高考数学一轮复习压轴题：函数中的双变量问题（原卷版）

专题7函数中的双变量问题

一、考情分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点，近几年高考试卷及各地模拟试卷中常出现在函数背景下借组导

数处理含有两个变量的等式与不等式问题，这类问题由于变量多，不少同学不知如何下手,其实如能以函

数思想为指导，把双变量问题转化为一个或两个一元函数问题，再利用导数就可有效地加以解决.

二、解题秘籍

（一）与函数单调性有关的双变量问题

此类问题一般是给出含有%,毛，/（与），/（々）的不等式，若能通过变形，把不等式两边转化为同源函数，可利

用函数单调性定义构造单调函数，再利用导数求解.

常见结论：

（1）若对任意不总€。,当再工X时恒有,⑸一/⑸＞0.则v=f（幻在。上是增函数；

（2）若对任意当x产/时恒有"）＞女,则y=f（x）-匕在力上是增函数;

X）—x2

⑶若对任意当王工居时恒有小上9＞—则），=/（x）+A在D上是增函数；

X,-x,x1x2X

（4）若对任意e。，当x产占时恒有以兄—+元,则y=/（x）-f在。上是增函数.

内一/

[例I]（2024届四川省仁寿第一中学校高三上学期第一次调研）已知函数/（外=上等.

⑴求/（X）的单调区间；

（2）存在与”（1，欣）且X]/工2，使|f（M）-.f（X2）|*|lnxTnx2|成立，求k的取值范围.

【解析】（1）由题意得r（1）=三竺，令/"*）=（）得1=1,

xe（0,l）时，｛）＞0,/⑶在（QD上单调递增;

xe（l,+oo）时，r（x）＜0,/⑴在（l,+oo）上单调递减；

综上，/“）单调递增区间为（0,1）,单调递减区间为（1，田）.

（2）由题意存在外,玉6（1，*°）且工产工2，不妨设再＞工2＞1，

由（1）知XW（l,+8）时,/（X）单调递减.

|/（%）-/（七）|"何内一加为|等价于/（毛）一/（公）“（111百一111%），

即f（玉）+—nW2/（%）+及In菁,

即存在不，&e。.”)且内，使j(*)+klnwN/(xJ+AInX]成立.

令人(x)=f(x)+Idnx,则心)在(1,-KO)上存在减区间.

即力，(幻=，干X<0在(|,y)上有解集，即攵<坐在(h-KO)上有解，

.r厂

.(41nx\

即/<——,X€(L-KO)；

IX/max

/x41nx.，/、4(l-21nx)

令z(％)=——,XG(l,+eo),f(x)-、7,

.1

时，/1(x)>(),«x)在上单调递增，

X«人,+B)时,t'(x)<0,«x)在(至+8)单调递减,

团«X)max=«五)=一2，团&<一2.

ee

(二)与极值点有关的双变量问题

与极值点和七有关的双变量问题，一般是根据公看是方程/'(工)=0的两个根，确定西，/的关系，再通过消

元转化为只含有用或々的关系式，再构造函数解题，有时也可以把所给条件转化为百，七的齐次式，然后转化

为关于上的函数，此外若题中含有参数也可考虑把所给式子转化为关r参数的表达式.

为

[ft2](2024届福建省福州第一中学高三上学期质量检查)已知函数〃”=⑪-21门-0.

X

⑴若X£(O,1),/(.t)<0,求实数a的取值范围，

⑵设4，巧是函数/("的两个极值点，证明：土牛匚.

【解析】(1)当心0时，

r(x)=a-2+二=江一<+",在xe(O,l)时，/(“<()./'(X)单调递减,

Xx~x~

又F(l)=a—o—a=o,所以f(x)>0,不满足题意;

、ar2-2x+a

当〃>()时,f(x)=----33----

若A=4—4/«0,即时，f(x)>0,/(x)在x«0,l)上单调递增,

又/(1)=。一0-。=0,所以/(x)<0,满足题意;

若A=4-4〃2>0,即。<”1时，

令尸3=0,可得0<玉=三叵i+Vi-«2

<1,X)=>1，

当xe0,-^--时，/qx)>0,/(X)单调递增,

当犬e七J五”时，/(“<°，/'(X)单调递减，

而/•(1)=〃-0—〃=0,所以/--->0,

\人&大俏

不满足f(x)在XW(O1)l-./W<0.

综上所述，a>\；

(2)当时，

由工>()得/"(刈=竺二^<0,“力单调递减，无极值，不满足题意;

X

当〃〉0时，f\x)=ax~~^x+a,

若A=4—4/K0,即aNl时，尸(耳20,/(x)在xe(0,l)上单调递增，

无极值，不满足题意；

若A=4-4〃2>0，B|J0<«<1Hl,

令(3=0,可得(」一日蓝,乂此时看〉不，

a~a

当xc0,」——时，户了)>0,“X)单调递增，

\Z

当力el-x/T^7时，/5)<(),外力单调递减，

\Z

当xe二件8时，r(x)<0,/(x)单调递增，

\/

所以f(x)为极大值,/(%)为极小值,

2

且用+电=,，内出=1，/(X1)>/(X2),

要证|/国)--&)|<*要，即证

即F(X)7(W)＜2(Wf)，

,、1i)

即证：/(%)-/—<2---X,

J(XJ

即证：•《)=/&)—/(J—2(JT卜0<尤<1)

则"力=2"：+^^+2」2"2)/：,+伽+2),

因为△=16-4(2〃+2)2=-16/-324<0,

故s(x)在(0,1)上为减函数,故s(x)<s⑴=0,

故小)-1)<2(口[,0<]<1成立，

故|f(*)-/(吃)|<•

【例3】(2023届云南省曲靖市高三下学期第二次联考)已知函数/(力=；X2+4山—4.(7>()).

(1)当。=3时，试讨论函数“X)的单调性；

(2)设函数/(x)有两个极值点芭，七(X<W)，证明：/(%)+/(毛)>皿〃-10.

【解析】(1)当。=3时，/(彳)=；/+3111工-4彳定义域为xe(0,+8),

行、3.X2-4X+3(X-I)(X-3)

f(x)=x+4=---------=----------,

XXX

令f'(x)=0解得x=l或3,且当0</<1或x>3时,，/,工)>0,当l<x<3时，/Z(A)<0,

所以当0<x<l或x>3时，/(X)单调递增，当l<x<3时，/(力单调递减，

综上“X)在区间(0,1),(3,例)上单调递增,/(X)在区间(1,3)单调递减.

,Xx+a

(2)由已知/(1)=!/+々山一4%，nf^.f(x)=x+--4=~^t

2xx

函数/W有两个极值点内,9(内<9)，即/一44+〃=。在(Qy)上有两个不等实根，

令力(x)=x~—4x+a,只需＜/、故0＜。＜4,

、.而也2)=〃-4＜0

乂彳i+巧=4,入内=a，

1x；+H3—4.rJ+(g后+a\nx,-4占

所以fa)+"%)=

=-4(Xj4-x2)+«(InV)+lnv2)4-如;+君)=ci\na-a-8

要证/(玉)+/(£)>Ina-10,即证alna-a-8>lna-10.

只需证(1-a)ln〃+a—2<0,

令=-a)lna+a-2,a«0,4),

]-aI

则/“'(a)=-lna+---+1=——Ina,

aa

令"(a)=W(a),则4(a)=<。恒成立，

所以加(。)在a£(0,4)上单调递减,

乂加'(1)=1>0,z?f(2)=--ln2<0,

由零点存在性定理得，迎,e(l,2)使得加(4)=().

,1

即1n%=一,

%

所以aw(O,/)时，M(a)>0,单调递增，

ae&,4)时，W(a)<0,/〃(a)单调递减，

则“(初回=加(/)=(1_%)m/+/_2=(1_40)-!-+。0_2=%+-!-―3,

%。0

又由对勾函数知)'=/+，-3在4«1,2)上单调递增，

《)

所以4+'-3<2+1-3=-1<0

422

所以〃7®<0,即/a)+/(w)〉ln"10得证.

(三)与零点有关的双变量问题

与函数零点冷看有关的双变量问题，一般是根据公々是方程/(工)=()的两个根,确定冷々的关系，再通过

消元转化为只含有用或%的关系式，再构造函数解题，有时也可以把所给条件转化为4电的齐次式，然后转

化为关于上的函数,有时也可转化为关于的函数，若函数中含有参数，可考虑把参数消去，或转化为以

参数为自变量的函数.

【例4】已知函数/(x)=分？-x-lnx.

(1)当a=l时,求的单调区间;

（2）若函数/3）在定义域内有两个不相等的零点占占.

①求实数〃的取值范围：

②证明：/（X+占）＞2-In（工］+王）.

【解析】（I）当。=1时,函数/（力=炉7-Inx,定义域为（0,例）.

2厂一x—1(2J+l)(x—1)

xx

由r*）=o,得工=1.

当Ovxvl时，r（x）vO,当x〉l时，r（x）＞0,

所以的单调递减区间为（0,1），单调递增区间为（1,也）.

⑵①若函数/（X）在定义域内有两个不相等的零点不电，

则方程小-x-lnx=0有两个不等的实根.

即方称a=巨”有两个不等的实根.

x

、，，、x+\nx,八、e，/、\-x-2\nx

idg(x)=——；—(x>0),则g(x)=---------------

x~X

记加(x)=l-x-21nx(x>0),则讯X)在(0,+<»)上单减,且皿1)=0,

，当Ovxvl时，/«(x)>0,gr(x)>0：当x>l时，啾x)vO,g'(x)vO,

・•・g。）在（0,＞上单调递增,在（t+oo）单调递减.

**•g(X)max=&⑴=1.

1

又•：g-<0且当x>l时,g(x)>0,

ye)

•••方程为&a）=0有两个不等的实根时，

••・当0＜avl时函数〃幻在定义域内有两个不相等的零点不X2.

②要证/(%+x2)>2-ln(xl+x2),

2

只需证0(X]+Xj)-(X)+x2)-ln(A1+x2)>2-ln(x(+x2)，

只需证〃(X]+$)_(xi+x,)>2,

因为cix;--In.r,=O,avj-x2-Inx2=0,两式相减得:

一君)一(内-x2)-(lnx)-lnx2)=0.

整理得。（X+%）=1+-匚

司一%

所以只需证1+西二^•(M+劣)一(芯+W)>2,

I占一/J

即证借土龙玉](8+心)>2,

I%一七)

互+1

即小——In%>2,不妨设0<z<x,,令/=±(0<f<l),

IL-J8"4

x2

只需证四・lnf>2,

l-l

只需证。+1)1迎-2(/-1)<0,

设〃⑺=Q+l)ln-2。-1),

只需证当0<£<」时,〃⑴<0即可.

•・•〃'«)=ln，+l—1,“"(1)=1一1==<()«)<[<1),

ttrr

・•・〃'(，)在((0,1)单调递减，

・•・当0</<1时，〃'Q)>〃()=0,

・•・〃⑺在(0,1)单调递增，当o<r<1时〃⑴<〃(1)=o,

・••原不等式得证.

明.

(四)独立双变量，各自构造一元函数

此类问题--般是给出两个独立变量，通过变形,构造两个函数，再利用导数知识求解.

【例5】(2024届陕西省宝鸡实验高级中学高三一模)已知函数〃X)=a'+V71n〃一"e是

自然对数的底数.

⑴当a=e,〃=4时，求整数I的值,使得函数/。)在区间伏,&+1)上存在零点；

(2)若存在不々£[-1，1]，使得1/(石)一/(再)色e-l,试求〃的取值范围.

【解析】(1)f(x)=eK+x2-x-4,:.f(x)=el+2x-l,/，(0)=0

当”>0时，e'>1,故人外是((),+8)上的增函数，

同理/(X)是(-8,0)上的减函数，

/(0)=-3<0,/(l)=e-4<0,/(2)=e:-2>0,且x>2时，/U)>0,

故当x>0时，函数/“)的零点在0,2)内，.・"=1满足条件.

同理，当x<0时，函数/*)的零点在(—2,-1)内，.•.&=-2满足条件，

综上女=1,-2.

(2)问题<=>当xe［T,l］时，I/(.r)inax-f(x)mn|=/(x)^-/(x)mln>e-1,

f\x)=a'Ina+2x-Ina=2x+(优-1)Ina,

①当x>0时，由〃>1,可知优一l>0,lna>0,r(x)>0；

②当xvO时，由a>l,可知a'-l<U,lna>U:r(x)<U；

③当X=O时,尸3=0,.••/(幻在［TO］上递减，［0J上递增，

.•.当x/1,1］时,/(x)^=/(()),/(A)_=max{/(-l),/(l)),

而f(-i)=a---2\na,g(/)=/---21n/(z>0),

at

1O1

.・•/⑺=1+十一。=$一厅之°(仅当，=1时取等号)，

・•.g«)在(0,loo)上单调递增,而8(1),0,

.•・当时，8(/)>0即〃>1时，a---2\na>0,

a

*'•/(D>f/(O-/(O)>e-1即a-lna>e-l=e-lne,

构造人(a)=a-Ina(">1),易知Ma)>0,.,.版4)在(1,+a))递增，

.MNe,即a的取值范围是e+co).

(五)构造一元函数求解双变量问题

当两个以上的变元或是两个量的确定关系在解题过程中反复出现.通过变量的四则运算后，把整体处理为•

个变量，从而达到消元的目的.

【例6】已知函数/(x)=e」n(l+R).

(1)求曲线)=/(x)在点(0,/(。))处的切线方程；

(2)设g(x)=f(x),讨论函数g(»在［0,+oo)上的单调性;

(3)证明:对任意的s"e(0,+°o),有/'($+，)>/($)+/«).

【解析】⑴解：因为/(x)=e、ln(l+x),所以/(O)=O,

即切点坐标为(0,0)，

又((x)=e、(ln(l+%)+*-),

1+x

・•・切线斜率)=/'(0)=1

・••切线方程为；)'=x

⑵解:因为gM=f(x)=ex(ln(l+x)+,

1+x

21

所以g'W=c\\n［\+x)+------------),

l+x(l+x)~

令h(x)=ln(l+x)+--1,

l+x(l+x)~

„..,,.122x~+1

则h(x)=---------------7+-------r=-------r>0,

l+x(l+x)2(l+x)3(l+x)3

・•・kv)在［0,+8)上单调递增，

h(x)>/|(O)=1>0

・•・g'(X)>。在。+8)上恒成立，

Jg(X)在［0,+刃)上单调递增.

⑶解：原不等式等价于/(S+/)-/($)>/(/)-/(()),

令in(x)=f(x+t)-f(x),(x,r>0),

即证m(x)>力(0),

*.*/n(x)=f(x+/)-f(x)=ev+,ln(l+x+r)-erln(l+x),

x+rv

w/(x)=cA+/ln(l+x+/)+---e--------clln(l+x)---e-----=g(x+t)-g(x),

I+x+rl+x

由(2)知g(x)=r(x)=e'(ln(l+工)+占)在［0,+e)1：单调递增，

g(x+r)>g(x),

tn(x)>0

/.Mx)在(0,+8)上单调递增，乂因为XJ>0,

Aw(x)>w(0),所以命题得证.

(六)独立双变量，把其中一个变量看作常数

若问题中两个变量没有明确的数量等式关系,有时可以把其中一个当常数，另外一个当日变量

【例7】已知函数/(x)=x」nq(a、0),

x

⑴若函数g(x)=e'在x=0处的切线也是函数/⑴图像的一条切线，求实数〃的值；

(2)若函数/(X)的图像恒在直线x-y+l=()的下方，求实数a的取值范围；

⑶若不赴£(@，W)，且工产工2，证明：(内+尤2)4>八/2

e2

【解析】(l)/(x)=e\g(x)在x=0处切线斜率左=g'(O)=l,g(O)=l,所以切线/：y=x+L

则斜率人=/'（而）=

又（（力=lng-l,设/与〃力相切时的切点为xo,xoln-ln9--l,

x\xoxo

则切线/的方程又可表示为y=

1〃,，

In-----1=1

由，％,解之得a=eL

「％=[

（2）由题可得/37-1<0对于K>0恒成立，即xlng-x-1<0对于x>0恒成立,

x

令力（x）=xlnq-x-l,则1（刈=111@一2,由〃'（x）=0得4=二，

xxe“

Xa

e'

+0——

g）/极大值

则当x>0时，力（力2=力（£）=£-1,由得：0<a<e2,即实数〃的取值范围是（。,白.

\e，ee

（3）由题知r（x）=ln--l,

X

由尸（力=（）得4=g，当时，r（A-）<0,/（"=月个（。>0）单调递减,

eex

因为-v4+%2v。,所以/（X）>/（X+M），即Nln">（X|+z）ln——,

X[X]।X）

一一，。国+为，a­,ax+a-

所以In—>」~-In--------,①同理In—>」--Inf---------,②

X]xtX]+x2x2x2X1+x2

①+②得In幺+ln巴>5+i+Vtihl

再/

因为山+山=2+J』4,

玉x2X]x2

由演+/<«得二^y〉l,即心子丁〉。

■Aj-i人）"•

所以In——I-In—>41n-------42

所以（内4-Jtj）>ax]x2.

%x2x、+x2

（七）双变量，通过放缩消元转化为单变量问题

此类问题一般是把其中一个变量的式子放缩成常数，从而把双变量问题转化为单变量问题

［例8］(2023届湖北省武汉市江汉区高三上学期7月新起点考试)已知函数/(x)=(x-1)。'-a(x+l).

⑴当〃二e时，求函数)，=/*)的单调区间；

⑵设人&是函数V=fM的两个极值点.

①求实数。的取值范围；

4

②求证：/(西)+/(占)>-

e

【解析】(1)当时，/(x)=(x-l)ev-e(x+l),/'(x)=xe'-e当xWO时，/<力<0,当x>0时，f(x)

单调递增，月./'(1)=0,0vx<l时，f'M<0,%>1时，fXx)>0,所以xvl时，/'a)v。，二)，=/(1)的

单调递减区间为(-8,1),递增区间为(1,+00).

⑵①•・•函数产/⑴有两个极值点，，方程r(x)=.ie'-a=O,即xe'=a有两个解.令g(x)=k，则

y=g(x)的图象与y=。的图象有两个交点.而g'a)=(x+l)e'当x<-l时，/(X)<().以外递减,：当x>—1时,

g'(x)>0,g(x)递增，・•.g(x)而n=g(—l)=T又:X<()时，g(x)<0；x>0时，g(x)>0,工当XV-1时，

g(X)单调递减，且g(小(」昨当X>-1时，g(X)单调递增，且g(X)［」,+8］・••广g(x)的图象

与y=a的图象有两个交点的充要条件是-JvavO.故，的取值范围为(一1,0)②不妨设/々是/(幻的两

ce

个极值点,且个<电,由①可知为<-1<七，xvx］或再时,J'Xx)>0,时，f\x)<0,/(x)在

(y小)上单调递增，在区,与)上单调递减，在(心内)上单调递增.•；不<-1<勺，A-2-X2<X2.\

/(-2-^)</(^)(/(再)是极大情)，・•・/(—272)+/(电)《〃％)+/(々)要证/(M)+“々)>/，只需

e

证f(—2-占)+/(工2)>-土设力("=〃力+/(-2-沙，其中X>T,则

e

h(x)=(x-1)eT-6r(x+1)+(—3—x)e-2-v-tz(—l-x)=(x-l)e'-(3+x)e~2~x,/?f(x)=xer+j=——丫/、?

ee

^t(x)=xe2x+2+x+2,则/'(x)=(2x+l)e2-2+i,令T(*)=/(*)=(2*+1把2"2+i,r(x)-(4x+4)e2x42>0,

・•・”x)在(-1,+oo)上单调递增.・・・x>T.・・.«》)>«-l)=0,1(x)在(-1,+oo)上单调递增，I

r(A)>z(-l)=O,即“(6>0・・/(人)在(-1,+8)上单调递增，・・・〃(x)>，(—1),又M-I)=2/(T)=-/

e

4,、,、4

A(x)>—故/(%)+/(%)>—.

ee

三、典例展示

[例I]（2024届湖北省武汉市部分学校高三上学期九月调研）三知函数/（%）=（/+〃氏+〃）e'.

⑴若/〃=〃=（）,求/（力的单调区间；

⑵若〃=a+〃+2,〃=标+从+2,且/（X）有两个极值点，分别为/和出（王〈与），求）（人）—.为）的最

e2-e1

小值.

【解析】（1）〃?=〃=0时，/（X）—x2e',

^（.r）=（x2+2x）er=x（x+2）e*,

令r（x）=0,可得x=-2或x=0,

当工<一2或x>0时，/^x）>0,函数单调递增；

当-2<x<0时，r（x）〈0,函数/（X）单调递减.

所以〃x）在（，,-2）和（0,+e）上单调递增，在（-2,0）上单调递减.

（2）/1•¥）=[J+（〃?+2）x+〃[+〃]e',

令/'（力=。，可得犬+（/〃+2）x+〃?+〃=。.

由题意可得，N.x?是关于x的方程丁+（〃?+2）工+〃2+〃=0的两个实根，

所以A+X,=一（"?+2）,办12=〃?+".

由父+（〃?+2）x+〃2+〃=0,有片=一（〃?+2）玉-rn-n,

所以/（内）=（%；+/叼+〃）西=（一20一

x'

将用=_4_9-2代入上式，得/ix1）=（x2-x1+2）e,

同理可得/（%）=（E-七+2）/.

所以/（*2）一/（、）=（芭一42+2）心一（%-3+2）炉

et2-ex,-eX2-ex,

=_-A2）。片&+（%~~0+2）[「；

U

令石-X=/（，>0）,①式化为一"一2）,+（，+2）,

ef-1

设式/）=_（-2）：：,+2）（>0卜即8〃）=_1^+2（/>0），

，/、e2/-2/^-1

则小尸17^

记力⑺=e"-2力一1(f>0),则/f)=2e'(e'T-1).

记夕(，)=9一/一1(r>0),则”(f)=e'_l>0,

所以咐在(0,+。)上单调递增，所以°(f)＞。(。)=0,

所以〃(/)在(0,+8)上单调递增，所以竹)＞力(0)=0.

所以/[)＜0,g«)在(。,y)上单调递减.

2

乂，=(x2-Xi)?=(x,+9)2-4x^2=7/7-4/2+4

=(a+0+2)—4(4~+。~+2)+4=-3a2—3/?2+2ab+4a+4b

=-3672+(2Z?+4)a-3Z?2+4/?

=-3〃3

I3333

二从+3

3333V7

b+2

当且仅当=0且。-1=0,即4=。=|时，户取到最大值4,即f的最大值为2.

3

因为g(，)在(0,*)上单调递减，所以g(/)mm=g(2)==

e-1

所以叫叫最小值为*

【例2】(2024届重庆市第十一中学高三上学期第一次质量监测)已知函数/(x)="n(x+l)+a+l)3〃eR),

尸(㈤为/(x)的导函数,

(1)当/=6时，

(/)求曲线y=/(x)在(o,/(o))处的切线方程;

(/7)求函数g(x)=/(kl)-f'G-l)+*的单调区间;

JC

/(玉一1)一/(42-1)二/'(为-1)+/'(工2-1)

⑵当年-3时，求证：对任意的有

为一工22

【解析】(1)(/)当/=6时，/(x)=6In(x+l)+(x+l)',

2

则〃0)=61nl+l=l,f(x)=—+3(x+\),

所以y=/(x)在(0,1)处切线的斜率A=r(o)=3+3(0+l)2=9,

所以切线方程为y=9x+L

(八)由(i)可知g(x)=61nx+P----3.P+—=6]111+工3—3工2+—(x>0),

xxx

所以〈(人)=幺+3人2-6人-3=止迎上D，

XXx~

令g'(x)=o解得x=l,

所以当()<X<1时，g'(x)<0,当X>1时，g'(x)>0,

所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,y)上单调递增.

2

(2)由题意可知/'(X-1)=^+411工，f(x-\)=3x+-,

A

对任意的%>当之1，令五=%忆>1，

“0

则a(芭-i)+r(w-】)]-2[/(芭-1)]

=(X)—.v2)3x；H---F3x；H----2x：—x：+.]n―-

'l内X2)'^2)

——3xfxy++1-----——2tIn--

IS\)

"—3&2+3J)+tk----2InA:①,

、k)

令g)=x」-21nx,x>\,

1?(\\

当X>1时,//(X)=l+———=I——>0,

X~X\XJ

由此可得〃(x)在［1,小)上单调递增，所以当火>1时，力伏)即心J-21nQ0,

K

因为超21,ky-3k2+3k-\=(k-\)">0,t>-3,

所以£(氏3-3及2+3k一1)+/(火」-2面2

(r-3/+3&-1)-3k——21nA

k)k

=内一3公+6111攵+2一1②，

k

由（I）（"）可知当Q1时，g（@>g⑴，即K一3二+6lnA+）>l,

&A3-3A:2+6lnA:+--l>0@,

k

由®@③可得G-&）［/'（、—i）+r（4一1）］-2［/（内一1）一/（七一1）］>0,

所以当壮一3时，对任意的%>与之1，/a-1）7（、-Iv/a-I：/（>-1）

玉一第2

【例3】（2023届内蒙古乌兰察布市高三上学期期中）设函数/"）=-/皿工+9+犷

（1）试讨论函数/（x）的单调性；

（2）如果a>0且关于x的方程/（x）=〃?有两个解%,%（芭<9），证明：N+石>2〃.

【解析】（1）〃X）的定义域为（0、+。），

丁+aV-2/(x-a)(x+2〃)

2x2x

令r（M=o,解得』，或x=-勿，

当时，则当0<x<—2〃时，/'（x）<0,当x>—2a时，户"）>0,

・・・f（x）在（0,Q）上为减函数,t（-2^+oo）上为增函数,

当心0时，则当0<x<〃时，r（x）<0,当时，/《火>0,

，f（x）在（0,。）上为减函数，在（。,+。。）上为增函数，

当〃=0时，/4%）>0恒成立，即“力在（0,+巧上是增函数，

综上可得，当a<0时，“X）在（。,-2〃）上为减函数，在（-2«y）上为增函数,

当心（）时，/（力在（0,。）上为减函数，在（。,y）上为增函数，

当4=0时，/（X）在（0,也）上是增函数，

（2）证明：

当〃>0且关于1的方程〃x）二根有两个解％,看（王<9）等价于当〃>0存在

/6）=/（毛）,a<』）

由（1）当4>0时，/'（X）在（0,a）上为减函数，在（4*。）上为增函数,

不妨设Ov%i<a<x2,

设g(x)=/(a+x)-/(。一力，xw(O，a),

***g\x)=f,(a+x)+ff(a-x)

：(3〃+x)xJ3…2加;0

2(a+x)2(a-x)a2-x2

，g(x)在(0")上单调递减，・》(犬)<8(0)=0,

即当xe(0,a)时，f(a+x)<f(a-x),

由于0<“一玉<a,/[a_(a_%)]>/[a+(a_xj],即

：f(%)=/(毛)，・•・/(毛)>/Q一玉)，

乂々>a,2a-x{>a,/(x)在(〃,+<力)上为增函数，

:.x,>2a-X],KPX]+x2>2a.

【例4】已知函数/(幻=lnx+*d一(a+]»(aeR),g(x)=f(x)-^x2+(a+\)x.

⑴讨论/")的单调性；

(2)任取两个正数和毛，当王〈天时，求证：g(xj-g(/)<岂土⑷.

Xl+X2

【解析】⑴/。),+欠—(4+1)=37*7%>0).

XX

当aKO时，ax-1<0,令/'(x)>。，W0<x<1；令/'(x)<0,得x>l.

所以f(X)在(0,1)上单调递增，在工+8)上单调递减.

当即a>l时，令/(r)>(),得0cxe,或工>1；令/'(.r)v(),^-<x<\.

ciaa

所以/“)在m，(1什)上单调递增，在化n上单调递减.

当L=l,即4=1时，/'(工后0恒成立，所以/。)在(0,+8)上单调递增.

a

当即Ovovl时，令/")>0,得0</<1或令尸(x)v0,得1cxeL

aaa

所以/(X)在(0,1),区+sj上单谓递增，在(用上单调递减.

综上所述，

当。工0时，/")在(0,1)上单调递增，在(L+o。)上单调递减;

1(\

当0<a<l时，/(x)在(0,1),一,+8上单调递增，在一上单调递减;

I。J\a)

当〃=1时，/(x)在(0,+8)上单调递增；

当a>1时，/⑴在(()1),(1,2)上单调递增，在上单调递减；

(2)证明：由题意得，g(x)=lnx.

要让

X1+Xy

只需证1呻-In.」。一),

再+W

即证仙土<乂口1,

x2X]+JV2

2五一1]

即证ln±<』一L

£Ji

%

令仁土/£(()1),

士

所以只需证ln/<3t2在止01)上恒成立，

即证(f+l)ln♦2(f-l)<0在reQl)上恒成立.

令)?(r)=(f+l)lnf-2(f-l),则/7'a)=lnf+1-l,

t

令加⑺=Inr+--1,则m\t)=---v=二4<0.

ttt-r

所以以/)在(0,1)上单调递减,即〃")在(0,1)I:单调递减,

所以“⑺>“(1)=0,所以力⑺在(0,1)上单调递增,

所以人⑺〈〃⑴=0.

所以g(xj-g(&)<2("")

+人.

【例5】已知=)".

(1)求。的取值范围；

(2)若仁，证明：卜小|1-442|1—小

(3)求所有整数c,使得c(a+8)4炭+/<(c+l)g+〃)恒成立.注：e=2.71828...为自然对数的底数.

【解析】(1)当〃=1时，有。>1"'>1=/与优=〃"矛盾;

当〃>1时，有a">l与vl而/>1,与，一"〃矛盾;

当0<〃<1时，有一1<一〃<()则1vL〈人,由/=得1va“vb"，所以”>l；

综上所述：a>1；

(2)设/(x)=xlnx,则r(x)=l+lnx,当/e(B，+oo)时,/'(%)>0,则/(x)在(―+口

上递增,

由于a"=〃-"得alna=-〃ln。,即/(〃)=一/()),由(1)知a>l,又

故要证|1-。目1-〃归2|1-4印证a-\<\-b<2a-2

即证aW2—。且。2士叱

2

①要证-尻需证/(a)«"2-9，即证一/。)4/(2-与

需证/(2—。)+/仅)20,设g(〃)=/(2—〃)+/(〃),需证g(〃MnN0

由《(")='£，乂i>b>L所以“他)=皿=<0

e2-b

所以g(〃)在(%1)单调减则X0)Ng(l)=O,所以心2-〃成立厕a-141-人成上;

3-A।3-/?

②要证心二^,由于则〃2寸>1

需证即证T他)”(丁；

需证)(号)+设贴)=/(割+/),需证幽¥0

由/z*(Z?)=--In-----+1+InZ7=—In,

v722223-〃

Z1>Z?>-1=—In——'"，<0."(1)=gIn-z~>0

eye)2a」23-1

故有〃(闻)=o、i")>],所以网在0。)单调减，在(山)单调增

</(67|--<0,//(1)=0

e

所以〃®皿40则。2子，得1一月2(。-1)

所以|1一〃即一〃归2|1-4成立；

(3)因为c(4+/?)<e"+eb<(c+l)(6/+/?).«>/?>0