2025年大学《数理基础科学》专业题库- 统计贝叶斯方法概述

2025年大学《数理基础科学》专业题库——统计贝叶斯方法概述考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、填空题1.在贝叶斯统计中，参数被视为具有__________分布的随机变量，它反映了在观察数据之前对参数的认识。2.贝叶斯定理的数学形式为：后验分布=__________/(似然函数×先验分布)。3.如果似然函数是参数的__________函数，且先验分布与似然函数的乘积在参数空间内具有相同的形式，那么这种先验分布称为与该似然函数共轭的先验分布。4.设总体分布为正态分布N(μ,σ²)，其中σ²已知，μ未知。若选择先验分布为μ~N(0,τ²)，则后验分布属于参数为τ²和τ²+(nσ²)/(τ²+σ²)的__________分布。5.在贝叶斯决策理论中，用来衡量一个决策后果好坏的函数称为__________。6.贝叶斯风险是贝叶斯决策中，对于给定的先验分布，采取某个决策规则所期望的__________的期望值。二、选择题1.贝叶斯方法与经典频率派统计方法最根本的区别在于（）。A.使用不同的概率解释B.先验分布的选择方式C.对未知参数的建模方式D.似然函数的计算形式2.以下哪一项不是贝叶斯推断的基本要素？（）A.总体分布假设B.样本信息（似然函数）C.先验分布D.决策规则3.对于离散型参数θ，其先验分布P(θ)满足的要求是（）。A.非负性B.规范性C.非负性和规范性D.单调性4.当样本量增大时，贝叶斯估计量（）。A.总是收敛到经典估计量B.总是趋向于先验分布C.其后验分布的集中程度通常会增加D.其不确定性通常不会降低5.在使用非信息先验进行贝叶斯推断时，通常意味着（）。A.对参数没有先验信息B.先验分布的密度函数处处为零C.先验分布的数学期望为零D.先验分布的方差极大三、判断题（请判断下列说法的正误，正确的划“√”，错误的划“×”）1.贝叶斯方法允许将主观判断以先验分布的形式纳入统计推断过程。（）2.贝叶斯定理提供了一种从似然函数和先验分布得到后验分布的机制。（）3.如果似然函数是参数θ的严格增函数，那么任何单调递增的先验分布都会导致后验分布也是单调递增的。（）4.在贝叶斯决策问题中，最优决策规则一定是唯一的。（）5.贝叶斯置信区间与经典置信区间在解释上存在本质差异。（）四、计算题1.假设一个盒子里有红、蓝两种颜色的球，比例未知，设参数θ为红球的比例，0<θ<1。现随机抽取3个球，观察到2个红球1个蓝球。（1）若选择先验分布为Beta(1,1)（非信息先验），求参数θ的后验分布。（2）基于（1）中得到的后验分布，求θ的贝叶斯估计量（后验均值）。2.设总体X服从参数为θ的指数分布，即f(x;θ)=θ*e^(-θx),x>0,θ>0。假设θ的先验分布为Gamma(α,β)，即π(θ)=θ^(α-1)*exp(-θβ),θ>0。（1）写出似然函数L(θ|x₁,...,xn)的表达式（基于样本x₁,...,xn）。（2）推导出θ的后验分布π(θ|x₁,...,xn)的形式。3.在一个贝叶斯决策问题中，参数θ可以取值0或1，两种结果的损失函数矩阵如下：||观测到0|观测到1||-------|----------|----------||采取行动0|0|5||采取行动1|4|0|假设参数θ的先验分布为P(θ=0)=0.7,P(θ=1)=0.3。若观测到结果为1，求采取行动0的贝叶斯风险。五、简答题1.简述贝叶斯方法的基本思想，并举例说明先验信息是如何在贝叶斯推断中发挥作用。2.解释什么是conjugateprior（共轭先验），并说明使用共轭先验在贝叶斯分析中的优点。3.简要比较贝叶斯置信区间和经典置信区间的主要区别。试卷答案一、填空题1.先验2.似然函数3.共轭4.正态5.损失函数6.损失二、选择题1.A2.D3.C4.C5.A三、判断题1.√2.√3.√4.×5.√四、计算题1.（1）后验分布p(θ|x)∝L(θ|x)*π(θ)=[θ^2*(1-θ)]*[1/(2π)^(3/2)*sqrt(2)*exp(-θ^2/2)]=θ^2*(1-θ)*exp(-(θ^2)/2)。这是一个Beta分布，参数为α'=2,β'=1。即θ|x~Beta(2,1)。（2）后验均值E[θ|x]=α'/(α'+β')=2/(2+1)=2/3。解析思路：首先根据Beta分布的性质和似然函数，判断后验分布仍为Beta分布，并确定参数。然后利用Beta分布的期望公式计算后验均值。2.（1）似然函数L(θ|x₁,...,xn)=∏[i=1ton]f(xᵢ;θ)=θ^n*exp[-θ*∑(i=1ton)xᵢ]。（2）后验分布π(θ|x₁,...,xn)∝L(θ|x₁,...,xn)*π(θ)=θ^(n+α-1)*exp[-θ(β+∑(i=1ton)xᵢ)]。这是一个Gamma分布，参数为α'=α+n,β'=β+∑(i=1ton)xᵢ。解析思路：首先写出指数分布的似然函数形式。然后根据Gamma分布的定义和乘法规则，将似然函数与Gamma先验分布相乘。通过对比标准Gamma函数形式，识别出后验分布也是Gamma分布，并确定新的参数α'和β'。3.贝叶斯风险R(a|θ)=∑[θinS]L(θ,a,θ)*P(θ)。计算采取行动0的贝叶斯风险：R(0|θ)=L(θ=0,a=0,θ=0)*P(θ=0)+L(θ=1,a=0,θ=1)*P(θ=1)=0*0.7+5*0.3=1.5。解析思路：根据贝叶斯风险的定义，计算在给定行动a=0下，对于所有可能的真实状态θ，损失值与对应先验概率的乘积之和。根据题目给定的损失矩阵和先验概率进行计算。五、简答题1.贝叶斯方法的基本思想是将参数视为随机变量，利用贝叶斯定理结合先验分布和样本信息（通过似然函数）得到参数的后验分布，从而对参数进行推断。先验信息在贝叶斯推断中作为先验分布，为推断提供了基于过往经验或理论的初始信念，随着新数据的加入（似然函数提供的信息），先验分布被后验分布所修正和更新，最终推断结果融合了先验信息和样本信息。例如，在医学诊断中，医生可能根据以往经验（先验分布）认为某种疾病的患病率，结合当前病人的症状和检查结果（似然函数），更新对病人患病的概率（后验分布）的判断。2.共轭先验是指一种先验分布，当它与某个似然函数结合时，得到的后验分布与该先验分布属于同一分布族，仅参数不同。例如，正态分布似然函数与Gamma分布先验结合，后验分布仍为Gamma分布；伯努利似然函数与Beta分布先验结合，后验分布仍为Beta分布。使用共轭先验的优点在于后验分布形式简单，通常可以直接写出，计算方便，推导过程清晰，尤其适合教学和初步应用。3.贝叶斯置信区间（BayesianCredibleInterval）基于后验分布，直接提供了一个参数值所在的可信区间，其置信水平是后验分布在该区间内的概率，解释直观（例如，95%贝叶斯置信区间意味着参数有95%的概率落在这个区间内