（人教A版）选择性必修一高二数学上册同步讲义+巩固练习2.1.1倾斜角与斜率（原卷版）

2.1.1倾斜角与斜率课程标准核心素养1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素．2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式.数学抽象直观想象知识点1直线的倾斜角1．倾斜角的定义当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．如图所示，直线l的倾斜角是∠APx，直线l′的倾斜角是∠BPx.2．倾斜角的范围直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，并规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°.注：①每一条直线都有一个确定的倾斜角②已知直线上一点和该直线的倾斜角，可以唯一确定该直线【即学即练1】如图，直线l的倾斜角为()A．60° B．120°C．30° D．150°【即学即练2】若直线l经过点M(2,3)，N(4,3)，则直线l的倾斜角为()A．0° B．30°C．60° D．90°【即学即练3】若直线l经过原点和(－1,1)，则它的倾斜角是()A．45° B．135°C．45°或135° D．－45°【即学即练4】【多选】下列说法中，正确的是()A．直线的倾斜角为α，且tanα＞0，则α为锐角B．直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为αC．若直线的倾斜角为α，则sinα>0D．任意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα知识点2直线的斜率1．斜率的定义一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．常用小写字母k表示，即k＝tanα.2．斜率公式经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).当x1＝x2时，直线P1P2没有斜率．注：①若直线l经过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，则直线P1P2的方向向量eq\o(P1P2,\s\up7(→))的坐标为(x2－x1，y2－y1)，也可表示为(1，k)，其中k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).②倾斜角不是的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同；当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角，斜率不存在；当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴重合或者平行③斜率公式与两点坐标的顺序无关，横纵坐标的次序可以同时调换【即学即练5】已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\r(3)C．1 D.eq\f(\r(2),2)【即学即练6】直线经过点P(3,2)，Q(－3,3)，则k＝________.直线PQ的倾斜角为________角(填“钝”或“锐”)．知识点3斜率与倾斜角的联系倾斜角（范围）斜率（范围）不存在【即学即练7】若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是()A．45°，1 B．135°，－1C．90°，不存在 D．180°，不存在【即学即练8】如图，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2考点一求直线的倾斜角解题方略：求直线的倾斜角的方法及两点注意(1)方法：结合图形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)两点注意：①当直线与x轴平行或重合时，倾斜角为0°，当直线与x轴垂直时，倾斜角为90°.②注意直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°.【例1-1】已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是()A．0°≤α＜90° B．90°≤α＜180°C．90°＜α＜180° D．0°＜α＜180°【例1-2】设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转45°，得到直线l1，则直线l1的倾斜角为()A．α＋45° B．α－135°C．135°－α D．α＋45°或α－135°考点二求直线的斜率解题方略：1．利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项(1)运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；(2)斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．2．在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记.倾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－1－eq\f(\r(3),3)【例2-1】经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α.(1)A(2,3)，B(4,5)；(2)C(－2,3)，D(2，－1)；(3)P(－3,1)，Q(－3,10)．变式1：过点P(－2，m)，Q(m,4)两点的直线的方向向量为(1,2)，则m的值为________．变式2：已知A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，求m的值．考点三斜率与倾斜角的关系解题方略：1．由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tanα(α≠90°)解决．2．由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x1≠x2)求解．由倾斜角求斜率值（范围）【例3-1】若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π，π))，则k的取值范围是________．变式1：若经过两点A(2,1)，B(1，m2)的直线l的倾斜角为锐角，则m的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－1，＋∞)C．(－1,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)变式2：若直线的倾斜角为，且，则直线的斜率为（

）A．或 B．或 C． D．由斜率求倾斜角的值（范围）【例3-2】已知a，b，c是两两不等的实数，则经过点P(b，b＋c)和点Q(a，c＋a)的直线的倾斜角为()A．30° B．45°C．60° D．135°【例3-3】若直线的斜率，求直线倾斜角的范围.变式1：设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．变式2：若直线经过，,两点，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．考点四斜率公式的应用解题方略：利用直线斜率处理共线问题【例4-1】已知a>0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________.变式1：若A(a，0)，B(0，b)，C(，)三点共线，则________.【例4-2】若三点A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能构成三角形，则实数k的取值范围为________．斜率公式的几何意义的应用【例4-3】点在函数的图象上，当时，的取值范围是（

）A． B．C． D．变式1：若点P(x，y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则eq\f(y－2,x－1)的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))考点五直线与线段的相交关系求斜率的范围解题方略：涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．【例5-1】已知点A(2,1)，B(－2,2)，若直线l过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，－\f(1,5)))且总与线段AB有交点，求直线l的斜率k的取值范围．变式1：经过点作直线l，若直线l与连接，的线段总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（

）A． B． C． D．变式2：已知点，若直线与线段没有公共点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．题组A基础过关练1、【多选】下列说法中，正确的是（

）A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为B．一条直线的倾斜角为C．若直线的倾斜角为，则D．任意直线都有倾斜角，且时，斜率为2、已知点A（2，4），B（3，6），则直线AB的斜率为（

）A． B． C．2 D．-23、过点的直线的倾斜角为（

）A． B． C．1 D．4、已知直线l经过点A(1,2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是()A．(－1,0] B．[0,1]C．[1,2] D．[0,2]5、已知直线的斜率为，倾斜角为，若，则的取值范围为（

）．A． B．C． D．6、若，，三点共线，则实数的值为A．2 B． C． D．7、已知直线的倾斜角的范围是，则此直线的斜率k的取值范围是（

）A． B．C． D．8、若直线经过，,两点，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．9、已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（

）A．B．或C．或D．或题组B能力提升练10、设，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（

）A．或 B．C． D．或11、直线l过点，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是（

）A． B． C． D．12、【多选】已知两点，，直线l过点且与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（

）A． B．C． D．13、已知过点，的直线l的倾斜角为，若，则实数m的取值范围为______.14、已知A