重庆市复旦中学教育集团2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页重庆市复旦中学教教育集团2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标为（

）A． B． C． D．2．直线的一个方向向量是（

）A． B． C． D．3．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（

）A． B．且C． D．4．已知直线与直线平行，则的值为（

）A．3 B． C．1或 D．或35．圆：与圆：公切线的条数为（

）A．4 B．3 C．2 D．16．已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（

）A． B． C． D．7．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为，经过的直线的方程为，则直线与平面的位置关系为（

）A． B．相交但不垂直 C． D．8．已知，，若直线上存在点，使得，则的取值范围为（

）A． B．C． D．二、多选题9．以下四个命题表述正确的是（

）A．直线恒过定点B．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，若，则的面积为C．已知实数，满足，则的最小值为D．已知，，过点的直线与线段不相交，则直线斜率的取值范围是或10．如图，在三棱柱中，，，，是线段上的点，且，则下列说法正确的是（

）A． B．C． D．直线与所成角的余弦值为11．已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，离心率为为上关于原点对称的两点（与的顶点不重合），则（）A．的方程为B．C．的面积随周长变大而变大D．直线和的斜率乘积为定值三、填空题12．已知空间中的三个点，，，则点到直线的距离为.13．已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：.14．已知椭圆的左，右焦点分别为，，焦距为，是椭圆上一点（不在坐标轴上），是的平分线与轴的交点，若，则椭圆离心率的范围是.四、解答题15．已知两直线.(1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；(2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值.16．已知圆的方程为.(1)过点的直线截圆所得弦长为，求直线的方程；(2)过直线上任意一点向圆引切线，切点为，求的最小值.17．已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，直线，的斜率之积为.(1)求椭圆的离心率；(2)若直线与轴，轴分别相交于，两点，且，，求椭圆的方程.18．如图，四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，.

(1)若点为线段的中点，（i）证明：面；（ii）求点与平面间的距离；(2)若点为线段上的动点，当直线与底面所成角的正弦值取最大值时，求三棱锥的体积.19．若一个四面体三组对棱分别相等，我们称它为“等腰四面体”.已知在等腰四面体中，分别为所在棱的中点，如图所示.(1)如图1，求证：平面；(2)如图1，若，，求平面与平面所成角的大小；(3)如图2，在空间直角坐标系中，平面内有椭圆，为其下焦点，经过的直线与交于，两点，为平面下方一点，若四面体为等腰四面体，求实数的取值范围.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《重庆市复旦中学教教育集团2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题》参考答案题号12345678910答案ABCBCBADABBCD题号11答案ABD1．A【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标平面对称的特征确定对称点坐标.【详解】由空间直角坐标系的特征，点关于平面的对称点为.故选：A2．B【分析】计算出直线的斜率，得到直线的一个方向向量，再根据向量共线可判断出结果.【详解】因为，所以斜率，所以一个方向向量为，即，选项中仅有与共线，所以是直线的一个方向向量，故选：B.3．C【分析】根据方程表示椭圆且焦点在轴上，列出不等式求参数范围.【详解】由题意.故选：C4．B【分析】根据两条直线平行列出方程，再代入验证即可.【详解】因为直线与直线平行，所以,解得，或；当时，两条直线为：两条直线重合，舍去；当时，两条直线为：两条直线平行；故选：B5．C【分析】求出两圆圆心距离和半径后，可得位置关系，由位置关系可得公切线的条数.【详解】由圆，得圆心，半径；由圆，得，即圆心，半径.两圆圆心距，所以，即两圆相交，所以两圆公切线有2条.故选：C.6．B【分析】令与直线平行且与椭圆相切的直线为，与椭圆方程联立，应用求参数值，再由平行线的距离公式求最小距离.【详解】令与直线平行且与椭圆相切的直线为，联立，则，所以，可得，即，所以，所求直线为，对于，与直线的距离为，对于，与直线的距离为，所以最小距离为.故选：B7．A【分析】根据已知条件分别确定平面和直线的法向量和方向向量，结合已知点，再判断它们的位置关系.【详解】由题设，平面的方程可写为，所以平面经过点，且一个法向量为，又直线的一个方向向量为，所以，即，则或，由于点在直线上，显然不在平面内，故，即.故选：A8．D【分析】先由两点间距离公式结合求出点的轨迹，然后再利用圆与直线有公共点可解.【详解】设，则，因为，所以，化简可得，即点在以为圆心，4为半径的圆上，又直线上存在点，所以直线与圆有公共点，所以，平方化简可得，解得的取值范围为.故选：D.9．AB【分析】对于A，将直线化为求定点判断，对于B，由余弦定理及椭圆的定义可得，再应用三角形面积公式求面积判断，对于C，根据题设确定的几何意义，进而数形结合求其最小值，对于D，由两点式求线段与直线相交情况下直线的斜率范围，进而确定不相交对应的斜率范围判断.【详解】对于A：由题设，直线可化为，联立，则其恒过定点，所以A对；对于B：由题意，且，又，则，所以，则，即，所以的面积为，所以B对；对于C：由的圆心为，半径为，而表示圆上点与原点所成直线的斜率，如下图示，由图知，的范围是以过原点的两条切线的斜率为上下界，即，故，所以最小值为，所以C错；对于D：由题设，，由图知，过点的直线与线段相交，则直线斜率，过点的直线与线段不相交，故，所以D错.故选：AB10．BCD【分析】A：根据，通过空间向量的加减以及数乘运算将表示为的线性组合；B：记，，，用的线性组合表示出，再通过数量积的定义求解出；C：用的线性组合表示出，根据求解出结果；D：先计算出，然后根据求解出结果.【详解】对于A：由题意知，故A错误；对于B：记，，，所以，所以，故B正确；对于C：，所以，故C正确；对于D：由，，所以，所以，又，所以，所以直线与所成角的余弦值为，故D正确.故选：BCD.11．ABD【分析】A由椭圆的离心率求解；B由椭圆的对称性知：，从而，借助基本不等式可得的最小值；表示出周长和面积分析可得；D设，则，，由点在椭圆上，即可化得的值.【详解】由题易知，解得，故椭圆方程为，故A正确；连接，由椭圆对称性知为平行四边形，，，当且仅当，时等号成立，故正确；对C：由B知：，设，则，的面积为，由对称性，不妨设在第一象限及正半轴上，故随的增大而减小，的面积为随的增大而增大，即的面积随周长变大而变小，C错误；对D：设，则，又，所以，点在椭圆上，结合C，，所以，故D正确；故选：ABD.12．【分析】根据已知及向量数量积的坐标运算易得，从而有点到直线的距离为，即可得.【详解】由题设，则，所以，则点到直线的距离为.故答案为：13．（答案不唯一）【分析】与轴相切需要满足圆心横坐标的绝对值为1，再数形结合考虑圆与圆外切或内切的情况即可得解.【详解】由图可知，满足题意的圆共有四个：设与圆内切的圆,故有：,解得,故圆的标准方程为：；设与圆外切的圆,故有：,解得,故圆的标准方程为：；现计算圆心横坐标为且与圆外切的两个圆的方程.设圆心，则有：,整理得：,解得.由对称性可知，的两解即的纵坐标.因此，满足题意的圆共有四个：,,,,选择其中一个即可.故答案为：（答案不唯一）14．【分析】由三角形内角平分线的性质结合椭圆的定义可得，从而有，结合椭圆离心率的范围，即可得.【详解】∵，若在O在同侧，则，，∵是的角平分线，∴，则，由，得，由，得，且，∴椭圆离心率的范围是；若在O在异侧，则，，，则，得，所以，得，且，∴椭圆离心率的范围是；综上，椭圆离心率的范围是.故答案为：.15．(1)(2)【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程；（2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案.【详解】（1）联立方程，解得；因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为，故所求直线方程为，即；（2）设点关于直线对称的点为，则，解得，即；则,故的最小值为.

16．(1)或；(2).【分析】（1）根据已知得圆心，半径，讨论直线的斜率的存在性，结合圆的弦长公式、点线距离公式列方程求参数，即可得直线方程；（2）由圆的切线长，结合（为圆心到直线的距离），进而求其最小值，注意取值条件.【详解】（1）由题意，圆的标准方程为，圆心，半径，当斜率不存在时，直线，则圆心到直线的距离，所以直线截圆所得弦长为，符合题意，当斜率存在时，设直线，圆心到直线的距离为，根据垂径定理，得，即，解得，故直线的方程为或；（2）由题意，而到直线的距离，则，所以，当且仅当时取等号，故最小值为.17．(1)；(2).【分析】（1）利用点差法得到，再由离心率公式计算可得；（2）依题意可得为线段的中点，求出直线与坐标轴的交点，即可得到点坐标，从而求出，由求出，即可得到直线方程，由（1）得椭圆，联立直线与椭圆方程，列出韦达定理，利用弦长公式求出，即可得到椭圆方程.【详解】（1）依题意得，设，，直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，则，，，，，又直线与直线的斜率乘积为，，则离心率．（2）因为直线与轴，轴分别相交于，两点，且，为线段的中点，所以为线段的中点，直线与轴，轴的交点为，，所以，所以，又，所以或（舍去），所以直线，又椭圆，由，消去整理得，由得，又，，所以，所以，则，所以椭圆的方程为.18．(1)（i）证明见解析；（ii）(2)【分析】（1）（i）取的中点，通过证明四边形是平行四边形可得，由此证明线面平行；（ii）建立合适空间直角坐标系，利用向量法求解出点与平面间的距离；（2）设，利用向量法求解出的最大值即可求解出的值，从而可求得三棱锥的高和底面积，则三棱锥的体积可求.【详解】（1）（i）证明：如图，取的中点，连接，

因为为的中点，所以，且，因为，所以，所以四边形是平行四边形，所以，且平面，平面，所以平面；（ii）取中点，连接，因为，所以，因为，所以四边形是正方形，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，在平面内作直线的垂线，则平面，有，，以为坐标原点，分别以，，所在直线为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

因为，所以平面，因为平面，所以，由，，知，由，可得，从而，所以，设平面的一个法向量为，由，取，则，，所以，因为面，所以到平面的距离即为直线与平面间的距离，又，所以到平面的距离，所以直线与平面间的距离为.（2）由条件知，设，所以，取平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为，所以，当时，；当时，，当时，有最大值，此时，所以到平面的距离为，且，所以三棱锥的体积为.19．(1)证明见解析；(2)；(3).【分析】（1）连接，，，，证得四边形为菱形，连接，则，连接，得，且四边形为菱形，应用线面垂直的判定证明结论；（2）构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求相关平面的法向量，应用向量法求面面角的大小；（3）设，，结合题设有，联立直线与椭圆方程，根据已知有中角为锐角，再应用韦达定理及向量数量积的坐标表示列不等式求参数范围