高一年级下册《复数》期末复习综合练习

高一下学期《复数》期末复习综合练习

知识点回顾

复数的基本概念

1、虚数单位i

数i叫做虚数单位，它的平方等于T,即/=一］.

知迨点诠释：

（1）i是-1的一个平方根，即方程丁=-1的一个根，方程丁=-1的另一个根是T；

（2），可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立.

2、复数的概念

形如a+bi（a,b£R）的数叫复数，记作：z=a+bi（a,beR）；

其中：。叫复数的实部，。叫复数的虚部，i是虚数单位.全体复数所成的集合叫做复数集,

用字母C表示.

知识点诠释：

复数定义中，a,bwR容易忽视,但却是列方程求复数的重要依据.

3、复数的分类

对于复数z=a+初（ageR）

若〃=0,则抗为实数，若匕工0,则a+4•为虚数，若a=0且人/0,则人为纯虚数.

分类如下：

实数S=o）

z=a+bi(a,bwR)-纯虚数（”0）

虚数SwO>

非纯虚数（。工0）

用集合表示如下图

4、复数集与其它数集之间的关系

N押2Q»RC（其中N为自然数集，Z为整数集，Q为有理数集，R为实数集，C为

复数集.）

复数的几何意义

I、复平面、实轴、虚轴：

如图所示，复数z=a+〃(a,〃eH)可用点Z(a力)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的

平面叫做复平面，也叫高斯平面，”轴叫做实轴，轴叫做虚轴

知识点诠释：

实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.

2、复数集与复平面内点的对应关系

按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内

的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.

复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

复数z=。+〃/•<-型J复平面内的点Z(.,〃)

这是复数的一种几何意义.

3、更数集与复:平面中的向量的对应关系

在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复

数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数.

设复平面内的点4。的)表示复数z=〃+〃QbwR),向显应由点Z(a份唯一确定；反过

来，点也可以由向量02唯一确定.

复数集C和复平面内的向量位所成的集合是一一对应的，即

复数z=a+〃_平面向量52

这是复数的另一种几何意义.

4、复数的模

设。2=4+历(〃,AeR),则向量02的长度叫做复数z="+4的模，记作|。+研.

Iz|=|0Z|=\la2+b220

知识点诠释：

①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小.

②复平面内，表示两个共扼复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等.

考点探究

复数的概念

例1、若复数z满足z(l-2i)=5,则()

A.z=l-2Z

B.z+1是纯虚数

C.空数z在灯平面内对应的点在第二象限

D.若复数z在复平面内对应的点在角。的终边上，则cosa=@

5

【答案】D

【解析】由题设，z=3=l+2i且对应点在第一象限，A、C错误：

1-21

z+l=2+2i不是纯虚数，B错误；

由z在复平面内对应的点为(1,2),所以cosa=半，D正确.

故选：D

例2、已知下列三个命题：①若复数zl,z2的模相等，则zl,z2是共扼复数;②zl,z2都

是复数，若zl+z2是虚数，则zl不是z2的共枕复数；③复数z是实数的充要条件是z=5.

则其中正确命题的个数为

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【解析】运用复数的模、共扼复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数Z和Z2的模

相等，例如和句是共知复数是错误的;对于②句和都是复数，若马+是

Z=l+i,z2=y/2iM4227

虚数,则其实部互为相反数，则4不是々的共貌复数，所以②是正确的；

对于③复数z是实数，令z=a,则5所以z=5,反之当z=3时，亦有复数z是实数，故复数z

是实数的允要条件是z=5是正确的.综上正确命题的个数是2个.

故选c

复数的四则运算

例(1)化简(3-2i)(l+i)；

(2)已知兔数的Z=2+L求」.

1z

【解析](1)(3-2i)(l+i)=3+3i-2i-2i2=5+i；

(2)由已知得Z=2+!=2+[=2T,

1r

1_I2+i_2+i2i_

•*,z-2^i-(2+i)(2-i)-_5__5+5*

复数的几何意义

例1、已知复数z在复平面内所对应的点的坐标为（3,-4j,则同为

【答案】1

【解析】由已知得该复数z=3-4i,

则?5(3+4i)

=1,

Z(3-4i)(3+4i)

故答案为：1.

复数方程

例1、若关于X的方程f+（4+i）x+3+〃i=0无实根，则实数p的取值范围是

【答案】（f』）U（L3）U（3,y）

【解析】若方程丁+（4+1卜+3+加=0无实根，即：£+4x+3+（x+〃）i=0无实根,

假定方程有实数根，而〃为实数，则%+〃=。，且V+4x+3=0,

解得〃=1或〃=3,因此原方程无实数根时，〃工1且〃羊3,

故实数p的取值范围是（一8,1”（1,3”（3,拔）.

故答案为：（-oo,l）U（l,3）0（3,+oo）

例2、设关于x的实系数方程/_g+3=0的两个虚根为a、B,则同+披=

【答案】2百

【解析】由题可知，皿=3,

设a=a+〃i,P=a-b\,a,b《R,

则。/?=3=>/+/=3,

则同+网=2yla2+b2=25.

故答案为：2#>

复数最值问题

例1.已知复数z满足|z+3i|=|z-i|,则|z+I+2i|的最小值为()

A.1B.3C.75D.5/5

【答案】A

【解析】设复数z在复平面内对应的点为Z,

因为复数z满足|z+3i|=|z-i|,

所以由系数的几何意义可如，点Z到点(。,-3)和(O.【)的距离相等，

所以在复平面内点Z的轨迹为y=-i,

又|z+1+2i|表示点Z到点(T-2)的距离,

所以问题转化为V=7上的动点Z到定点(-1,-2)距离的最小值，

当Z为(-1,-1)时，到定点(-1,-2)的距离最小，最小值为1,

所以|z+l+2i|的最小值为1,

故选：A.

例2、已知复数z满足回=1,则|z+3-4i|(i为虚数单位)的最大值为()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】由曰=1可设：z=cose+isin。，

/.z+3-4i=(cos62+3)+(sin-4)i,

.\|z+3-4i|=J(cos3+3f+(sin6_4)2_/於?3+sin」8+(6cos"8sine)+25

=j26+lOcos(O+0)(其中cos^>=—,sin(f>=—),

,、34

.,.当cos(6+°)=1时，Upz=---iH-,

|2+3-4以=126+10=6.

故选：C.

专题练习

一、单选题

1.在复数范围内方程/-2%+2=0的两个根分别为巧，巧，则|5+2司=()

A.1B.75C.>/7D.VlO

2.在复平面内，复数对应的点关于直线)，=x对称，若马=2+匕则区+1-同=()

A.>/29B.5C.75D.1

3.如图，复数z对应的向量为历，且|z-i|=5,则向量场在向量即上的投影向量的坐标

4.己知i为虚数单位，复数z满足忖=1.则卜+1)(5-可取最大值时，在复平面上以三对应

的点，4(7,0),8(0,1)为顶点的三角形的形状是()

A.等边三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

5.已知卬z?都是复数，其共扰复数分别为2,三，则下列说法错误的是()

A.Z|+Z2=Z|+Z2B.以囚二㈤同

C.若|Z[+Z2|=L-Z2|,则乎2=。D.z,-z2=^-z^

6.复数z=a+0i他力eR.i是虑数单位)在复平面内对应点为Z,设r=|。殊0是以x轴的非

负半轴为始边，以OZ所在的射线为终边的角，则z=a-优=Ncos0+isinO),把

NcosO+isin，)叫做复数“十方的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算,

［厂(cos〃+isin6)T=r"(cos〃e+isin〃e)(〃£N),例如:

=cos27t+isin27t=1,

复数Z满足：z3=l+i，则Z可能取值

为（）

B.同cos羽+isin吗

A.V[2T\cos—71+i.s.in—It

I1212I44J

7.已知设z=x+yi(x,)，eR),则I(x-3)+(y+3)i|=2,则|z+11的最小值为()

A.3B.4C.5D.6

8.已知复数z=cos慈+isin燕,则(zf卜2-1)・(血-1)=()

A.2022B.2023C.-2022D.-2023

9.已知复数Z-z2和z满足团=闫=1,若忆-22|=|马-1|=卜2-2|,则忖的最大值为（）

A.2石B.3C.GD.I

0.已知复数Z满足|z|=l,且有j+z=l，求7=()

A.-+-iB.—±1/C.-±—ZD.都不对

222222

二、多选题

11.已知复数4，Z2（Z?+0）,下列命题中正确的是（）

A.若z；eR,则Z|CRB.若刍wR,则

z2

C.若［Z,Z2|=2Z2，则44=4D.若2仔2=卜「，则4=4

12.已知复数z的共枕复数为云，下列说法正确的是（）

A.z-彳可能为虚数

B.z2+（z）2为实数

C.|z|+|z|>|z+z|

D.若z为一元二次方程d—6x+12=0的一个复数根，则J+二=:

zz2

13.下列说法正确的是（）

A.复数2=止-i（i为虚数单位）的虚部为-2

1

B.已知复数不々，若z；+z；=O,则4=z=0

C.若|z|=l,zwC,则|z-2|的最小值为1

D.已知复数复数4的虚部不为0,则五二国

22㈤

14.下列命题中正确的是（）

A.若z=l-2i,则忖=，5

B.若23+1,则z二=-2

C.己知R,i是关于x的方程Y+〃?”+〃=0的一个根，则〃7+〃=1

D.若复数z满足|z—l|=2,则|z+i|的最大值为2+&

15.设复数z在复平面内疝应的点为Z,原点为O,i为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A.若|z・（2+i）|=J布，则z-N=2

B.若点Z的坐标为（-3,2）,且z是关于x的方程f+px+,/=（）（p,qeR）的一个根，则

p+q=\9

C.若复数z=一1,则复数5在复平面内对应的点位于第一象限

1+1

D.若复数z满足|z-l+2i|=l,则目的最小值为方-1

三、填空题

16.已知虚数z,其实部为1,且z+：=〃?（/〃eR）,则实数小为

17.已知复数z=l-i（i是虚数单位），则z2-4的共枕奥数是

Z

18.己知,，巧是方程——x+2=（）的两根，则x：+*=,|*一司=

19.设z为复数,若|z—2i|=l,则|z|的最大值为

20.已知三个复数Z-z2fZ3,且团=同|=2,闾=0,Z一向所对应的向量西，OZ；

满足鬲•西=0；则卜-4-马|的最大值为

四、解答题

21.已知复数Z1=2sin®—Gi,4=l+（2cos，）i,6c

（1）若2为实数,求6的值;

⑵设及数Z/2在更平面由对应的向后分别是a若（2"/；）乂”沙），求cos,-5的

值.

22.已知复数马=4+不~=4+33为虚数单位，其中“是实数.

⑴若至是实数，求。的值；

Z2

⑵若复数zg在复平面内对应的点在第二象限，求。的取值范围.

23.设复数Z]=l-〃i(aeR),Z2=3-4i.

(I)在复平面内，复数4-无对应的点在第二象限，求a的取值范围;

⑵若三是纯虚数，求|zj.

Z|

24.已知好数4=co*0_i,u=sinG+i,其中OcR.

(I)^z1z1+z2z2的值;

⑵求|z%|的最大值并说明取得最大值时e的取值集合.

25.设复数z=l-ai（4€R）,Z2=3-4/.

⑴若马+4是实数，求Z1«2；

⑵若曼数(zj2在复平面上对应的点在第二象限，求实数。的取值范围;

⑶若复数Z满足|z-W=l,求|z|的最小值.

26.已知复数Z1=4+i,z2=l-«i,(awR,i是虚数单位).

⑴若4-々在复平面内对应的点落在第一象限，求实数”的取值范围:

(2)若Z1是实系数一元一次方程“2_2x+2=0的根.求实数a的值：

(3)若Z|=W，且2；+〃/+〃(〃2,〃6#是实数，求实数川的值.

27.已知复数z=3短+（/+同产（xeR）的实部与虚部的和为〃江

⑴若/。）=8,且%>0,求复数iz的虚部；

⑵当/（“取得最小值时，且马=25+-^-如?i在第四象限，求机的取值范围.

in-\m+\

28.欧拉公式：e1'=cosx+isinx（i为虚数单位，xeR）,是由瑞士著名数学家欧拉发现的.它

将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数

学中的天桥”.

⑴根据欧拉公式计算e3;

V

⑵设函数/3=©…+丫+©—七）2,求函数小）在亲与上的值域.

29.任意一个复数z的代数形式都可写成复数三角形式，即z=a+加=〃(cose+isin。)，其

中i为虚数单位，r=\z\=y/a2+b2>0,。，2n).棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗(1667〜

1754)创立.设两个复数用三角函数形式表示为：Zj=/;(cos6>+isin6(),z2=/;(cosft+isin6>2),

则：马22=格卜0$(4+幻+15吊(4+02)].如果令马=22=...=ZM=Z,则能导出复数乘方公

式：z"二/(cosno+isin地).请用以上知识解决以下问鹿.

(1)试将z=G-3i写成三角形式；

(2)试应用复数乘方公式推导三倍角公式：sin3〃=3sinO-4sin:0；cos36=4cos3cos。：

(3)计算:cos46>+cos4(6+120。)+8s4(6-120。)的值.

30.现定义“〃维形态复数z"”：z”=cos〃，+isin〃，，其中i为虚数单位，〃eN<,"0.

⑴当0=2时，证明：“2维形态复数”与“1维形态复数”之间存在平方关系；

⑵若“2维形态复数”与“3维形态复数”相等，求sin|e+：）的值；

⑶若正整数加，〃（加满足与=4，z*z3证明：存在有理数心使得

参考答案

1.D

【分析】先求出两复数根，再根据复数的加法运算及复数的模的公式即可得解.

【详解】根据题意可得

=±i,即x=l土i,

x

当玉=1-i,々=l+i时，\+2x2=3+i,

22

.•.|X,+2X2|=V1+3=V10,

当％=1+i,占=1一i时，-V)+2x,=3-i,

22

.\|x,+2x2|=Vl+3=ViO,

综上，4-2.r2|=Vi0.

故选：D.

2.C

【分析】由z.Z2关于直线y=x对称求出z2,再根据更数模的定义计算即可.

【详解】因为马=2+i,所以其对应点为(2,1),

（2,1）关于直线），=工对称的点为（1,2）,则z?=l+2i,

所以|z2+l—3i|=|l+2i+l-3i|=|2-i|=VFIF=^,

故选：C.

3.D

【分析】首先根据复数的几何意义设出复数z=T〃+〃zi(〃?>0),再根据复数模的公式，即

可求解加，再代入向量的投影公式，即可求解.

【详解】由题图可知，z=r〃+〃7i(〃?>0),则=卜〃?+(/〃一l)i卜Qm2+(〃—)"=5，

解得〃?=4=一3舍去)，

一，、一，、__OZOP0P

所以OZ=(-4,4),OP=(2,4),则向量oz在向量。户上的投影向量为，厢，

所以其坐标为齿、黑48

V20V20b5》

故选：D

4.D

【分析】假设z=cosO+isinO,根据模长公式构造关于/(z)的函数,从而可确定当/(z)取最

大值时，0的取值，从而求得口利用两点间距离公式表示出所构成三角形的三边长，从而

可确定三角形形状.

【详解】因为卜l=L所以可设z=cosO+isin。，

所以(z+l)(z-i)=(cos6+isine+I)(cos6-isin6-i)

=cos20-icosOsinO-icosO+cosO-isinO-i+icosOsinO+sin?0+sinO

=(cose+sin〃+l)-i(cosO+sin®+1),

所以/(z)=J(cose+sin》+l『+(cose+sin8+l)2=^2(1+V2sin(^+^)]:,

当sin(6i；)=l时，/(z)取最大值，

4

即当e+U+2H,AeZ,即。=1+2而,&wZ时，/(z)取最大值，

424

此时z=2招■也

2222

所以之对应的点z(¥，_曰),

所以|"『=(_]_曰)2+(0+当)2=2+应，|Ze|2=(0-^y)2-(l+^y)2=2+>/2,

|AZ?|2=(i-O)2+(O-l)2=2,

所以|物=|24|,|冽2+|孙2,|叫2,根据各边关系易知各边对应角为锐角，

所以该图形为等腰三角形.

故选：D.

5.C

【分析】设4=々+阮22=。+皿〃〃.0“£1<).利用复数的运算及共腕复数的概念判断人。.

根据更数乘积运算及模的运算判断B,举反例判断C.

【详解】对于A,设4="+〃i,Z2=c+M(«/?,c,d£R),z+z2=(a+c)+(〃+d)i,

则a+z2=(a+c)—(Z?+d)i,而Z1+z2=a-bi+c-ch=(a+c)-(b+d)i,

故Z]+z2=马+马,故A正确;

对于

B,z1-z2=(a+bi)(c^-di)=ac-bd+(ad+bc)i,

则|Z|-z2|=|«c-bd+(ad+be)i|=^(ac-bd)~+(ad+bc)~

=《(ac)"+(bd7+(ad+(/〃：)»

又区卜|z2|=+〃」•de2+」」=+(bd『+[+(be?,

所以上勾=|21Hz2.故B正确;

对于C,令4=l+i、z2=I-i,则4+z?=2,Z]-2=2i,所以归+zj=忆-z2],

但是ZR2=(l+i)(l-i)=2,故C错误;

对于D,z,•z,=ac-hd—\ad+bc)\,又z(-z2=(a—〃i)(c—M)=ac—Z>d—(ad+〃c)i,

所以Z］得2=4-Zj,故D正确.

故选：C

6.D

【分析】根据复数的三角形及运算，利用复数相等可得

2knit2kn兀

z=V2cos----+一+isin----十一,kwZ,即可得解.

312312

【详解】设z=«cos〃+isin。），

则/=1+i=V2cos：+isin：J=，(cos3e+isin36),

所以，•=啦，36=2E+；,AeZ,g|J6>=^+^JeZ.

6尻「(2E7i\.(2knn\]

所以z=12cost----11+isin----1—|,攵EZ

1312/\312/J

故&=2时，皆，故z可取啦[os詈+isin詈)，

故选：D

7.A

【分析】先求得复数z实部与虚部的关系，再去求|z+l|的最小值即可解决.

x=2cosa+3

【详解】由|。-3)+()，+3)”=2,可得&-3)2+(>+3)2=4,可令<

y=2sina-3

则Iz+11="(x+l)2+)?=7(2cosa+4)2+(2sin<7-3)2

=j29+16cosa-12sina=j29+20sin(e-e)(。为锐角，且tan^=—)

由一1Wsin(。-a),可得34j29+20sin(°-a)W7

则Iz+11的最小值为3.

故选：A

8.B

【分析】根据题意结合复数运算可得%的方程产23_1=()的根为l,z/2,…,Z2022,进而整理可

得(11心—?)…(X-？°")=|+工+...+/22,取工=1即可得结果.

【详解】设z=cos---+isin-~~-,〃eN,〃K2022,

“20232023

2”•兀..2n-n

则z产cos----+1sin----(2”•Ji)+isin(2"•，=1

20232023

由题意可得：z°=l,za=z\〃cN\〃<2022

可得关于X的方程守23T=0的根为Lz—…,zM2,

故产-1=(X-1)(XT(.Z)(-ZM2),

整理得(x-z®-z2)…卜一也”^^川+工+…+产：

A1

令J=l,可得("zXl-z)・(l-z2°22)=i+i+...+i2O22=2023,

且2022为偶数，所以(zT”一］)L(z2022-1)=2023.

故选：B.

9.B

【分析】先利用包:数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到忖《3,

再将同=3时各复数的取值取出，即可得到忖的最大值.

【详解】根据题意，得冏=%一2)-22|斗2-2|+闾=忆—1|+04|+1+1=3,

当Z|=-l,z2=l,z=3时，|z「Z2卜匕一1|=卜2—|=2,此时忖=3,

所以|zL=3.

故选:B.

10.A

【解析】根据题意可设z=cose+isin。（i为虚数单位）；然后再利用棣莫佛公式，可得

cos17^+cos0=\

(cos17<9+cos0)+/(sin178+sin0)=1,再根据复数的概念，可得,,利用三

sin17^+sin^=0

角函数同角关系，即可求出〃的值，进而求出结果.

【详解】因为|W=1,设2=85。+汴由。（i为虚数单位）;

由棣莫佛公式，可得

z"+Z=cosl7e+isin17e+cose+isin%(cosl7e+cose)+j(sinl7e+sin。)，

所以(cos17〃Icos0)li(sin17〃lsin0)=1

cos17。+cos0=\cos170=1-cos夕

所以,即4

sin17。+sin6=0sin1719=-sin

因为(sinWe):+(cos178)2=1，

所以(sin17<9)2+(cosl=(一sin8『+(I-cos<9)2=I；

化简可得sin2618s202cos—0»即1—2cos〃=0

所以cos”?,所以sin9=±J1-cos?夕=±且；

22

所以z=，士i.

22

故选：A.

11.BC

【分析】举例说明判断AD；利用复数运算及共扼复数、复数模的意义计算判断BC.

【详解】对于A,取z.=i,z.2=-leR,而4史R,A错误；

对于B,设Z[=百十卯/2=巧+刃，不凹，毛，＞2WR，考+才工°，

A=%+卯=（%+.甲）（占一）4）y+呼।由2R

Z2x2+y2i（x,+y2i）（x2+y2i）*+£x；+yl'出z,

得々)i一不必二°，ZjZ2=(x)-JiiXx,+y2i)=4-y)^-x}y2)\=x[x2+yIy2eR,B正

确；

对于C,由kW=2z2及已知得z?=a>0,设4=c+$,c,dwR,

22

Iz21=\a(c+t/i)|=a\lc+d=2a,解得^+1二人

则NR]=(c+(h)(c-(Ji)=c2+d2=4,C正确：

2

对于D,取Z1=i,Z2=-i,z,z2=l=|z1|,而z产Z2,D错误.

故选：BC

12.BD

【分析】设z=a+阳a/eR),与，利用复数的乘法、平方、模长可判断A、B、C,

运用韦认定理判断D.

【详解】设z=a+/(a/eR),则下=〃-加,z-z=(a-^b'\)(a-b'\)=a2+b2,

因为4,beR,所以即Z,ZWR，故A错误；

222222

2+(z)=(a+b\)+(a-bi)=2a-2beR,故B正确；

|z|+|z|=>Ja2+h2+\Ja2+h2=2y]a2+b2,

\z+z\=\a+bi+a-bi\=2\a\,当力=0时，|z[十闰=|z十司，故C错误；

若z为一元二次方程f-6x+12=0的一个复数根，

则)为一元二次方程V—6x+12=0的另一个复数根，

所以z+z=—；=6,zz=^=12,

-+L=^-=—=Lf故D正确.

zzz-z122

故选：BD.

13.ACD

【分析】由已知结合复数的四则运算及复数得儿何意义检验各选项即可判断.

【详解】对于A,2=上出-i=05-i=l-2i的虚部为-2,则A正确；

iii

对于B,令Z=i,z2=-i,满足z：+z；=0,故B错误，

对于C,设z=a+Z?i,则/+Z?2=1,且一由z-2="一2+加，得

2222

|z—2|=5/(t/—2)+/?=\ja+b-4a+4=y/5—4a>所以z—21m=】，故CIE确:

对于D,

^(flc+M)2+(bc-ad)2

z(_a+b\_ac+bd+(be,-ad)i二J(L+阴(/+才)J/+6二㈤

c+dic2+d~\lc2+d2区|

,则D正确

故选：ACD

14.ACD

【分析】A.直接求模判断：B.直接利用复数乘法运算求解；C.代入x=i,利用复数相等列式

计算；口设2=%+炉，求出X)，的关系并利用基本不等式求工+)，的最大值，然后代入|z+“计

算即可.

【详解】对于A：若z=l-2i,则忖=JIT5=6，A正确;

对于B：若2=1+1,则z5=。+。(—i+l)=2,B错误；

对于C：由已知i2+〃2i+〃=“_l+/M=O,所以〃-1=(),〃?=(),

所以m=0,〃=1,即〃?+〃=1,C正确；

对于D：i^z=x+)i,则|zT=|xT+.yi|=2,所以(彳_1『+,2=4，

所以x'+y=3+2x,且4=(x7『+)尸2(-一；/),HPX+y<2>/2+1,当且仅当

x=&+1,y=&时等号成立，

所以|z+i|=J/+(y+l)2=j3+2x+2.y+l«J6+4夜=2+夜,D正确.

故选：ACD.

15.ABD

【分析】对于A：设z=〃+bi,根据复数的运算和模长可得/+6=2,即可得结果；对于

B：可知z=-3+2i,结合复数的运算可得’..即可得结果；对于C：根据复数的除法

结合匆:数的几何意义分析判断；对于D：根据复:数的几何意义分析可知数z对应的点是以点

(1,-2)为圆心，1为半径的圆，结合圆的性质分析求解.

【详解】对于A,设z=a+Z?i(。，Z?eR),

nJ得z(2+\)=(a+bi)(2+,\)=2a+2l7\+ai-b=(<2a-b)+[2b+a)\,

则|z(2+i)=小伽一方了+侬+力=而,化简得/+62=2，

所以z-5=(a+〃i)(a-〃i)=/+〃=2,故A正确；

对于B,若点Z的坐标为(-3,2),可知z=-3+2"

则(一3+2i『+(—3+2i)〃+q=0,整理得5+g-3〃+(2〃—12)i=0,

,5+q—3〃=0如，fp=6

可得。二仆，解得解，所以〃+。=19,故B正确；

2p-12=0(<7=13

ii(l-i)i-i21111

对于c中：因为所以转5方,

所以复数［在复平面内对应的点的坐标为(：,一：｝在第四象限，故C不正确；

对于D中：根据复数模的几何意义可知，|z-l+2i|=l表示复数Z与复数i—2i对应两点间的

距离为1,

所以复数z对应的点是以点(1,-2)为圆心，1为半径的圆，

又因为|z|表示圆上的点到原点的距离，

所以目的最小值为"+(_2)'-1=4-1，故D正确；

故选：ABD.

16.2

【分析】设z=l+〃i,直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.

【详解】设z=l+bi,8eR且b#0.

2(ZF+3](hy-b\

则Z+—=1+M+

T+bi

从+3

•/zweR,解得小=2,

故答案为：2.

17.-1+31

2

【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得z2—-=-l-3i,结合共扰复数的概念，即

Z

可求解.

【详解】因为z=l-i,所以z2=(l_i)2=_2i且22(1；)]+i,

Z1-1(1-1)(]+1)

2

所以z?——=—2i—l—i=-l—3i,则其共挽复数为-l+3i.

Z

故答案为:-l+3i.

18.-3不

【分析】首先求出方程的两根七，再根据复数代数形式的乘方及复数的模计算可得.

【详解】因为演，演是方程--x+2=0的两根，又(x-gj=-5=土生

1不.

x=—+—Ix=------1

122T122

即L或，

।币.I疗.'

x,=一+—1

[-22-22

1"

=—+——1

22

不妨令，

1

=------1

22

1V7.Yfl出、1".71币.7

所以=—+---1+------1=—+---1---+------1----3;

22Z\22/424424

所以归-x,|=>/7.

故答案为：-3；币

19.3

【分析】设2=。+8i,利用模的公式求出“为关系，利用。口关系消元求解忖的最大值.

【详解】设z=a+阳a,/?cR),

则z-2i=a+M—2)i,又z—2i|=l,

所以〃2+(〃_2『=1,

所以(〃一2)飞1,即1443

所以。2+从=1一(。-2『+匕2=4/2—3£4〉3—3=9,

所以|z|=Ja?+〃~<>/9=3.

故答案为：3.

20.372

【分析】依题意设马=2,々=2i,Z3=JJcos夕+(J5*in〃)i,即可表示出Z3-4-z2,再由

更数的模、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得.

因为㈤=忆|=2且z,z?所对应的向量诬,区满足西.四=0,即鬲_L因,

不妨令4(2,0),5(0,2),则々=2,刍=2匕

又闯=友,设。(应cosa&sin8)(ewR),即q=0cos®+(&sin6)i

则z3-z(-z2=>/5cose+(\/5sin9)i—2-2i=(V5cose—2)+(夜sin8-2)i,

所以Z一4一z?I='(夜cos®-2、+(&sin6-2)

=72COS2^+2sin2^-4>/2cos^-4>/2sin^+8

=^10-4>/2(cos0+sin0)

=J10-8sinf6>+->|,

VI■

所以当sin(0+：)=—1时％-z「马I取得最大值，即|Z3—z.—z2/=炳=3人.

故答案为：3c

21.(1)1

(2)|

【分析】（1）利用复数的乘法结合复数的有关概念求解；

（2）利川复数的几何意义和平面向量的数量积运算求解.

【详解】（1）解:因为马=2sin6-后,z2=l+（2cos^）i,

所以4七=（2sin6-后）l+（2cos6）i]

=（2sin0+2\/5cos0）+Hsin0cos0-x/5）i,且z/z2为实数，

所以4sin〃cos夕一G=0,UPsin26^=»

2

,.....7TI-..-（7T5JT

又因为»所以,

<66；133J

所以2。=竽，则8=].

（2）由题意可得，a=（2sin。,一百），5=（I,2COS6）,因为（2A3）J.涕），所以

（2〃_万）•（〃_〃）=2/+*2_5〃.q=0,

即2(4sin2。+3)+2(1+4cos26>)-5(2sin0-2&os。)=0,

化简可得sin。-6cos0=:,所以sin(0.)=3,

-e、，小，九5兀1…八7t(n7ty

又因为,则夕-彳£一工，7，

V6673\62J

所以cos©一升卜不一务|.

22.⑴牛

（2）（-00,-3）

【分析】（1）由复数的除法和乘法运算结合复数的意义计算即可；

（2）由共桅复数的定义和复数的运算结合复数的几何意义计算即可;

4+4i(«+4i)(4-3i)4a+12+(16-3a)i

【详解】（1）7_-4+3i-(4+3i)(4-3i)-25"

因为五是实数，则16-3。=0,/.。=当

Z23

(2)z1z2=(a+4i)(4-3i)=4t/-3ai+16i+12=(4〃+12)+(16-3a)i,

67<-3

4«+12<0_

因为复数ZZ在复平面内对应的点在第二象限，则<16-3«>0=>16n4<—3,

a<—

3

故a的取值范围为（—，-3）.

23.⑴”4；

呜

【分析】（1）求出复数4-4及所对应的点，再列出不等式求解即得.

（2）利用复数除法运算求出复数三，再由纯虚数的意义求出“，进而求出模.

【详解】（I）由Z=1-ai,Z2=3-4i,得z/Z2=-2+（4-a）i,

由复数z「z?对应的点（-2,4-。）在第二象限，得4-a>0,解得”4,

所以a的取值范围是a<4.

z,3-4i（3-4i）（l+ai）3+4a+（3a-4）i

（2）依题意，-^-=——..—7；=——1工一人是纯虚数，

2

z1l-ai+\+a

3+4a=033

因此13加4工O,解得”-“则+/

所以闵=庖17T

24.（1）3

（2）y3;1I6八>|i6八>=—k九+—7TfGZr-

【分析】（1）根据共规复数概念以及复数乘法规则运算即可.

（2）根据复数的模长和复数的乘法运算结合降新公式即可求解.

【详解】⑴由题马马=（cose-i）（cose+i）=cos2。一i?=cos?0+l；

222

22Z2=（sinO+i）（sin0-i）=sin0-i=sin0+l，

所以Z[Z]H-ZJZJ=cos20+sin20+2=3.

(2)由题得卜122|=|(8$6—1)(a11。+。|=忖11。0080+1+(0086—5皿。)，

=V(sin0cos0+1)2+(cosO-sin0)'=Vsin_0cos20+2=七sin，26+2,

又6GR,所以当sin26=±l即2。=版+宏壮2时，|zR取得最大值为=

故问最大值为：，此时e的取值构成的集合为卜|0吟+?Mcz}.

25.(l)19+8i；

(2)«<-I:

(3)4.

【分析】(1)由复数加法及结果特征求出“，再利用复数乘法计算得解.

(2)由复数乘方求出(4)2,再由对应点的特征列出不等式组，求解即得.

(3)利用给定等式的几何意义，结合圆上的点与定点距离最值问题求解即得.

【详解】(1)复数4=1-疝，Z2=3-4i,则Z1+z2=4+(p-4)i,由4+Z2是实数,得—a—4=0,

解得a=-4，

z,=l+4i,因此马•马=(1+4i)(3-4i)=19+8i.

(2)(z,)2=(l-«i)2=l-d2-26/i,依题意，(1—/,_2a)在第二象限，于是Y解得

-2a>0

a<-\,

所以实数。的取值范围是av-L

(3)显然|z-Z2|=l是复平面内表示复数z的点Z与表示复数z?的点Z?(3,-4)的距离为1,

因此点Z在以点22(3,-4)为圆心，I为半径的圆上，而|z|是点Z到原点。的距离，

而|CZ2|=j32+(-4)2=5〉l，即原点在上述的圆外，贝IJIOZ1nm=10/1—1=4,

所以|z|的最小值是4.

26.

⑵。=1

(3)/7/=-2

【分析】(1)根据复数的减法运算和几何意义建立关于a的不等式组，解之即可求解；

(2)将4=a+i代入方程，根据相等复数的条件建立关于a的方程组，解之即可求解:

(3)由共规复数的概念与运算求出a,结合复数的有关概念即可求解.

【详解】(1)Vz1-z2=«-I+(l+«)i,

则4-4在复平面对应的点坐标为(4-1」+〃)，4-4在复平面对应的点落在第一象限,

[a-\>0

解得。＞1.

[1+«>0

(2)・・・4=a+i是方程f一2工+2=0的根,

则(a+i)2—2(a+i)+2=0,即-2a+l)+(2a-2)i=0,

a2-2a+l=0

所以＜解得4=1.

2a-2=0

(3)因为4=4，则々=1.于是4=l+i,

代入z：+g+〃，得(I+if+6(1+i)+〃，

即(m+〃)+(2+m)i是实数,

2+m=0,解得〃？=—2.

27.(1)20

【分析】(1)化简复数z=(/+x)-3,vi,得到〃x)=/-2x,根据/(刈=8,求得x=4,

得到z=20—12i,求得iz=12+20i,即可求解;

(2)由(1)知，函数/㈤得到z=2-3i,化简得到马=竺一+”不，

结合4在第四象限，列出不等式组，即可求解.

【详解】⑴解：根据题意，复数z=3短+(x2+x)i2O24=(＞+x)-3ExeR),

所以当数z的实部为f+x,虚部为一3工，则/(x)=(f+x)—3x=『—2犬

因为/W=8,可得/一”_8=0,又因为x>0,解得火=4,

所以z=20-12i,可得iz=i（20-12i）=12+20i,所以复数。的虚部为20.

（2）解：由（1）知，函数=—

则当x=l时，/（X）取得最小值，此时z=2-3i,

c-14〃？+9....14m+9..1(.4/w+9Y

贝nlUz=2z+------------1=4+6i+------------1=4+----+6-------i

1m-1//i+lin-1m+\拓一11m+1)

4，〃-32m-3.

=-----+------1,

m-1m+\