北师大版九年级数学上册 第三章《概率的进一步认识》单元检测卷（带答案）

北师大版九年级数学上册《第三章概率的进一步认识》单元检测卷带

答案解析

学校:班级：姓名：考号：

一、单选题

1.已知酸和碱能发生中和反应，现从氢氧化钠溶液，澄清石灰水，稀盐酸，稀硫酸四种溶

液中随机抽取2种，则抽到的2个溶液能发生中和反应的概率是（）

A•三B*|C.；D.|

2.经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左或向右转.如果这三种可能性大小相同，

则三辆汽车经过这个十字路口时两辆车向右转，一辆车向左转的概率是（）

A.—B.-C.-D.—

279927

3.不透明的袋子中有2个红色小球和2个黄色小球，小球除颜色外无其他差别.从中随机

摸取2个小球，则这2个小球颜色相同的概率是（）

a-Ib-Ic-1D.：

4.一只小鸟自由自在地在空中飞行，然后随意落在图中的某个方格内（每个方格除颜色外

完全一样），小鸟停在阴影方格内的概率是（）

5.电脑上随机推送难、中、易三道数学题（三题不同时呈现），要求做题人选其中的一题解

答.明明直接做电脑推荐的第一道题，不再点击第二、三题：慧慧不做电脑推送的第一道题，

简单思考后点击第二题，发现第二题比第一题容易，就做第二题，否则点击第三题并做第三

题.则下列判断正确的是（）

A.明明做到容易题的概率大B.慧慧做到容易题的概率大

C.他俩做到容易题的概率一样大D.他俩至少有1人做到容易题的概率为:

6.在学习“用频率估计概率”这节课时，教材“读一读”环节介绍了“估计6个人中有2个人生

肖相同的概率”的模拟试验，课后某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中

有2个人生肖相同的概率'，他们将试验中获得的数据记录如下：

试验次数100200500100020003000

“有2个人生肖相同”的

2453126259522780

次数

“有2个人生肖相同”的

0.240.2650.2520.2590.2610.26

频率

通过试验，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率（精确到0.01）大约是（）

A.0.24B.（）.25C.0.26D.0.27

7.笑笑和妈妈买了5包核桃牛奶和〃包红枣牛奶，这些牛奶外观除了包装袋上的字不同外，

其他均相同，现将它们装在一个不透明的盒子里，笑笑每次从盒子中随机摸出一袋牛奶，记

下口味后放回盒子中搅匀，通过大量重复试验后发现，摸到核桃牛奶的频率稳定于0.2,则

估计〃的值为（）

A.25B.20C.15D.10

8.五•期间，新上映的•部动漫电影深受中学生的喜爱，爸爸购得此电影票•张，姐姐、

哥哥和妹妹三人都想去看，于是爸爸抛出两枚均匀的色子，将两枚色子点数相加后除以3,

规定：当正好整除时姐姐去，当余数是1时哥哥去，当余数是2时妹妹去.这个游戏（）

A.是公平的B.有利于姐姐C.有利于哥哥D.有利于妹妹

9.A,B,C,。四名小玳友围坐在•张圆桌旁玩游戏，A先坐在如图所示的座位上，其他

三人随机坐在其余的三个空位置上，则C不坐在8的对面的概率为（）

10.某地区林业局要考查一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植的成活情况进行了

调查统计,并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息，下列说法不正确的是（）

八成活率

0.9--------------------------------------

0.8----------------~.----------------

0.7--------------------------------------

013:二移植嬴/千棵

A.如果该地区计划成活12万棵这种树苗，那么需移植这种树苗约15万棵

B.这种树苗成活的频率稳定在0.8,成活概率的估计值为0.8

C.随着移植树木的增加，这种树苗的成活率会逐渐稳定在某一个数附近

D.若该地区已经移植这种树苗3万棵，则这种树苗大约成活2.4x10“万棵

二、填空题

H.要从甲、乙、丙、丁4人中抽签选出两人参加素质检测，恰好抽到甲、乙两人的可能性

是________

12.某生物实验室有两个培养箱\用于研究豌豆的花色.已知培养箱A中有4株豌豆苗，其

中3株开紫花，I株开白花；培养箱8中也有4株豌豆苗，其中2株开紫花，2株开白花.现

从两个培养箱中分别随机抽取一株豌豆苗进行观察，抽到的两株豌豆苗都开紫花的概率

为.

13.如图2,小靓用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形A8CO内，装饰图中的三角形顶点

E,r分别在边AB,4c上，三角形①的边G。在边40上，若在矩形区域内随机取点，

则这个点落在空白部分的概率.

14.在一个不透明的布袋中装有60个门球和若干个黑球，除颜色外其他都相同，小红每次

摸出一个球并放回，通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，则布袋中黑球

的个数可能有个.

15.2024年11月，中国苹果产业协会和国家苹果产业技术体系最新联合发布，截至目前,

面不完整的条形统计图和扇形统计图.

学生对国产AI大模型DeepSeek应用场景的了解情况

请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是；估计全校非常了解国产加大模型

DeepSeek的应用场景的有人；

（2）补全条形统计图；

（3）学校准备从组内的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两名学生参加国产4大模型

。“印Se以的应用场景的深度拓展暑期夏令营，请用列表或画树状图的方法求甲和乙两名学

生同时被选中的概率.

18.期中考试结束后，九（1）班数学老师将本班所有同学的数学成绩（得分均为整数）进

行整理，并分别绘制成扇形统计图和不完整的频数分布直方图.

九（1）班数学期中成绩扇形统计图九（D班数学期中成绩频数分布直方图

请根据扇形统计图和不完整的频数分布直方图提供的信息，解答下列问题：

（I）九（1）班有学生___________人，并补全频数分布直方图：

（2）九（1）班欢欢同学的数学期中成绩为88分，请判断她的数学期中成绩能否进入本班数

学期中成绩的前40%,并说明理由；

（3）九（1）班数学期中成绩并列最高分有4人，并且是两名男生和两名女生，若从他们4人

中随机选两人参加学校组织的数学竞赛活动，利用画树状图或列表的方法求恰好选中一名男

生和一名女生参赛的概率.

19.贵州拥有独特的高原山地气候，孕育了丰富多样且品质优异的水果资源.为保障水果线

上销售渠道更通畅，某水果种植户计划从甲、乙两家快递公司中选择一家合作.因此，该种

植户收集了10家水果种植户对两家公司在配送速度和服务质量方面的评价，并整理、描述、

分析如下：

配送速度和服务质量得分统计表：

服务质量得

配送速度得分

分

项目统计快递公

司

平均中位平均方

数数数差

甲7.8分7.5分7分

乙m分8分7分

乙快递公司配送速度甲、乙快递公司配送服务

得分扇形统计图质量得分折线统计图

⑵综合上表中的统计量，你认为该水果种植户应选择家快递公司；

⑶在甲公司配送服务质最获得7分的4位快递员（3名男生，1名女生）中，抽取2人进行

配送速度调查，请用列表或者画树状图的方法计算恰好抽到两名男生的概率.

20.周末，李老师领着小明和小刚兄弟俩去商场购物，发现该商场正在进行转盘抽奖活动.规

则是：如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成1（）个扇形），一次购物满500元的顾

客可获得一次转转盘抽奖的机会.转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指向

分界线时重转，直到指向某•扇形为止）.

(1)转动一次转盘，若指针落在扇形区域，分别求出获得20元和80元奖券的概率；

(2)为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为:，其余奖券获奖概率不变，则

需要将多少个黄色区域改为红色？

(3)李老师购买了600元的商品获得了一次转转盘的机会，俩兄弟都想抽奖，于是李老师制

作了如图所示一个可自由转动的转盘，被平均分成5等份，分别涂上红、黄、绿三种颜色,

请你帮李老师设计一个公平的游戏规则，使俩兄弟获胜一方参与抽奖.

参考答案与解析

题号12345678910

答案DBBABCBADD

1.D

【分析】本题主要考查概率，熟练掌握概率的求法是解题的关键：设氢氧化钠溶液，澄清石

灰水，稀盐酸,稀硫酸四种溶液分别为A、B、。、D,列表可得出所有等可能的结果数以及

会发生中和反应的结果数，再利用概率公式可得出答案.

【详解】解：设氢氯化钠溶液，澄清石灰水，稀盐酸，稀硫酸四种溶液分别为人、B、C、D.

根据题意可得列表如下：

ABcD

A(日4(C,A)

B(A为(C5)(D8)

C(AC)（民。）(M)

D（A。）(&D)(C0

共有12种等可能的结果，其中会发生中和反应的结果有8种，所以会发生中和反应的概率

为｝

故选：D

2.B

【分析】本题考查了树状图法求概率，熟练掌握该知识点是解题的关键.先画树状图，共有

27种等可能的结果，其中两辆车向右转，一辆车向左转的结果有3种，再由概率公式求解

即可.

【详解】解：画树状图如下：

2左直右左直右左直右

/NZ\/l\z4\/l\^/NZ\Z\

3左直右左直右左直右左直右左直右左直右左直右左直右左直右

共有27种等可能的结果，其中两辆车向右转，一辆车向左转的结果有3种，

，两辆车向右转，一辆车向左转的概率是段=g,

故答案为：B.

3.B

【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所

有等可能结果表示出来是关键.

运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可.

【详解】解：用列表法把所有等可能结果表示如下，

红1红2黄1黄2

红1（红1,红2）（红1,黄1）（红1,黄2）

红2（红2,红1）（红2,黄1）（红2,黄2）

黄1（黄1,红1）（黄1,红2）（黄1，黄2）

黄2（黄2,红1）（黄2,红2）（黄2,黄1）

共有12种等可能结果，其中颜色相同的结果有4种，

••・颜色相同的概率是H，

故选：B.

4.A

【分析】本题主要考查了几何概率，用到的知识点为；概率=相应的面枳与总面枳之比，掌

握几何概率的公式是解决问题的关键.

确定阴影方格的面积在整个方格中占的比例，根据这个比例即可求出小鸟停在阴影方格中的

概率.

【详解】解：图上共有4个方格，阴影方格为I个，

・•・小鸟停在阴影方格内的概率是9.

4

故选：A.

5.B

【分析】本题主要考查了列举法求概率，先列举出三道题的推送顺序的结果，再根据概率计

算公式分别求出两人做容易题的概率，以及他俩至少有1人做容易题的概率，据此可得答案.

【详解】解：•・•三道题的推送顺序的结果为：（难、中、易），（难、易、中），（中、难、易）,

（中、易、难），（易、难、中），（易、中、难），

・••明明做到容易题有2种结果，慧慧做到容易题的结果有3种

2I31

・•・明明做到容易题的概率尸=：二:,慧慧做到容易题的概率P=z=

6362

•・•明明和慧慧两人中，至少有一人做到容易题的结果有5种，

，他俩至少有1人做到容易题的概率P=

故选B.

6.C

【分析】本题主要考查了利用频率估计概率，在大量重复试验中，如果事件发生的频率会稳

定在某个常数附近，那么这个常数就是事件发生的概率成为解题的关键.

根据表格中的数据即可解答.

【详解】解：通过图表给出的数据得出，该小组估计“6个人中有2个人生肖相同”的概率大

约是026.

故选C.

7.B

【分析】本题考查利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发牛的频

率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解.本题利用了用大量试验得到

的频率可以估计事件的概率，关键是根据红球的频率得到相应的等量关系.

【详解】解：由题意可得；3=0.2,

解得：〃=20,

经检验，，2=20为原方程的解且符合题意，

••・估计〃的值为20.

故选：B.

8.A

【分析】本题主要考查了游戏公平的判断，判断游戏的公平性，就要计算每个事件的概率，

概率相等就公平，否则就不公平.首先根据题意列出表格，然后根据表格求出每个事件的概

率，比较大小，即可求得游戏是否公平.根据列表法解答即可.

【详解】解：同时掷两枚筛子，其点数之和的结果如下表所示：

第

123456

二枚第i枚

1234567

2345678

3456789

4567891()

567891011

6789101112

由表格可知，共有36种等可能结果，其中点数之和正好能被3整除的有12种，点数之和除

以3后余数是1的有12种，点数之和除以3后余数是2的有12种，他们获得电影票的概率

都是1龙2，即为I；，所以这个游戏是公平的，

363

故选：A.

9.D

【分析】本题考查列举法求概率，列举出所有可能出现的结果，确定满足条件的结果数，利

用概率公式进行计算即可.

【详解】解：根据题意可知，从人开始，逆时针排列所有可能的结果如下：ABCD,ABDC,

ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,其中。不坐在8的对面的结果有4种，分别为45CD,

ACBD,ADBC,ADCB,

49

・•・C不坐在B的对面的概率为-=

63

故选D

10.D

【分析】本题考查了利用频率估计概率.由于树苗数量巨大，故其成活的概率与频率可认为

近似相等.用到的知识点为：总体数目=部分数目+相应频率.部分的具体数目=总体数目

x相应频率.根据表格中的数据和概率的含义，可以估计出树苗成活的概率，再根据概率公

式进行计算，即可得出答案.

【详解，解：A、如果该地区计划成活12万棵这种树苗，那么需移植这种树苗约：12・0.8=15

万棵，正确，不符合题意；

B、这种树苗成活的频率稳定在0.8,成活概率的估计值为0.8,正确，不符合题意；

C、随着移植树木的增加，这种树苗的成活率会逐渐稳定在某一个数附近，正确，不符合题

意；

D、若该地区已经移植这种树苗3万棵，则这种树苗大约成活：30000x0.8=2.4万棵，故本选

项错误，符合题意；

故选：D.

【分析】本题考查了列举法求概率，列举出所有组合，再由概率公式求解即可.

【详解】解：4人中选2人，基本事件有甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种,

抽中甲乙只是其中的一种，所以抽中甲乙的概率：7-

6

故答案为：--.

0

1?-

.8

【分析】通过列表的方式，列出从两个培养箱中抽取豌豆苗的所有可能结果，再找出两株都

开紫花的结果数量，最后根据概率公式计算概率.本题主要考查了用列表法求概率，熟练学

握列表法列举所有可能结果以及概率公式（符合条件的结果数所有可能的结果数

p;符合条件的结果数）

是解题的关键.

所有可能的结果数

【详解】解：培养箱A中豌豆苗情况：3株紫花（记为A、A?、A,）,1株白花（记为人）；

培养箱3中豌豆苗情况：2株紫花（记为4、约），2株白花（记为易、凡）.

列表如下:

444

（A，耳）(4闻(A闻(4闯

当(4旦)（人e）(4,即（&出）

4(44)(4,4)（4,四）（4，员）

（4片）（4出）(A闻(4也)

总共有16种等可能的结果.

其中两株都开紫花的结果有6利即（4,4）、（4，线）、（4，片）、（44）、（4，4）、（4,82）.

・••抽到的两株豌豆苗都开紫花的概率。==：.

168

3

故答案为：

O

13.2-V2/-V2+2

【分析】设七巧板的边长为x,根据正方形的性质、矩形的性质分别表示出A8,BC,进

一步求出落在空白部分的概率.

本题考查了几何概率，矩形的性质，七巧板，关键是熟悉七巧板的特征，表示出A4,BC的

长.

【详解】解：设七巧板的边长为x,则=+=+x=

2222

・••矩形区域的面积A8x8C=2x[；x+q]=(l+夜卜二

・•.空白部分的面积(1+夜)/-^二必,

yflx2c[T

・•・这个点落在空白部分的概率为小西了=2-j2.

故答案为：2-3.

14.90

【分析】本题主要考查了已知概率求数量，用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定

值即为概率值，则摸到黑球的概率在0.6左右，设布袋中黑球的个数为m个，则—^—=0.6,

60+/«

解方程即可得到答案.

【详解】解：•・•通过多次试验后发现，摸到黑球的频率稳定在0.6左右，

・•・摸到黑球的概率在().6左右，

设布袋中黑球的个数为〃?个，则二。6，

60+〃？

解得〃?二90,

经检验，加=9()是原方程的解，且符合题意，

・•・布袋中黑球的个数可能有90个，

故答案为：90.

15.91%

【分析】根据众数解答即可.

本题考查了频数估计概率，众数，熟练掌握众数，频率估计概率是解题的关键.

【详解】解：根据题意，得频率的众数是91%,概率稳定在91%,

故新品种苹果树成活的概率为91%.

故答案为：91%.

16.(1)400人，见解析

（2）估计认为导致部分岗位被替代的人数有800人

（3）甲、乙两人选择同一看法的概率为:

4

【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，样本估计总体，列表法或树状图

求概率等知识，掌握这些知识是解题的关键.

（1）根据C的人数及其占比，可求得调查的总人数，从而求得D的人数，补全条形统计图；

（2）根据B的占比与2000的乘枳，即可求解；

（3）列表，从表中可得到所有可能的情况，两人选择同一看法的可能情况，由概率公式即

可求解.

【详解】（1）解：抽样调查的总人数为：80-20%=400（人）；

D的人数为：4（X）-120-160-80=40（人），

补全的条形统计图如下：

⑵解：-x2000=80D（A）;

答：调查总人数为2000人，估计认为导致部分岗位被替代的人数有800人;

（3）解：列表如下:

ABCD

AAABACADA

BABBBCBDB

CACBCCCDC

DADBDCDDD

由表知，共有16种等可能情况，其中甲、乙两人看法相同的情况有4种,

则他们选择同一看法的概率为94=4I；

164

答：甲、乙两人选择同一看法的概率为；.

4

17.（1）90°,1200

（2）见解析

理

【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中4的百分比可得调查的人数，用360。

乘以C组的人数所占的百分比，即可得扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数；根据用

样本估计总体，用3000乘以扇形统计图中4的百分比，即可得出答案；

（2）求出B组和D组的人数，补全条形统计图即可；

（3）列表可得出所有等可能的结果数以及甲和乙两名学生同时被选中的结果数，再利用概

率公式可得出答案.

【详解】（1）解：由题意得，调查的人数为24・40%=60（人），

••・扇形统计图中C所对应扇形的圆心角度数是360°xs=90。.

60

估计全校非常了解国产4大模型。eepSe或的应用场景的有3000x40%=1200（人）.

故答案为：90°；1200.

（2）。组的人数为60x5%=3（人），

B组的人数为60-24-15-3=18（人），

补全条形统计图如图所示.

学生对国产AI大模型

DccpScek应用场景的了解情况

（3）列表如下:

甲乙丙T

甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）

乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）

丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）

T（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）

共有12种等可能的结果，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数有：（甲，乙），（乙，

甲），共2种，

..•甲和乙两名学生同时被选中的概率为2

【点睛】本题考杳列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读

懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键.

18.（1）50

（2）能，理由见解析

（3）|

【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布直方图、树状图法和列表法求概率，熟练掌握以

上知识点是解题的关键.

（1）结合扇形统计图和直方图对应数据计算即可；

（2）找到88分所在的范闱，进而进行判断：

（3）画出树状图找到所有情况以及符合条件的情况，即可求解.

【详解】（1）解：由图知,89.5-99.5分的人数占24%,有8+4=12人，

・••九（1）班一共有学生12・24%=5（）人；

••・69.5—79.5分的人数为：50x30%=15人，

由直方图知74.5-79.5分有8人，

，69.5-74.5分有15-8=7人；

79.5-84.5^^50-2-3-7-8-8-8-4=10A；

补全频数分布直方图如图所示：

九（1）班数学期中成绩频数分布直方图

2伙数

1

010

9

888

77

6

5

4

3

2

1

0

59.5.57，.57，.5£.5必5必59匕5不数

（2）解：能，理由如下:

V50x0.4=20（人），由频数分布直方图可知：数学期中成绩84.5-99.5分的学生刚好为20

人,

，欢欢同学的数学期中成绩88分能进入本班数学期中成绩的前40%；

（3）解：画树状图如下：

开始

男I男2女I女2

/l\/1\/N/1\

名女I女2男I女I女2男I男2女2男I男2女

由树状图可知：一共有12种等可能结果，其中恰好选中一名男生和一名女生有8种结果，

Q7

则P（恰好选中一名男生和一名女生参赛）=/=;.

19.（1）8,72°

⑵甲

呜

【分析】本题考查了列表法与