高中数学(人教B版)选择性必修一同步讲义123直线与平面的夹角(2知识点+3题型+巩固训练)(学生版+解析)

1.2.3直线与平面的夹角

学习妗杵

课程标准学习目标

1.理解直线与平面的夹角的概念。

1.掌握求线面角的两种基本方法，即空间向量

2.学习如何N算直线与平面的夹角。

法与几何法

3.掌握求直线与平面夹角的方法。

2.灵活运用两种基本方法求线面角

4.能够应用所学知识解决相关的题目。

知识点01直线与平面的夹角

1.直线与平面垂直：直线与平面的夹角为90°.

2.直线与平面平行或在平面内：直线与平面的夹角为0°.

3.斜线和平面所成的角：斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的

夹角）

【即学即练1】（浙江省绍兴市2022-2023学年）在正方体ABC。一4当6。］中，棱长为3,6是上底面

4&GDi的一个动点.

（1）求三楂锥力一018c的体枳：

⑵当3是上底面4B1G5的中心时，求4。1与平面ABCD所成角的余弦值.

Ci

D]

【即学即练2】(2023•全国•高二假期作业)如图，在四棱锥中，。是边长为4的正方形力的

中心，PO1平面力BCD,M,E分别为4B,BC的中点.

(1)求证：平面P4CJ•平面P8D；

(2)若PE=3,求点3到平面PEM的距离；

(3)若PE=3,求直线PB与平面PEM所成角的余弦值.

知识点02用空间向量求直线与平面的夹角

1.定义：设直线I的方向向量为五，平面a的法向量为位直线与平面所成的角为。，u-tin的角为s，则有

sinB=_|cos@||u-n|

-|u||n|--------•

【即学即练3】若正三棱柱力8。-4当。1的所有棱长都相等，。是的中点，则直线71。与平面与0。所成

角的余弦值为.

【即学即练4】(2023秋•山西晋中•高二统考期末)如图所示，在棱长为2的正四面体A-BCD中，E为

等边三角形4C0的中心，RG分别满足丽=^FC.BG=GA.

⑴用丽，就，前表示诟，并求出|而|；

(2)求直线FG与平面力。。所成角的正弦值.

A

难点：动点问题

示例I：（多选）（23-24高二下•江苏徐州•期末）如图，在边长为12的正方形力BCD中，Ei，%,%,尸2分别

边4）,BC的三等分点，正方形内有两点P,Q,点P到4D,CD的距离分别为3a,2a,点Q到BC,48的距离也是3a

和2a,其中0VaV2.将该正方形沿当吊,%尸2折起，使48与0C重合，则在该空间图形中，（）

A.直线PQ〃平面£把2尸2吊

B.PQ的最小值为第

C,线段PQ的中点到A的距离不超过3遮

D.异面直线PQ与AB成45。角时，a=g

麴型精折

【题型1:定义法求直线与平面所成的角】

肉厂面罚商三下二妾薇二防膜底万两卷上山所9M正三蓝柱力8c-A$iG中,E为棱AB的中点,则直

线6E与平面BB1QC所成角的正弦值为（）

变式1.（23-24高二下•河南-阶段练习）在直三棱柱力BC-AiBiG中，^AC=90°,AB=ACtAAl=BC,

则8Q与平面488遇1所成的角为（）.

A.2B.2C.三D.经

6436

变式2.（2023•湖南岳阳•模拟预测）如图，在正方体48C0-481GD1中，直线4Al与平面所成

的角为（）

变式3.（多选）（22-23高二上•贵州黔东南-开学考试）已知梯形/BCO,AB=AD=1,BC=2,AD//BC,

ADLAB,P是线段BC的中点.将△力8D沿着8D所在的直线翻折成四面体A8CD,翻折的过程中下列选项正

确的是（）

A.8£）与力P始终垂直

B.当直线AP与平面BCD所成角为9时，AP=兽

62

C,四面体/一8。。体积的最大值为当

D.四面体力BCD的外接球的表面积的最小值为4n

变式4.（多选）（23-24高二下-四川泸州・期末）如图，在棱长为3&的正方体ABCO-AiBiGDi中，点

P是平面48cl内一个动点，且满足=3+3遮，则下列结论正确的是（）

A.B]D1PB

B.直线BiP与平面4BG所成角为定值

C.点P的轨迹的周长为3bn

D.三楂锥体积的最大值为6但

变式5.（24-25高二上・上海・课后作业）如图，平面048_L平面a,0Aaa,0A=AB,AOAB=120°.平

面a内一点P满足PA1PB,记直线OP与平面。力B所成角为仇求tan。的最大值.

变式6.（2024高二下•天津南开•学业考试）如图，在正方体,8。。一力166。1中,

（1）求证：平面/&C〃平面40

（2）求直线AB1和平面BDDiB]所成角.

变式7.（24-25高二•上海•假期作业）己知斜三楂柱A8C-4夕C'的底面是正三角形，侧棱A4'_L8C,

并且与底面所成角是60。.设侧棱长为Z

（1）求此三棱柱的高；

（2）求证：侧面8/TC'C是矩形；

（3）求证：4在平面力上的射影。在/B/1C的平分线上.

【方法技巧与忌结】

计算线面角，一般有如下几种方法：

（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可

确定线面角；

（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度力，从而不必作出线面角，则线面

角e满足sine=；a为斜线段长），进而可求得线面角；

（3）建立空间直角坐标系，利用句量法求解，设d为直线Z的方向向量，记为平面的法向量，则线面角。的正

弦值为sin。=|cos（a,n）|.

【题型2：向量法求直线与平面所成的角】

例西二方高三二】•布吞濠而♦期泰3巨痴欣方淙而而底而，后面力"是边长为4的正三角形，侧面

4A1GC是长方形，AAT=6,平面A&GCL平面为棱CG上一点，CD=^CClf且而=［西，则B］0

与平面ZL41GC所成角的正弦值为（）

A.立B.叵C.延D.叵

5555

变式1.（23-24高二下•江苏徐州・期中）如图，四边形48CDM8=BD=DA=4,BC=CD=2vL现将

△4B0沿8D折起，当二面角4—B0—C的大小在［：,£］时，直线48和。。所成角为防则cosa的最大值为

63

（）

.2您一布V2「26+历「显

A.-----DB.—C.------D.—

168168

变式2.（23-24高二下•江苏常州•阶段练习）如图，已知点4是圆台0］。的上底面圆Oi上的动点，B,C在

下底面圆。上，A0t=1,。。1=2,B0=3,BC=2V5,则直线40与平面。18。所成角的正弦值的最大值

变式3.(贵州省黔东南州2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题)如图，在正四棱柱4BCD-

4$](7也中,441=248=4,E,F分别为BB],CC1的中点.

(1)证明：力/〃平面CDE.

⑵求aE与平面CDE所成角的正弦值.

变式4.(23-24高二下-广东-期末)如图，在三棱柱力BC—4B]Ci中，侧棱441底面A8C,底面△ABC是

正三角形，48=力4=3,点E、F分别在48、41cl上，RAE=^AB,CXF=

(1)求证：&E〃平面BCF；

(2)求直线8%与平面BCF所成角的余弦值.

变式5.(贵州省六盘水市2023-2024学年高二下学期7月期末数学试题)已知长方体力BCD-aBiGDi中,

AB=BC=1,AA1=2.

（1）在长方体中,过点G作与平面A3]01平行的平面a,并说明理由;

（2）求直线当0与平面a所成角的正弦值.

变式6.（23-24高二下-广东广州-期末）如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA1平面ABCDE,/1E〃BC,4B〃CD,

BC=2AE=4.

⑵已知直线PB与平面PCD所成的角为30。，求线段PA的长.

变式7.（23-24高二下・甘肃兰州•期末）如图，在RI△AOB中，^AOB=j-,AO=4,BO=2,Rl△AOC

可以通过Rt△408以直线40为轴旋转得到，旦二面角8-AO-C是直二面角.动点。在线段力8上.

（1）当。为4B的中点时，求异面直线/。与CZ）所成角的余弦值;

⑵求C。与平面力。8所成角的正弦值的最大值.

变式8.（23-24高二下•广东•期末）如图，四棱锥的侧面PCO为正三角形，底面/BCD为梯形,

AB//CD,平面PCO1平面4BCD,已知CD=4AB=4,由=［而.

⑵若力C=AD,PA=3及，求直线AM与平面243所成角的正弦值.

【方法技巧与总结】

求线面角的两种思路

（1）线面角转化为线线角.根据直线与平面所成角的定义，确定出待求角，转化为直线的夹角来求解，此

时要注意两直线夹角的取值范围.

（2）向量法.

方法一：设直线PA的方向向量为a,平面a的法向量为n,直线PA与平面a所成的角为0（0GLO,^J）,

a与n的夹角为0,则sinIcosel」整

同|川

方法二：设直线PA的方向向量为a,直线PA在平面a内的投影的方向向量为b,

则直线PA与平面a所成的角0满足cosO=|cos〈a,b>|

【题型3：动点探索性习题】

碗一317而用75。次；吉林:雨而诵行而囱，云法工%1的正方体力中，M,N分别是”,

的中点，P为线段G5上的动点，则下列说法正确的是（）

A.PM,B]C一定是异面直线

B.存在点P,使得MN1PM

C,直线NP与平面BCGa所成角的正切值的最大值为遥

D.过M,N,P三点的平面截正方体所得截面面积的最大值为尊

变式1.（多选）（2024・吉林长春・模拟预测）已知四棱锥P-A8CD,底面为BCD是正方形，PA1平面48CD,

AD=1,PC与底面ABCD所成角的正切值为手，点M为平面ABCD内一点（异于点A）,且力MV1,则（）

A.存在点M,使得CM，平面248

B.存在点M,使得直线尸B与4M所成角为？

C.当4M=；时，三楂锥P-BCM的体积最大值为:

D.当4M=¥时，以P为球心，PM为半径的球面与四棱锥P-力BCD各面的交线长为竽n

变式2.（多选）（23-24高二下-重庆•阶段练习）如图，在正方体48CD-481G。l中，点P满足前=/l觉^

入€[0,1],则下列结论正确的是（）

A.对于任意的人都有A/〃平面4CD1

B.对于任意的人都有4/1当。

C.若401BC,则2=0

D.存在九使4P与平面BCGBi所成的角为30。

变式3.（多选）（23-24高二上•河北邯郸・期中）在正四棱柱ABCD-A/iGDi中，AB=1,4为=2,M,

N分别为极8当，力。上的一点，则下列说法正确的是（）

A.AC1BDi

B.当M,N分别为棱口/，的口点时，直线。M与所成角的余弦值为粤

C.存在点M,使得N&MD为钝角

I）.直线幽与平面4/N所成角的正弦值的取值范围是恃制

变式4.（23-24高三上-四川成都・期末）如图所示的几何体是由正方形沿直线4?旋转90。得到的,

设G是圆弧CE的中点，H是圆弧OF上的动点（含端点），则下列结论不正确的是（）

B.存在点H,使得EH//80

C.存在点H,使得£7/〃平面80G

D.存在点H,使得直线E”与平面BDG的所成角为30。

变式5.(2024•四川南充-模拟预测)如图，四棱锥P-48CD中，底面48CD为矩形，点E在线段P4上，PC//

平面80E.

(1)求证：AE=PE；

(2)若△040是等边三角形，AB=2AD,平面P/O_L平面/8C0,四棱锥P-/BCD的体积为96，试问在线

段DE上是否存在点Q,使得直线6Q与平面PCD所成角的正弦值为唱？若存在，求出此时OQ的长；若不存

在，请说明理由.

变式6.(23-24高二上-山东青岛・期末)如图，在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，PAJL底面/=

AC=2,/-ABC=60°,E,尸分别在梭PD,PC上，M为BC的中点.

⑴若PE=2DE,F为PC中点，证明：BFII面ACE；

(2)若PE=DE,是否存在点凡使得ME与平面所成角的正弦值为《？若存在，求出的值；若不存在，

5PF

请说明理由.

变式7.(23-24高二上•福建三明-期末)在如图所示的多面体A8CDE/中，四边形ABCD为菱形，月/4DC

为锐角.在梯形力BEF中，AF//BE,AFLAB,AB=BE=2AF=2,平面ABEF_L平面48CD.

(1)证明：8D_L平面力CF;

⑵若4TBC=竽，而=4荏QW[0,1])，是否存在实数人使得直线CG与平面C"所成角的正弦值为半,

若存在，则求出入若不存在，说明理由.

变式8.（23-24高二上•广西柳州•开学考试）如图（1）,在Rt△力8C中，NBHC=90°,CA=2AB=4,

D,E分别是8c的中点，将△ODE和△8HE分别沿着OE,AE翻折，形成三棱锥尸一ADE,M是AD中点，

如图（2）.

(1)求证：PM1¥®y1DE；

⑵若直线PM上存在一点Q,使得QE与平面24E所成角的正弦值为:，求QM的值.

4

A基础过大

一、单选题

1.（23-24高二上•福建南平•期末）己知直线］的一个方向向量为m=（1,0,1）,平面。的一个法向量为五=

（0,-1,1）,则1与a所成角的正弦值为（）

A.-B.—C.—D.1

222

2.（22-23高一下•湖南•期末）在正方体力BCO-力MiQDi中，E为的中点，则直线与平面力。久所

成的角的正弦值为（）

A.-B.—C.—D.-

3999

3.（23-24高三下•广东•阶段练习）如图，正方体48CD的边长为4,用二3福,平面a经

B.直线4P与直线8C所成角的正切值为:

C.直线A/与平面A88遇i所成角的正切值为q

D.若C£a,则正方体截平面a所得截面面积为26

4.（23-24高二下-江苏常州-期中）已知四棱锥P-48C。的底面为直角梯形，AB〃DC/ZM8=90°PA1

底前48CD,且HI=AD=DC=1,AB=2,则异面直线力。与PB所成的角的余弦值为（)

A.gB..C.眄D.当

5.（23-24高二上•北京・期中）如图，在正方体48CD-418145中，点E是线段41cl上任意一点，则力E

与平面48CD所成角的正弦值不可能是（)

Vs

rD.1

6.（23-24高二上•河南郑州-期末）人教A版选择性必修第一世教材44页“拓广探索”中有这样的表述：

在空间直角坐标系中，若平面a经过点P（）ao，yo，Zo）,且以丘=（a,b,c）（abc工0）为法向量，设P（x,y,z）是平

面a内的任意一点，由记•%?=（）,可得a（x-％o）+b（y-y0）+c（z-z0）=0,此即平面的点法式方程.利

用教材给出的材料，解决下面的问题：已知平面a的方程为2x+2y+z-7=0,直线/的方向向我为（1,2,-2）,

则直线，与平面a所成角的正弦值为（)

D-：

A.——9C-T

7.（23-24高二上•广西・期末）如图所示空间直角坐标系A-xyz中，P（x,y,z）是正三棱柱ABC-481cl的

底面为B1G内一动点，A1A=AB=2,直线PA和底面ABC所成的角为j则P点的坐标满足（)

x2+y2=2

x24-y2=4

8.（2024•陕西•模拟预测）在平行六面体48CD-4iBiG2中，已知力B=4D=力4=1,^A.AB=

LAiAD=Z.BAD=60°,则下列选项中错误的一项是（)

A.直线41c与BD所成的角为90°

B.线段&C的长度为企

C.直线&C与所成的角为90°

D,直线4C与平面ABCD所成角的正弦值为当

«5

二、多选题

9.（23-24高二上-四川南充-阶段练习）在如图所示的直四棱柱为BCD-力$£。1中，底面ABC。是边长

为2的正方形，44i=V5.点M是侧面BCGa内的动点（不含边界），4M1MC,则与平面BCGa所

成角的正切值可以为（）

夕

A.3B.也

77

C.3D.2

10.（23-24高二下-山西吕梁-阶段练习）如图，正方体力〃。。一,隹心名的楂长为3,E,F分别为棱8%川。1

上的点，^.BE=\BBX,DF=\DD^平面AEF与棱CG交于点G,若点P为正方体内部（含边界）的点，满

足9=4荏+〃而,九〃W[0,1],则（）

A.点P的轨迹为四边形AEGF及其内部

B.当2=1时，点P的轨迹长度为旧

C.当/l=0,〃=[时，AFLArP

D.当"婀，直线AP与平面ABCD所成角的正弦值的最大值为誉

11.（23-24高二下-重庆-阶段练习）如图，在正方体力BC。-力iBCDi中，点P满足前=G[0,1],

则下列结论正确的是（）

A.对于任意的2,都有&P〃平面力CD】

B.对于任意的人都有4尸1/。

C.若A]P1BC,MA=0

D.存在九使4止与平面员工1当所成的角为30。

三、填空题

12.（24-25高二上•上海•单元测试）如图，在正方体48。。一人道16。1中，0是AC中点，点P在线段4G

上，若直线0P与平面4]BC]所成的角为。，则sin。的取值范围是.

13.（23-24高二上♦浙江-期中）如图，正四楂柱力BCO—力1当6。1中，设力。=I,。。1=3,点P在线段CQ

上，且GP=2PC,则直线&P与平面P8D所成角的正弦值是.

14.（24-25高二上・上海・单元测试）如图，在直三棱柱43。一48£中，乙ABC=90°,BC=2,Cg=4,

点。为CQ的中点，则当。与平面的位置是.

四、解答题

15.（23-24高二下-安徽宣城-期末）如图，在四棱锥P-48co中，PA1平面A8CD,且/WIIBC.LBAD=

90°,BC=1,AP=AB=6/ADC=60。,M,N分别为棱PC,P8的中点.

（1）求证：平面PBC_L平面/1DMN：

⑵求直线BD与平面4DMN所成角的正弦值.

能力提升

16.（23-24高二下・广东・期末）如图，在三棱柱中，侧棱，底面底面△力BC是正

三角形，/18=/l/li=3,点E、尸分别在4B、&G上，W.AE=\AB,CYF=^A1C1.

(1)求证：(iE〃平面BCG

(2)求直线8B］与平面BCF所成角的余弦值.

17.(23-24高二下・广东广州・期末)如图，在五棱锥P一48CDE中，PA_L平面ABCDE,AE//BC,AB//CD,

AC//ED,，力8c=45°,AB=2>/2,BC=2AE=4.

(1)求证：平面PC。_L平面H4C；

⑵已知直线PB与平面PCO所成的角为30。，求线段PA的长.

素养拓展

18.(23-24高二下-广东-期末)如图，四棱锥P-ABCD的侧面PCD为正三角形，底面力BCD为梯形,A8〃CD,

平面PCD1平面ABC。，已知CD=448=4,PM=-'MD.

3

(D证明:AM〃平面PBC；

(2)若力C=AD,PA=3五,求直线4M与平面24B所成角的正弦值.

19.(23-24高二下•江苏泰州•期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD1平面4BCD,AB1AD,

4B+4。=5,CD=V2,/-PAD=120°,^ADC=45°.

(1)求证：平面2481平面P4D：

(2)设4B=AP.

①若直线P8与平面PCO所成角的正弦值为粤，求线段力6的长.

44

②在线段力。上是否存在点G,使得点P,C,。在以G为球心的球上？若存在，求线段A8的长：若不存在,

说明理由.

123直线与平面的夹角

学习目标

课程标准学习目标

1.理解更线与平面的夹角的概念。

1.掌握求线面角的两种基本方法，即空间向量

2.学习如何讦算直线与平面的夹角。

法与几何法

3.掌握求直线与平面夹角的方法。

2.灵活运用两种基本方法求线面角

4.能够应用所学知识解决相关的题目。

知识点（）1直线与平面的夹角

1.直线与平面垂直：直线与平面的夹角为90°.

2.直线与平面平行或在平面内：直线与平面的夹角为0°.

3.斜线和平面所成的角：斜线和它在平面内的射影所成的角，叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的

夹角）

【即学即练1】（浙江省绍兴市2022-2023学年）在正方体一为为加为中，棱长为3,R是上底面

的一个动点.

（1）求三棱锥力-OiBC的体积；

（2）当0］是上底面4B】GD1的中心时，求40】与平面ABCD所成先的余弦值.

D]Ci

【答案】(1)；

⑵噂

J

【分析】(1)利用等体积匕一。述C=%】T8C，即可求解.

(2)根据直线与平面夹角的定义，找到线面角，即可求解.

【详解】(1)如图所示，根据题意得：

匕-018C=^OI-ABC=7'^^ABC/i=^x1x3x3x3=^.

(2)如图所示，过点Oi做平面ABCD的垂线，垂足为G,易知G为AC中点,

故/。通。为小。1与平面ABCD所成线面角，

又4G=\AC=^AB2+BC2=苧，M=个AG?+GO；=哈

3”厂

所以4。1与平面ABCD所成角的余弦值为：cosZO^AC=*=a=今

【即学即练2】(2023•全国•高二假期作业)如图，在四棱锥尸-中，。是边长为4的正方形力BCD的

中心，P01平面4BCD,M,E分别为4B,BC的中点.

(1)求证：平面24cl平面PB。；

（2）若PE=3,求点B到平面PEM的距离；

（3）若PE=3,求直线PB与平面PEM所成角的余弦值.

⑵?

⑶甯

【分析】（1）先证明AC1平面PBD,再根据面面垂直的判定定理证明平面PACJ■平面P8。：

（2）利用几何关系和等体积法求解即可.

（3）由（2）可知点3到平面PEM的距离为九二产，计算P8的长度，根据直线与平面所成的角的定义求解.

【详解】（1）因为四边形48co是正方形，所以力CJ.80,

因为P01平面力BCD,4Cu平面48CC,所以4C1P。,

因为OPu平面P8D,BOu平面PBD,且OPnBD=。,

所以AC1平面P80.又ACu平面P4C,所以平面PAC_1平面28。.

（2）由（1）知，P。为点P到平面8ME的距离.

所以%-PEM=Vp-BEM=gS^BEMX。「，

连接0E.因为P。1平面48CD,OEu平面4BCD,所以P010E,

因为0E=2,PE=3,所以P0=«,

又因为。4=OB=0C=0D=20所以P4=PB=PC=PD.

在APEM中，PE=PM=3,ME*AC=2®

所以S“EM=1X2V2XJ32-（&）2=V14,

设点8到平面PEM的距离为九，

由%-PEAf=gXS^PEMXh=Vp-BEM=&SA8EA4XPO="X-X2X2Xy/5=

得苧仁宇所以h=?

所以点B到平面P£M的距离为早.

（3）若尸E=3,由（2）可知，点8到平面PEM的距离为九二一,

又PB=y/PU2+0B2=77+8=V13,

设直线PB与平面PEM所成角为e,

园,—

所以sin。=—=-y==—

PBV137-/13

所以cos。=V1-sin20=J1-（备J=箸・

即直线P8与平面PEM所成角的余弦值为鬻.

知识点02用空间向量求直线与平面的夹角

1.定义：设直线/的方向向量为山平面a的法向量为位直线与平面所成的角为。，丘与元的角为3,则有

_Iun|

-|u||n|--'

【即学即练3】若正三棱柱力8c-4&C］的所有棱长都相等，。是4C］的中点，则直线力。与平面所成

角的余弦值为.

【答案】耕0.6

【分析】利用空间向量的坐标运算求解线面角即可.

【详解】

如图，取4?中点0,连接。8,0。,

贝IJ有0010B,0D10C,0B10C,

所以以砺，灰,而为％y,z轴正方向建系如图，设=2,

则4(0,-1,0),。(0,0,2)81(75,0,2),C(0,l,0),

AD=(0,1,2),西=(V3,0,0),DC=(0,1,-2),

设平面BWC的法向量为沅=(x,ylZ),

则有2m一'X一。，令y=2,则z=l,x=0,

[DC-m=y-2z=0

所以历=(0,2,1),

设直线八。与平面810c所成角为仇

则sin。=|cos〈苑沆>|=制/

因为eE0,y,所以COS。=|

故答案为:1

【即学即练4](2023秋・山西晋中-高二统考期末)如图所示，在棱长为2的正四面体力-8CD中，E为

等边三角形"0的中心，F,G分别满足丽=^FC.BG=GA.

(1)用瓦?，而，丽表示而，并求出|前|；

(2)求直线FG与平面4G)所成角的正弦值.

【答案】(1)说=：(而+就+丽)，等

⑵答

【分析】（1）先利用正四面体几何性质用而，正，前表示而，进而求得|露|；

（2）先求得直线FG与直线BE所成角的余弦值，进而得到直线与平面4CD所成角的正弦值.

【详解】（1）连接山;并延长交于M,则M为G）中点，

则近=3宿=2x^（近+而）=-（AC+AD）,

3323

BE=BA+AE=~BA+-（AC+AD）=~BA+-（BC-~BA+~BD-~BA）=-（BA+~BC+前）,

333

贝牺卜^BA+BC^-BD\=J肉+阮+丽）2

=g辰2+BC2+BD2+2BA-BC+2BABD+2BCBD

1------------------------------2V6

=~v4+4+4+4+4+4=——

0O

（2）根据题意，8E_L平面71CD,因此，直线FG与平面4C。所成角的正弦值

即为直线FG与直线8E所成角的余弦值的绝对值.

FG=-BA--BC,

23

且I而I="而寿园=的菰向

411V7

场2+凝2一轲.前二-x4+-x4--x2=—

4933

故cos（FG,BE）=温网.

*而+近+前）.（；而前）

2n-V7

------X—

3-------3

X源2+河.近+源.而一逆2一萍.前）

2历〜夕

----X—

3----3

乂2+打1-；|）二（尸

2\f6\f72&由21

zx7\

则直线”与平面4CD所成角的正弦值为当.

避丸突跪

难点：动点问题

示例I：(多选)(23-24高二下•江苏徐州・期末)如图，在边长为12的正方形4BCD中,场,々，户1/2分别

边的三等分点，正方形内有两点P,Q,点P到4D,CO的距离分别为3a,2a,点Q到的距离也是3a

和2a,其中0va<2.将该正方形沿金入二2尸2折起，使A8与DC重合，则在该空间图形中，()

B.PQ的最小值为千

C.线段PQ的中点到力的距离不超过3后

I).异面直线PQ与AB成45。角时，Q=|

【答案】ABI)

【分析】根据条件，建立如图所示的空间直角坐标系，求得所=(0,-2见6a-12),选项A,先求出平面

E1E2B&的一个法向量元，利用丽•尢=0，即可求解；选项B,因为|而|二,40法一144a+144,利用二

次函数的性质，即可求解：选项C,求出PQ的中点S及4的坐标，即可求解；选项D,利用线线角的向最法，

即可求解.

【详解】如图，取4为中点。I，尸述2的中点。，连接。B,00「

因为BF?=F2F1=FIB=4,所以801KF2,

因为&&_1.&尸2，乂RBCRB，&8,吊尸2(=面8昆尸2，

所以E/i1面8F/2，又。0"/%%所以00i1面BF/2，

故08,0F2,OR两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

设QHLBFi于H,PMA.BF2于M,过H作“K1.08FK,

易知。8=2百，BH=2a,又乙HB0=±,所以HK=a,BK=冉。，又QH=3a,

6

所以Q(2g-V5a,-a,3a),同理可知P(2>/5-ga,a,12-3a),所以而二(0,-2a,6a-12),

对于选项A,易知平面£送2尸2科的一个法向量为元=(1,0,0),因为丽•元=0,

显然QPU平面4所以PQ〃平面故选项A正确，

对于选项B,因为矶=J4a2+(60-12尸=V40a2-144a+144,

令y=40a2-144a+144,其中0<a<2,

对称轴a=g<2,所以ymin=40X(^)2-144X|+144=y,

所以国需==笑"，故选项B正确,

对于选项C,因为PQ的中点S(2V5—V5Q,0,6),4(2百,0,12),

所以|AS|=，3Q2+36〈同，闻>=,故选项C错侯,

对于选项D,因为8(275,0,0),所以瓦？=(0,0,12),

所以cos45。=厂弊处察，整理得到2a2-9a+9=0,

V4a2+(6a-12)2xl2

解得a=I或a=3(舍)，故选项D正确，

BD.

【点睛】关键点点晴：本题的关键在于建立空间直角坐标系，求出所二(0,-246。-12),再利用线面平

行的向量法、空间两点间的距离及线线角的向量法，即可求解.

麴型精场

【题型1：定义法求直线与平面所成的角】

椀T.7必拓商三不二妥撷:补费底为了云林k而相蒸M正三棱柱88c-AiBiG中,E为棱AB的中点,则直

线4£与平面BaC1C所成角的正弦值为()

c,

小

AE、B

A.运BlC.®D.叵

103317

【答案】A

【分析】本题线面角的定义，作出线面角，根据勾股定理算出线面角所在直角三角形的边长，进而求出正弦

值.

【详解】过E作EF1BC,F为垂足,连接BiF,则4EB/为直线与平面8传所成角，

设三棱柱的楂长为2,则EF=*B[E=V5,

・・.sin±E8/=等.

变式1.（23-24高二下•河南・阶段练习）在直三棱柱4BC-4B1G中，NB/1C=90"B=ACM4I=BC,

则Bq与平面ABB/i所成的角为（）.

A.-B.-C.-D.—

6436

【答案】A

【分析】由4/?L4CAAX1AC,得到」一平面4。口141.从而有41GL平面•/力汨口即为所求线

面角，在中，由长度关系求得乙418G.

【详解】由题意，AB1AC,AAr1AC,可知/C1平面ABB/i，

则有为G1平面力8&A，iaBG即为所求线面角，

不妨设48=AC=a,则=BC=>/2a,ArB=V3a,

故tanzAiBQ=g故乙41BCi=g.

A1H36

故选:A.

变式2.（2023•湖南岳阳•模拟预测）如图，在正方体力8co-/11当。1。1中，直线441与平面4865所成

C.60°D.90°

【答案】C

【分析】连接证明A"_L平面ABC］人则4544】即为直线A4i与平面力BC也所成角的平面角，即可

得解.

【详解】连接4D，则也1ArD,

因为481平面44］。山，ADXu平面44"］。，

所以AB1Ai。，

又48n/Oi=A.AB^Diu平面力BCiOi，

所以&DJL平面4BGD1，

所以4。送公即为直线力4t与平面A3GD1所成角的平面角,

在等腰直角三角形44山1中，40/力1=45。，

所以直线力4与平面4BGD1所成的角为45°.

AB

变式3.（多选）（22-23高二上-贵州黔东南-开学考试）已知梯形A8CD,48==1,BC=2,AD//BC,

ADA.AB,P是线段BC的中点.将△48。沿着BD所在的直线翻折成四面体4BCD,翻折的过程中下列选项正

B.当直线4P与平面8C0所成角为期"，AP="

C.四面体4-BCD体积的最大值为苧

D.四面体4BCD的外接球的表面积的最小值为4n

【答案】ABD

【分析】利用线面垂直的判定定理可得9。_L平面0/P,进而可判断A选项；由直线”与平面8c。所成角为

三得乙/1PO=2,取力P的中点E,由4P=2PE=2P0cos41P。可判断B选项；当。4_L平面BCD时，四面体

66

4-BCD体积最大，进而可判断C选项；由题意确定球心，进而求半径的最小值，可判断D选项.

易知四边形力8PD是正方形，所以80J,4P,

于是在四面体力BCO中，

.1

BDLOA.BDLOP,

又04nOP=。且CM,OPu平面OAP,

BD1^0AP,

又因为APu平面0/1P,所以BDJ.AP,故A正确;

对干B：取AP的中点E,连接0E,

.1

因为OA=OP=乎，所以。E1AP.

当直线/IP与平面BCD所成角为9时，N4P。=：,

66

所以故正确；

4P=2PE=2POcos^-APO=V2x—2=—2,B

对FC：由题意可知，当。4J_平面BCD时，四面体4-BCD体积最大,

于是匕-88=•。力=[X・DP•日=今故C错误；

对「D：因为40,所以△力B0外接圆的圆心为0,

乂因为BD1CD,所以△8DC外接圆的圆心为P.

分别过点0,P作平面A8D和BDC的垂线，交于点。「

则01是四面体A8CD的外接球的球心.

22

R=01B=y/BP+0rP>RP=1,当0i与P重合时取等号,

所以四面体4BCD的外接球的表面积的最小值为4JIR2=4“，故D正确.

BD.

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作巴截面，将空间几何问题转化为平面几何问

题求解，其解题思维流程如下：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相

等且为半径；

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些

元素的关系），达到空间问题平面化的目的：

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

变式4.（多选）（23-24高二下•四川泸州•期末）如图，在棱长为3注的正方体力BCD-A/iGDi中，点

P是平面48G内一个动点，且满足PD+PB[=3+36，则下列结论正确的是（）

DC

A.3］。1PD

B.直线BiP与平面力道。1所成角为定值

C.点P的轨迹的周长为3A/5TT

I).三棱锥P-HBiCi体积的最大值为6企

【答案】ABD

【分析】利用线面垂直的判定定理、性质定理可判断A；求出点尸的轨迹可判断C；求出直线51P与平面力18G

所成角可判断B；求出三棱锥当-BPG体积的最大值可判断I).

【详解】对于A,连接％Di，因为四边形为B1GD1为正方形，则为GIB1。］，

因为。5JL平面A/iGDi，4为u平面4$传1。1，则&G1DDi，

因为必。［n。。1=5，BM、DDiu平面以。。1，所以81G1平面8山。1，

%。＜2平面当。。1，所以81DJ.41C1，同理可得以。14声,

因为41Gn48=4,4G、&3u平面43。1，所以当0，平面力/。1，

因为尸8u平面为8C1，所以当D1PB,故A正确；

对于C,由A选项知1平面4BC1，设n平面&BG=E,

即6道1