2024-2025学年北京市大兴区八年级（上）期中数学试卷

2024・2025学年北京市大兴区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共16分，每题2分）第1・8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（2分）五的相反数是（•

A.-V7B.V7C.一吃1

D-V7

V7

2.（2分）下列四个图标中是轴对称图形的是（）

AABAcADA

3.（2分）下列四组线段中，能组成三角形的是（）

A.2,3,5B.3,4,5C.3,4,8D.5,5,10

4.（2分）如图，用三角尺作△ABC的边4B上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（）

6.（2分）在△A8C中，NA：ZB：ZC=1：2：3,则△A8C（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

7.（2分）如图，在△入8C中，ZC=90°,人。是NCW的平分线，已知CO=2,4B=7,则△人/）8的面

C.7D.14

8.（2分）在△A8C中，NA3C和NAC8的平分线交于点立过点小作8C的平行线，分别交A8,AC于

点。，E.给出下面四个结论：

①若NA=120°,则/8FC=160°；

②若AB=AC,则△BD广且△（?£：/；

③2DEVBF+FC；

④若/W=8c/〃，AC=6cm,则△4OE的周长为14a”.

上述结论中，正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）把二元一次方程3x+y=4改写成用含x的式子表示），的形式，则y=.

10.（2分）点M（2,-1）关于），轴的对称点M'的坐标是.

II.（2分）在数轴上点M,N表示的数分别为2,-2x+l,且点N在点M的右侧，则x的取值范围

是.

12.（2分）方程3x-6=x的解为__________.

13.（2分）如图，在△ABC中，ZBCA=90°,CO_LAB于。，NB=30°,4B=4,贝I」.

14.（2分）如图，ARLRC,ADA,DC,垂足分别为R,D.只需添加一个条件即可证明@△ADC,

这个条件可以是.（写出一个即可）

15.（2分）如图，在△A8C中，点。，E分别是A3,CO的中点，若aA3c的面积为小则△AOE的面

积是■

A

16.(2分)若AQ是△ABC的高，且N/WO=20°,NACO=50°,则/BAC的度数是

三、解答题（共68分，第17・22题，每题5分，第23・26题6分，第27-28题，每题7分）

17.（5分）计算：|或一1|十出一派一（一2&）.

3(x-1)<44-2%

18.（5分）解不等式组:%一9-

-P-<2%

5

19.（5分）如图，AB=AC,BO=CO.求证：A。平分NB4C.

20.（5分）如图，在△/WC中，作NMC的平分线AP,交BC于点P.在射线AC上，截取线段AD,使

AD=AB.

（1）用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）;

（2）连接尸Q,求证：PB=PD.

21.（5分）如图，A。是△A3C的中线，过点。作C£〃4B,交AO的延长线于点£,求证：AD=DE.

22.（5分）如图，△4BC的三个顶点的坐标分别为4（1,1）,B（4,2）,C（3,4）.

,••△AC8与△ACQ关于直线对

称，

，△ACBdACO,

ACB=,

:.CA=CB,

:・NCAB=NB().

24.(6分)在历史上数学家欧拉最先用记号/(x)来表示关于工的多项式.当％=。时，多项式的值用/

(a)来表示.例如，对于多项式/(%)=f+x+l,当x=2时，多项式的值为/(2)=22+2+1=7.

当多项式/(x)-小时，回答下面问题：

(1)/(2)=；

(2)若f(0)=0,求/(2024)的值；

(3)若f(1)W/'(-1),求〃?的取值范围.

25.(6分)如图，在四边形48CQ中，AB=AD,AC平分N8CO,NBAZ)=90°,求N4CB的度数.

26.(6分)如图，在平面直角坐标系x力中,RtAABC的顶点坐标分别为点A(5,2),5(1,0),C(5,

0).将向左平移两个单位长度得到Rl△。石凡线段。尸与线段AB相交于点M.

(1)求证：AM=8M；

(2)连接CQ,交AB于点N,

①求证：CQ平分N4C8；

②直接写出△ACN的面积.

点D是射线CB上一点（点D不与点从C重合）,

连接AQ，将线段4。绕点A逆时针旋转60°,旋转后AE=4O且NQAE=60。，连接EC,延长

线段石C交直线4B于点F.

（1）如图1,证明：△4OE是等边三角形；

（2）当点。在如图1所示的位置时：

①求证：BD=BF；

②直接用等式表示线段AB,6尸和CQ之间的数量关系；

（3）当点。在线段4c上时：点。不与点8,。重合），直接用等式表示线段A3,8尸和CO之间的数

量关系.图1备用图

28.（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x,y）,若点。坐标为（-x,y+2x）,则称点Q为点户

的“关联点”.例如，点尸（1，2）,则点。（-1,4）是点P的“关联点”.

（1）若点Qi是点P（2,3）的“关联点”，则点Q的坐标为；

（2）若点Q2是点P2（-1,lI）的“关联点”，且点。2在x轴上，求，的值；

（3）若点。3是点P3C,-「3）的“关联点”，且线段P30与X轴有交点，直接写出/的取值范围.

2024・2025学年北京市大兴区八年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号12345678

答案ADBDCBCB

一、选择题（共16分，每题2分）第1・8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.

1.（2分）夜的相反数是（•

LL11

A.-y/7B.V7C.--D.下

"V7

【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案.

【解答】解：位的相反数是一夕.

故选：A.

【点评】本题考查相反数，关键是掌握相反数的定义.

2.（2分）下列四个图标中是轴对称图形的是（）

AAB△CAD企

t分析】根据如果•个图形沿•条直线折替，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，

这条直线叫做对称轴进行分析即可.

【解答】解：A、4C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分

能够互相重合，所以不是轴对称图形；

。选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对

称图形；

故选：O.

【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合.

3.（2分）下列四组线段中，能组成三角形的是（）

A.2,3,5B.3,4,5C.3,4,8D.5,5,10

【分析】根据三角形的三边关系对四个选项进行逐一分析即可.

【解答】解:4、・・・2+3=5,,••不能组成三角形，不符合题意;

6、・・・5・3y4y5+3,・••能组成三角形，符合题意;

C、・・・3+4V8,・••不能组成三旃形，不符合题意

。、・・・5+5=10,・••不能组成三角形，不符合题意，

故选：B.

【点评】考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边

是解题的关键..

4.（2分）如图，用三角尺作△ABC的边A8上的高，下列三角尺的摆放位置正确的是（）

【分析】根据三角形的高的定义判断即可.

【解答】解：△A8C的边48上的必经过点C与4B垂直，

故选：D.

【点评】本题考查作图-基本作图，三角形的高等知识，解题的关键是理解三角形的高的定义，属于中

考常考题型.

5.（2分）正十二边形的外角和为（）

A.30°B.1505C.360°D.1800°

【分析】本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°.

【解答】解：因为多边形的外角和为360°,所以正十二边形的外角和为：360°.故选：C.

【点评】本题考查多边形的外角和定理，解题的关键是指出定理即可求出正十二边行的外角和度数.

6.（2分）在△A3C中，ZA：NB：ZC=1：2：3,则△A6C（）

A.锐角三角形B.直角二:角形

C.钝角三角形D.等边三角形

【分析】根据题意，设NB=2x,ZC=3x,结合三角形内角和定理解得x的值，进而确定NA,

NB,NC的值，即可获得答案.

【解答】解：设

VZA：ZB：ZC=1：2：3,

；./B=2x,ZC=3x,

VZA+ZB+ZC=180°,

/.X+2¥4-3X=180°,

解得x=30°,

VZA=xtNB=2x,ZC=3x,

，NA=30°,ZB=60°,2C=90°,

•••△ABC是直角三角形.

故选：B.

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，理解并掌握三角形内角和定理是解题关键.

7.（2分）如图，在△A8C中，ZC=90c,A。是/C48的平分线，已知。。=2,48=7,则△408的面

积是（）

【分析】首先作OEL1B,再根据角平分线性质即可得出CD=DE；然后根据△回/5的面积=

即可求出结果.

【解答】解：过点。作。E_LAB,于点E.

TA。是N84。的平分线，ZC=90°,

:・CD=DE（角平分线性质）.

.：S&ABD=^AB*DE=1.

故选：C.

【点评】本题主要考查了角平分线性质，明确。。=。£是解题的关键.

8.（2分）在△ABC中，NA8C和NACB的平分线交于点尸，过点尸作BC的平行线，分别交AB,AC于

点。，E.给出下面四个结论:

①若NA=120°,则N8FC=160°；

②若48=AC,MA5DF^ACEF；

③2DEVBF+FC；

④若48=8。〃，AC=6cm,则△AOE的周长为14c〃?.

上述结论中，正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

11

【分析】如图，先根据角平分线的定义得到NI=N2=g/A",Z4=Z5=4ZACT,则N2+N5=90°

一义/A,所以N8R7=90°+J/A,从而可对①进行判断；当AB=AC,则NI=N2=N4=N5,所以

BF=CF,再根据平行线的性质和等量代换得到/1=N3=N4=N6,然后根据“A45”可判断△BOF

^△CEF(z4SA),于是可对②进行判断；由于80=。凡EC=ER则证明8D+EC=OE,利用三角形

三边的关系得到BD+DF>BF,EF+EOFC,所以2DE>BF+FC,于是可对③进行判断；由于BD=DF,

EC=EF,利用等量代换得到△?!/)£的周长=A8+AC,从而可对④进行判断.

【解答】解：如图,

VZABC和ZACB的平分线交于点F,

.*.Z1=Z2=1ZABC,Z4=Z5=1ZAC^,

.*.Z2+Z5=1(NABC+NACB)=1(180°-NA)=90°-1zA,

乙乙乙

AZBFC=180°-(Z2+Z5)=180°-(90°-^ZA)=90°4-1zA,

乙乙

当NA=120°,N5尸C=90°4-1xl20°=150°,所以①不正确;

当AB=AC,

ZABC=/ACB,

AZ1=Z2=Z4=Z5,

/.BF=CF,

*：DE//BC,

AZ2=Z3,N5=N6,

・・・N1=N3=N4=N6,

在ABD/和/中，

/1=/4

BF=CF'

z3=z6

：.4BDF*丛CEF(ASA),所以②正确:

VZ1=Z3,Z4=Z6,

:・BD=DF,EC=EF,

：.BD+EC=DF+FE=DE,

VBD+DF>BF,EF+EOFC

，BD+DF+EF+EOBF+FC,

：・2DE>BF+FC,所以③不正确；

,:BD=DF,EC=EF,

:.△ADE的周长=AD+OE+AE

=AEHDF+EF+AE

=AD^BD+EC+AE

=AB+AC

=8+6

=14(cm),所以④正确.

综上所述，正确的有②④，共两个.

故选：B.

【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用

哪一种方法，取决于题目中的已知条件.也考查了三角形三边的关系和等腰三角形的判定与性质.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）把二元一■次方程3x+y=4改写成用含x的式子表示y的形式，则y=-3x+4

【分析】将x看作已知数，求出），即可.

【解答】解：3x+y=4,

解得：y=-3x+4.

故答案为：-3x+4.

【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将X看作已知数，看作未知数.

10.（2分）点M（2,-1）关于），轴的对称点M'的坐标是（-2,-1）.

【分析】关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，由此可得答案.

【解答】解：点M（2,-1）关于），轴的对称点的坐标是（-2,-1）.

故答案为：（-2,-1）.

【点评】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于），轴对称的点的坐标特征是解答本题

的关键.

11.（2分）在数轴上点M,N表示的数分别为2,-2x+l,且点N在点M的右侧，则x的取值范围是「二一

1

2—,

【分析】根据题意列出不等式，解不等式即可.

【解答】解：由题意得・法+1>2,

-2x>2-I,

-2x>l,

x<-1.

故答案为：xV—

【点评】本题考查了解一元一次不等式，掌握解不等式的步骤是解题的关键.

12.12分）方程3.r-6=*•的解为工=3.

【分析】通过移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值.

【解答】解:3x-6=x,

3x-x=6,

2x=6,

x=3,

故答案为；A*=3.

【点评】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程常见的过程有去分母、去括号、移项、合并同类

项、系数化为1等.

13.（2分）如图，在△ABC中，ZBCA=90°,CQ_LAB于。，N8=30°,AB=4,则80=3.

D

【分析】根据在直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半和三角形的内角和定理求出AC和NA,

再根据得出NACO=30°,从求出AD,最后根据-AD,代入计算即可.

【解答】解：•・・在△ABC中，N8C4=90°,N8=30°,AB=4,

：.AC=^AB=^x4=2,ZA=60°,

于。，

/.ZACD=30°,

：.AD=^AC=^x2=\f

：.BD=AB-AD=4-1=3；

故答案为：3.

【点评】此题考杳了含30度角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中30度角所对的直角边是

斜边的一半，三角形的内角和定理，关键是找出图中的直角三角形.

14.（2分）如图，AB1.BC,ADLDC,垂足分别为B,D.只需添加一个条件即可证明

这个条件可以是A8=AD或BC=CQ或N80C=NDAC或NAC8=NAC£>（答案不唯一）.（写

出一个即可）

【分析】由全等三角形的判定定理可求解.

【解答】解：若添力口AB=AD且AC=4C,由可证RlZ\48CgRlZ\A。。；

若添加BC=CQ,且AC=AC,由“HL”可证RtA48C/RtAAOC；

若添加N84C=ND4C,RAC=AC,由“AAS”可证RtZ^48CgRtZ\ADC；

若添加N8CA=NOC4,AC=AC,由“AAS”可证RtZU8C0RtZ\AQC：

故答案为：A3=A。或6C=C。或N8AC=NOAC或NAC6=NACQ（答案不唯一）.

【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键.

15.（2分）如图，在△ABC中，点。，E分别是AB,CO的中点，若aABC的面积为a,则△AOE的面

积是工.

111111

（

［分析］由题意得SABCD=S^ACD=2s△"（?=2hSMDE=SMCE=QX牙=甲，即可求解.

【解答】解：•・•点。、E分别是AB、。。的中点，△ABC的面积为4

.*.SABCD=SMCD=1S.MBC=9

S^ADE=S^ACE=^S^ACD=X1<7=/a,

故答案为：-a.

4

【点评】本题考查三角形的面积，难度较低，熟练掌握三角形的面积关系是解题的关键.

I6.（2分）若AO是△A8C的高，且N/WO=20°,NACO=50°,则/B/1C的度数是30°或110°.

【分析】根据AZ）的不同位置，分两种情况进行讨论：AO在AABC的内部，4。在△ABC的外部，分

别求得NB4C的度数即可.

【解答】解：如图，当A。在AABC的内部时，

ZBAC=1800-ZB-ZC=180°-20°-50°=110°.

如图，当A。在△/1/3c的外部时，

ZBAC=ZACD-Z/?=50°-20°=30°.

故答案为：30°或110°.

【点评】本题主要考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决问题的关键是分情况讨论，解题

时注意：三角形的内角和等于180°.

三、解答题（共68分，第17.22题，每题5分，第23・26题6分，第27・28题，每题7分）

17.（5分）计算：|或一1|+强一强一（一2注）.

【分析】先根据绝对•值的性质化简含有绝对•值的式子，再进行开方运算，最后进行加减运算即可.

【解答】解：原式=&-1+7-2+2鱼

=7-1-2+y/2+2^2

=4+3^2.

【点评】本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和平方根与立方根的定义.

3(x-l)<4+2x

18.（5分）解不等式组:

?<2%

【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可解决问题.

【解答】解：解不等式3（x-I）V4+2x得,

x<7,

%—9

解不等式一<2%得，

5

X>-I»

所以不等式组的解集为：・1VXV7.

【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键.

19.（5分）如图，AB=AC,BO=CO.求证：AO平分NB4C.

【分析】证明△A/3O四△ACO（SSS）,得进而即可解决问题.

【解答】解：在△/WO和△ACO中，

AB=AC

BO=CO,

AO=AO

•••△ABOdACO（SSS）,

.\ZBAO=ZCAO,

JAO平分N/MC.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，得到aAB。空ZLACO是解答本题的关键.

20.（5分）如图，在aABC中，作N8A。的平分线AP,交8C于点P.在射线AC上，截取线段AQ,使

AD=AB.

（I）用直尺和圆规补全图形（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）连接P。，求证：PB=PD.

【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图可得4P.以点4为圆心，A8的长为半径画弧，交射线AC

于点。，即可得线段4D.

（2）结合角平分线的定义、全等三角形的判定证明△AQP丝ZVIBP,即可得尸8=尸。.

【解答】⑴解:如图所示.

（2）证明：TAP为N84C的平分线，

：,ZBAP=ZCAP.

*：AD=AB,AP=AP,

:.△ADPqXABP（SAS）,

：,PB=PD.

【点评】本题考查作图一基本作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，解题的关键是理解题

意，灵活运用所学知识解决问题.

21.（5分）如图，AO是△ABC的中线，过点C作CE〃A8,交4D的延长线于点£,求证：AD=DE.

E

【分析】由CE〃AB,得NBAD=NE,由。是边8c的中点，得BD=CD,证(A4S),

即可得出结论.

【解答】证明：・・・C£〃/W,

:・NBAD=NE,

丁。是边的中点，

：,BD=CD,

在△AB。和△EC。中，

(ZBAD=NE

\^ADB=乙ED5

(BD=CD

:.△ABDWXECD(A4S),

：.AD=ED.

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性

质是解题的关键.

22.(5分)如图，ZVIBC的三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).

(1)若AA'B'C与△ABC关于x轴成轴对称，请画出AA'B'C；

(2)在工轴上找一点P,使用+户3的值最小，在图中画出点P.

【分析】(I)根据轴对称的性质作图，即可得出答案.

(2)取点A关于x轴的对称点4,连接AB,交x轴于点P,则点P即为所求，即可得出答案.

【解答】ft?：(1)如图，。即为所求.

(2)如图，取点A关于x轴的对称点4,连接A®交入轴于点P,连接AP,

此时Rl+P8=附'+P8=/V8,为最小值，

则点产即为所求.

【点评】本题考查作图-轴对称变换、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关

键.

23.（6分）在科技节活动中，小明利用几何图形及其元素的关系，设计了一款风筝（如图1所示），并结

合所学知识利用图2进行了讲解和展示，获得了大家的一致好评.下面是他对自己设计理念中两个特点

的描述.

特点一：图2是该“风筝”中平面图形的主要部分，它是轴对称图形；

特点二：延长BC交AD于点E,此时BE恰好是AD的庭直平分

线.图】图2

阅读以上材料完成下面问题：

（1）根据描述，补全图形：

（2）根据上面的特点，小明发现NCW与N8相等，并写出他的探究过程.请认真阅读，完成下面的

证明过程，并在括号中填写依据.

证明：:BE是AD的垂直平分线，

・・・。=CD（线段的垂直平分线上

的点到线段两端距离相等）,

•.•△AC8与44CO关于直线AC对称,

，△ACBdACO,

ACB=CD,

:.CA=CB,

：.ZCAB=ZB(等边对等角).

【分析】(1)根据要求作出图形：

(2)证明CA=CB,可得结论.

【解答】(1)解：图形如图所示：

图2

(2)证明：:BE是AD的垂直平分线，

：.CA=CD(线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等)，

*：/\ACB与△AC。关于直线AC对称，

:,CB=CD,

：,CA=CB,

・・・NCA8=N8(等边对等角).

故答案为：CD,线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等，AC,CD,等边对等角.

【点评】本题考查作图-应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，轴对

称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.

24.(6分)在历史上数学家欧拉最先用记号来表示关于x的多项式.当时，多项式的值用/

(a)来表示.例如，对于多项式/(x)=/+/+1,当工=2时，多项式的值为/(2)=22+2+1=7.

当多项式/(x)=nv?-2nv?-¥x-tn时，回答下面问题:

(1)/(2)=2・阳：

(2)若/(O)=0,求/(2024)的值；

(3)若/(I)</(-1),求机的取值范围.

【分析】(1)把尤=2代入多项式f(x)=，/-2〃〉+「小，进行计算即可；

(2)根据/(0)=0和/(x)-2w?+x-m,列出关于〃?的方程，解方程求出小，再把〃，的值和

x=2024代入多项式/(%)-2//tr+x-m,进行计算即可；

(3)分别把x=1和x=-1代入/(x)=必3_2〃02+x-再根据y(DW/(-1),列出关于m的

不等式，解不等式求出m的取值范围即可.

【解答】解：(1):•多项式f(x)=nu?-2nvr+x-m>

(2)=8/〃・8〃?+2-in=2-〃？：

故答案为：2-m：

(2)/(0)=0,

・・・0-〃？=0,

解得：/〃=0,

：.f(2024)=0X20243-2X0X20242+2024-0=2024：

(3)由题意得：/(1)=m-2m+\-m=1-2in,/(-1)=-m-2m-1-in=-1-4m,

*：f(1)W/(-1),

/.1-2/zzC-I-4/n,

4/JJ-2”？&-1-I,

2mW-2,

mW-1.

【点评】本题主要考查了代数式求值和多项式，解题关键是理解已知条件中的新定义，列出正确的数式.

25.(6分)如图，在四边形A8CO中，AB=AD,AC平分N8CO,NBAO=90°,求NAC8的度数.

【分析】在C。上截取CE=CB,连接4七，则可证明△AECgAABC,得N3=NE,AE=AB,则有4。

=AE,进而得/8+/。=180°；由多边形内角和求得N8AO+N8CQ=180°,最后得NBCQ=90°,

由角平分线定义即可求得结果.

【解答】解：在CO上截取CE=C8,连接AE.

•••AC平分N8CO,

AZ1=Z2.

在△4EC和△ABC中，

CE=CB

Z1=Z2,

AC=AC

:.△AEC/*ABC(SAS).

AZ3=ZB,AE=AB,

*：AI3=AD,

：,AE=AD,

.・.Z4=ZD.

VZ3+Z4=I8O°.

.'.ZB+ZD=180°.

•・•在四边形A8CQ中，ZBAD+ZB+ZBCD+ZD=360a,

：.ZBAD+ZBCD=\SOa.

•・・N84O=90",

/.Z2?CD=9O°.

VZ1=Z2,

AZ2=45°.

即NAC8=45°.

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，多边形内角和，角平分线定

义等知识，构造辅助线证明三角形全等是解题的关键.

26.(6分)如图，在平面直角坐标系xOy中，RtzM6c的顶点坐标分别为点A(5,2),B(1,0),C(5,

0).将RtA48C向左平移两个单位长度得到RdDEF,线段。产与线段4B相交于点M.

(1)求证：AM=BM；

(2)连接CO,交AB于点、N.

①求证：C。平分/AC今

②直接写出△ACN的面积.

【分析】(1)根据已知条件得到BC=5-1=4,AC=2,根据平移的性质得到。/=AC=2,CF=2,

DF//AC,于是得到结论；

(2)①由DF=CF=2,NDFC=NACB=90°,得到N〃OC=450,求得NA3co=90°-

45°=45°,根据角平分线的定义得到CO平分乙4C&

②设直线AB的解析式为y=h+4把A(5,2),B(1,0)代入得解方程组得到直线AB的解析式为

由平移的性质得。(3,2),设直线C。的解析式为.尸尔+〃，把C(5,0)，。(3,2)代

入,得到直线C。的解析式为y=-x+5,求得N(弓，1),根据三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】(1)证明：［RtZ\45C的顶点坐标分别为点A(5,2),B(1,0),C(5,0),

:,BC=5-1=4,AC=2,

•・•将RtA/lBC向左平移两个单位长度得到RtADEF,

：.DF=AC=2,CF=2,DF//AC,

：.BF=BC-CF=2,

:・BF=CF,

(2)①证明：，：DF=CF=2,NO/C=NAC8=90°,

；・NFCD=NFDC=45°,

，NA8CO=90°-45°=45°,

：.ZBCD=ZACD,

•••CD平分NACB：

②解：设直线AB的解析式为y=k.^b,

把A（5,2）,B（1,0）代入得，俨上。三2,

ik+b=0

解得12

I?--2

・•・直线AB的解析式为）=%-1，

由平移的性质得。（3,2）

设直线CD的解析式为y=mj：+n,

把C（5,0）,D（3,2）代入得，金血十九二?,

13m+n=2

解得

J直线CD的解析式为），=7+5,

_11

解方程组y=2“一2,

y=-x+5

11

x=^~

解得｛/,

7=3

114

:.N（——，一），

33

••.△ACN的面积=^x2X（5-¥）=1.

【点评】本题是几何变换综合题，考查了平移的性质，待定系数法求函数的解析式，角平分线的定义,

三角形的面积，正确地求出函数的解析式是解题的关键.

27.（7分）在△A3C中，ZACB=9（）°,ZBAC=30°,点。是射线C4上一点（点。不与点从C重合），

连接A。，将线段从。绕点A逆时针旋转60。，旋转后且ND4£=60°,连接£>E,EC,延长

线段石C交直线AB于点F.

（1）如图1,证明：是等边三角形；

（2）当点。在如图1所示的位置时：

①求证：BD=BF；

②直接用等式表示线段A从6r和。。之间的数量关系；

（3）当点。在线段8c上时：点。不与点从C•重合），直接用等式表示线段A4,台尸和CO之间的数

A

A

/FL

D组

E

量关系.图1备用图

【分析】(1)由等边三角形的判定可得求解;

(2)①由等边三角形的