有理数的乘法与除法运算（学生版）-2024华东师大版七年级数学上册

专题1.5有理数的乘法与除法运算

枚学目标、教学重难点

知识清单

有理数的乘法、除法

题型材讲

易错典例

强化训练

r教学目标、教学重难点］

1.有理数乘法的法则，尤其是符号法则（重点）

2.多个有理数相乘时，积的符号的确定方法（重点）

3.有理数除法的法则，包括符号法则和绝对值的除法（重点）

4.除法与乘法的转化（重点）

5.理解“负负得正”的乘法法则（难点）

6.除法转化为乘法时，倒数的确定及符号的处理（难点）

7.卖除混合运算的顺序及符号处理(难点)

知识清单

知识点1有理数的乘法法则

1•有理数乘法法则

(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘

(2)任何数与0相乘，都得0.

<特别提醒

1.“同号得正，异号得负”是确定积的符号，不能与加法中确定和的符号相混浙

2.有理数乘法的运算步骤：

⑴确定积的符号；

⑵确定积的绝对值

5：有理数的乘法和喜法而

(1)ab>0<=>a>0,b>0或a<0,b<0；

(2)ab<0<=>a>0,b<0或tz<0,/?>0；

(3)ab=0oa=0或b=0或a=b=0.

知识点2有理数乘法的运算律

运算律文字表示用字母表示

两个数相乘，交换乘数的位置，积

乘法交换律ab—ha

不变

三个数相乘，先把前两个数相乘，

乘法结合律(ab)c=a(bc)

或者先把后两个数相乘，积不变

一个数与两个数的和相乘，等于把

分配律这个数分别与这两个数相乘，再把a(b+c)=ab+ac

积相加

特别提醒

运用乘法的运算律进行计算，是为了简化运算。它只改变其中的运算顺序，而不改变算式中每个数的性质

和大小。

知识点3多个有理数相乘

1.几个不等于0的数相乘的法则几个不等于0的数相乘，积的正负号由负乘数的个数决定，当负乘数的

个数为奇数时，积为负;当负乘数的个数为偶数时，积为正.确定积的正负号后，再把这几个有理数的绝对值

相乘

2.有因数零的几个数相乘的法则几个数相乘，有一个乘数为0,枳就为。.同样，若积为0,则至少有一个乘

数为0.

特别提醒

多个有理数相乘的三个步骤

第1步：看乘数中有没有0;

第2步：判断积的符号;

第3步：计算积的绝对值

面版点4倒及

1.定义

乘积是1的两个数互为倒数

2.倒数与相反数之间的关系

不问点

相同点

定义表示性质判定

a(aw0)的

乘积是1的

若a,b互为倒若a-b={,

倒数两个数互为倒

倒数是1数，则ah=\则a,b互为倒数

数

a都成对出现

只有正负号不若。+〃=0，

。的相反数是若a,b互为倒

相反数同的两个数互则a,b互为相反

-a数，贝ijab=\

为相反数数

特别提醒

1.“乘积是1”是判断两个数互为倒数的关键。

2.“互为”表示倒数是两个数之间的一种关系单独一个数不能称其为倒数

3.正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，。没有倒数

知识点5有理数的除法法则

1.有理数除法法则一除以一个数等于乘以这个数的倒数注意：()不能作除数.

用字母表示：a-i-b=ax—(b^0).

b

2.有理数除法法则二

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数，都得0.

特别提醒

1.除法法则一-两变:

一变，将除号变成乘号；

二变，将除数变成倒数。

2.除法法则二是先确定商的符号，再求商的绝对值

知识点6分数的化简

1.实质分数的化简，即利用有理数除法法则，让分数的分子除以分母的运算过程

2.分数的符号法则分数的分子、分母及分数本身的符号，改变其中任意两个，分数的值不变。

—a—aaci

用字母表示：——=-=—=--0^0）。

-bb-bb

3.分数化简的结果为最简分数或整数.

翻知识延伸

1.分数线既代表除号，又有括号的功能

2.最简分数的条件：

（1）分子、分母同为正教；

（2）分子、分母不能再约分，即分子、分母互质

知识点7有理数的乘除混合运算

L有理数的乘除混合运算顺序

按照从左到右的顺序计算，有括号的先计算括号里面的

2.有理数的乘除混合运算法则

有理数乘除混合运算往往先将除法转化为乘法，然后按照多个有理数相乘的法则计算

V方法总结

乘除混合有理数，统一为乘第一步，乘法"三律'’便简单，负因个数定正负.

题型精讲

题型一、两个有理数的乘法运算

,0例1（24-25七年级上•河南濮阳•期中）定义一种新运算：。*》=同一"例如

3*2=|3|-2x3=3-6=-3.则（-5）*（-3）的结果是（）

A.10B.-10C.15D.20

1-1（24-25七年级上•广东深圳•期中）下列说法正确的是（)

A.数轴上表示-时的点i定在原点的左边

B.只有两个数相等时，它们的绝对值才相等

C.几个非零有理数相乘，负因数的个数是偶数个时，积为负数.

D.若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数

1-2（24-25七年级上•广东珠海•期中）计算：的结果是（）

A.1B.-1C.5D.-6

1-3（24-25七年级上•内蒙古呼伦贝尔•期中）对于有理数x,y,定义一•种新运算：'△），=冲-工+九如：

1A2=1X2-1+2,则（一3口4的值为.

1-4（23-24七年级」二•贵州贵阳•期中）计算：1一2+3—4+.,+2021-2022+2023=.

题型二、多个有理数的乘法运算

-7＞例2（24-25七年级上•河南商丘・期中）如果3个有理数的乘积为负数,那么这3个有理数中正数有（）

A.0个或1个B.1个或2个C.0个或2个D.2个或3个

2-1（24-25七年级上•江苏宿迁•期中）下列算式中，积为正数的是（）

A.2x3x5x（T）B.（-2）x（-3）x5x（T）

C.（-2）x3x（-5）x|-4|D.（-2）x0x5x（-4）

2-2（24-25七年级上•广东中山•期中）对于有理数小b,定义新运算：a©b=4ab,则3©（-4）的值为（）

A.12B.-48C.-12D.48

2-3（24-25七年级上•广东东莞•期中）在-3,-2,-1,4,5中取出三个数，把三个数相乘，所得到的最大

乘积是;

2-4（24-25九年级上•重庆•阶段练习）若abed是互不相等的整数，且〃垢4=169,则

题型三、有理数乘法的实际应用

、一々/例3（23-24七年级上.江苏扬州•期中）某种商品原价为8元，现打五折促销，促销价为（）

A.27GB.4元C.16元D.40元

3-1（24-25七年级上•河南南阳•期中）某奶茶店促销一款新饮品，每杯售价7元，为吸引顾客，店长推出A

套餐和4套餐：

月套餐：每买2杯，第1杯原价，第2杯半价;―

6套餐：每买3杯，第1、2杯原价，第3杯免费.

若晴晴想买12杯该饮品，则卜列花费最少的方式是（）

A.买6个4套餐B.买4个8套餐

C.买3个A套餐，2个B套餐D.买2个人套餐，3个B套餐

3-2（24-25七年级上•四川眉山•期中）一件风衣，原价1200元，现在八五折出售，现在一件这样的风衣（）

A.1002元B.1000元C.696元D.1020元

3-3（24-25七年级上•山西临汾•期中）某学校数学学期成绩的计算方法是：平时成绩x30%+期日成绩x30%+

期末成绩x40%,小明的数学平时成绩、期中成绩和期末成绩分别为92分，95分，96分，则小明的数学学

期成绩为分.

3-4（24-25七年级上•河南南阳•期中）一根长为2025厘米的塑料管，第I次截去全长的第2次截去剩

下的：，第3次截去剩下的;，如此下去，直到第2024次截去剩下的击，则最后剩下的塑料管长为一

厘米.

题型四、有理数乘法运算律

、^例4（24-25七年级上•河北石家庄♦期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（）

■）

=卜。£卜（-6）…①

=—60—…②

=-6og…③

A.解题运用了加法结合律B.解题运用了乘法交换律

C.从②步开始出错D.从③步开始出错

4-1（24-25七年级上•云南西双版纳•期中）用简便方法计算（-23）x25-6x25+18x25+25,逆用分配律正确

的是（）

A.25x（-23-6+18）B.25x（-23-6+18+1）

C.-25x（23+6+18）D.-25x（23+6-18+1）

4-2（24-25七年级上•四川南充・期中）4表示小于或等于该数的正整数的积,例如:4!=lx2x3x4,则

1011-100!z、

----------------79（）

99!+98!

A.9989B.9900C.9910D.9920

4-3（24-25七年级上•天津河东•期中）计算（-O.4）xl25x（-25）x（-O.O8）的结果是

34

4-4（24-25七年级上•湖南衡阳•期中）计算：x（-5.5）+0.75x-^=

题型五、倒数

例5（24-25七年级上•全国•期中）-g的倒数是（）

A.—B.2C.1D.—2

2

5-1（24-25七年级上•广西贺州•期中）下列各数，互为倒数的是（）

A.-1与1

C.-0.8与0.8

5-2（24-25七年级上•广西桂林•期中）募的倒数是（

)

A.-2024B.2024C.----

20242024

57（2425七年级上•北京・期中）-5的倒数是一；比较大小退一j（用“<、>或=”连接）

5-4（24-25七年级上•北京•期中）-3T的绝对值是，倒数是

题型六、有理数的除法运算

、7>例6（24-25七年级上•广东广州•期中）如果。+〃<0,1>0,那么下列成立的是（）

A.a>0,Z?>0B.a>0,b<0C.a<0,b<0D.a<0tZ?>0

6-1（23-24七年级上•贵州黔东南•期中）下列运算正确的是（）

A.-2-(-5)=-3B.6-(-6)=0

C.（-3）x（-5）=-15D.-2+（-4）=；

6-2（24-25七年级上•陕西咸阳•期中）计算：3+（-；）=（）

33

A.6B.-6C.—D.

22

6-3（24-25七年级上•广东东莞•期中）化简下列各数：

-45

(1)-(-68)=；(2)=(3)——=

-12

6-4（24-25七年级上•河北邢台•期中）若，（一扑1,那么口中填入正确的数是

题型七、有理数除法的应用

例7（24-25七年级上•黑龙江•期中）胜利小学计划招生80人，实际招生120人，实际多招了几分之

几的算式是（）

A.80+（120+80）B.120+80

C.（80+120）+80D.（120-80）-80

7-1（24-25七年级上•四川巴中•期中）天干地支纪年法源于中国，又称节气历或中国阳历，有十天干与十二

地支.如下表，算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支.如：2023年尾数

3为癸，2023除以12余数为7,7为卯，那么2023年就是癸卯年，七年级某班小明同学出生年份是2011年，

则2011年是（）

甲乙丙T戊己庚辛壬癸

天干

4567890123

子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥

地支

45678910H0123

A.庚寅年B.庚辰年C.辛卯年D.辛辰年

7-2（24-25七年级上•四川眉山•期中）2024年是新中国成立75周年，这一年的第一季度有（）天.

A.90B.91C.89D.92

7-3（24-25七年级上•黑龙江•期中）12岁儿童一顿午餐需要摄入30克蛋白质，已知100克豆制品含蛋白质44.8

克.如果这些蛋白质都从豆制品中摄取，一个儿童一顿午餐大约要吃豆制品克.

7-4（24-25七年级上•黑龙江•期中）一个长方形的草坪周长是240米，长是70米，宽是米.

题型八、有理数乘除混合运算

7^例8（23-24七年级上.青海西宁•期中）计算-的结果等于（)

A.10R.-10C.5D.-5

8-1（24-25七年级上•贵州黔东南♦期中）一的运算结果是（）

5454

A.1.5B.-1.5C.—D.-

8-2（24-25七年级上•贵州毕节•期中）计算-9+3x；的结果为（）

A.-9B.9C.1D.-1

8-3（24-25七年级上黑龙江期中）圆的直径是6厘米，面积是平方厘米.

8-4（24-25七年级上•四川绵阳•期中）计算：3+［-］卜］一?=.

题型九、有理数四则混合运算

7〉例9（24-25七年级上•福建福州•期末）下列计算正确的是（）

A.1—1x3=0B.（-2）x3x（—1）=-6

9-1（24-25七年级上•浙江温州,阶段练习）将下列运算符号填入算式-100+1（0、的“W”中，使运算结果最

小的是（）

A.+B.-C.xD.+

9-2（24-25七年级上•湖南郴州•期中）计算：2x（-3）-6+（-；）=.

97（23-24七年级上•甘肃平凉•期中）对于有理数人。定义一种运算：a^b=3ci-b,计算

(-3)*2=____________

题型十、有理数四则混合运算的实际应用

・7）例10（24-25七年级上•广西玉林・期末）随着出行方式的多样化，某市三类打车方式的收费标准如表:

出租车A打车软件B打车软件

3千米以内：10元路程：1.2元/千米路程：L6元/千米

超过3千米的部分：2.4元/千米时间：0.6元/分钟时间：0.4元/分钟

已知三种打车的平均车速均为40千米/时，去8千米远的地方，出行方式更省钱的是（）

A.出租车出行更省钱B.A打车软件更省钱

C.8打车软件更省钱D,都一样省钱

10-1（24-25七年级上•贵州遵义期末）如图是2025年1月的日历，方框内涂上的9个数之和是正中心数“14”

的（）

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

A.3倍B.6倍C.9倍D.11倍

10-2（24-25七年级上.江苏泰州•阶段练习）某班5名学生在一次跳绳测试中的成绩以150个为标准，超过

的个数记为正数，不足的个数记为负数，记录如下：-4,+9,-1,0,+6,则他们的平均成绩是个.

10-3（24-25七年级上•北京•期中）小明计划在某外卖网站点如下表所示的菜品.已知每份订单的配送费为6

元，商家为了促销，对每份订单的总价（不含配送费）提供满减优惠：满30元减I2元，满70元减30元，

满I00元减40元.如果小丽在购买下表中的所有菜品时，采取适当的下订单方式，那么他点餐的总费用最

低可为元.

菜品单价（含包装费）数量

水煮牛肉（小）40元1

醋溜土豆丝（小）12元1

£

豉汁排骨（小〉30元1

0

手撕包菜（小；12元1

米饭3元2

题型十一、数轴上的翻折

例11（24-25七年级上•浙江杭州•期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我共爱”“数”“学”四个字,

且将正方形放置在数轴上，其中“我'…爱"对应的数分别为-2和-1,如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方

向在数轴上向右无滑动地翻滚.例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0,则连续翻滚后数轴上数2024对

应的字是（）

我爱数学

i1I，111111111A

-6-5-4-3-2-10123456

A.我B.爱C.数D.学

11-1（24-25七年级上•山东济南•阶段练习）将数轴对折，使表示-3与1的两个点重合，若此时表示-5的点

与另一个表示数工的点重合，则犬=.

11-2（24-25七年级上•福建福州•期中）在白纸上画一数轴，折叠数轴，使数轴上数-2对应的点与数4对应

的点重合.

⑴求数轴上与数8对应的点重合的点对应的数；

⑵若数轴上两点A,B（点A在B的左侧），折叠前A,B两点间的距离为50,折叠后A,8两点间的距

离为5,求点A表示的数.

题型十二、根据点在数轴的位置判断式子的正负

/例12（24-25七年级上•福是南平•期中）有理数〃、在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的

是（）

------1------1--------------1------>

a0b

A.|《<陶B.a<bC.a+b<0D.a—b<0

12-1（24-25七年级上•广西贺州•期中）已知有理数在数轴上的位置如图所示，则下列结论错误的是（）

1111.

Ca0b

A.0>cB.a<0

C.b>cD.

12-2（24-25七年级上•江苏泰州•阶段练习）如图,数轴上的点4A分别对应有理数《、b,下列结论中正确

的是（）

A1B

----------、JA

a0b

A.-a<bB.>网C.a-b>0D.a+b<0

12-3（24-25七年级上•河南南阳•阶段练习）有理数。、b在数轴上的位置如图所示，请用连接a、b、-a、

例为—.

12-4（24-25七年级上•广东中山•期中）点A,8在数轴上的位置加图所示，其时应的数分别是“和人，对于

以下结论：①b-"0；@a+b>0：③同>问；④，<-1.其中正确的是（填序号）

-3a03b

X易错警示

易错点1几个有理数相乘时忽视符号法则而致错

例I(3.89)x(q)2.5]x(3)+6.4x(§.

【答案】0

【分析】该题主要考查了有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法法则.

根据有埋数乘法法则计算即可.

【详解】解：原式(-3/9-2.51+6.4)

=f-|lx(-6.4+6.4)

=0.

易错点2忽略除法的符号法则，符号判断错误

例2计算：-(2小卜3：卜一•

3

【答案】；/0.6

【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握相关运算法则是解题关键.先将带分数化为假分数，再将除

法化为乘法计算即可.

【讲解】解：华卜国

T扑T

=11x2

511

3

=?

3

故答案为：

强化训练

1.若|乂=4,3=6,且个>0,则x+y的值是()

A.2或10B.-2或-10C.-2或10D.10或一10

2.若数〃、b、c在数轴上的位置妇图所示，下列五个结论：①同>0；②c成?>0；③a+c>0：@b-a>0.⑤

M-d=h-c其中正确结论的个数为（）

I|||>

abOc

A.2个B.3个C.4个D.5个

3.已知4个数。，b,c,d它们两两之和为5,8,9,11,12,15,则四个数的乘积的所有可能值为（）

A.214和304B.234和314C.224和324D.234和334

5t

4.若X1•工2,恐..”2023,-x2（>24。，且为，“2，”3，....，“2023»“2024这2024个数中有〃个正数，则

H+N+N+.….+蜀+1^^的值为（）

XXX

\23WO23X2O24

A.2024B.2024-2〃C.〃-2024D.2鹿-2024

5.下列说法中，正确的个数是（）

①若—=-->则4<0；

aa

②若同>|向，则有（a+b）（a-b）是负数;

③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是-2、6、x