2025年七年级数学下册同步讲义：二元一次方程组及其解法（人教版）学生版

专题8.1-2二元一次方程组及其解法

考点1:二元一次方程得定义

/考点2:二元一次方程组的判定

考点3:二元一次方程（组）的解及应用

专题8.1・2二元一次方程组及其解法三考点4:二元一次方程组的解法

考点5:二元一次方程组的错解问题

考点6:二元一次方程组的特殊解法

母系数的二元一次方程组

e目标导航

I、二元一次方程

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是i的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解

适合.一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组

含有两个未知数的两个二元一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

4、二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法

⑴代入（消元）法⑵加减（消元）法

战考点精讲

考点1:二元一次方程得定义

典例：（2023秋•江苏无锡•九年级统考期末）若方程/“-3x+1=0是关于x的一元二次方程，则加=.

方法或规律点拨

此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5

个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”：“整式方程”.

巩固练习

（2023春•吉林长春•七年级长春市第二实验中学校考阶段练习）下列方程是二元一次方程的是（）

A.x-y2=1B.2x-y=\C.—y=\D.^-1=0

x

2.（2023春•河北邢台•七年级邢台三中校考阶段练习）若方程x+），+"=l是二元一次方程，则W表示的数

是（）

A.-1B.0C.1D.2

3.（2023春・吉林长春•七年级东北师大附中校考阶段练习）下列方程中，二元一次方程的个数为（）

jr

①个=1：②2x=3y；③x--=2；④/+尸3；⑤：=3y-l；⑥x—y+z=0.

y4

A.1个B.2个C.3个D.4个

4.（2023春・浙江金华•七年级义乌市绣湖中学教育集团校考阶段练习）卜列方程中，是二元一次方程的是（）

17

A.2x+3y=5B.xy=\C.2（z«-5）=—/M-2D.I---------n

4

5.（2022春・湖南郴州•匕年级校考阶段练习）下列各方程是二元一次方程的是（）

A.8x+3y=yB.2xy=3C.2x2-3=9D.—!―二3

.¥+y

6.（2022秋•湖南永州•七年级统考期中）若关于x的方程仕-2）田|+3），=6是二元一次方程，则攵=.

7.（2023春•吉林长春•七年级东北师大附中校考阶段练习）方程f2_3）K=6是关于X,5的二元一次方

程，则〃?+2〃的值为.

8.（2023秋♦四川成都•八年级统考期末）若方程（，〃十l）x十3）*二5是关于x,y的二元一次方程，则，〃的值

为•

9.（2022秋•湖南永州•七年级统考期末）已知（〃-1）/-2〉"一刈6=o是关于x,y的二元一次方程，则心=

10.（2022秋•河南郑州•八年级校联考期末）已知（，+1）x+/=3是二元一次方程，则a的值为.

考点2：二元一次方程组的判定

典例：（2023春•湖南岳阳•七年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）下列方程组中，表示二元一次方程组

的是（）

x+y=5x=y+l1

x+y=3x+y=5

A.«B.，1c.«D.'oy+]

z+x=5—=xx2+y=122.r=-——

y2

方法或规律点拨

本趣考查了二兀一次方程组的定义，解题关键是掌握其中的三个条件：①是整式方程，②方程组中一共只

含有两个未知数，③含未知数的项的次数是1.

巩固练习

1.（2023春•重庆沙坪坝•七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）下列各方程组中，属于二元一次方程组的

是)

xy.2+J

x+2y=52x-5y=6—+—=4

A.B.C.25D.X5

孙=3

x-z=34r+3y=24r+3y=2

2.（2022秋•湖南永州•七年级统考期末）在下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）

x+1=3x+2y=3-=3

A.B.C.D.y

y+2=-l3x-2y=-\

x-y=4

3.（2023春•海南海口•七年级海匚市第十四中学校考阶段练习）下列属于二元一次方程组的是（）

x+y=1

x+y=5x=\x-y=xy

A.B.C.D.

-+-=8y+z=73x-2y=6x-y=\

4.（2023・全国•九年级专题练习）下列方程组中是二元一次方程组的是（）

—+y=3

2x-y=\

A.B.

y-2z=-2

-+2x=2

a=3mn—1

C.D.

2b-3a=4m+n=2

5.（2022秋•湖南怀化•七年级校考阶段练习）下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）

3x=03x-y=62x+y=6x~+4x=x~

A.B.C.D.

4x+2=yx+rn=12x+y=yx+y=8

6.（2023・全国•七年级专题练习）下列方程组中，是二元一次方程组的是（）

3x-y=5x+y=2

A.B.

2y-z=6y-2A-4

x+3=\5x+2y=l

C.D.

y=x2\y=一］

7.（2023・全国•七年级专题练习）下列方程组中,二元一次方程殂的个数有（）

x+3y=55x-2y=3

叱3Ix+y=5c.r=0

①x,②1

x-y=6y-z=6一+y=3Jx+y=5

-V

A.1个B.2个C.3个D.4个

x=3

9.（2023春•浙江•七年级期中）若｛,是关于x,），的方程％+〃?.y=13的一个解，则，〃的值为.

10.（2022秋•辽宁沈阳•八年级统考期末）已知｛।是方程33一4=5的一个解，那么。的值是______.

（7=-1

11.（2022秋•山东枣庄•八年级校考期中）若产J是方程组产一一：的解，则机=___________；〃=

y=3（）+〃y=-3

考点4：二元一次方程组的解法

典例：（2023春•黑龙江哈尔滨•八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）解下列方程组：

（I）-（代入消元法）

a=3b+20

、，

⑵L[3m+b=\\（加]减…消u元法）

方法或规律点拨

本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤，具有消元的

思想.

巩固练习

L（2。23春.全国•七年级专题用代入法解方程组，二:言，使得代入后化简比较容易的变形是

（）

A.由①得B.由①得）,二=1C.由②得，=与D.由②得夕=2一5

342

2.（2023春・全国•七年级专题练工）用代入法解方程组下列解法中最简便的是（）

x+3y=8•②

715919

A.由①得x=§—代入②B.由①得代入②

C.由②得x=8-3y代入①D.由②得），=[-]代入①

2vY75

3.（2U23春•河北邢台•七年级邢台三中校考阶段练习）用代入法解力程组〈'/-’时，代入正确的是（）

y=l+x

A.2x-l+x=5B.X-1+A=5C.X-\-X=5D.2X-\-X=5

x=1x=2

4.（2023春•北京通州•七年级校考阶段练习）己知,。是关于x,y的二元一次方程），=辰+）的解,

[y=i[y=3

则k,b的值是（）

A.k=\,b=（）B.k=~\,b=2C.k=2,b=-\D.攵=—2,b=\

5.（2023春•重庆沙坪坝•七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）关于x,〉的方程4x-3y=7和2x+3y=-1

的解相同，则x+3），的值为（）

A.—3B.-2C.-1D.0

6.（湖南省娄底市2021-2022学年七年级下学期期中考试作业数学试题）解下列方程组:

y=2x-3

（

D-3x+2），=8

（2）-3~4

4x+5y=32

7.（2023春•全国•七年级专题练习）解方程组:

y=x

⑴

y+4x=15

2x+4y=5

⑵

x=\-y

8.（2023春・全国•七年级专题练习）解下列方程组:

x=y-3

叫7x+5y=9；

j），=2x-3

⑵3x+2y=8

9.（2023春•浙江•七年级期中）用适当的方法解下列方程组:

x-y=4

（1）

2x+y=5

（2x-3y=3

[x+2y=-2

2x-y=-4

⑶[4-3；

3（x+y）-4（x-y）=6

（4）

山_q=i

26

10.（2023春•重庆沙坪坝•七年级重庆市凤鸣山中学校考阶段练习）解下列方程组:

2x-），=4

⑴二”,（代入消元）

3x+2y=-\

士1+区=1

（2）23（加减消元）

5-x=3（y-3）

11.（2023春・浙江宁波•七年级校联考阶段练习）解方程组:

x=2y

⑴

3x-2y=8

3x+2y=4

（2）xy+\

------------=I

123

i+2y=k—1

12.（2022秋•广东佛山•八年级统考期末）关于x、y的方程组；彳

2x+y=5Z+4

（1）当％=1时，解方程组；

⑵若方程组的解满足x+y=5,求k的值.

13.（2022春•黑龙江大庆•七年级大庆一中校考期水）解下列方程组

x=2y+3

3x+2y=17

（2x+y=\

（2）x+1_y+4

~T=F

考点5：二元一次方程组的错解问题

典例：（2。23,全国•九年级专题练习）在解方程组《2一ax+；y…=5时,由于粗心,甲看错了方程组中的〃，得解

_7

X=x=3

为，2,乙看错了方程组中的b,得解为＜

），二一7

）'=-2

⑴甲把。错看成了什么？乙把人错看成了什么？

⑵求出原方程组的正解.

方法或规律点拨

本题主要考宜二元一次方程组的解及二元一次方程组的错解问题，理解方程组的解是使方程组中两方程成

立的未知数的值是解题的关键.

巩固练习

1.（2023春•浙江•七年级专题练习）两位同学在解关于x、y的方程组%时甲看错①中的a,解

3x-by=2②

得％=2,y=\,乙看错②中的b,解得x=3,y=-1,那么。和b的正确值应是（）

A.a=1.5,/?=—7B.a=4,b=2C.a=4,b=4D.a=—7,/?=1.5

2.（2023春•浙江•七年级专题练习）甲、乙两人共同解方程组•由于甲看错了方程①中的

得到方程组的解为，二二;乙看错了方程②中的〃，得到方程组的解为则。，〃的值分别为（）

A.—2,6B.2,6C.2,-6D.—2,—6

ax+by=2x=\

3.（2023・全国•九年级专题练习）甲乙两人同时解方程组/，甲正确解得：乙因抄错了c,

cx-3y=-2[>'=]

[x=1

解得｛[；则4=,b=,c=.

ax+y=10

4.（2023春•七年级单元测试）甲、乙两位同学解方程组，甲看错了方程组；r,中的必得到的解

x+by=/

为一公，乙看错了方程组中的6,得到的解为•一s，则原方程组的解为（）

y=6ly=12

x=2x=-\

D.[y=8

5.（2。22秋・全国•八年级专题练功甲乙两人同时解方程组gax7+b；y,=28时,甲正确解得x尸=.32'乙因抄错

c而解得厂二：,则a,c的值是（）

），=2

。=467=4a=4

A.B.D.

c=-2c=5c=-2c=-ll

6.（2022秋•安徽滁州•七年级校考阶段练习）甲、乙两人求二元一次方程ov-外=1的整数解，甲正确地求

出一组解为乙把看成以-勿=7,求得一组解为「=；,则a,b的值为（）

a=-3f“=5fa=3fa=5

A,[b=2B,[b=2C，\h=-2D，[b=3

7.（2023春海南海口•七年级海口市第十四中学校考阶段练习）已知y=+"当x=-3时，y=2,当4-]

时，＞'=3.

⑴求k、b的值;

（2）求当X为何值时，y=o?

8.（2023春•黑龙江哈尔滨•八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）小李、小张两位同学同时解方

by=2fx=-2fx=—2

程组.。，小李解对了，得：,，小张抄错了m,得：c,求原方程组中a的值.

nvc-jy=-8[）'=3=2

cix-by=13

9.（2023春・浙江金华•七年级校考阶段练习）在解方程组,时，甲同学因看错了b的符号，从而

u-）；=4

%=3x-5

求得解为.一；，乙同学因看漏了C，从而求得解为‘一「试求S+C）"的值.

>'=2[y=l、

10.（2023春•七年级课时练习）在解方程组，r+时，由于粗心，甲看错了方程组中的口，而得解为

4x-by=-2

x=—3fx=5

，:乙看错了方程组中的人,而得解为

y=-lIy=4

⑴求出原方程组的正确解.

（2）甲把。看成数是多少？乙把人看成的数是多少？

"一"二一5①，由于甲看错了方程①中

11.（2023春・全国•七年级专题练习）甲、乙两人共同解方程组

ax+hy=5②

x=2x=3

的。，得到方程组的解为J”，乙看错了方程②中的〃，得到方程组的解为，r，试求出。，人的正确

y=3y=2

值,并计算“2⑶2次的值.

12.（2023春•七年级单元测试）已知关于x,y的方程组甲同学由于看错了方程①中的

4x-Z?y=-2（2）

得到方程组的解为‘JC二I3/乙同学由于看错了方程②中的b,得到方程组的解为'x[二54.

⑴求出原题中G和b的正确值是多少？

⑵求这个方程组的正确解是多少？

ax+3y=1①

13.（2023春•浙江•七年级专题练习）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到

hx-4y=1②

x=2

x=2

了方程组的解为7;乙把字母b看错了得到方程组的解为

），=一1

（1）求3a-从的值;

（2）求原方程组的解.

av+5y=10

14.（2022秋•全国•八年级专题练习）甲乙两名同学在解方程组）//时，由于粗心，用看错了方程

4x-by=-4

JV=3x5

组中的。，而得解为"一乙看错了方程组中的b,而得解为

,=_][y=4

⑴甲把。看成了什么，乙把b看戌了什么？

⑵请你根据以上两种结果，求出原方程组的正确解.

考点6：二元一次方程组的特殊解法

典例：（2022•山东济南•八年级期中）阅读下列材料:

2x+3y2x-3.y

小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组屋J鱼=7

，小明发现如果用

=8

代人消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错.如果把方程组中的（2x+3y）看成一个整体，把

（2x-3），）看成一个整体，通过换元，可以解决问题.以下是他的解题过程:

令"1=2工+3丁，n=2x-3y.

innr

—+-=7

43

原方程组化为

mn0

32

in=60

解得

n——24

m=60

把〜代入〃?=2X+3)，，〃=2x-3y,

n=-24

2x+3y=60

得

2x-3y=-24，

x=9

解得

y=14

x=9

・••原方程组的解为

y=14

请你参考小明同学的做法解方程组:

2(x+l)+3(y-2)=l

(D-(x+l)-2(y-2)=4

x+y|x-y

(2)25

2(x+y)-3x+3y=26

方法或规律点拨

本题考杳了换元法解方程组，熟练掌握换元法解方程组的意义是解题的关键.

巩固练习

人-―上工f2。—36=13g=8.3[2（x-2）=13+3（y+l）

L（2。22.全国•八年级单元测试）已知方程组（+5〃=3。.9的解是[=0®{3（；-2）=30,9-5（＞.J）

解是（）

x=8.3x=10.3x=6.3x=10.3

A.B.C.D.

y=\.2>•=2.2y=2.2'y=0.2

53x一-3y1=016的解是1x=5

2.（2022・陕西•无八年级期中）已知二元一次方程组);那么方程组

[y=3

5(x+y)-3(x-y)=16

的解是,

3(x+y-

3.（2。22・全国•八年级专题练习）已知x,y满足方程组则的值为一

4（2022•江苏•射阳县实验初级中学七年级期中）方程组Ca.xr-b.y；=m〃的解l是x=请8你写出方程组

〃的解

a2(x-2)-2b2(y+i)=5〃

37'=>一"，则AV的值为

5.（2022•全国•九年级专题练习）关于x、y的方程组

x-2y=\-ci

6（2022・四川・广元市利州区东城实验学校七年级期末）若方程组图黑;:的解是｛1：,则方程

qx+by=C[

组i的解是,

a2x+b2y=c2

a+2b=3-m

7.（2022•山东•曲阜师范大学附属实验学校七年级期末）已知关于m》满足方程组,贝!Ja-Z>

2a+b=-in+4

的值为.

8.（2022・浙江•之江中学七年级阶段练习）关于x,y的方程组+的解为则①4+力=

yt）x+ay=1-2abIy=1

a(x-+b(y+\)=—+ab

\的解为

②关于X,y的方程组・

〃(4-1)+a(y+\)=--ab

(A-+y)+5(x-j)-3

9.（2022・江苏♦测试・编辑教研五七年级阶段练习）用换元法解方程组）\"、[，若设x+)'="「r

4A{(x-y)-3(x+y)=l

则原方程组可化为方程组.

ax+b.y=c.二；求方程组

10.（2022•江西赣州•七年级期中）三个同学对问题“若方程组；,,的解是

a1x+b2y=c2

*a\x7-1）++Z>,（元y-2）=Jc,的解"提出各自的想法.甲说」这个题目好像条件不够‘不能求解乙说「它们

的系数有一定的规律，可以试试〃;丙说:“能不能把第二个方程组的两个方程通过换元替换的方法来解决”.参

考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是

or+4y=32.4x=2.4

（2。22•山西临汾七年级期末）已知关于x和）'的方程组（jv7.6的解是尸6.3,贝"另一关于"、

〃(x+2)+4()，-3)=32.4

y的方程组<的解是,

5(x+2)-心-3)=-0.6

2x+5y=3®

12.(2022・福建•漳州三中八年级期中)阅读材料：小强同学在解方程组时，采用了一种"整

4x+ll），=52②

体代换"解法:

解：将方程②变形：4工+10.、，+)，=5,即2(2x+5y)+)，=5…③，把方程①代入③得：2x3+)，=5即)，=-1,

把y=-1代入方程①，得x=4,所以方程组的解为=

请你解决以下问题

⑴模仿小强同学的“整体代换〃法解方程组%3x+5y=“)6；

6x+lly=35

⑵已知x,丁满足方程组原一上可=2：

6xz+4x>,+9/=51

(i)求D的值；

(ii)求出这个方程组的所有整数解.

13、(2022•山东济南•八年级期中)阅读下列材料：

2x+3y2x-3y)

-----+-----=7

小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组今413，小明发现如果用

2x+3y2x-3y

代人消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错.如果把方程组中的(2x+3y)看成一个整体，把

(2N-3)，)看成一个整体，通过换元，可以解决问题.以下是他的解题过程:

令in=2x+3y,n=2x-3y.

innr

—+-=7

43

原方程组化为

%-

32

in=60

解得

n=—24

tn=60

把＜〜代入〃?=2X+3），，n=2x-3y

n=-24t

I2x+3y=60

|2-V-3y=-24，

・•.原方程组的解为｛，x二=94.

请你参考小明同学的做法解方程组:

]2（x+l）+3（y-2）=1

（A:+l）-2（y-2）=4

‘8+0=一3

⑵’25

2（x+y）-3x+3y=26

考点7：含有字母系数的二元一次方程组

典例；典例；（2022•浙江，龙游县华岗中学七年级阶段练习）已知关于V的方程组彳-°,下列结

x-y=3G

论中正确的有几个（）

①当这个方程组的解巴）'的值互为相反数时，。=-2；

②当。=1时，方程组的解也是方程x+y=4+2〃的解；

③无论。取什么实数，X+2.V的值始终不变；

④若用X表示y,则），=一]+7；

A.1B.2C.3D.4

方法或规律点拨

本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键.

巩固练习

X-y=k+2

1.（2022•江苏•如皋市石庄镇初级中学七年级阶段练习）方程组\,的解适合方程工+丁=3,则火

x+3y=k

值为（）

A.2B.-2C.1D.——

2

2x+3y=k

2.（2022•河北•邯郸市第二十三中学七年级期中）已知方程组。.[一的解X、y满足方程5x-y=3,

3x-4y=k+]1''

求上的值为（）

A.-1B.-2C.-3D.-4

f3x+2y=4Z:-5

3.（2022•海南省直辖县级单位•七年级期末）若方程组''，的解适合工+>=2,则ZR勺值为（）

2x+3y=x

A.3B.4C.5D.7

3x-2v=2k-3

4.（2022•浙江•宁波外国语学校七年级期中）若关于x,y的方程组；「；:的解满足户户2022,则X

2x+7y=32一2

等于（）

A.2020B.2021C.2022D.2023

3x+2y=m+4

5.（2022•四川省射洪县射洪中学外国语实验学校七年级期中）若关于“，的方程组‘।的解

2x+3y=2w-l

互为相反数，则，〃的值等于（）

A.1B.0C.-1D.2

6.（2022・全国•八年级专题练习）已知关于X,丁的方程组产3），=：-"，给出下列结论：①不论。取何

值，方程组总有一组解；②当。=-2时，乂），的值互为相反数；③x+2y=3；④当产=81时，a=2.其

中正确的是（）

A.②③B.①②③C.①③④D,①②③④

7.（2022・全国•八年级单元测试）已知关于x,）'的方程组广]"；，给出下列说法：

x-y=3a+5

①当〃=0时，该方程组的解也是方程x+2y=-l的一个解：

②当时，则/一丁=0；

③无论。取任何实数，2工+），的值始终不变，以上三种说法中正确的有（）个

A.0B.1C.2D.3

解的定义，二元一次方程组的解的定义，平方差公式，解二元一次方程组.

[4x—6y=3。

8.（2022•重庆一中八年级阶段练习）已知关于八丁的二元一次方程组<一的解满足X-y=10,

则。的值为.

9.（2022•山东•夏津县万隆实验中学七年级阶段练习）关于达y的二元一次方程组的解为正整数，

则满足条件的所有整数〃的和为.

ar+5y=15⑴..

10.（2021•四川省南充市高坪中学七年级期中）甲、乙两人同解方程组Lh，时，甲看错了方程⑴中

4x=by-2（2）

X=2X=5（h、2皿2

的“，解得乙看错（2）中的。，解得".试求L06+-2的值.

卜=1[y=4I1。1

11.（2022•福建省永春乌石中学七年级阶段练习）已知关于x,y的方程组一‘一、.

x+y=4m+1

⑴试用含，〃的式子表示方程组的解.

⑵若方程组的解也是方程2.r+），=-14的解，求的，〃值.

x+2y=6

12.（2022・全国•八年级专题练习）已知关于小），的方程组，

2x-2y+mx=S'

⑴请写出方程x+2），=6的所有正整数解；

（2）若方程组的解满足x+），=0,求〃?的值:

⑶当〃?每取一个值时，2X-2），+〃LI=8就对应一个方程，而这些方程有一个公共解，你能求出这个公共解

吗;

⑷如果方程组有整数解，求整数"，的解.

13.（2022・福建•晋江市阳溪中学七年级阶段练习）阅读以下内容：

2x4-7y=5/n-3

已知x,y满足x+2y=5,且〈，求加的值.

三位同学分别提出了以下二种不同的解题思路：

2x+7y=5〃?一3

甲同学：先解关于X，），的方程组\Q再求，〃的值.

乙同学：先将方程组中的两个方程相加，再求m的值.

丙同学：先解方程组：再求〃?的值.

2x+3y=8

你最欣赏上面的哪种思路？先根据你所选的思路解答此题，再简要说明你选择这种思路的理由.

rfi能力提升

一、单选题（每题3分）

A.孙+%-2=0B.x2-2y=1C.--y=\D.x-3y=-l

x

2.（2022・全国•八年级单元测试）下列方程组是二元一次方程组的是（）

2x+3y=6x+y=32x-5y=13x-y=1

A.B.•C.D.

x=-\xy=kx2+y=52x+z=0