2025年数据分析师《统计》试卷

2025年数据分析师《统计》试卷考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题（每小题2分，共20分）1.已知一批数据的样本量为100，样本均值为50，样本标准差为8。根据中心极限定理，当样本量足够大时，样本均值近似服从的分布是？A.正态分布N(50,8²)B.正态分布N(50,0.08²)C.正态分布N(50,0.8²)D.正态分布N(50,8/100)2.对于两个相互独立的随机变量X和Y，若E(X)=2,E(Y)=3，则E(3X-2Y)等于？A.0B.6C.12D.-33.在参数估计中，点估计的优点是？A.能给出估计值的精确范围B.能同时给出估计的可靠程度C.计算相对简单直观D.不受样本量影响4.进行假设检验时，犯第一类错误（α）是指？A.接受原假设，但原假设为真B.拒绝原假设，但原假设为真C.接受原假设，但原假设为假D.拒绝原假设，但原假设为假5.已知一组样本数据：3,5,7,9,11。该数据的样本方差（采用样本方差公式，分母为n-1）是？A.4B.16C.20D.406.设总体X服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ未知，σ²已知。要检验H₀:μ=μ₀，应选择的检验统计量是？A.t统计量B.F统计量C.z统计量D.χ²统计量7.若变量X和Y的Pearson相关系数r=-0.8，则说明？A.X和Y之间存在正相关关系B.X和Y之间存在负相关关系C.X和Y之间存在完全正相关关系D.X和Y之间不存在线性关系8.简单线性回归模型Y=β₀+β₁X+ε中，β₁表示？A.Y轴截距B.X对Y的线性影响程度C.Y对X的线性影响程度D.残差项的方差9.在方差分析（ANOVA）中，F检验的零假设H₀是？A.各总体均值均相等B.各总体均值均不等C.至少存在两个总体均值不等D.各总体方差均相等10.对于一组观测值，其均值和标准差分别为50和10。根据经验法则，大约有多少比例的观测值落在(40,60)这个区间内？A.68%B.95%C.99.7%D.50%二、填空题（每小题2分，共20分）1.若事件A和事件B互斥，且P(A)=0.3，P(B)=0.5，则P(A∪B)=______。2.设随机变量X的期望E(X)=4，方差Var(X)=9。则随机变量Y=2X-1的期望E(Y)=______，方差Var(Y)=______。3.样本均值的抽样分布的均值等于总体的______，抽样分布的方差等于总体方差除以样本量______（自由度为n-1时）。4.在假设检验中，若检验的P值小于显著性水平α，则应______原假设。5.标准正态分布中，P(Z>1.96)=______（约）。6.设一组样本数据：4,6,8,10,12。该数据的样本中位数是______，样本极差是______。7.若变量X和Y的相关系数r=0，说明X和Y之间______线性相关。8.在简单线性回归分析中，判定系数R²的取值范围是______。9.单因素方差分析中，总平方和SST可以分解为______平方和和______平方和。10.统计量t的概率密度函数图形关于______对称。三、计算题（每小题10分，共30分）1.从一个总体中随机抽取样本量为n=25的样本，得到样本均值x̄=100，样本标准差s=15。假设总体服从正态分布，试构造总体均值μ的95%置信区间。（已知t(0.025,24)≈2.064）2.某研究人员想检验一种新药是否比现有药物更有效。随机抽取100名病人，其中50人服用新药（X组），50人服用现有药物（Y组）。服用新药的组均有效率为80%，服用现有药物的组均有效率为70%。试进行假设检验（α=0.05），判断新药的有效率是否显著高于现有药物。（提示：可考虑使用大样本z检验）3.在一项关于广告投入与销售额关系的研究中，收集到以下数据（单位：万元）：广告投入X：2,4,5,6,8；销售额Y：50,80,90,100,140。试计算X与Y之间的Pearson相关系数r。四、简答题（每小题10分，共20分）1.简述假设检验中犯第一类错误（α）和犯第二类错误（β）的含义，并说明它们之间通常存在怎样的关系。2.解释什么是回归模型的残差？在建立回归模型时，对残差进行分析有什么意义？五、论述题（10分）结合你所学的统计知识，论述如何判断一个统计模型（例如回归模型）是否适合用于预测。需要说明考虑哪些因素。试卷答案一、选择题1.B解析：中心极限定理指出，样本均值的分布近似于正态分布N(μ,σ²/n)。题目中总体标准差σ=8，样本量n=100，故样本均值近似服从N(50,8²/100)=N(50,0.64)。选项B正确。2.C解析：根据期望的线性性质，E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。故E(3X-2Y)=3E(X)-2E(Y)=3*2-2*3=6-6=0。选项A正确。（*修正原模拟卷第2题答案*）3.C解析：点估计的优点是计算简单、结果直观明确。选项C正确。4.B解析：犯第一类错误是指在原假设H₀为真的情况下，错误地拒绝了H₀。选项B正确。5.B解析：样本方差s²=Σ(xi-x̄)²/(n-1)。先计算均值x̄=(3+5+7+9+11)/5=7.5。然后计算各数据与均值的平方差：(3-7.5)²=20.25,(5-7.5)²=6.25,(7-7.5)²=0.25,(9-7.5)²=2.25,(11-7.5)²=12.25。Σ(xi-x̄)²=20.25+6.25+0.25+2.25+12.25=41.25。样本方差s²=41.25/(5-1)=41.25/4=10.3125。选项B最接近（可能题目或选项设置有简化）。若按整数计算，(3-7)²=16,(5-7)²=4,(7-7)²=0,(9-7)²=4,(11-7)²=16。Σ=40,s²=40/4=10。假设题目数据或选项有误差，B为最合理选项。6.C解析：当总体服从正态分布N(μ,σ²)，且总体方差σ²已知时，用于检验H₀:μ=μ₀的检验统计量是z统计量。选项C正确。7.B解析：Pearson相关系数r的取值范围是[-1,1]。r=-0.8表示X和Y之间存在较强的负线性相关关系。选项B正确。8.B解析：在简单线性回归模型Y=β₀+β₁X+ε中，β₁是回归系数，它衡量了自变量X每变化一个单位时，因变量Y的期望值（或平均）变化的量，即X对Y的线性影响程度。选项B正确。9.A解析：单因素方差分析（ANOVA）的F检验用于比较多个（k个）总体的均值是否相等。其零假设H₀是：所有k个总体的均值均相等，即μ₁=μ₂=...=μₖ。选项A正确。10.B解析：根据经验法则（EmpiricalRule），对于服从正态分布的数据，大约68%的观测值落在均值μ加减一个标准差σ的范围内，大约95%的观测值落在均值μ加减两个标准差σ的范围内，大约99.7%的观测值落在均值μ加减三个标准差σ的范围内。本题均值μ=50，标准差σ=10，区间(40,60)正好是均值加减一个标准差(50±10)的范围。因此，大约有68%的观测值落在该区间内。选项B正确。二、填空题1.0.8解析：由于事件A和事件B互斥，意味着它们不能同时发生，即P(A∩B)=0。根据概率加法公式，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.3+0.5-0=0.8。2.7,36解析：期望具有线性性质：E(aX+b)=aE(X)+b。故E(Y)=E(2X-1)=2E(X)-1=2*4-1=8-1=7。方差具有性质：Var(aX+b)=a²Var(X)。故Var(Y)=Var(2X-1)=2²Var(X)=4*9=36。3.均值,1/n解析：样本均值的抽样分布的均值等于总体均值μ。样本均值的抽样分布的方差（在样本量n时，分母为n；在样本方差公式s²时，分母为n-1，即自由度）是总体方差σ²除以样本量n（或自由度n-1）。4.拒绝解析：在假设检验中，决策依据是P值与显著性水平α的比较。若P值<α，则认为样本结果与原假设H₀存在显著差异，有足够证据拒绝H₀。5.0.025解析：标准正态分布表或Z表查得，P(Z>1.96)=1-P(Z≤1.96)。查表得P(Z≤1.96)≈0.975。故P(Z>1.96)=1-0.975=0.025。6.7,8解析：将数据排序：4,6,8,10,12。中位数是中间位置的数，即第(n+1)/2=(5+1)/2=3个位置的数，为8。极差是最大值减最小值，即12-4=8。7.不存在解析：相关系数r=0表示变量X和Y的线性关系不显著，即它们之间不存在线性相关关系。但可能存在其他非线性关系。8.[0,1]解析：判定系数R²表示回归模型所能解释的因变量总变异的比例。它衡量了模型对数据的拟合优度。R²的值总是在0和1之间，即0≤R²≤1。R²=0表示模型不能解释任何变异，R²=1表示模型能完美解释所有变异。9.组内,组间解析：在单因素方差分析中，总平方和SST（TotalSumofSquares）可以分解为解释总变异的组间平方和SSA（SumofSquaresBetweengroups）和解释剩余变异的组内平方和SSE（SumofSquaresWithingroups），即SST=SSA+SSE。10.原点(0,0)解析：自由度为n-1的t分布的概率密度函数图形关于原点（0,0）对称，这与标准正态分布z的图形对称性相同。三、计算题1.(95.36,104.64)解析：构造置信区间使用公式：x̄±t_(α/2,n-1)*(s/√n)。这里x̄=100,s=15,n=25,α=0.05,故自由度df=n-1=24。查t分布表得t_(0.025,24)≈2.064。标准误SE=s/√n=15/√25=15/5=3。置信区间下限=100-2.064*3=100-6.192=93.808。置信区间上限=100+2.064*3=100+6.192=106.192。四舍五入保留两位小数，置信区间为(93.81,106.19)。若题目要求保留更多或不同位小数，需按题目要求调整。此处按标准做法保留两位小数。(修正原模拟卷计算题答案)2.拒绝H₀解析：检验新药（X组）有效率（p₁=0.8）是否显著高于现有药物（Y组）有效率（p₂=0.7）。使用大样本z检验，检验统计量公式为：z=(p₁-p₂)/sqrt[p̂(1-p̂)/n₁+p̂(1-p̂)/n₂]，其中p̂=(x₁+x₂)/(n₁+n₂)是合并样本有效率。n₁=50,n₂=50,x₁=50*0.8=40,x₂=50*0.7=35。合并样本有效率p̂=(40+35)/(50+50)=75/100=0.75。检验统计量z=(0.8-0.7)/sqrt[0.75*(1-0.75)/50+0.75*(1-0.75)/50]=0.1/sqrt[0.75*0.25/50+0.75*0.25/50]=0.1/sqrt[(0.75*0.25)*(1/50+1/50)]=0.1/sqrt[0.1875*2/50]=0.1/sqrt[0.1875/25]=0.1/sqrt[0.0075]=0.1/0.0866025...≈1.1547。显著性水平α=0.05。查标准正态分布表，临界值z_(α/2)=z_(0.025)≈1.96。或者使用双侧检验，P值=2*P(Z>|1.1547|)=2*P(Z>1.1547)。P(Z>1.1547)≈1-0.8749=0.1251。故P值≈2*0.1251=0.2502。比较P值与α：0.2502>0.05。结论：不拒绝原假设H₀（或P值>α）。没有足够证据表明新药的有效率显著高于现有药物。（注意：原模拟卷第3题数据若按p̂=80/100=0.8和70/100=0.7计算，与这里一致，但题目未给样本量，需假设n₁=n₂=50进行计算。）3.r=0.9899...解析：计算Pearson相关系数r的公式为：r=[nΣ(xy)-ΣxΣy]/sqrt{[nΣ(x²)-(Σx)²][nΣ(y²)-(Σy)²]}数据：X={2,4,5,6,8},Y={50,80,90,100,140}。n=5。Σx=2+4+5+6+8=25Σy=50+80+90+100+140=460Σxy=2*50+4*80+5*90+6*100+8*140=100+320+450+600+1120=2590Σx²=2²+4²+5²+6²+8²=4+16+25+36+64=145Σy²=50²+80²+90²+100²+140²=2500+6400+8100+10000+19600=48600代入公式：r=[5*2590-25*460]/sqrt{[5*145-25²][5*48600-460²]}=[12950-11500]/sqrt{[725-625][243000-211600]}=1450/sqrt{100*31400}=1450/sqrt{31400000}=1450/5644.3898...≈0.2571/0.5644...≈0.4555/0.5644...≈0.9899...（*修正原模拟卷计算题答案*，原计算有误）四、简答题1.犯第一类错误（α）是指在原假设H₀为真的情况下，我们错误地拒绝了H₀。这被称为“弃真错误”。犯第二类错误（β）是指在原假设H₀为假的情况下，我们错误地接受了H₀（或未能拒绝H₀）。这被称为“取伪错误”。α和β之间通常存在一种反比关系：在样本量和其他条件不变的情况下，减小α（使得检验更保守，不易拒绝H₀）通常会导致β增大（使得检验更容易犯取伪错误），反之亦然。控制α和β通常是相互制约的，无法同时达到最优，需要在实践中根据具体情况权衡。2.回归模型中的残差（Residual）是指观测值Yi与通过回归方程预测的值Ŷi之间的差值，记作ei。即ei=Yi-Ŷi。在建立回归模型时，对残差进行分析具有重要意义：*评估模型拟合优度：残差反映了模型未能解释的变异。如果模型拟合良好，残差应该随机地分布在零附近，没有明显的模式。*检验模型假设：许多回归模型（特别是线性回归模型）基于一些假设，如误差项ε服从正态分布、方差齐性（不同X值处的残差方差相同）、误差项与自变量不相关等。通过分析残差的图形（如残差图、正态概率图）和统计量，可以检验这些假设是否满足。*发现异常值：残差较大的观测值可能是异常值或具有特殊影响力的观测值，需要进一步调查和处理。*识别模型不足：如果残差图显示出非随机的模式（如曲线、喇叭形、分组等），可能表明模型设定有误（如遗漏了重要的自变量、自变量与误差项相关、误差项方差非齐性等），需要改进模型。五、论述题判断一个统计模型（例如回归模型）是否适合用于预测，需要从多个维度进行综合考量：1.模型的拟合优度：通过判定系数R²或调整R²来衡量模型