14.1 全等三角形及其性质 解析版

.1全等三角形及其性质【考点归纳】【知识归纳】知识点一：基本定义⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形.⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点.⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边.⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角.知识点二.基本性质⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.【题型探究】题型一：全等图像的识别【例1】．（25-26八年级上·江苏徐州）下列汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（）A．丰田 B．奥迪C．雪铁龙 D．三菱【答案】A【分析】本题考查的是全等形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．根据能够完全重合的两个图形叫做全等图形对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】解：A、组成图形的三个图形不全等，故本选项符合题意；B、组成图形的四个圆形全等，故本选项不符合题意；C、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意；D、组成图形的三个图形全等，故本选项不符合题意．故选：A．【跟踪训练1】．（2025八年级上·全国·专题练习）刺绣是中国古老的手工技艺之一，已经有2000多年的历史，下列是几组刺绣作品图片，其中是全等图形的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了全等图形的定义，熟悉掌握全等图形的识别是解题的关键．根据全等图形的定义逐一判断即可．【详解】解：A．两图大小不一样，故不是全等图形，故A错误；B．两图大小形状一样，故是全等图形，故B正确；C．两图形状不一样，故不是全等图形，故C错误；D．两图大小不一样，故不是全等图形，故D错误．故选：B．【跟踪训练1】．（25-26八年级上·全国）下列各组的两个图形属于全等形的是（

）A．B．C． D．【答案】C【分析】本题主要考查全等图形的定义；根据能完全重合的两个图形，是全等图形，逐一判断即可．【详解】解：A、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；B、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意；C、两个图形能完全重合，是全等图形，符合题意；D、两个图形不能完全重合，不是全等图形，不符合题意．故选：C．题型二：全等三角形的概念【例2】（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段练习）下列说法中正确的是（

）A．两个面积相等的图形，一定是全等图形B．若两个图形周长相等，则它们一定是全等图形C．两个等边三角形一定是全等图形D．能够完全重合的两个图形是全等图形【答案】D【分析】根据全等三角形的定义进行判断作答即可．【详解】解：两个面积相等的图形，不一定是全等图形，A错误，故不符合要求；若两个图形周长相等，则它们不一定是全等图形，B错误，故不符合要求；两个等边三角形不一定是全等图形，C错误，故不符合要求；能够完全重合的两个图形是全等图形，D正确，故符合要求；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的定义．解题的关键在于对知识的熟练掌握．【跟踪训练1】．（22-23八年级上·浙江绍兴·阶段练习）下列四组三角形中一定是全等三角形的是（）A．两条边对应相等的两个锐角三角形 B．面积相等的两个钝角三角形C．周长相等的两个等边三角形 D．斜边相等的两个直角三角形【答案】C【分析】由全等三角形的概念可判断A，B，D，由三边对应相等的两个三角形全等可判断C，从而可得答案．【详解】解：两条边对应相等的两个锐角三角形不一定全等，故A不符合题意；面积相等的两个钝角三角形不一定全等，故B不符合题意；周长相等的两个等边三角形满足三边对应相等，所以一定全等，故C符合题意；斜边相等的两个直角三角形不一定全等，故D不符合题意；故选C．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，熟练的利用全等三角形的判定方法判断两个三角形全等是解本题的关键．【跟踪训练2】．（22-23八年级上·天津河西·期中）下列说法正确的是（

）A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形【答案】D【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形为全等三角形，据此判断即可．【详解】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意；D、边长为的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的定义，熟记定义是解本题的关键．题型三：利用全等三角形的性质求角度【例3】．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，，则的度数是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的对应角相等．根据全等三角形的性质得，然后根据和等量代换即可求出答案．【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：B．【跟踪训练1】．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，，若，，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，再根据角的和差即可求出的度数．【详解】解：，，∵，．故选：A．【跟踪训练2】．（21-22八年级上·贵州黔南·期末）如图，已知，点A和点D，点B和点E是对应顶点，过点A作交于点F，若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等、对应边上的中线相等、对应边上的高线相等、对应角的角平分线相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，进而可知，由得到，根据三角形内角和即可得解．【详解】解：∵，∴，∴，∵，∴，∴．故选：B．题型四：全等三角形的性质求长度【例4】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知，若，，则的长度为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，，根据，即可求解．【详解】解：∵，，，∴，，∴，故选：C【跟踪训练1】．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，点、、、在一条直线上，若，，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】本题考查的是全等三角形的性质，熟记全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，得到，根据题意求出，进而求出．【详解】解：∵，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴，故选：D．【跟踪训练2】．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，点F、A、D、C在同一直线上，，，则的长为（）A． B．6 C． D．7【答案】C【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、线段的和差等知识点，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形对应边相等易得，然后求出的长度，再根据求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，即，∵，∴，∴．故选：C．题型五：全等三角形性质在动态几何的应用【例5】．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，在长方形的中，已知，点以的速度由点向点运动，同时点以的速度由点向点运动，若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，则的值为（

）A．4或 B．6 C．或1 D．4【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的性质，采用分类讨论的思想是解决本题的关键．分两种情况分别计算，①若，②若，即可分别求得．【详解】解：设点运动的时间为，由题意知：，，则，当时，，即，解得，当时，，，即，，解得，故，解得，故的值为或，故选：A．【跟踪训练1】．（25-26八年级上·河北·阶段练习）如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（）s．A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4【答案】B【分析】本题考查三角形上的动点问题，注意分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点P在上，点Q在上时；点P在上，点Q第一次从点C返回时，根据全等三角形对应边相等，列出方程即可求解．【详解】解：当点P在上，点Q在上时，∵以P，C，M为顶点的三角形与全等，∴，∴，∴，当点P在上，点Q第一次从点C返回时，∵以P，C，M为顶点的三角形与全等，∴，∴，∴，综上所述：t的值为1或3．故选B．【跟踪训练2】．（24-25七年级下·河北保定·期末）对于题目“如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动也随之结束）．在射线上取一点，在点M，N运动到某处时，存在与全等，求此时的值．”甲的结果是，乙的结果是1，丙的结果是，则下列说法正确的是（

）A．甲、乙两人的结果合起来才对B．乙、丙两人的结果合起来才对C．甲、丙两人的结果合起来才对D．甲、乙、丙三人的结果合起来才对【答案】B【分析】本题主要考查全等三角形的性质，一元一次方程的运用，掌握全等三角形的性质正确列式是关键．根据题意得到，，则，结合全等三角形的性质分类讨论，并列式求解即可．【详解】解：点在线段上以的速度由点向点运动，∴点从的时间为，∵它们运动的时间为，∴，，则，当时，∴，∴，解得，；当时，∴，∴，解得，．综上所述，乙、丙两人的结果合起来才对．故选：B．题型六：全等三角形性质的综合问题【例3】．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知．(1)若，求的长；(2)若，求的度数．【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．（1）利用全等三角形的性质得到，进而求解即可；（2）利用全等三角形的性质得到，再利用三角形内角和运算求解即可．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∴．【跟踪训练1】．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如图，，点E在边上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F．(1)若，，求的度数；(2)若，，求与的周长和．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键；（1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出，然后利用角的和差关系求解即可；（2）利用全等三角形的性质可求出，，然后利用三角形的周长公式求解即可．【详解】（1）解∶∵，∴，∴，∵，，∴，∴；（2）解：∵，，，∴，，与的周长和为．【跟踪训练2】．（2021八年级上·湖南郴州·竞赛）如图，中，，，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为，运动时间为t秒．(1)用含t的式子表示，．(2)当与全等时，求v的值．【答案】(1)；(2)2或3【分析】本题考查了路程，时间与速度之间的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．（1）根据“路程速度时间”求解即可；（2）分类讨论与两种情况，根据全等三角形的性质求解t的值，即可求解v的值．【详解】（1）解：∵点P在线段上以的速度由B点向C点运动，∴；又∵点Q在线段上由C点向A点运动，点Q的运动速度为，∴；（2）解：当时，即，，由（1）知，；，又∵，，∴，又∵点D为的中点，∴，∴，解得，又∵，∴，解得；当时，即，，∴，解得，∴，解得；综上，v的值是2或3．【高分演练】一、单选题1．（25-26八年级上·山东）如图，与全等，则的对应角是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，进行判断即可．【详解】解：因为在这两个三角形中，是它们的公共边，因此一定是对应边，又因为对应边所对的角是对应角，可得与是对应角．故选：B．2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，已知点在上，点在上，，，，则的长为（

）A．7 B．5 C．12 D．6【答案】A【分析】本题考查了全等三角形的性质，由全等三角形的性质得出，，结合计算即可得解．【详解】解：∵点在上，点在上，，∴，，∴．故选：A．3．（25-26八年级上·山东）如图所示的是一个网球场地，在A，，，，，六个图形中，其中全等图形有（

）A．对 B．对 C．对 D．对【答案】C【分析】本题考查的是全等图形的识别．熟练掌握全等图形的特征，是解题的关键．由全等图形的定义，能够完全重合的两个图形叫做全等图形，分析即得答案．【详解】观察图形，根据全等的知识可知：图中A与，与，与能够重合，是全等形．共对． 故选：C．4．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，小红利用全等三角形的知识测量池塘两端，之间的距离，她设计了如图所示的测量方案，，测得米，则，之间的距离为（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】本题考查全等三角形的应用，解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等．据此解答即可．【详解】解：∵，，∴（米），∴，之间的距离为M，N之间的距离为米．故选：A．5．（24-25七年级下·陕西咸阳·期中）如图，，点在边上，若，，则的度数为（

） A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质推出，由三角形的外角性质得到．【详解】解：∵，∴，∵，∴．故选：D．6．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，则对于结论①，②，③，④，其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】本题考查全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，由此逐项判断即可得出答案．【详解】解：∵，∴，，，故①、③符合题意；∵，，∴，∴，故④符合题意；不一定成立，故②不符合题意．综上可知，正确的有3个，故选C．7．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，和是对应角，和是对应角．若，，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，先证明，再利用内角和定理求解，再进一步可得答案.【详解】解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴，故选：D8．（2025·河南驻马店·三模）如图，已知，与交于点，若，，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和，掌握知识点是解题的关键．先证明，根据，可得，得到，则，即可解答．【详解】解：令与的交点为E，如图∵，，，∴，，∴即∵，∴，解得∵，∴，∴．故选D．9．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，，延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点运动．设点的运动时间为，以三点为顶点构成的三角形与全等时，的值为（

）A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据长方形的性质得到，进而分两种情况根据全等的性质列方程计算即可．【详解】在长方形中，，，．，分两种情况：①当时，，点在上运动．由题意，得，解得；②当时，，点在上运动．由题意，得，解得．综上所述，以三点为顶点构成的三角形与全等时，的值为1或7．故选：C．10．（24-25八年级上·山西忻州·期中）如图，，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，由全等三角形的性质可得，，即得，进而可得，又由平行线的性质得，即可得，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：∵，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，整理得，故选：B．二、填空题11．（2025八年级上·浙江·专题练习）如图，，若，，则的长度是．【答案】3.5【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的性质，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．12．（24-25八年级上·天津宁河·阶段练习）如图，若，，与交于点C，则的度数是．【答案】/度【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形外角的定义与性质等知识，证得是解题的关键．根据全等三角形的性质先证明、，进而得到，再根据三角形外角的性质求解即可．【详解】解：∵，，∴，，∴，∴．故答案为：．13．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，，延长交于，交于，，，，则度．【答案】80【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解决本题的关键．先由，可得，，再根据周角可求解的度数，根据三角形内角和可求解，即可求解的度数．【详解】解：∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：80．14．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的是纸飞机的示意图，在折叠的过程中，使得和能够重合，和重合，则下列结论：①，②，③，④．其中正确的有（填序号）．【答案】①②④【分析】由折叠得，根据全等三角形性质判断①②③，进而推出，由此判断④，即可求得答案．本题考查的是翻折变换、全等三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键．【详解】解：由折叠得，∴，，，∴，，，故结论①正确，②正确，结论③错误；又∵，即，故结论④正确，综上所述，正确的有①②④，故答案为①②④．15．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）如图，在长方形中，，，延长边到点E，使，连接．动点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点A运动，当和全等时，会闪烁一下（闪烁时间极短，忽略不计），则首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为秒．【答案】5【分析】本题考查了全等三角形的性质．和全等，分两种情况，①当时，，则，②当时，，则，即可解答．【详解】解：和全等，分两种情况，①当时，即当点P在上运动时，此时，则，∴；②当时，即当点P在上运动时，此时，则，∴，∴，即首次闪烁与第二次闪烁的时间间隔为5秒；故答案为：5．三、解答题16．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，已知，点E在上，与相交于点F，若，，，．(1)求线段的长．(2)求的度数．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．（1）根据全等三角形对应边相等即可求解；（2）由得到，，再结合三角形内角和求得，再根据角度和差计算即可．【详解】（1）解：∵，，，∴，，∴；（2）解：∵，，，∴，，∴，∴．17．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，已知，点E在边上，与交于点F．(1)若，求线段的长；(2)若，求的度数．【答案】(1)14(2)【分析】本题考查了全等三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练运用全等三角形对应边相等、对应角相等的性质．（1）利用全等三角形对应边相等，先得出，再结合已知的长度求出，进而得到；（2）利用全等三角形对应角相等求出，再结合已知角求出，最后根据三角形外角性质求出．【详解】（1）解∶∵，，，；（2）解∶∵，，，，。18．（24-25八年级上·北京·期中）如图，已知，，，且点在线段上．(1)求的长．(2)求证：．(3)猜想与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)直线与直线垂直，理由见解析．【分析】本题考查了全