设平面AB1C的法向量为n=(x，y，z)，CB1=(1，0，3)，DC=(0，1，0则n取z=3，得n=(-3，0，3).设直线A1B与平面AB1C所成的角为θ，则sinθ=|cos〈A1B，n〉|=|A1B所以cosθ=1-sin2θ即直线A1B与平面AB1C所成角的余弦值为12思维升华利用空间向量求线面角的解题步骤跟踪训练2(2024·北京海淀区模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，直线AB∥CD，∠ABC=90°，∠DAB=∠PCB=60°，CD=1，AB=3，PC=23，平面PCB⊥平面ABCD，F为线段BC的中点，E为线段PF上一点.(1)证明：PF⊥AD；(2)求当EF为何值时，直线BE与平面PAD所成角的正弦值为74(1)证明过点D作DM⊥AB，垂足为M，由题意知，四边形BCDM为矩形，因为∠DAB=60°，AB=3，CD=1，可得AM=2，BC=DM=AMtan60°=23，由PC=BC=23，∠PCB=60°，则△PBC为等边三角形，因为F为线段BC的中点，则PF⊥BC，又因为平面PCB⊥平面ABCD，平面PCB∩平面ABCD=BC，PF⊂平面PCB，可得PF⊥平面ABCD，又AD⊂平面ABCD，所以PF⊥AD.(2)解取线段AD的中点N，连接NF，则NF∥AB，NF=2，又因为AB⊥BC，可知NF⊥BC，以F为坐标原点，FN，FB，FP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(3，3，0)，D(1，-3，0)，P(0，0，3)，B(0，3，0)，因为E为线段PF上一点，设E(0，0，a)，a∈[0，3]，可得DA=(2，23，0)，DP=(-1，3，3)，BE=(0，-3，a)，设平面PAD的法向量为n=(x，y，z)，则n令x=-3，则y=3，z=-2，可得n=(-3，3，-2)，由题意可得，|cos〈n，BE〉|=|n·BE||整理得a2-4a+4=0，解得a=2，所以当EF=2时，直线BE与平面PAD所成角的正弦值为74课时精练(分值：80分)一、单项选择题(每小题5分，共20分)1.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，则直线l与平面α的所成的角等于()A.40° B.50°C.130° D.以上均错答案A解析因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于130°，所以直线l与平面α的所成的角等于130°-90°=40°.2.(2024·呼和浩特模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB，则直线PC与平面PBD所成角的余弦值为()A.223 B.33 C.1答案A解析如图，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系.设AB=1，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，所以PB=(1，0，-1)，PD=(0，1，-1)，PC=(1，1，-1)，设平面PBD的法向量为n=(x，y，z)，则PB令x=1，则y=z=1，所以n=(1，1，1)，设直线PC与平面PBD所成的角为θ，sinθ=|cos〈PC，n〉|=|PC·n||又θ∈0，π2，所以cosθ3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，Q为上底面A1B1C1D1所在平面内的动点，当直线DQ与DA1所成的角为45°时，点Q的轨迹为()A.圆 B.直线 C.抛物线 D.椭圆答案C解析以点D为原点，DA，DC，DD1的方向分别为x，y，设正方体的棱长为1，则D(0，0，0)，A1(1，0，1)，设Q(x，y，1)，可得DQ=(x，y，1)，DA1=(1，0，1因为直线DQ与DA1所成的角为45°，则cos45°=|DQ·DA1||DQ||D所以点Q的轨迹为抛物线.4.如图，在四棱锥A-BCDE中，DE∥CB，BE⊥平面ABC，BE=3，AB=CB=AC=2DE=2，则异面直线DC与AE所成角的余弦值为()A.13013 B.C.1313 D.答案A解析如图所示，取BC的中点F，连接AF，DF，可得DF∥BE，因为BE⊥平面ABC，所以DF⊥平面ABC，又由AB=CB=AC且F为BC的中点，所以AF⊥BC，以F为坐标原点，AF，BF，DF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则A(3，0，0)，E(0，1，3)，C(0，-1，0)，D(0，0，3)，故CD=(0，1，3)，AE=(-3，1，3)，则cos〈CD，AE〉=CD·AE|CD||二、多项选择题(每小题6分，共12分)5.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0，0)，B(1，2，-2)，C(0，0，-2)，则()A.OC·AB=4B.异面直线OC与AB所成角等于πC.平面AOC的一个法向量可以是(0，1，0)D.直线OB与平面AOC所成角的正弦值为2答案ACD解析∵A(1，0，0)，B(1，2，-2)，C(0，0，-2)，OC=(0，0，-2)，AB=(0，2，-2)，∴OC·AB=(-2)×(-2)=4，故A正确；设OC与AB所成的角为θ，则cosθ=|OC·AB||且θ∈0，π2，∴θ=π设平面AOC的法向量为n=(x，y，z)，∵OA=(1，0，0)，OC=(0，0，-2)，∴OA·n=0,OC∴n=(0，1，0)，故C正确；OB=(1，2，-2)，设直线OB与平面AOC所成的角为θ，则sinθ=|OB·n||OB||n6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，M，N分别为PB，CD的中点，E为棱AD上一动点.若∠MEN为钝角，则AE的长可能为()A.13 B.12 C.1 D答案AB解析由题意得△ABC为等边三角形，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，F为BC的中点，则P(0，0，2)，F(3，0，0)，B(3，-1，0)，C(3，1，0)，D(0，2，0)，∴M32，-1令AE=t(0≤t≤2)，∴E(0，t，0)，∴EM=32，-12依题意∠MEN=〈EM，EN〉为钝角，∴EM·EN=34+-1解得0<t<1.三、填空题(每小题5分，共10分)7.(2024·福州模拟)若异面直线l1，l2的方向向量分别是a=(0，-1，-2)，b=(4，0，2)，则异面直线l1与l2所成角的余弦值为.

答案2解析设l1与l2所成的角为θ，因为a=(0，-1，-2)，b=(4，0，2)，所以cosθ=|cos〈a，b〉|=|a·b||8.(2025·张家口模拟)在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(x0，y0，z0)且法向量为m=(A，B，C)的平面方程为A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0，经过点P(x0，y0，z0)且一个方向向量为n=(μ，v，ω)(μvω≠0)的直线l的方程为x-x0μ=y-y0v=z-z0ω，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为2x+z-7=0，经过点(0，0，0)的直线l的方程为x答案3解析由题设知，平面α的法向量m=(2，0，1)，直线l的方向向量n=(3，2，-3)，且平面α与直线l相交，所以直线l与平面α所成角的正弦值为|cos〈m，n〉|=|m·n||四、解答题(共28分)9.(13分)(2024·贵阳模拟)如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，BC=4，A1C1=B1C1=CC1=2.(1)求异面直线A1B与B1C1所成角的余弦值；(6分)(2)求直线A1B与平面A1B1C所成角的正弦值.(7分)解(1)依题意，以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在三棱台ABC-A1B1C1中，因为A1C1=B1C1，所以AC=BC=4，所以C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，4，0)，因为A1C1=B1C1=CC1=2，所以A1(2，0，2)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2)，所以A1B=(-2，4，-2)，B1C1=(0，所以cos〈A1B，B1C1〉=A设异面直线A1B与B1C1所成的角为α，则α∈0，π2，所以cosα=|cos〈A1B，即异面直线A1B与B1C1所成角的余弦值是63(2)设直线A1B与平面A1B1C所成的角为β，则β∈0，设平面A1B1C的法向量为n=(x，y，z)，A1B1=(-2，2，0)，A1C=(-2，所以n令x=1，则y=1，z=-1，所以n=(1，1，-1)，所以sinβ=|cos〈n，A1B〉|=|n·A即直线A1B与平面A1BC所成角的正弦值是2310.(15分)(2025·咸阳模拟)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，E为BB1的中点，直线B1C1与平面AD1E交于点F.(1)证明：F为B1C1的中点；(6分)(2)若直线AC与平面AD1E所成的角为π3，求AA1的长.(9分(1)证明如图，连接BC1，FE，FD1，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，由AB与C1D1平行且相等，得四边形ABC1D1是平行四边形，所以BC1∥AD1，又BC1⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E，所以BC1∥平面AD1E，又BC1⊂平面BCC1B1，平面AD1E∩平面BCC1B1=EF，所以BC1∥EF，因为E是BB1的中点，所以F是B1C1的中点.(2)解以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，设AA1=m(m>0)，则A(1，0，0)，C(0，1，0)，D