有理数的八大计算技巧（专项训练）-2024北师大版七年级数学上册【附答案】

专题05有理数的八大计算技巧（举一反三专项训练）

【北师大版2024]

题型归纳

【题型1对消与凑整】

【题型2归类与组合】

【题型3活用运算律】

【题型4裂项相消】

【题型5错位相消】

【题型6倒数法】

【题型7相互转化】

【题型8图形法】

举一反三

知识点一有理数的计算技巧（1）对消与凑整

将相加得雯的数结合计算，将和为整数的数结合计算.

知识点二有理数的计算技巧（2）归类与组合

将同类数（如正数或负数）归类计算，将相反数、分母用同或易于通分的数结合计算.

知识点三有理数的计算技巧（3）活用运算律

运用运算律改变运算顺序，正难则反，利用运算律改变次际,将复杂的数拆开来算.

知识点四有理数的计算技巧（4）裂项

常见的裂项一般是将一项拆分成两项或多项的乱或差，使拆分后的项可前后抵消或凑整,其

中分数的裂项是重点.

知识点五相互转化法

根据算式特点，将式子中的分数转化为小数，或小数转化为父数，统一后再进行运算.

【题型1对消与凑整】

【例1】

（24-25七年级上•湖南•阶段练习）

1.计算:（+（H+6）+&{|（汛-勺

【变式1-1]

试卷第1页，共8页

（24-25六年级上•山东威海•期中）

2.计算：丁相卜后卜一Q

【变式1-2]

（23-24七年级•上海普陀•期中）

io（7

3.计算：-3.19+25+（-6.81）-123

【变式1-31

（2024秋•广西崇左•七年级校考阶段练习）

卜2扑(+5)+卜3升(+1.125)+(+引

4.计算:

【题型2归类与组合】

【例2】

5.计算:

(1)(+35纲-23力

(2),20哼+卜20吗、+(一1g)+4036.

【变式2-1]

34

6.用简便方法计算：T6+24+6g-18+4y+18-6.8-3.2.

【变式2-2】

（24-25七年级上•内蒙古呼和浩特•阶段练习）

7.计算f—12

26)\3,

【变式2-3]

一4；17

8.计算:

8

【题型3活用运算律】

【例3】

9.计算：(―0.25)x(—3)x8x(-40)x1-5

x(-12.5).

【变式3-1]

（24-25七年级上•江西赣州•期中）

10.用简便方法计算：（；W）x（-27）.

试卷第2页，共8页

【变式3-2]

12

11.计算：-9-xl2

1J

【变式3-3]

（23-24七年级•河南开封•开学考试）

12.怎样简便怎样算

(1)2021x20222022-2022x20212021；

1

+6

64

2015+2016x2014

(3)

2016x2015-1

121212

(4)+12_15+17

\\2030425672J131313

【题型4裂项相消】

【例4】

13.阅读下列材料：

•算：---H-----------F-------1■…+---------------------

1x22x33x42021x2022

,e3,1111111,12021

223342021202220222022

这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算：

222

+…+---;---

1002-1

【变式4-1】

14.计算:

------+-------+-------+-------+--------+-----------卜......H--------------

1x33x55x77x99x1111x1397x99

【变式4-2】

（24-25七年级上•江苏南京•阶段练习）

15.计算:1x2x3+2x3x4+3x4x59x10x11

【变式4-3】

（24-25九年级下•安徽阜阳•阶段练习）

16.数学家基斯顿•卡曼于1808年发明了一种运算符号叫阶乘,用“!”表示.它的意思是:

个正整数的阶乘是所有小于及等于该数的正整数的积，如1!=1,5!=5x4x3x2xl.正整数

N的阶乘记作N!,即N!=lx2x3x…x/V.裂项相消法可以和阶乘结合起来研究，例如，我

试卷第3页，共8页

.­.5=1+24-22+...+220,94-22020=2202,-1.

【解决问题】（3）请仿照小明的方法求3+3?+3?+…+3””的值.

【变式5・1】

18.求11+112+1F+…+ii必的值.

【变式5-2]

19.计算：?+&…+』

44~44°

【变式5-31

20.解决下列问题：

⑴计算:>©+©+©+,,•+©

(2)化简：A/=5+2X52+3X53+4X54+...+8X58.

【题型6倒数法】

【例6】

（24-25七年级匕河南商丘•期中）

21.请你先认真阅读材料:

计算:

解:原式的倒数是（二2正1+门1卜2、卜（记1）、

(2112、/■八、

--------+-------x(-30)

(31065)'7

2X1,、12

=3(-3O)--X(-3O)+-X(-3O)--X(-3O)

=-20-(-3)+(-5)-(-12)

=-20+3-5+12

=-10.

故原式=_哈.

_5__8__2

再根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算:+

1014357,

【变式6-1]

（24-25七年级上•河北邯郸•期中）

\__3_2_2

22.计算:6-14+3-7

试卷第5页，共8页

【变式6-2】

(24-25七年级上•福建福州,期中)

、”(1W,1751

23.计算：---1T--+-

I36/I69127

【变式6-3】

24.计算:x6

【题型7相互转化】

【例7】

25.计算：

(1)(-3)--1^x0.754-^-^x(-6)

⑵信)x(-01)4x(—10)；

【变式7-1]

26.计算：(+0.125)--3：+(-彳卜(+1.75)

【变式7-2]

27.利用运算律简便运算：

-3.61x0.75+0.61x-+(-0.2)x75%.

【变式7-3]

28.计算：38x1+17x0.25+45x25%

4

【题型8图形法】

【例8】

29.数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法.

材料一：欲求1十2十4十8十16十…十2葡的值，可以按照如下步骤进行：

令S=1+2+4+8+16+…+2?。……①

等式两边同时乘以2,得2s=2+4+8+16+32+…+2箱……②

由②式减去①式，得S=23—,，1+2+4+8+16+…+23°=2叽1.

材料二：如图I,将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①的面积是正方形面

积的一半，部分②的面积是部分①的面积的一半，依此类推&二卷，二

试卷第6页，共8页

1111

2+27+F+F+27+2?=1-F-

图1图2

(I)利用材料一提供的方法,请你求出1+5+52+53+5'+…+5?°的值.

(2)如图2,若按这样的方式继续分割下去，受材料二的启发;+5+*■+5+…+贵的值

为

(3)通过学习材料一、材料二，选择你喜欢的方法解决问题：；+*+?+..•+"

.（用

含有〃的式子表示)

【变式8-1]

30.如图，正方形的边长为1,第一次取出正方形的一半，第二次取出剩下图形的一半

以此类推，每一次都取出剩下图形的一半，共进行〃次这样的操作.

(1)请将上表填写完整.

(2)请利用这个几何图形求;+*/+…+提的值：用含〃的代数式表示)

【变式8-2]

试卷第7页，共8页

31.在数学习题课中，同学们为了求;+5+*+5+5..+£的值，进行了如下探索:

(1)某同学设计如图1所示的几何图形，将一个面积为1的长方形纸片对折.

(I)求图1中部分④的面积;

(//)请你利用图形求《十

的值;

22232425

(2)请你利用备用图,再设计一个能求与玲

的值的几何图形.

【变式8-3]

32.数和形是数学的两个书要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些

数学问题.下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用.

如图，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面

积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依次类推.

(1)图中阴影部分的面积为二

(2)受此启发，得至1]：+。+：+…+5=_；

2482

212121219

(3)迁移应用：得至U'+'X'j+手■Xy+»Xy+…+科=_(直接纥山答案即可).

试卷第8页，共8页

1.-7

【分析1本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的计算方法是解题的关键.解题时，先

将减法转化为加法，然后运用加法的交换律和结合律进行简便计算即可•得到结果.

【详解】解：（+J（+6）+（-卦⑶+卜匕：

=1+(-2)-6

2.2

【分析】本题考查了有理数的运算，掌握运算法则，运算律和运算顺序是解题的关键.

根据加减运算法则和加法运算律即可求解.

=2

3.-5

【分析】本题考杳了有理数的加减混合运算，有理数的加法交换律和结合律，熟练掌握有理

数的加减混合运算及有理数的加法的运算律是解题的关健.根据有理数加法的运算律，将能

凑整的数先凑整，得至3.19+（-6.81）］+（24+2,），再进一步计算，即得答案.

【详解】解：原式719+2崇（-6.81）-卜2a

=［-3.19+（一6.81）］+（2获+2标：

=-10+5

=-5.

4.5

【分析】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法运算法则和加法运算律是解题的

答案第1页，共18页

关键.利用有理数加法运算法则和加法运算律计算，即可求解.

【详解】解：(一2：]+(+5)+(-3:]+(+1.125)+(+4：、

17cll,11«(J

=-2-+1-+5+-3-4-4-

[I8j8jI22)

=5

5.⑴其

⑵-2

【分析】(1)依据“拆项法”计算即可;

(2)依据“拆项法”计算即可.

原式=[(35)十(；)}[(23)+(；)

【详解】＜1)解:

=[。5)+(-23)]+(讯―)

=\2+-

3

=12r

(2)解:原式=(-2018)+f-|l+(―2017)+(-；]++4036

=[(-2018)4-(-2017)+(-1)+4036]+

=0+(-2)

=—2.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握“拆项法”是解答本题的关键.

6.9-

5

【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，加法运算程及简便运算等知识，掌握运算法则

是解题的关键；常见的加减法简便方法有：相加得整数的先相加，正数与负数分别相加，同

分母或易于通分的先相加等；

互为相反数的两个数、同分母两个数及两个小数分别结合相加，最后再相加即可.

答案第2页，共18页

34

【详解】解：原式=(-16+24)+61+4］卜(18—18)—(68+3.2)

55

=8+11--10

5

=*

5

7-4

【分析】本题考查了有理数的加减法，熟练掌握运算规则是解题的关键.先去括号，然后根

据有理数的加减法运算规则进行计算即可.

【详解】解：原式=-3,3+2,1_”1+25表1

3112

=(-3+2-4+5-1)+(-^-+^-^+1)

1,9628、

=-1+(---1-------F-)

12121212

=-1+-

4

=--3

4

8.-7-

4

【分析】该题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算的运算法

则.

原式化简多重符号后，利用加减法计算法则即可得到结果;

【详解】解：

117

4-42--i88-

2417

7-+---

8-8-8-8

3

71

4-

3

7

4-

9■

0(00

【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是：根据有理数乘法的交换律和结合律计算

即可.

答案第3页，共18页

【详解】解：(-0.25)x(-3)x8x(-40)xx(-12.5)

=[(-0.25)x(-40)]x(-3)x]」x[8x(-l2.5)]

_\3人

=10x1x(-100)

=-1000

10.5

【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

利用乘法分配律计算即可.

212

【详解】解：fct=-x(-27)--x(-27)--x(-27)=-6+9+2=5.

X。乙r

11.-119—

13

【分析】本题考杳了有理数的乘法运算.根据乘法分配律计算即可.

12

【详解】解：-9—xl2

=|-10+—1x12

I13J

=-10x12+-x!2

13

=-120+—

13

=-119—.

12.(1)0

(4)-

【分析1(1)根据20222022=2022x10001,20212021=2021x10001将原式变形为

2021x2022x10001-2022x2021x10001即可得到答案;

(2)将原式先加上]，再减去根据有理数加减计算法则求解即可；

6464

(3)根据2016x2014=2016x(2015-1),利用乘法的分配律将分子变形为2016x20：5-1,

由此即可得到答案；

答案第4页，共18页

〃+〃+111

(3)根据而j+［先将括号内的式子变形为,再由

121212=12x10101,131313=13x10101进行求解即可.

【详解】⑴解:2021x20222022-2022x20212021

=2021x2022x10001-2022x2021x10001

=0；

1

(2)解：1—>•2—F3—F4—F5F6

248163264

.1J\11i

=1—+2—+3—+4A—+5—+6z—+-----------

2481632646464

,11J,1°1,I1

=1—+2—+3-+4—+5—+6------

24816323264

,1JJ/I111

=1-+2-+3-+4——+11----------

248161664

=1-+2-+3-+15--—

248864

1-+2-+18--—

24464

2264

=22--

64

曙

2015+2016x2014

(3)解:

2016x2015-1

2015+2016x(2015-1)

2016x2015-1

2015+2016x2015-2016

2016x2015-1

2016x2015-1

2016x2015-1

=1;

911131517)121212

(4)解:1f20.4।-4।-72JY

304256131313

8+9、

4+55+64.6+77+8+121212

4x55x66x77x818xf131313

\111111111、121212

一+一+-+---------+-+X----------

1.4556677889)131313

fl1121212

x----------

U9131313

答案第5页，共18页

12x10101

+X

-k49j13x10101

1312

=—x—

3613

【点睛】本题主要考查了有理数的简便计算，熟知有理数的相关计算法则和运算律是解题的

关键.

14949

10100

【分析】先计算分母，再根据“裂项相消法”计算可得答案.

2222

【详解】解：工+铲丁不丁…+而］

2222

38159999

222_

2^4+--------F・.・+

1x33x599x101

1111111

一+----+----+・・・4------------

3243599101

=i+l--L

2100101

14949

~10100

14949

故答案为:

1010()

【点睛】此题考查了有理数混合运算，正确理解题意掌握解题的方法是解此题的关键.

49

14.

99

【分析】本题考查了有理数的混合运算.

根据裂项相消法即可解答

lilllI_1

【详解】解:------H-----------1----------1-----------F----------1------------++

1x33x55x77x99x1111x1397x99

1f,1I11I1111111111

2I3355779911111395979799

198

—x——

299

49

99

答案第6页，共18页

6盖

【分析】本题考查有理数计算中的技巧计算，解题关键是：复杂计算时先观察，碰到分母是

几个数字相乘时，需将每个式子拆成两个分数相减的形式.

通过观察验证，可得总=（贵-木）4将其他式子进行类似转化，再通过对每个式

子提取再进行计算即可.

，二(J_一_Ll

【详解】解:)x

1x2x31x22x32

1

又=(---------)x-

2x3x42x33x42

二同理可得:

1x2x3+2x3x4+3x4x5+，，+9x10x11

=(□---L1J_一_L1J___L)/+…+(^___^)xl

1x22x3)X2+(2x33x4)X2+(3x44x529x1010x11，2

=lx(-L-1

----------1-------+…H-------------)

21x22^32x33x43x44x59x1010x11，

-x(-----------)

21x210x11

1J1、

—x(------)

22110

154

—x---

2110

27

no

16.(1)120

(2)1-1

'76!8!

(3)1----

-20!

【分析】本题主要考查了十字相乘法、因式分解解一元二次方程、裂项法、阶乘的运用等内

容，熟练掌握相关知识是解题的关键.

（1）根据阶乘定义直接求解即可；

（2）根据题干材料仿照即可得解；

（3）根据（2）思路写出过程求解即可.

【详解】（1）解:51=5x4x3x2x1=120,

故答案为：120：

答案第7页，共18页

,八皿677-18-1

(2)解：一+—=---+----

7!8!7!8!

J__\_£_J_

7!-7!+8!~8!

6!-7!+7!~8!

6!~8!

12341819

（3）解:—+—+—+—++----+-----

2!3!4!5!19!20!

_2-13-14-15-119-120-1

T4I-十4-++

-2!3;4!5!19;20!

21314151191201

—4-4-・J.4-

-4-III5!!।

-2!2!3!3!4!4!5!19!19!20!20!

1111(11111111

4-3!13!T4.5!1,4।-4I-.

1!2!2!4!4!18!19!19!20!

11

-1!20!

=1-------.

20!

17.(1)3,243；(2)qi(3)

【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键.

（1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解；

（2）根据公式推导过程即可求解；

（3）设5=1+3+3?+3^+...+32°25根据例题的方法求得

...S=1+3+3?+33+...+323=-1,即可求解.

2

【详解】解：（1）根据题意得：等比数列3,9,27,…的公比V为3,第5项是3，=243;

故答案为：3,243；

（2）根据题意得：等比数列的通项公式：a—）

故答案为：qz

(3)设5=1+3+32+33+...+32°25①,

贝3s=3+3?+…+32°25+32026②,

②-①得3S-S=2S=32*1,

>>20261

.*,5=l+3+32+33+...+32J25=^—

2

答案第8页，共18页

.­-3+324-33+...4-32025=S1-i=

【分析】本题考瓷了有理数的乘方，有理数的减法，熟练掌握以上知识点是解题的关键.设

5=11+112+113+...+112024,WJ115=ll2+ll3+ll4+...+ll2025,通过两个式子相减,得到S,

从而求得答案.

【详解】解：设Sfl+lF+iF+.+u202s①，

则llS=l产+l[3+l]4++112025②,

②•①得，11S-S=1P2$_11,

【分析】本题考查了有理数加减计算中的简便计算，解决本题的关键是不要盲目直接计算,

先观察以找到规律，想办法进行简便运算.

设s=：+**…+*通过等式两边同时乘以4,可两式进行相减，即可求解.

【详解】解：设S=：+…①,

②-①得，

3s=1——

4n

故原式

【分析】(1)利用“错位相减法”求解即可：

(2)利用“错位相减法”求解即可.

此题考查了有理数的乘方运算，数字类规律问题，“错位相减法”的运用，解题的关键是熟练

答案第9页，共18页

掌握“错位相减法”的运用.

【详解】⑴解:设s=；+gj+(；)'+[})+•••+({f，

则2s=1+卜出+出+出+…+出，

2S—S=16J,

故$=「©=!§•

(2)解：根据题意，得"=5+2x52+3x53+4x5，+...+8x5,

贝lj5A/=52+2x5、3x54+4x5$+...+7x5'+8x5。，

234JS

5JW-M=-5-5-5-5-5-...-5+8X5\

4.W=8X59-(5+52+5,+5J455+...+514),

°(5+52+53+54+5S+...+58)

…"1---------------------』

设r=5+5?+5、+54+5$+...+5，

5r=52+53+54+55+...+5s-59

57-r=4r=59-5,

59-5

M=2X5-H=2X59—，—T+5.

4161616

21.1

【分析】根据运算律，倒数的定义解答即可.

本题考查了有理数的除法，运算律的应用，倒数，熟练掌握运算法则是解题的关键.

【详解】解：原式的倒数是岛正天力卜右

a5R2、

=--x70--x70+—＞：70——x70

(1014357J

=-(21-25+16-20)=8.

故原式=：.

o

答案第1()页，共18页

【分析】本题考查有理数的除法运算，利用倒数法结合有理数的乘法分配律进行简算即可.

【详解】解：原式的倒数为(t一322\(1]

1437八42)

(\322)-

------H------x(-42)

161437j

1(3、2,2、

=-x(-42)+--x(-42i+-x(-42)+——x(-42)

6I14；3I7J

=-7+9-28+12=-14.

故原式二-h".

14

23.

29

【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算，熟练掌握乘法分配律，是解题的关键.求出

175)f1

I7--+-+的值，然后根据有理数倒数的定义得出结果即可.

oV127Joy

【详解】解:原式的倒数为:CU)

x(-36)

J-9+12

ZX(_36)_ZX(_36)+AX(-36)

=-42+28-15

=-29,

故原式=一：.

1

24.—

16

【分析】此题考查有理数的混合运算，乘法分配律，计算原式的倒数，即可得到答案.熟练

掌握有理数的混合运算是解题的关键.

59fifJf

1428I4jI5

x6)x(-56)

J-14+28-T6

x(-56)

,1一五十三力

1593

=_x(_56)--x(-56)+—x(-56)--x(-56)

=-7+20-18+21

=16,

答案第11页，共18页

25.(1)18

⑵-5

【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解

决问题的关键.

(1)按照从左至右的顺序计算即可；

(2)按照从左至右的顺序计算即可；

【详解】(1)解：(-3)+(-弓｝o.75+(-，)x(-6)

、437/

=3x—X—X—xo

743

=18;

(2)解：(一;x(-°1)4-^x(-10)

(\I)

=——X—X25X10

【51())

=-5；

26.-1

【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，首先根据减去一个数等于加上这个数的相

反数，把加减混合运算转化为有理数的加法运算，把小数转化为分数，再利用加法交换律和

结合律，把分母相同的数结合在一起，可得：原式二-(3：-：［+(31-11］，利用有理数的

I88八44；

加法法则进行计算即可.

【详解】解：(+0.125)1-弓,卜3胃-(+1.75)

=(m125)+(+34+卜3巳+(-1.75)

=-3+2

答案第12页，共18页

27.-2.4

【分析1本题考查了有理数的简便运算.

先将分数和百分数化为小数，再根据乘法分配律计算即可.

【详解】解：-3.61X0.754-0.61X^+(-0.2)X75%

=-3.61x0.75+0.61x0.75+(-0.2)x0.75

=0.75x(-3.61+0.61-0.2)

=0.75x(-3.2)

=-2.4.

28.25

【分析】本题主要考查了有理数乘法.利用有理数乘法分配律计算，即可求解.

【详解】解：38x1+17x0.25+45x25%

4

=38x1+17x1+45x1

444

=-x(38+17+45)

=-x100

4

=25

21

29.(1)5^—-]

4

⑵1—22023

⑶旦用

【分析】本题考查了数字的规律变化，含乘方的有理数的混合运算.理解题意，确定数字的

变化特点是解题的关键.

(1)根据已知先求出5S,再相减，即可得出答案；

(2)观察图形发现部分①的面积为部分②的面枳为[=部分③的面积为

224

卜;，…,阴影部分的面积为《，据此规律解答即可；

(3)令7=；+?+*+••♦+!，再求出37,两式相减求出27,据此求解即可.

【详解】(1)解：令S=l+5+52+5、54+…+5?°①，

答案第13页，共18页

2342,

等式两边同时乘以5,#5S=5+5+5+5+---+5（2）»

由②式减去①式，得4s=5"-1,

「夕一

,•0—--------，

4

••・1+5+52+53+5“+…+52=^-；

4

（2）解：•.•正方形边长为1,

・••正方形面积为1,

•••①是边长为1的正方形纸片面积的一半，

二①的面积为g，

依此类推②的面积为③的面积为之…

242o

二求;+《+5+…+击的值，即为求将图形分割下去空白部分的面积,

此时剩余阴影部分面积为：募，

1111.1

，5+尹+¥+…+尹二】一尹，

故答案为：|一£五；

（3）解:令「=；+*+/+…+"①，

等式两边同时乘3得，37=1十"十"十"十…十②，

由②式减去①式，得2r=1-",

1।111Ali

332333"21V）

故答案为：

30.⑴见详解

⑵T

【分析1（1）根据题意填表即可.

（2）原正方形分成各个小长方形的面积之和为（+（•+/+…+5+£,由

…+!+[=1即可得出：+[+[+…+』的值.

答案第14页，共18页

本题主要考查了有理数乘方的应用，列代数式，一元一次方程的应用，面积等知识.

【详解】（1）解：解：上表填写如下:

进行的次数123・・・n

_1_21

剩下图形的面积・,.

248F

故答案为:r,F-

（2）解：原正