勾股定理（讲练）-初中八年级数学下册（学生版）

专题17.1勾股定理

典例体系(本专题共42题38页)

一、知识点

勾股定理：直角三角形两直角边的平方之和等于斜边的平方。

勾股定理的证明：勾股定理的证明主要采用面积法。

勾股定理应用：分成两个方面：

1、计算：利用勾股定理构造方程求解几何量或解决实际问题；初中阶段勾股定理的重要作用在于应用它来

构迂方程，以解决儿何问题。同时，数学史上异彩纷呈的证明方法为勾股定理证明问题的命制提供了大量

资源。

2、用于几何证明

二、考点点拨与训练

考点1：勾股定理的证明

图①

(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理.

c

图③

方法或规律点拨

本题主要考查了勾股定理的证明与应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实

际问题常用的方法，

巩固练习

1.（2021•四川资阳市•八年级期末）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特

的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展，现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图Rt^ABC

中，ZACB=90°.AC=b,BC=a,AB=c,请你利用这个图形解决下列问题：

（1）试说明：出+按=&;

（2）如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是3,求3+〃）2的值.

2.（2021•江苏苏州市•八年级期末）三国时代东吴数学家赵爽（字君卿，约公元3世纪）在《勾股圆方图注》一

书中用割补的方法构造了“弦图”（如图1,并给出了勾股定理的证明.已知，图2中涂色部分是直角边长为〃泊,

斜边长为。的4个直角三角形，靖根据图2利用割补的方法验证勾股定理.

b

（图1）（图2）

①②

(I)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形(如图②)，也能验证这个结论，请你

帮助小明完成验证的过程.

(1)爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个人的正方形(如图2),也能验证这个结论，请你

帮助小明完成验证的过程；

5.(2020•江苏常州市•八年级期中)如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形.

(1)弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为较短的直角边为方斜边

长为。，结合图①，试验证勾股定理；

(2)如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓(粗线)的周长为24,OC=3,求

该飞镖状图案的面枳；

(3)如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形A8CD,正方形EFGH,正方形MNKT的

面积分别为Si、S2、S3,若5I+S+S3=16,则SZ=.

D

图7

图5国6

（4）如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为加、

S2,直角三角形面积为$3,请判断5；、邑、$3的关系并说明理由.

考点2：以弦图为背景的勾股定理应用

典例：（2020•江阴市夏港中学八年级月考）图①是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直

角三角形围成的.

（2）在（1）的条件下，若将图①中的四个直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍，得到图②所示的“数学

风车”，求这个风车的外围周长（图中实线部分）.

方法或规律点拨

本题是勾股定理在实际情况中应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题.读懂题目信息并准确识图是解

题的关键.

巩固练习

1.：2020•河南郑州市•八年级期中）1876年，美国总统伽菲尔德利用如图所示的方法验证了勾股定理，其中两

个全等的直角三角形的边AE，£3在一条直线上，证明中用到的面积相等关系是（）

3.（2021•大庆市庆新中学八年级期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的

大正方形，若直角三角形的两直角边长分别为3cm和5cm,则小正方形的面积为（）.

A.①②B.①②®C.®®®D.①②③④

6.（2021•全国八年级）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所示

的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长

为，，较短直角边长为江若疝=6,大正方形的面积为16,则小正方形的面积为（）

A.8B.6C.4D.3

7.（2020,渠县文崇中学八年级月考）如图，是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角

三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是12,小正方形的面积是2,直角三

角形的短直角边为a,较长的直角边为b,那么（a+b）2的值为（）

A.144B.22C.16D.13

9.（2020•江苏淮安市•八年级期中）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形ABC。，中间阴影的部分

是一个小正方形EFG〃，这样就组成了一个“赵爽弦图若AB=13,AE=12,则正方形EFGH的面积为

考点3：利用勾股定理解决实际问题

典例：（2021•沙坪坝区•重庆一中八年级期末）下图是某“飞越丛林”俱乐部新近打造的一款儿童游戏项目，工

作人员告诉小敏，该项目A8段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形CQE尸为一木质平

台的主视图.小敏经过现场测量得知：CD=1米，4。=15米，于是小敏大胆猜想立柱A8段的长为10米，

请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱A/3段的正确长展.

方法或规律点拨

本颍牛要考杳勾股定理的应用，解题的关键是作出辅助线,构造百角三角形

巩固练习

1.（2020•渠县第四中学八年级月考）如图，某会展中心在会展期间准备将高5〃?，长13加，宽2阳的楼道上铺

地毯，已知地毯每平方米20元，请你帮助计算一下，铺完这个喽道至少需要元钱

4.（2021•河南洛阳市•八年级期末）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多Im,当他

把绳子拉展后，下端刚好接触地面，被拉直的绳子下端拉开5m（绳子下端与旗杆根部的距离），请你帮小明

计算旗杆的高.

5.（2020•太原市行知宏实验中学校八年级月考）本题分为A,B两题，可以自由选择一题，你选择_____题

A：如图，小明想知道学校旗杆的高度，他将升旗的绳子拉到旅杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳

子拉到离旗杆底端6m处，发现此时绳子底端距离打结处2m,则旗杆的高度为多少米？

B：如图，AB为一-棵大树，在树上距地面10m的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一•筐水

果，一只猴子从D处爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳AC,滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B,

再由B跑到C,已知两只猴子所经路程都是16m,求树高AB.

6.（2020•江苏苏州市•苏州中学八年级期中）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统

数学的基本框架.如图所示是其中记载的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者

高几何?”题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断

处离地面多高？

赛.f

x

3*v

-

:A

iW

fA

*一

上

手

«-

。

工

・

一«

«团

7.（2020•张掖育才中学八年级月考）如图，一根旗杆在离地面9〃z处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12机处，

将旗杆接好后，由于台风影响，旗杆再次断裂，已知旗杆的顶部落在距离旅杆底部6帆处，问旗杆第二次是

在离地面多少米处断裂的？

B

cA

11.（2021・重庆万州区•八年级期末）“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过

40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A正前

方18米的C处，过了2秒后到达8处/C_LAC）,测得小汽车与车速检测仪间的距离人8为30米，请问这

辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？

Br-、------------------4

A

妮则点

12.（2020•山东省平邑县第一中学八年级月考）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上

行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面

对车速检测仪A的正前方50米处的C点，过了6秒后，测得小汽车所在的B点马车速检测仪A之间的距

离为130米.

⑴求BC间的距离；

⑵这辆小汽车超速了吗？请说明理由.

3小汽车C小汽车

幺观测中

13.（2020•云南临沧市•八年级期中）国家交通法规定：小汽车在城市街道上行驶速度不得超过60回?/力，一辆

小汽车在i条城市街道上由西向东行驶，此时在小汽车正南方向25机处有一个车速检测仪，过了45后，测

得小汽车距离测速仪65〃?.这辆小汽车超速了吗？通过计算说明理由(1加s=3.65?〃?)

14.(2020•成都嘉祥外国语学校八年级月考)《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道

上行驶速度不得超过70千米/时，一辆小汽车在一条城市街道上直向行驶，某一时刻正好行驶到距车速检测

仪A正前方5()米的。处，过了6秒后，测得小汽车的位置A与车速检测仪4之间的距离为130米，这辆

小汽车超速了吗？请说明理由.

一—........自

B、、、、、、：C

-----------——

观测点

15.(2020・全国八年级课时练习)“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在高速公路上的行驶速度

不得超过120千米/小时，不得低于60千米〃J、时，如图，一辆小汽车在高速公路上直道行驶，某一时刻刚

好行驶到“车速检测点A”正前方6()米B处，过了3秒后，测得小汽车位置。与“车速检测点力”之间的距离为

100米，这辆小汽车是按规定行驶吗？

小Cov............。3小^^

----------------------^6--------

A检测仪

考点4：利用勾股定理证明线段关系

方法或规律点拨

本题考查作高线，勾