2024-2025学年北京市房山区八年级（上）期中数学试卷

2024.2025学年北京市房山区八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（2分）3的算术平方根是（）

A.±V3B.V3C.-V3D.9

3

2.Q分）要使分式口有意义，则x的取值范围是（）

A.x>2B.x<2C.xW2D.丘-2

3.（2分）下列说法正确的是（）

A.带根号的数一定是无理数

B.-49的平方根是-7

C.%是3的立方根

D.8的立方根是±2

4.（2分）下列各式从左到右的变形正确的是（）

a+rn.aa2+b2

A，=B.--------=a+b

'b+mba+b

a63a-b

C.-=aD.d二T

a2-

5.（2分）下列各式中，最简二次根式是（）

A-JIC.V8D.V10

6.（2分）下列各式中，与苗是同类二次根式的是（）

A.V9B.V12C.V15D.718

7.（2分）在“国庆畅游房山”系列活动中，某景点为游客定制了A,8两种文创产品.其中A种文创产

品的单价比8种文创产品的单价低5元，用120（）元购进A种文创产品的数量，是用1000元购进8种

文创产品数量的1.5倍，求A种文创产品的单价.若设A种文创产品的单价为入•元，那么依题意可列方

程为（）

1200100012001000

A.x1.5=-----B.x1.5=-----

xx+5xx-5

1200100012001000

C.----=-----x1.5D.----=-----x1.5

xx-5xx+5

8.（2分）如图，数釉上A,B两点所对应的实数分别是-n,1.若线段C8=2AB,则点C所表示的实数

是（）

CA后

0r

-7T

A.TT+1B.・27C.-2n-1D.-2TT-2

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）若>/7二1在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为

r—1

（分）当工=时，分式一的值为

10.2x0.

II.（2分）计算：7（-5）2=.

3丫2v

12.（2分）计算：—.

ysx

13.（2分）学习了“分式的加减法”，小刚同学画出了如下运算流程图：

图中①代表的运算步骤为,②代表的运算步骤为.

14.（2分）比较大小：回2V5（用或“=”或“V”连接）.

15.（2分）已知512=2601,522=2704,532=2809,542=2916.若〃为整数，且nV应丽<h+l,则

〃的值为.

16.（2分）如图I,一个500亳升（1亳升=1立方厘米）的瓶子装有高〃2厘米的饮料，将瓶盖盖好后倒

置，如图2,饮料水面高为〃厘米，则瓶内饮料的体积为毫升.

na

图1图2

三、解答题（共68分，第17・18题每题8分；第19・24,27题每题5分；第25题6分；第26题4分；第

28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.（8分）计算:

(1)716-(V2)2+V8：

(2)V12+V6xV27.

(8分)计算：(I)卫-+3-；

18.

x-yy-x

a2+4a+4a+2

(2)—;-------+——.

az-aa-1

19.（5分）计算：（3+y）（3-花）+（3或一75）2.

X2

20.（5分）解方程：一=-+1.

x-1x

4x21

21.（5分）解方程:

X2-4x-2x+2

已知求代数式伍+-言）+涡葺的值.

22.（5分）J+3〃-l=0,2

关于X的分式方程誓=3的解是负数,求〃，的取值范围.

23.（5分）

24.（5分）已知：公式其中附」’请用…表示2

25.（6分）观察•列数：几5/17,5/26........设人是这列数的第2024个数，且人满足尸一耳＞一

3（1+用•

（1）化简：-i）（l+^2Tj）:

（2）写出第〃个数（用含〃的代数式表示）;

（3）求出「一2024?的值.

26.（4分）（1）如图1,把两个边长都为I的正方形，通过剪切，拼接得到了一个面积为2的正方形ABCD,

2024.2025学年北京市房山区八年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

题号1235678

答案BCcDDBDC

一、选择题（共16分，每题2分）第1・8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。

1.（2分）3的算术平方根是（）

A.±V3B.V3C.-V3D.9

【分析】利用算术平方根定义计算即可求出值.

【解答】解：3的算术平方根是遮，

故选：B.

【点评】此题考查了算术平方根，以及平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键.

2.（2分）要使分式三有意义，则x的取值范围是（）

X-2

A.x>2B.A<2C.X#2D.xW-2

【分析】分式有意义，分母不等于零.

【解答】解：当分母人・2*0即人#2时，分式上;有意义.

X-2

故选：C.

【点评】本题考查了分式有意义的条件.分式有意义的条件是分母不等于零.

3.（2分）下列说法正确的是（）

A.带根号的数一定是无理数

B.-49的平方根是-7

C.海是3的立方根

D.8的立方根是±2

【分析】根据无理数的定义、平方根、立方根的定义逐项判断即可.

【解答】解：A、带根号的数不一定是无理数，如〃=2是有理数，故此选项不符合题意；

B、-49没有平方根，故此选项不符合题意；

C、海是3的立方根，故此选项符合题意；

D、8的立方根是2,故此选项不符合题意;

故选：C.

【点评】本题考查了实数，熟练掌握无理数的定义、平方根、立方根的定义是解题的关键.

4.（2分）下列各式从左到右的变形正确的是（)

a+maa2+b2

A.------=—B.--------=a+b

b+mba+b

a6..a-b

C.­=a3D.-------=-1

a2-a+b

【分析】根据分式的基本性质解答即可.

【解答】解：4黑4不成立,故选项A错误，

a2+b2

B.------=a+b不成立，故选项B错误；

a+b

C.-r=a4,故选项C错误；

a1

Dr—--=:\=-1»故选项D正确.

-a+b-(a-d)

故选：

【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘［或除以）一

个不等于0的整式，分式的值不变是解题的关键.

5.（2分）下列各式中，最简二次根式是（）

A.B.V4C.V8D.<10

【分析】根据最简二次根式的定义进行解题即可.

【解答】解：A、的被开方数是分数，不是最简二次根式，故该选项是错误的；

8、〃=2不是最简二次根式，故该选项是错误的：

a遮=2四不是最简二次根式，故该选项是错误的；

。、g是最简二次根式，故该选项是正确的；

故选：D.

【点评】本题考查了最简二次根式的定义，即被开方数不含小数分数或者能开方的因式，熟练掌握这些

知识点是解题的关键.

6.（2分）下列各式中，与次是同类二次根式的是（）

A.V9B.V12C.V15D.V18

【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可.

【解答】解：4、眄=3,与6不是同类二次根式，不符合题意;

B、V12=273,与b是同类二次根式，符合题意；

C、行与通不是同类二次根式;，不符合题意；

D、«§=3企，与8不是同类二次根式，不符合题意.

故选:B.

【点评】本题考查的是同类二次根式，掌握同类二次根式的概念是解题的关键.

7.（2分）在“国庆畅游房山”系列活动中，某景点为游客定制了4,8两种文创产品.其中A种文创产

品的单价比8种文创产品的单价低5元，用1200元购进A种文创产品的数量，是用1000元购进8种

文创产品数量的1.5倍，求A种文创产品的单价.若设A种文创产品的单价为x元，那么依题意可列方

程为（）

1200100012001000

A.-------x1.5=---------B.-------x1.5=---------

xx+5xx-5

1200100012001000

C.-------=---------x1.5D.-------=---------x1.5

xx-5x%+5

【分析】由两种文创产品单价间的关系，可得出3种文创产品的单价为（x+5）元，利用数量=总价+

单价，结合”用1200元购进A种文创产品的数量，是用1000元购进B种文创产品数量的1.5倍”，可

列出关于x的分式方程，此题得解.

【解答】解：・・・4种文创产品的单价比8种文创产品的单价低5元，且4种文创产品的单吩为x元，

种文创产品的单价为（x+5）元.

12001000

根据题意得:xl.5.

XX+5

故选：D.

【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键.

8.（2分）如图，数轴上A,4两点所对应的实数分别是1.若线段C8=2A8,则点C所表示的实数

是（）

C4B1

0V

A.TT+1B.-27C.-2n-1D.-2n-2

【分析】先根据两点间的距离公式，求出人力再根据。8=2/W,求出CB,最后再根据两点间的距离

公式求出点。表示的数即可.

【解答】解：:A，8两点所对应的实数分别是-Ti,1,

：.AB=\\-(-n)|=|l+7T|=l+n,

•：CB=2AB,

，C8=2+2TT,

点表示的实数为：1-（2+如）=1-2-2TT=-2TT-1,

故选：C.

【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式.

二、填空题（共16分，每题2分）

9.（2分）若旧再在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为xC3.

【分析1根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案.

【解答】解：・・"-320,

，在3.

故答案为：x23.

【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.

X—1

10.（2分）当％=1时，分式一的值为0.

x

【分析】根据分式的值为。要具备两个条件：分子为。和分母不为0,可得结论.

【解答】解：由题意得：x-1=0,且xWO,

••X=19

，当x=l时，一的值为0.

X

故答案为：1.

【点评】此题主要考杳了分式的值为。的条件，注意分式必须满足分母不为0.

II.（2分）计算：、/（-5）205.

【分析】根据二次根式的基本性质进行解答即可.

【解答】解：原式=后=5.

故答案为：5.

【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式的基本性质是解答此题的关键.

12.（2分）计算：*2=日

y6x-y*,

【分析】根据分式的乘法法则计算即可.

3x2y3x

【解答】解:

y3X~y2

故答案为：齐

【点评】本题考查的是分式的乘除法，分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母.

13.（2分）学习了“分式的加减法”，小刚同学画出了如下运算流程图:

图中①代表的运算步骤为通分,②代表的运算步骤为约分

【分析】根据分式的加减法则即可求得答案.

【解答】解：两个分式是异分母时，应先确定最简公分母，再进行通分:

如果加减运算后不是最简分式，应进行约分后得到结果;

故答案为：通分；约分.

【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键.

14.（2分）比较大小：V19V2通（用或“=”或"V”连接）.

【分析】先将2遍化为回，再根据被开方数大的其算术平方根也大即可得出比较结果.

【解答】解：2遥=低,

V19<20,

AV19<V20,

即g<2倔

故答案为：

【点评】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键.

15.（2分）已知512=2601,522=2704,532=2809,542=2916.若〃为整数，且九两Vzi+l,则

n的值为53

【分析】根据已知条件，求出2809和2916的算术平方根，然后估算丽的大小，从而求出答案即可.

【解答】解：•・•53?=2809,542=2916,

AV2809=53,V2916=54,

,:V2809<72900<72916,

.*.53<72900<54,

Vn<V2900<n+l,

**•n—53,

故答案为：53.

【点评】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握如何估算无理数的大小.

16.（2分）如图1,一个500亳升（1亳升=1立方厘米）的瓶子装有高〃?厘米的饮料，将瓶盖盖好后倒

500m

置，如图2,饮料水面高为〃厘米，则瓶内饮料的体积为室升.

m+a

【分析】根据现有饮料的高为江空白部分的高为小所以500亳升是高为3n+a）厘米的圆柱体，用

除法即可表示出表面积；再乘高〃?，即可得到答案.

［解答］解：5004-(m+a)X〃?=向鲁（毫升）,

500m

故答案为:

m+a

【点评】本题考查了列代数式，解题的关键是用字母表示出瓶子底面的面积.

三、解答题（共68分，第17・18题每题8分；第19・24,27题每题5分；第25题6分；第26题4分；第

28题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17.(8分)计算：

(1)(企尸+V8；

(2)\<12+V6xJi-V27.

【分析】（1）先根据算术平方根、立方根、二次根式的性质进行计算，再根据有理数的加减法则计算即

可；

（2）先化简每个二次根式，再合并即可.

【解答】解：（1）V16-（V2）2+VS

=4-2+2

=4；

(2)^12+V6xV27

=2V3+V3-3V3

=0.

【点评】本题考查了实数的运算，二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解题的关键.

2x2v

18.（8分）计算：（1）---+----；

x-yy-x

a2+4a+4a+2

（2）;----+----.

az-aa-1

【分析】（1）通过通分，使两分式分母相同，利用同分母分式相加减，运算即可得到结果;

（2）按分式乘除运算法则，进行约分，即可得到结果.

【解答】解：（1）—+—

=互_立

x—yx—y

,2x-2y

_2（x-y）

=2；

、a2+4a+4a+2

（2）-+

az-aa-1

_（a+2）Za-1

~a（a-l）a+2

a+2

=­>

【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键.

19.（5分）计算：（3+而）（3-遮）+（3&一75）2.

【分析】先根据平方差公式、完全平方公式计算，再合并即可.

【解答】解：（3+6）（3-述）+（3加一J5）2

=(9-5)+(18-6在+3)

=4+18—6^6+3

=25-676.

【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键.

x2

20.(5分)解方程：---=—+1.

x-1x

【分析】根据解分式方程的步骤求解即可.

【解答】解：去分母，得f=2(x-1)+x(x-1),

解得：x=2,

经检验x=2是原方程的根，

：.x=2,

【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键，注意验根.

4x21

21.(5分)解方程：=----

X2-4x-2x+2

【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可.

【解答】解：原方程两边同乘(x+2)(x-2),去分母得：41=2(x+2)-(,r-2),

去括号得：4x=2x+4-x+2,

解得：x=2,

检验：当x=2时，(x+2)(x-2)=0,

则x=2是分式方程的增根，

故原方程无解.

【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键.

22.(5分)己知/+3。-1=0,求代数式(0+2-白)+芝去的值.

【分析】由已知条件得到J+3a=l,然后将其代入化简后的分式求值即可.

［解答］解：由a2+3a-1=0得到a2+3a=1,

/in5、.a—3

g2_4_5a(a-2)

a-2a-3

=(a+3)(a-3)_a(a-2)

Q-2a-3

=a(a+3).

=/+3a

所以，原式=1.

【点评】本题主要考查了分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整

体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值.

23.（5分）关于工的分式方程------=3的解是负数，求〃?的取值范围.

x+1

【分析】先根据解分式方程的方法求出x=〃L3,然后再根据分式方程的解是负数，列出一元一次不等

式,〃-3V0,再根据分式有意义的条件可得：〃L3尹-1,由此解答即可.

【解答】解：竺B=3,

X+1

方程两边同乘（A-+1）,得2x+加=3（A-+1）,

解得:x=m-3,

•••分式方程的解是负数,

/.m-3<0,

/.in<3.

由分式有意义的条件可得x+1关0,即xW-h

-3W-1,

解得：〃?W2,

/.m的取值范围是m<3且

【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式，分式有意义的条件，分式方程的解，熟练掌握接

分式方程的方法，解一元一次不等式的方法，分式方程的解.，分式有意义的条件是解题的关键.

24.（5分）已知：公式（二二,其中请用R,门表示2

rl+r2

【分析】根据分式混合运算法则，对原式变形，用R,〃表示即可得到结果.

【解答】解：•・•/?二三孑，

rl+r2

/./?*（ri+?-2）=riT2>

:•R・建-r\*/-2="R*r\,

.*.r2（R-n）=-R・r\,

•:R丰八,

.Rr

”一行r.

【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键.

25.（6分）观察一列数：V2,后V10,V17,V26,..…设工是这列数的第2024个数，且x满足P=x（x-

》（1+冷）.

（1）化简：x（x-^）（1

（2）写出第〃个数_7^率1_（用含〃的代数式表示）：

（3）求出3・20242的值.

【分析】（1）根据分式的运算法则化简即可；

（2）根据规律即可得出答案；

（3）求出x的值，代入求出P的值，再代入代数式进行计算即可.

r2—1X2+2

【解答】解：（1）原式=/---------

Xxz-l

=.r+2；

（2）V2=l2+1,

5=22+1,

10=32+l,

17=42+1,

・・・第〃个数为7^”1；

故答案为："了3

（3）•・”是这列数的第2024个数,

・』V20242+l,

/.P=20242+1+2=20242+3,

AP-20242

=20242+3-20242

=3.

【点评】此题考查数字的变化规律，分式的化简求值，找出数字规律，熟知分式混合运算的法则是解答

此题的关键.

26.（4分）（1）如图1,把两个边长都为1的正方形，通过剪切，拼接得到了一个面积为2的正方形48CD,

则正方形A8CO的边长为.

（2）类比以上探究思路，解决如卜问题：

如图2,正方形石有G”的刈角线EG长为3,通过画图写出正方形£尸。”的地长.

图1图2

【分析】（I）判断山大正方形的面积是2可得结论;

9

（2）判断出大正方形的面积是&可得结论.

【解答】解：（I）由题意，大正方形的面积为2,

故大正方形的边长为

故答案为：V2.

（2）如图2中，连接"产交EG于点。.

:・ECLFH,EC=FH=3,

,正方形的面枳=7X3X3=之

•••正方形EFG”的边长为言.

【点评】本题考查作图-复杂作图，正方形的性质，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，学会利用数

形结合的思想解决问题.

27.（5分）阅读下面材料并解决问题：

材料-：2022年6月16S,世界首条沙漠铁路线一一和若铁路（和田至若羌）正式开通运营.该铁路

沿线穿过昆仑山脉北麓和世界第二大流动性沙漠塔克拉玛干沙漠南缘之间，全长约825千米.有了这条

通往我国西北、西南地区，以及联通中亚、西亚的便捷运输大通道，沿线的棉花、核桃、豆枣、矿产等

产品可直通疆外，将“死亡之海”圈成了“希望之环”.

材料二：和若铁路沿线全年有7个月是风季，风沙灾害严重.为确保安全平稳运行，全程实际运行速度

降低到原设计速度的62.5%,从和IH到若羌比原设计时间多用4看小时.

O

根据上面材料，请列方程求出和若铁路的原设计速度.

【分析】设和若铁路的原设计速度是X千米/小时，由题意列出分式方程，即可解决问题.

【解答】解：设和若铁路的原设计速度是X千米/小时，

由题意得：--=4^

62.5%XX8

.\x=120,

答：和若铁路的原设计速度是120T•米/小时.

【点评】本题考查分式方程的应用，关键是由题意列出分式方程.

28.（7分）给出定义：如果两个实数〃?，〃使得关于x的分式方程巴-九=1的解是％=工成立，那么

xm-n

我们就把实数加，”组成的数对Vm，称为关于x的分式方程巴-几=1的一个“梦想数对”.

x

例如：当机=3,〃=2时，使得关于x的分式方程3-2=1的解是％=Q="=1成立，所以数对（3,

x3-21

2）称为关于x的分式方程”-n=1的一个“梦想数对

x

（1）在数对①VI,0>；②<-2,3>；③V）中，①③（只填序号）是关于x的分式

方程?—n二11的“梦想数对”.

x

（2）若数对Va-3,2+心是关于x的分式方程”一几二1的一个“梦想数对”，求〃的值.

X

（3）若数对Vc+d,d>（c#±l且cHO）是关于工的分式方程已一几=1的一个“梦想数对”，且关

X

于），的方程"），->1=0有整数解，直接写出整数c,的值.

【分析】（1）根据定义，计算判断即可；

⑵根据定义，分式方程上0-（2+