正弦定理、余弦定理-2026高三一轮复习讲与练

4.6正弦定理、余弦定理

考试要求

1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.

2.理解三角形的面积公式并能应用.

3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.

■备知识回顾自主学习•衣础回扣

教材回扣

I.正弦定理、余弦定理

在中，若角力，B,C所对的边分别是a,b,c,/?为△44C外接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c?-2bccos彳；

ci_b_C_rn

内容=一=一=2R62=c2+42-2cacosB；

sinAsinBsinC

。2=/+力2—20bcosC

(\)a=2RsinJ,

b=2RsinB,

」2+/一。2

c=2RsinC；cosA一；

2bc

(2)sin4=&

+-力2

变形COSB=:

sinB=b,2ca

2Ra2-^-b2—c2

cosC=

sinC=C；lab

2R

(3)Q:b：c=sin力：sinB:sinC

2.三角形解的判断

A为钝角

项目A为锐角

或直角

CC出

图形

AAB'、…&

月z£BA'、、….，6AB

关

bsinA<

系a=bsinAa2ba>b

a<b

式

解的一解两解一解一解

个数

3.三角形中常用的面积公式

(1)S=)儿(儿表示边a上的高).

(2)S=~absinC=~acsinB—~bcsinA.

⑶S=，S+/)+c)。为三角形的内切圆半径).

lET教材拓展

在△/4C中，常有以下结论：

(1)/+8+。=兀

(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

(3)。>力=4>4QsinJ>sinB,cosJ<cosB.

(4)sin(4+4)=sinC；cos(4+4)=-cosC；tan(4+8)=—tanC；sin'+'=cos,；cos

22

A+B.C

=sin.

22

(5)三角形中的射影定理

在△/BC中，a=bcosC+ccosB-,b=acosC+ccosA；c=hcosJ+tzcosB.

(6)三角形的面积S=a)(/?一力)(p-c)[2("+"+c))

基础检测

Q----

1.判断(正确的画“J”，错误的画“X”)

(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的余弦值之比.(X)

(2)在△48C中，若sin4>sin&则a>b.(J)

(3)在△48C的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.(X)

(4)当拄+c2一02>。时，△/8C为锐角三角形.(X)

2.(人教A版必修第二册P48T2⑵改编)在△48。中，已知6=2,4=45。，。=75。，

则边。=2+

解析：8=180。一45。-75。=60。，由正弦定理，得2=°，得c=2+‘

sin60°sin7503

3.(人教A版必修第二册P44T2改编)在△N8C中，已知。=7,b=5,c=3,则角彳

=120。.

解析：因为cos/=A*+/—a?=-11所以4=120。.

2bc2

4.(人教A版必修第二册P53T10改编)在△力4。中，若。=7,b=3,。=8,则418C

的面积等于63.

•12_|_O2_72J2

解析：因为cos4==lo,所以力为锐角，所以/=兀，sin%=J,所以△力

2X3X8232

117

的面积为%csi"=X3X8X'=63.

222

陕键能力提升互动探究•考点精讲］

考点1利用正弦定理、余弦定理解三角形

命题角度1正弦定理

【例1】（1）（2024•全国甲卷）在△/14C中，内角力，B,。所对的边分别为〃，5,

若8=冗，b2=^ac,则sin.4+sinC=（C）

34

C.7D,313

213

【解析】因为8=北，於=%,则由正弦定理得sin%sinC=4sin23=l.由余弦定理可

3493

得〃=/+/—qc=%c,即标+修=”。。，根据正弦定理得sin24+sin2c=l3siiMsin。二胎，

44412

所以（sin4+sinC）2=sin24+sin2C+2sinJsinC=7,因为彳，C为三角形的内角，所以sin4

4

7

+sin00,则sin4+sinC=.故选C.

2

（2）（多选）在△力8c中，内角力，B,。所对的边分别为a,b,c,根据下列条件解三角

形，其中有两解的是（BC）

A.6=10,4=45。，C=60°

B.b=15,c=4,8=60。

C.a=3,b=2,J=45°

D.Q=8,6=4,4=80°

【解析】因为6=10,4=45。，C=60°,所以3=75。，所以△45C只有一解，故A错

3

.„4XJ,

误；因为力=15,c=4,8=60。，所以由正弦定理得sin。=°1=2=3<1,因为

b155

b<c,即3<C,所以C60。，所以△/I8C有两解（60。<。<90。或90。<。<120。），故B正确；因

〃A-2X2

为a=3,b=2,4=45。，所以由正弦定理得°=,即sin4==2=,

sinAsinBa33

因为2<6<3,”b,所以有两解（45。<8<60。或120。<4<135。），故C正确：因为a

232

=8,h=4,J=80°,所以由正弦定理得sin8="sin"=4sin80<1,由于Xq,故8<80。，

a82

所以△月5c只有一解，故D错误.故选BC.

故bcosC+ccosB=CD+BD=BC=a,即a=bcosC+ccosB,

同理可证b=ccos力+acosC,c=acosB+bcosJ.

【典例】在△4BC中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足2/7cos8=qcos

C+ccosJ,则8的大小为（B）

【解析】因为2力cos4=acosC+ccos/,所以2/>cos8=/）,解得cos8=L又因为

2

4£（（）,7t）,故.故选B.

命题角度2余弦定理

【例2】（1）已知△ZBC的内角力，B,。所对的边分别为a,b,c,面积为S,且〃+

b~c2=4S,则角C=匹.

4

【解析】6c的面枳S=sinC,因为a?十〃一〃=4S,所以2a。cosC=4X।如sin

22

C,所以tanC=l,又C£（0,兀），所以C=:.

（2）（2024•辽宁葫芦岛二模）在△48。中，8=45。，月8=2,M是8C的中点，4W=10,

则/C=52,cosZMAC=~

——25

【解析】如图，在△48“中，B=45。，/1B=2,

AM=10,由余弦定理得4必=482+8”一2488Mcos乙48忆解得8M=4,则

=4,BC=8,AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSZABC,解得<C=52,故cosNM4C=

22

A^+AC-MC=10+50-16=n5

2AMAC2X10X5225

A

BMC

」规律总结

1.利用余弦定理可解决以下两类三角形问题：一是已知两边和它们的夹角，求其他边与

角；二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一

的.

2.在解三角形中，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理.

【对点训练1】（1）（2024・湖南衡阳三模）在△/["?中，ABAC,ZABC,N/lG的对

边分别为a，b,c,若b=c,。为力C的中点，bsinZBAC=2sinZABD,则B£>=（A）

A.IB.2

C.3D.2

XAD

解析：由已知得力。=。。=AC=\b,在△49。中，由正弦定理得

22sinZ.BACsinNABD

h

bs,nZC

2，所以BD」sm,胡。，又〃sjnZBAC=2sinZABDt故BD=^=i.

sinZ.ABD2sinZ.ABD2sinNABD

故选A.

(2)(2024•江西赣州一模)在△45C中,AB=7,AC=2,C=120°,则sin4=(B)

721

A.B.

1414

C.57D.321

1414

解析：•:AB=7,AC=2,C=120°,ACcosC,A5C2+25C

-3=0,解得6C=1或8c=-3(舍去),

・•._BCsinC_21切卡

..sinJ==.故选B.

AB14

考点2判断三角形的形状

【例3】(1)(2024•陕西渭南三模)己知△48。中，角4B,。所对的边分别是。，b,

c,若bcosC+ccos8=6,且〃=ccos8,则△48C是(D)

A.锐角三角形B.钝角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

【解析】bcosC+ccosj5=Z)=>sinBcosC+sinCcosB=sinZ?=>sin(Z^+C)=sinB,即

sinJ=sinB,故a=b,a=ccos3=sin4=sinCcosBnsin(8+C)=sinCcosBnsinBcosC+

cosRsinC=sinCcos^=>sinRcosC=0,因为/?G(0.n),所以sin8W0,故cos。=0,因为

CG(0,7r),所以C=j故△/AC为等腰直角三角形.故选D.

(2)在△48。中，角4B,。所对的边分别是。，h,c,a-ccosB=b-ccosA,则

△ABC为(D)

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

标+-吩扶+/―/T-

【解析】由“一ccos4=〃-ccos力，得cX=b—cX，化简得

lac2bc

标+反—/+—

=,当标+〃一。2=0时，层+於=02,则△48c为直角三角形；当/+

ab

〃一°2工0时，d,则△n8。为等腰三角形.综上，△48C为等腰或直角三角形.故选D.

」规律总结

判断三角形形状的两种思路

(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.

（2）化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应

用力+8+。=兀这个结论.

【对点训练2】（1）（2024•河南新乡二模）在△48。中，内角4B,C的对边分别为

a,b,c,且a=7,b=3,c=5,则（C）

A.△ABC为锐角三角形

B.△力BC为直角三角形

C.△48C为钝角三角形

D.△4AC的形状无法确定

解析：cosA=COJTD，"v0,所以力为钝角，所以△可为钝

2bc3030

角三角形.故选C.

（2）（2024•河北秦皇岛三模）在。中，内角4B,C的对边分别为。，4c,且8

=2C,b=2a,则（A）

A.△4九?为直角三角形

B.为锐角三角形

C.△48C为钝角三角形

D.△48C的形状无法确定

解析：由正弦定理得/,即.y=."「，所以cosC=j,所以C=：,则8

sinBsinCsin2CsinC24

=",所以△48。为直角三角形.故选A.

2

考点3三角形的面积问题

【例4】（2024•新课标I卷）记的内角力，B,C的对边分别为a,b,c,已知

sinC=2cosB,a2-\~b2—c2=lab.

⑴求B；

（2）若A45△的面积为3+3,求c.

【解】（1）因为—2ab,所以cosC=/+〃—"=2ab=2,结合C为三角

lab2ab2

形的内角，可得C=:,所以sinC=2cos4=；,所以cos8=；,结合it）,得8='.

（2）由（1）可知力=兀-8—。=；；,设△力8c的外接圆半径为R,由正弦定理得b=2&sin8

=3R,c=2RsinC=2R,由氏80=Ucsin4=3+3,得3R-2/?sin5n=3+3,即

2212

6K26+2=3+3,解得外=4,所以&=2（负值已舍去），所以。=2&=22.

24

」规律总结

三角形面积公式的应用原则

(1)对于面积公式S=ahsinC=acsinB=besinA,一般是已知哪一个角就利用哪一个

222

角及其两条边求面积.

(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.

【对点训练3】(2024•福建厦门一模)已知△48C的内角4B,C的对边分别为。，

b,C,且42cos4+48cos4=2c.

⑴求。；

(2)若/=；,且△.4比?的周长为2+5,求△.48C的面积.

解：(1)由题设得a(acosB+bcosA)—2c,由正弦定理有a(sinAcos5+sinBcosJ)=2sin

所以asin(4+8)=2sinC,而力+8=兀-C,故asinC=2sinC,又sinCO,所以a=2.

力2-4-W—/—A1

(2)由(1)及己知，有cos4=。=仁T。'=-1,可得〃+/+A=4,又a+b

2bc2bc2

+c=2+5»即b~\~c=5,

所以(3+c)2—bc=5—6。=4,所以bc=l,故S/sc=sin4=3.

课时作业30(总分：100分)

，亚基础巩固.

1.(5分)(2024•北京东城区二模)在△力8c中，角4,B,C所对的边分别为。，b,c,

<=兀，C=ln,b=2,贝ija=(D)

412

B.2

解析：由题意可得8=L4—C=［由正弦定理a=’可得a="sin'=2=?.

sinAsinB

故选D.

2.(5分)(2024•江西九江三模)在△力8C中，角4B,。所对的边分别为。，b,c,

已知2c-a=2bcos4,则8=(B)

63

27t57t

36

解析：V2c—a=2bcosA>2sinC-sin/I=2sinBcosA,V/14-^4-C=7t».\2sin

—2sinBcos4=sin4,/.2sinAcos8=sin4

VsinA>0,・・・cosA=l又8W(0,n),,・.4=兀.故选B.

23

3.（5分）（2024•四川成都二模）在中，8c=3,AC=5,C=2\则力吐

（D）

A.53B.51

C.45D.7

解析：在△川定中，由余弦定理得，AB2=AC1-\-BC^-IACBCCQSC=52+32-

2X5X3XI2j=49,所以44=7.故选D.

4.（5分）（2025・八省联考）在。中，8c=8,4c=10,cosNBAC=3,贝也力8。

5

的面积为（C）

A.6B.8

C.24D.48

解析：设48=x,乂AC=8,4C=10,cosZBAC=\根据余弦定理力中

—2AC，ABcosNB/iC,得8?=1（户+9-2XlOXxX；,即/一12x+36=（）,解得x=6.由于

^+/1^2=64+36=IO（）=JC2,故△力8c为直角三角形，则的面积S=lx6X8=24.

2

故选C.

5.（5分）（2024•山东泰安三模）在△N4C中，内角NB4C,NABC,N4C8所对的边

""。，七酸一弋匕产延长叱至点◎使得公⑦若

AD=23,AB=2,则a=（C）

A.1B.3

C.2D.3

7y.bsinZ.ABC（c—a）sinZ.ACB

解1析：由-a=可得bsinZABC=asinZ5JC+（c—«）sin

sinABACsinZBAC

/ACB,由正弦定理得〃=标+（。一q）c,即a2-^c2_b2=aCt所以cosNZ8C=〃+"—"=℃

lac2ac

=L又因为0</48。<兀，所以N/8C=",

23

如图所示，由题意知8。=20AD=23,AB=2,在△月8。中，由余弦定理得力》=4

+（%）2-2X2X2.Xcos兀=4+4标-4a=12,解得a=2或°=一1（舍去）.故选C.

3

6.（5分）（2024•浙江绍兴三模）在△/IBC中，内角/,B,C所对的边分别为a,b,c.

若26cos（B+C）—acosC=ccos%,则力=（D）

nn

A.B.

64

C.nD.2n

33

解析：因为2/?cos（月+。-acosC=ccos力，所以2/?cos（兀一4）=acosC+ccos4,即

~2bcosA=acosC+ccosJ,acosC+ccos力=〃，所以一2力cos/i=/7,所以cos/1=一

又/£（0,兀），所以•故选D.

7.（6分）（多选）已知△48C的内角4B,C的对边分别为小b,c,则下列说法正确

的是（ABD）

A.若a=2h,8=3（）。，则△力8c有一个解

B.若〃=2b,8=30。，则△48。有两个解

C.sin2/4=sin2Bf则△力4c为等腰三角形

D.若sin/vcosC,则△/4c为钝角三角形

解析：由正弦定理得sin玄=理半8=1,因为300Vs<150。,因此4=90。，有唯一解，故

A正确；由正弦定理得sin4=2sinB=2,因为30。</<150。，所以4=45。或4=135。，有

2

两解，故B正确；因为0。<4<180。，0°<5<180°,sin2/1=sin28,所以24=28或24+28=

180。，即4=8或4+8=90。，因此△ZBC为等腰或直角三角形，故C错误；当4为钝角时，

△力8c为钝角三角形，当.4为直角时，不满足条件，当为为锐角时，sin^=cos（90°-/4）<cos

C,因此90。-4>。，J+C<90°,因此△ABC为钝角三角形，故D正确.故选ABD.

8.（6分）（多选）（2024•广西桂林三模）在。中，sin。=LBC=1,AC=5,则

22

（ABD）

万

AA.cosC=1

2

B.AB=21

C.△48c的面积为5

2

D.外接圆的直径是27

r111

解析：cosC=l-2sin?=1—故A正确；由A知cosC=,由余弦定理得力展

2422

=5C2+JC2-25C-^CCOSC=1+25-2X5X1=21,故/8=21,故B正确；由于在△力8C

2

111

中，C£（0,兀），故sin>0,所以sinC=1—cos2C=1—4=2，所以义"8csinC

=lxiX5X3=53,故c错误;设△相（;外接圆半径为R,则由正弦定理得球=:

224sinC

2

=27,故D正确.故选ABD.

9.（5分）（2024•北京昌平区二模）己知△月^。中，角A,B,C所对的边分别为a,b,

37

c,a=4,b=2c,cosA=—,则S.MSC=

42

/>2—|-p2zl/*^—1A1

解析：cos4===—，解得c=2,所以8=2c=22,又因为cos

2bc4e24

17ii77

A=一,所以sin4=1—cos274=,所以5八/穴=Z>csinJ=X22X2X=.

442242

10.（6分）（2024•北京西城区三模）在A/IA。中，角4B,C所对的边分别为小b,c,

若c=2,a=3,A=n,fflsinC=b=3±2.

63

解析：由正弦定理,有,所以sinC=3,由余弦定理/=〃+

sinJsmCsin71sinC3

6

c2-2bccosA,有（3）2=b2-\~22-2X2bcos",解得6=3±2.

6

II.（16分）（2024•天津红桥区二模）在△/18C中，内角力,B,C的对边分别为a,b,

c,已知a=6,cos4=；,且〃sin/=3csin4.

（1）求c；

Q）求b；

（3）求cos囚+方的值.

解：（1）因为bsin/=3csin8,所以ab=3cb,所以q=3c,又〃=6,所以c=2.

（2）因为/>2=a2+c2-2"cos8,即/?2=62+22-2X6X2X^=32,

所以力=42（负值已舍去）.

77

（3）因为cos8=3,8£（（）,兀），所以sin4=1—co$25=,所以sin28=2sin4cos6

,cos25=2cos28—1=2x（3）—1=一乙所以cosl

七『224+花71

,6j=cos2Bcos

96

J_7x3_421_73+42

sinIBsinX=

6929218

12.(16分)(2024•北京卷)在△45。中，内角4,B,。的对边分别为a,b,c,ZJ

3

为钝角，a=7,sin2B=bcosB.

7

(1)求4；

(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△48。存在，求

△48C的面积.

条件①：b=7；

条件②：…弋；

条件③：csin4=53.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解

答，按第一个解答计分.

解：⑴由题意得2sin8cos8=因为力为钝角，

贝iJcosAWO,则2sin8=%,则,解得sin/=乙

7sinBsinAsinA2

7

因为力为钝角，则

(2)若选①，结合⑴得sin8="=：X7=±因为力=?，则8为锐角，则8=：,

1414233

此时4+8=兀，不合题意，故不选择条件①.

若选②，因为4为三常形的内角，则

p3h

sinB=1—I14J=,

14

331

代入2sin6-b,得2K?-b,解得力-3,因为sinC—sin(月+4)一sin

714

-

2兀oi2n.n3^,13.I1^3353

sincos8+cossin8=X+12JX=,

332141414

则S"c=〃sinC=lx7X3x53=153.

22144

若选③，由csin/=5,得cX3=53,解得c=5,

222

则由正弦定理得1,C,甲I一,5,解得sin0-$

smAsmCJsinC14

2

因为C为三角形的内角，则cosC=1—[14]=[,则sin8=sin(/l+C)=sin[3+c)

14

=sin2ncosC+cos2jCsinC=3X114-[-2jx53=33,MS^BC=sin5=1X7X5X33

3321414142214

=153

4,