2025年高一数学暑假作业6：平面向量（北师大版）含解析

高一暑假作业6：平面向量(北师大版)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.(2025•天津市•期中考试)己知向量。=(L2),b=(2,x),若dJLb，则|2〃+矢律().

A.3&B.4C.5D.4N/2

2.在,ABC中，AB=4^AC=2,NZMC=60'，若BC=2CD，则|A£＞|=（）

A.币B.券C.3D.7

3.（2025•云南省•同步练习）已知矩形ABC。中，E为A3边中点,线段4c和。E交于点P,贝产=（）

1712212«1

A.——AB+-ADB.-AB——ADC.-AB——ADD.——AB+-AD

33333333

4.已知：，01均为单位向量，且则（。+人+c）g+c）的最大值是（）

A.2+2夜B.3+&C.2+石D.1+28

5.（2025•山西省晋中市•期中考试）如图，在中，已知AB=2,BC=4,N/WC=60＞，

BM=MC»4AN=AC＞线段AM和4N交于点P,则NNPM的余弦值为（）

V19RM「5币八5近

D.U.

38----------------------------38----------------------------14-----------------------14

6.(2025•山东省•单元测试)已知点。是一48c内部一点，并且满足QA+208+3OC=0，OAC的面积为

S、,-A4C的面积为S],则[=()

11I2

C

A.6-3-2-3-

7.平行四边形A8C。中，已知43=4,4)=3,点£、尸分别满足AE=2ED，DF=FC且

AFBE=-6,则向量A/)在AB上的投影的数量为()

33

A.2B.—2C.-D.—

22

8.(2025•广东省湛江市•月考试卷)在锐角二ABC中，角人，B,C的对边分别为a,b,c,5为-AAC的面

积，且2s=々2一(/,一)2,则竺二31!2G的取值范围为().

74厅-⑵c+13c2

A•「39制73、B.［(而281句91C.［2即73、D.［(而281，)1

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.(2025•浙江省嘉兴市•期中考试)已知一人8。的内角A,B,C所对的边分别为mb,c,下列四个命题中正

确的是()

A.若sinA>sin8,则一定有a>〃；

B.若人转。是锐角三角形，则•定有sinA>cos8cosc成立；

C.若)cosC-ccosB=a,则二ABC一定是直角三角形；

D.若sin2A+sin2c+cos2B>l，则-ABC一定是锐角三角形.

10.(2025•广东省•月考试卷)已知向量a-(\/5,1),b=(cosor,sinor),则下列结论正确的有

()

A.=1B.若o〃〃,则tana-8

C.Q.〃的最大值为2D.卜-司的最大值为3

11.(2025•辽宁省大连市•期中考试j已知.ABC,”,。分别为该三角形的垂心、外心，则卜冽结论正确的是

()

33

A.若40,2),8(1,0),C(2,-l),则BA在8c上的投影向量为(一/,耳)

B.若|OA|=|OB|=|OC|=1且40/1+3OB+2OC=0，则OBOC=\

4

C.若"8C的内角A8,C所对的边分别a/,c,则“acosA=6cos8”是“AA8C为等腰三角形”的充

分不必要条件

D若2/M+3HB+4HC-0，则sinN“〃C=^^

5

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(2025•广东省湛江市•月考试卷旧知向量。=(2,1),力=(1-工,力，c=(-3x,3x),满足。〃人，则

夹角的余弦值为.

13.（2025•江西省抚州市•期中考试1在中，E为AC匕一点，AC=3AE^。为BE上任一点，若

31

AP=rnAB+nAC（m>0,n>0）»则1■一的最小值是.

mn

14.（2025•全国•专项测试）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书蚱序时，介

绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间

的一个小正方形组成）类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个

小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设=+若AO=3A/，则2一〃的值

为_____

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.（2025•江苏省•单元测试）（木小题13分）

己知|a|=JI|b|=2,且。与〃的夹角是120',求：

⑴（〃+2人）2：

⑵12。一〃|；

⑶当攵为何值时，（4+28）J_（而-〃）.

18.（2025•湖南省邵阳市•期中考试1（本小题17分）

如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛。相距都为与小岛。

3

相距为3W，"?iilc.NRAD为钝角，旦sinA=-.

⑴求小岛4与小岛。之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积:

(2)记NBDC为/CBD为0,求sin(2a+4)的值.

19.（2025•河南省郑州市•期中考试1（本小题17分）

如图，设中角A,B,。所对的边分别为a,b,c,AO为8c边上的中线，己知c=l且

1JTj"

2csinAcosB=（7sin/I-Z?sinB+—bsinC,cosZBAD=—^.

47

⑴求。边的长度;

(2)求.SAC的面积；

⑶设点E，/分别为边AB,AC上的动点，线段E尸交AO于G,且工人石户的面积为.ABC面积的一半,

求AG-£尸的最小值.

1.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查向量的模的求法，考查向理垂直、向量坐标运算法则笔基础知识，考查运算求解能力，属于基础

题.

利用向量垂直的性质得x=—l,再由平面向量坐标运算法则求巴2〃+〃，由此能求出I24+/H.

【解答】

解：向量a=(l,2),b=(2,x),,.•.〃./?=2+2x=0，解得了=一1,

.•.2。+〃=(4,3),.\|2a+b\=>/16+9=5.

故选：C.

2.【答案】A

【解析】【分析】

本题考查了向量的线性运算，考查转化思想，属于基础题.

求出AD=^3AC-^1AB，根据向量的线性运算求出IAD|的值即可.

【解答】

解：BC=2CD，

：.AC—4B=2(4。—AC),

/.AD=-AC--AB

22t

3I、9，3I2

/.(-AC一一^)2=-AC~--ACAB+-AB'

22424

93I1一

=-x4——x2x4x—+—x16=7,

4224

：］AD\=^AC-^AB)2=V7,

故选：A.

3.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查向量的线性运算，向量的加减与数乘运算，属于基础题.

如图，取C。中点G,连接8G,交AC于点”，可证得四边形6EQG为平行四边形，得到BG//DE,结

合三角形中位线性质可确定〃为AC上靠近A的三等分点，从而根据向量线性运算推导得到结果.

【解答】

解：如图，取CO中点G,连接BG,交AC于点儿

四边形A8C。是矩形，则AB=CD,

又E为边中点，

/.BE//DGtBE=DG,

••・四边形BEDG为平行四边形，

:.BG//DE,乂E为4B中点，

:毋=FH、同理可得c〃=a/,

/.AF=-AC=-(AB+AD)t

33

12I

则BF=RA+AF=-AB+-(AB+AD)=--AR+-AD.

故选D.

4.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查平面向量的坐标运算及利用辅助角公式求最值，关键是根据条件判断出］，恰当建立直角坐

标系，利用坐标来计算，属中档题.

【解答】

解：因为蒜=(),所以

把“和〃重合起点设为。点,以：的方向为x轴正方向，

以1方向为)，轴正方向建立直角坐标系，

则〃=(1,0),/?=(0,1)，设c=(cos9,sin。)，

--.—►—¥—♦—►—►

所以a+b+c=(1+cos^J+sina+c=(l+cossin。)，

贝I](a+〃+c)(a+c)=(l+cosO)2+(1+sin8)xsin。

=2+2cos0+sinO=2+不sin(0+°),tan(p=2,

当sin(0+9)=l时，(4+1+c)〃+c)最大为2+6.

故选C.

5.【答案】\

【解析】【分析】

本题考查平面向量基本定理及利用平面向量的数量积运算求夹角，属于中档题.

设BA=。，BC=b，可得AM，BN，再由cosNNPM=cos＜4/，BN＞得出即可.

【解答】

--1.一31

解：设3A=d，BC=b，可得AM=-a+-Z?,BN=-a+-b,

244

R…AMBNM

可得cosNNPM=cosvAM'河＞==广-

故选：A.

6.【答案】B

【蟀析】【分析】

本就考查了向量的儿何运用和向量的加法、减法、数乘运算，属了中档题.

延长08到。使得30=03,延长0C到E使得CE=2OC,连接4D,DE,AE,利用向量的加法和数

乘运算得点。是二AT＞石的重心，再利用平面几何知识，计算得结论.

【解答】

解：如图：

延长08到。使得班＞=。3,延长0。到£使得CE=2OC,连接4。，DE,AE.

因为QA+2O8+3OC=0，所以OA+OO+OE=。，

因此点。是乙ADE的重心，所以S.O&D=SODE=SOAE=§S.2E.

又因为S.CMC=彳SOAE，SOAB=~^Sw,SOBC=~^S,

32OO[)E

所以S]=SQCADF,»^,OAB,ADE»,OHC=TJ^,ADE»

9Olo

因此52=S-s_lc

ABC1.9618jADE一§力ADE»

Is

S.Q1

所以芳一

3

§JjlDE

故选B.

7.【答案】C

【蟀析】【分析】

本题考查向量的投影及向量的数量积的运算，属于中档题.

根据其数量积以及已知条件可以求得cosNDAB,再代入向量的投影的数量公式求解即可.

【解答】

解：如图：

因为A«=4,AD=3,点石、尸分别满足A上=2上〃，。尸=AC，

所以AE=2,DE=l,DF=FC=2；

AFBE=-6=(AD+DF)(BA-¥AE)

=(/\D+-AI3)(-Af3+-AD)

23

221-2

=-AD——ABAD——AB

332

C51

=-x32——x3x4xcosNDAB——x42.

332

?.cos/.DAB=—；

2

13

向量AO在A8上的投影的数量为：IAO|COSND43=3X5=/.

故选：C.

8.【答案】。

【解析】【分析】

本提考查了正、余弦定理的综合应用，二次函数的最值，属于困难题.

_434

利用2S=/-S-c)2,三角形面积公式和余弦定理可得sinA=一，故可得到cosA=-,tanA=-,然

553

〃43

后利用正弦定理可得-=7--+7*利用换元法结合二次函数的性质，即可求解.

c5lanC5

【解答】

解：中，由余弦定理得，a2=b2+c2-2hccosA^

且_A8c的面积为S=—Z?csinA,由25=/一他一以，得历sinA=2Z?c-2Z>ccosA,

化简得sinA+2cos4=2；又Aw0,—I,sin2A+cos2A=1»所以sinA+2J1-L/A=2，

I2J

4

化简得5s加2A-4sinA=0,解得sinA=三或sinA=0(不合题意，舍去);

J'

因为所以2sinA4

cosA=>]\-sinA=1,tanA=-------=——

5cos43

所以2sinBsin(A+C)sinT4COSC+cosAsinC_43

---------n----，

csinCsinCsinC5tanC5

兀

由B+C=;r-A,且Be0,q,TT-AG

乙)

解得江仁

-A,万一=-----A,一

、22

sinfy-A

131eg,所以b台

所以tanC>tan--AUnA"所以

<27VtanC

cos——A4

12

设、儿；b“其中fe(g3w5

+17z

4b2-\2bc+He24r-12/+17,4

所以y=-7^———丁-----=------------------=1H-------------------

4/7'-\2bc+\3c'4/2-12/+134/2-12/+13

12-1+13

3353

又所以1=:时，y取得最大值为为=2,

3x28151.73口28173

f=一时，y=—；/=一时，y=—,且—<—.

5/p>

22

281.,4b-\2bc+\7c1Vl而/古小•田口(22881-

所以ye而二，即H|—r-^7―l的取值氾围是百；，

4/厂一12"7+1女~〈l⑻⑻」

故选:D

9.【答案】ABC

【解析】【分析】

本题考查诱导公式，正弦函数的图象与性质，以及正弦定理，属于基础题.

由正弦定理可判断4,由诱导公式及正弦函数的单调性可判断B,由诱导公式及正弦定理可判断CD

【解答】

解：对于人，因为sin八〉sin所以由正弦定理得幺>2,所以〃>〃，所以A正确：

2R2R

对于从若一八HC为锐角三角形，可得4+工且4,3£(0,工)，可得4>工一8,且

222

--BG(O,-),根据正弦函数的单调性，可得sinA>sin(f-B),所以sinA>cos3,

222

因为OvcosCvl,所以cos8>cos8cosC,所以8正确；

对干C,由正弦定理及bcosC-ccos5=々,知sin4cosc-sinCeos4=sinA,所以sin(B-C)=sinA,

因为—%v6—Cv%,0vAv%,则。一C—A或"一。十A—/r,又从十〃十C—/r,W'JB=—,二角形为直角

2

三角形，故C正确：

对于sin2A+sin2C+cos2B>b则sin?A+sir?C-sir?8>0，由正弦定理得。+c?-从>0,则角B

为锐角，但,.43C不一定是锐角三角形，故。错误；

故选：ABC.

10.【答案】AC

【解析】【分析】

本题考查了向量的模、向量垂直、向量平行、向量的数量积和同角三角函数的基本关系，属于中档题.

根据题意逐一判定即可得出结论.

【解答】

解：对于4,\b|=7cos2a+sin2a=1,A正确；

对于A,若a//b，则V3sinct-cosoc—0，」.tanex=.R借误：

对于C,。•力=Gcosa+sina=2sin(a+。)，最大值为2,。正确；

对于。，同=2,b=\f

|«-/7|=一〃)=\Ja2-2ab+b2=J5-4sin(a+,

jrTT

・・・。£[0,5],，当仪=5,即/?=(()/)时，取得最大值G，D错误.

故选AC.

H.【答案】AB

【解析】【分析】

本题考查向量在平面几何中的应用，投影向量，向量的数量积的概念及其运算，利用正弦定理判断三角形

的形状，利用向量的数量枳求向量的夹角，属于较难题.

求出R4在8C上的投影向量可判断4由(3O8+2OC)2=(-4OA)2可判断&由正弦定理以及充分条件的

定义可判断C;&HCHB=HCHA=HAHb=t，Si(3HB+4/7C)2=(-2HA)2,

QHA+3HBy=(-4HC，,(2H/U4WC)2=(-3W>化简解得“/，HA>求出cosN3〃C,可得

sin/BHC可判断D

【解答】

解：对于A,若40,2),8(1,0),C(2,-l),BA=(-1,2),BC=(1,-1),

则BA在8C上的投影向曷为：

|BA||cos^“©匹=也叫空

'18cl\BC\\BC\

|-1-?|33

=L—J-(U-D=(-,--),故A正确；

222

对于从若|OA|=|O4|=|OC|=1,因为40A+304+20C=0，

所以(3OB+2OC)2=(-404)2,即9+1208・OC+4=16，

所以080。=!，故8正确；

4

对于C,若acosA=/?8s3,贝！由正弦定理得sinACQSA=sin3cos3,sin2/1=sin2B,

0<A8<〃，可得2A=23或2A=7一23,

所以A=8或4=2一3,可得4ABe不一定为等腰三角形，故C错误；

2

对于。，因为“分别为该三角形的垂心，所以

HA-BC=HA(HC-HB)=HA-HC-HA-HB=0fHAHC=HAHB，

HC•AB=HC(HB-HA)=HC,HB-HC•HA=U,HCHB=HCHA，

设HC・HB=HCHA=HAHB=i，

若+3HB+4HC=0，则(3"8+4HC)2=(-2HA)2,

(2HA+3/78)2=(-4HC)2,(2HA+4HC)2=(-3HB)2,

所以9HB，+24HBHC+T6HC=4HA~,

4HA'+12HA-HB+9HB'=16/7C'，4HA'+16HA-HC+\6HC~=9HB'，

9HB，+24r+16HC2=4UA，，4HA+12，+9庙=16HC2，

4次+⑹+16HC?=9加，

解得//A==-々(，vO),HB'=一2,，"二一3’，

24

,7RHC=HBHC=/V10

CS_

则°"云一可，々HCC(0.冗)，

所以sin4BHC=Jl一cos屋BHC=半,故。错误.

故选：AB.

12.【答案】-叵

10

【解析】【分析】

本题考查向量的数量积、向量的夹角、向量的坐标运算和向量共线，属于中档题.

根据。〃。，求出X,求出向量〃与C的模，b・C，利用夹角公式，即可求出结果.

【解答】

解：「4=(2,1),Z?=(l-x,x),且a〃力，

解得,

3

c=(-3x,3x)=(-1,1),b=(1-A,X)=

设Ac夹角为夕,

1

故答案为—典.

10

13.【答案】12

【解析】【分析】

本题主要考查了向量的共线定理，平面向量基本定理及利用基本不等式求解最值，属于基础题.

由已知结合向量共线定理求出3〃=1,然后结合基本不等式可求.

【解答】

解：因为AC=3AE，P为BE上任一点,

AP=mAB+nAC=mAB+3nAE，

而P,B,E三点共线，由平面向量共线定理得〃?+3〃=l,/〃>0,〃>0,

nit31.31w9八，九/l9nm-

则—i—=(—i—)(/w+3〃)=64---1—..6+2.------=12,

mnmninn\mn

当且仅当如二竺且，〃+3〃=1,即〃?=(，〃=!时取等号，

mn26

31

故二+一的最小值是12.

mn

故答案为：12.

14.【答案】—

13

【解析】【分析】

本题主要考查解三角形以及平面向量基本定理，熟记正弦定理和余弦定理、以及平面向量基本定理即可,

属于中档题.

【解答】

解：A£)=3AF，二可设4。=3A尸=3,

;.BD=AF=\，

又由题意可得NADB=120°,

AB2=AO2+BZ)2-2Ao・8。•cosZADB=32+12-6cosZI20s=13，

AB=yf[3,

延长4。交8C于M,记=ZAMB=a,

AD2+AB2-BD29+13-i7x/13

cosNDAB=

2ADAB6x/1326

739

sinNDAB=V1-cos2Z.DAB=,即cos0=,sin。=

2626~26f

又由题意易知=则a=l20'-。，

BM_DM_BD

在三角形。8M中，由正弦定理可得:

sinNMDB-sin4DBM-sin/DMB

BMDM1

sin60sin。sin(120-0\

sin60

BM=

sin(I20c-6>)3cos8+。。44

22

sin®_sin。_1

sin(120-^)=73~~,1.

——cos8+—sin夕

22

312

：.AD=^—AM=—AM

3+113

4

•「BM=-BC及AM—AB=-(AC-AB),

44

31

整理得4例=-AB+-AC,

44

12123193

:.AD=—AM=—[-AB^-AC)=—AB+—AC,

1313441313

93

又因为AO=/IA8+〃AC,由平面向量的基本定理可得4=—,//=—

1313

6

：.A-U=一

13

15.【答案】解：⑴"〃|=夜,|切=2,且匕与。的夹角是120°，

(a+2b)2=a2+4b2+4ab

=2+4x4+4x\/2x2xcos120

=18-4>/2.

(2)\2a-b\=^(2a-b)2

=+b2-4ab

=\4x2+4-4x\/2x2xcos120

=273+&.

(3尸・,(。+28)_L(鼠/-〃)，

(a+2b}•(ku-b)

二庙+2kab-a,b-2b‘

=2A+(2I)(&x2xcosl2()°)-2x4=0,

解得女=_"逑.

2

.当&=_6+；应时,m+2b)_L(3-h).

【解析】本题考查向量的平方及模的求法，考查向量的数量积与向量垂直的关系，实数值的求法，是中档

题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用.

⑴利用向量数量积公式能求出(a+2b)2.

⑵利用向量数量积的性质得到|2〃-切=5(2〃-。2即可求解.

⑶由(a+2b)1(ka-b),利用向量垂直的性质能求出k的值.

16.【答案】解：⑴因为机=(〃,回)，〃=(cosAsin8),且""/〃，

所以asinB=\/3/?cosA»

由正弦定理得sinAsinB=J5sin8cosA，

因为」A3C中，Bw(0,兀),

所以sin8>0,

所以sinA=GcosA，

可得tanA=J5，结合Ac(。，幻，

可知A=工；

3

(2)根据余弦定理，得/=〃+02-2反cos(=3,

整理得S+c、)2=3+3bc,

由基本不等式，得仇;,(生二)2,

2

当且仅当匕=。时，等号成立，

所以S+C)2,,3+：S+C)2,

4

解得〃+G,2公，

结合乙A/3C中'b+c>a=>/3»

可得<〃+G,，

即b+c的取值范围是(J5,26

【解析】本题考查向量平行(共线)关系的坐标表示，利用余弦定理解三角形，由基本不等式求取值范围，

利用正弦定理解二角形，属于中档题.

⑴根据〃"/〃，利用两个向量平行的条件建立关系式，根据正弦定理与同角三角函数的基本关系，化简得

tanA=g，进而求得角A的大小：

⑵利用余弦定理列式，化简得到S+C)2=3+3A,然后利用基本不等式解出〃+J2百，结合“三角形

两边之和大于第三边”，求出b+c的取值范围.

兀

】7.【答案】解：若选①,由2Z>sin(A-4-—)=a+c展开，得bcosAI\/3Z?sinAac=0,

6

又由正弦定理可知sinBcosA+Ssin8sinA—sinA—sinC=0，

且sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以Gsin^sinA-sinA-sinAcosB=0^

又Ae(O,万)，则sinA>0,所以Jisin3_cos3=1，

所以2sin(8-2)=1,可得sin(8—匹)=’,

662

yr7TS

又8e(0,乃)，所以B—%)，

666

TT7T7T

所以8-二=工，所以8=上；

663

若选②，因为(2c-4)COS4=Z?8SA,

乂由正弦定理可知：(2sinC-sinA)cos6=sin6cosA,

所以2sinCcos/?=sin"cosA+sinAcosB=sin(A+B)=sinC,

又Cw(0,4),则sinC>0,所以COSB=L,又AW(O,I),所以8=工；

23

若选③，23422.„>由余弦定理得/

a+c-b=3S.ZtUCc-+02=2accosA，

2Fi

所以2〃c'cosB=二^acsinB，

3

由上式易知cos3wO,所以ianB=G，又,所以8=g；

(1)由。=2,C=f及正弦定理知c=2"，

43

又4=乃一£一［二雪，所以S=4csinA=3+&.

4312ABC23

(2)解法一：若々7+Z?=3C,由正弦定理得4sinA+sin8=3sinC,

又B=C,所以4sin(生-C)+sinB=3sinC,

33

可得4d^cosC+LsinC)+^^=3sinC，

222

所以sinC=273cosC+—，

2

又siYC+cos2c=1,代入上式，得52cos2C+24cosc-1=0，

2

所以(2cosC+l)(26cosC-l)=0,又CE(0,—万)，

3

所以cosCw(----,1),所以cosC=1-；

226

解法二：若4a+Z?=3c,又3=£,

3

2

由余弦定理/+/N=2accos8可知定+c-V=ac,

即/+c2-ac=b2=(3c-4a)2=9c2+16a2-24ac,

Q

整理得8c2-23a、+15/=0，解得

JLJ

7T

若〃=c,B=—,则a=c=〃，与4«+。=3c矛盾：

3

e8,13

若a=—c,则rllb-——c,

1515

2»22i

由余弦定理可得cosC=i”=—.

2ab26

【解析】本题考查正余弦定理，三角形的面积公式，两角差的正弦公式，考查计算能力，属于中档题.

(1)若选择条件①：展开后由正弦定理可得出sinBcosA+J5sin3sin4-sinA-sinC=0，再根据

jr

sinC=sinAcosA+cosAsinA可得出、回sinB-cos3=l，然后即可求出8=4；若选择条件②：根

据正弦定理可得出C0S8=1,从而得出8=；；若选择条件③：根据余弦定理及三角形的面积公式可得

23

出lan4=G，从而求出3=?；然后根据正弦定理可求出c=乎，然后根据三角形的面积公式即可求

出./AC的面积;

7F

(2)解法一：根据正弦定理可得出4sinA+sin8=3sinC,再根据3=—可得出

3

,然后即可得出52cos2C+24cosc-1=0，从而解出cosC即可.

22

解法二：由余弦定理/+c2_b2=2.CCOSB可知〃+c-b=ac，

13

b=—c,再利用余弦定理得到结果.

15

3

18.【答案】解：(l):sinA=m，且人为钝角，

/.cosA=-Jl-(1)2=q,

12

在t.AI3D中，由余弦定理可得BDr=AD+AB-2AD•AB•cosA,

(3行了=AD2+52-2AD-5.(-1),即AD2+SAD-20=0，

解得：4)=2或AD=T0(舍去).

.•.小岛A与小岛。之间的距离为2nmile.

3

A、B、C、。四点共圆，「.A与C互补，则sinC=§,

。4

cosC=cos(l80-A)=-coSi4=—.

在,,6£>C中，由余弦定理得：CD2+C0-2CDCBcosC=BD?，

/.CD2+52-2C£>51=(3石彳，得CD2-8。。-20=0，

解得8=-2(舍去)或C£>=10.

S四边升纨BCD=S+SKD=-AI3ADs\nA+-CBCDsinC

ABD22

1313

=-x5x2x-+-x5xI0x-=3+15=18(平方ntnile)；

RI')

⑵在力"中，由正弦定理得：—=—

5_3x/5R

即sina_3，解得sina=——.

55

二。为锐角，则co$a=J-/s

5

3

又sin(a+/?)=sin(l80-C)=sinC=—,

。4

cos(a+/?)=cos(l80-C)=-cosC=--,

sin(2<2+尸)=sin[a+(a+/?)|=sincrcos(tz+/?)4-cos«sin(cr+(3)

7542>/532后

=——x(——)d-------x—=------.

555525

【解析】本题考查三角形的解法，考查正弦定理及余弦定理的应用，考查两角和的正弦，考杳运算求解能

力，是中档题.

⑴由sinA求得cosA,在中，由余弦定理列式求得4D；再由4、B、C、。四点共圆求解sinC与

cosC,在7.EX?中，由余弦定理解得CQ,再求ABD、.,88的面积，可得四个小岛所形成的四边形

的面积；

(2)在中，由正弦定理得sina,求出cosa,再求出sin©-I⑨与cos(。+月)，