高二上学期期中考点大串讲一-1

20252026学年高二上学期期中考点大串讲一数学【解析】第一章空间向量与立体几何夯基*必备基础知识梳理一空间向量及其运算空间直角坐标系定义坐标原点点O坐标轴x轴、y轴、z轴坐标平面通过每两个坐标轴的平面空间两点间的距离公式、中点公式（1）距离公式（2）中点公式空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量单位向量长度(或模)为1的向量零向量长度(或模)为0的向量相等向量方向相同且模相等的向量共线向量定理对空间任意一点O，点P在直线AB上的充要条件是存在实数t，共面向量（1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面（1）eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))且同过点P（1）eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))且同过点M（2）对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))（2）对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))对空间一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up7(→))（3）对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up7(→))空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.注意：（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底.（2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示.（3）不能作为基向量.空间向量的运算垂直问题向量的模空间向量线性运算的坐标表示线性运算坐标表示加法减法数乘数量积空间向量的平行与垂直的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)空间向量的长度与夹角模夹角公式提升*常考题型归纳题型一、空间向量的线性运算【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量运算计算即得.故选：C【答案】A【解析】【分析】根据题意，由空间向量的线性运算，即可得到结果.故选：A【答案】（1）（2），答案见解析【解析】【分析】根据向量的线性运算直接分别化简.【详解】解（2）如图所示，连接，因为，，分别是，，的中点，【答案】B【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则计算即得.故选：B.【例14】如图所示，已知几何体ABCD﹣A1B1C1D1是平行六面体．【解析】【分析】（1）取AA1中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，连接EF，再根据向量的线性运算计算即可；（2）通过，，表示，根据对应关系求出α，β，γ的值即可．【详解】解（1）取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，连接EF，【方法归纳】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键．(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．题型二：共线、共面向量定理的应用【例21】下列命题中正确的是（）【答案】ABC【解析】【分析】对于A，结合向量的线性运算，即可求解；对于B，结合空间点对称的性质，即可求解；对于C，结合空间向量的基本定理，即可求解；对于D，结合空间向量的数量积运算法则，即可求解．【详解】，，，是空间任意四点，故P，A，B，C四点共面，故C正确；故选：ABC．【例22】下列说法正确的是（） C．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面【答案】BCD对于C：根据空间向量基底的概念，空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，可知C正确；故选：BCD.【答案】B【分析】根据四点共面的性质进行判断即可.故B选项正确，故选：BA． B． C． D．【答案】C【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出的值.故选：C.题型三：空间向量数量积的应用【答案】【解析】【分析】利用向量的数量积运算即可得到结果.故答案为：A.5 B. C.3 D.4【答案】D【解析】故选：D．【答案】AC【解析】故选：AC.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可.故选：．【答案】AB【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算判断作答.故选：AB【答案】C【解析】故选：C.C．向量与夹角是D．向量与所成角的余弦值为【答案】CD【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题进行分析判断，能求出结果.【解析】【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答.【解析】【方法归纳】空间向量数量积及其应用空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．题型四：利用空间向量证明平行、垂直【例41】如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq\r(5)，AA1＝eq\r(7)，BB1＝2eq\r(7)，点E和F分别为BC和A1C的中点．（1）求证：EF∥平面A1B1BA；（2）求证：平面AEA1⊥平面BCB1．【答案】（1）见解析；（2）见解析【证明】因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC．因为AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，所以过E作平行于BB1的垂线为z轴，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB＝3，BE＝eq\r(5)，所以AE＝2，所以E(0,0,0)，C(eq\r(5)，0,0)，A(0,2,0)，B(－eq\r(5)，0,0)，B1(－eq\r(5)，0,2eq\r(7))，A1(0,2，eq\r(7))，则Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，1，\f(\r(7),2)))．(1)eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，1，\f(\r(7),2)))，eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－eq\r(5)，－2,0)，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝(0,0，eq\r(7))．设平面AA1B1B的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·eq\o(AA1,\s\up7(→))＝0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\r(5)x－2y＝0，,\r(7)z＝0，))取eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝\r(5)，,z＝0，))所以n＝(－2，eq\r(5)，0)．因为eq\o(EF,\s\up7(→))·n＝eq\f(\r(5),2)×(－2)＋1×eq\r(5)＋eq\f(\r(7),2)×0＝0，所以eq\o(EF,\s\up7(→))⊥n．又EF⊄平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA．(2)因为EC⊥平面AEA1，所以eq\o(EC,\s\up7(→))＝(eq\r(5)，0,0)为平面AEA1的一个法向量．又EA⊥平面BCB1，所以eq\o(EA,\s\up7(→))＝(0,2,0)为平面BCB1的一个法向量．因为eq\o(EC,\s\up7(→))·eq\o(EA,\s\up7(→))＝0，所以eq\o(EC,\s\up7(→))⊥eq\o(EA,\s\up7(→))，故平面AEA1⊥平面BCB1．【例42】如图，在多面体ABC­A1B1C1中，四边形A1ABB1是正方形，AB＝AC，BC＝eq\r(2)AB，B1C1∥BC且B1C1＝eq\f(1,2)BC，二面角A1­AB­C是直二面角．求证：(1)A1B1⊥平面AA1C；(2)AB1∥平面A1C1C．【答案】（1）见解析；（2）见解析【证明】：∵AB＝AC，BC＝eq\r(2)AB，∴AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB＝90°，故CA⊥AB，由二面角A1­AB­C是直二面角，四边形A1ABB1为正方形，可得AA1⊥平面BAC．∴AB，AC，AA1两两互相垂直．以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝2，则A(0,0,0)，B(0,2,0)，A1(0,0,2)，C(2,0,0)，C1(1,1,2)，B1(0,2,2)．(1)eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝(0,2,0)，eq\o(A1A,\s\up7(→))＝(0,0，－2)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝(2,0,0)，设平面AA1C的一个法向量为n＝(x，y，z)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·eq\o(A1A,\s\up7(→))＝0，,n·eq\o(AC,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2z＝0，,2x＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,z＝0.))取y＝1，则n＝(0,1,0)．∴eq\o(A1B1,\s\up7(→))＝2n，即eq\o(A1B1,\s\up7(→))∥n，∴A1B1⊥平面AA1C．(2)易知eq\o(AB1,\s\up7(→))＝(0,2,2)，eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝(1,1,0)，eq\o(A1C,\s\up7(→))＝(2,0，－2)，设平面A1C1C的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·eq\o(A1C1,\s\up7(→))＝0，,m·eq\o(A1C,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋y1＝0，,2x1－2z1＝0，))令x1＝1，则y1＝－1，z1＝1，即m＝(1，－1,1)．∴eq\o(AB1,\s\up7(→))·m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，∴eq\o(AB1,\s\up7(→))⊥m．又AB1⊄平面A1C1C，∴AB1∥平面A1C1C．【方法归纳】向量法证明平行、垂直(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．夯基*必备基础知识梳理二空间向量的应用空间中直线与平面、平面与平面的平行位置关系向量表示图形表示线线平行设u1，u2分别是不重合的直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2.线面平行设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0.面面平行设n1，n2分别是不重合的平面α，β的法向量，则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2.空间中直线与平面、平面与平面的垂直位置关系向量表示图形表示线线垂直设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.线面垂直设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n,则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn.面面垂直设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0.空间两点间的距离公式设A＝(x1，y1，z1)，B＝(x2，y2，z2)，则|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12＋z2－z12).点P到直线l的距离已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq\o(AP,\s\up6(→))＝a，则向量eq\o(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq\o(AQ,\s\up6(→))＝(a·u)u，点面距的求法(1)定义法：自点向平面作垂线，利用三角形知识求垂线段的长度；(2)等积法：利用体积相等求棱锥的高，如VP－ABC＝VA－PBC.(3)向量法：如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|).说明：线面距和面面距，转化成点面距求解．两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两条异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θa与b的夹角β范围eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))[0，π]求法cosθ＝eq\f(|a·b|,|a||b|)cosβ＝eq\f(a·b,|a||b|)直线与平面所成角的求法设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sinθ＝|cosβ|＝eq\f(|a·n|,|a||n|).平面与平面的夹角的求法如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角(人教A版教材中的定义)．若平面α，β的法向量分别是n1和n2，则平面α与平面β的夹角即为向量n1和n2的夹角或其补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|).向量法求点到直线距离的步骤：(1)根据图形求出直线的单位方向向量.(2)在直线上任取一点M(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量.求点到平面的距离的常用方法(1)直接法：过P点作平面的垂线，垂足为Q，把PQ放在某个三角形中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面的距离.(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面，则转化为直线l上某一个点到平面的距离来求.(3)等体积法.[常用结论]最小角定理如图，若OA为平面α的一条斜线，O为斜足，OB为OA在平面α内的射影，OC为平面α内的一条直线，其中θ为OA与OC所成的角，θ1为OA与OB所成的角，即线面角，θ2为OB与OC所成的角，那么cosθ＝cosθ1cosθ2．空间直角坐标系构建策略①：利用共顶点的互相垂直的三条棱，构建空间直角坐标系②：利用线面垂直关系，构建空间直角坐标系③：利用面面垂直关系，构建空间直角坐标系④：利用正棱锥的中心与高所在的直线，构建空间直角坐标系⑤：利用底面正三角形，构建空间直角坐标系⑥：利用底面正方形的中心，构建空间直角坐标系坐标法处理距离问题提升*常考题型归纳题型一：利用空间向量证明平行和垂直问题【例11】已知，分别为直线l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则下列说法中，正确的是（）【答案】ABCD【解析】【分析】根据方向向量的关系和法向量的关系可判断线线关系和面面关系，即可得到答案．【详解】解：若两条直线不重合，则空间中直线与直线平行（或垂直）的充要条件是它们的方向向量平行（或垂直），故选项A，B正确；若两个平面不重合，则空间中面面平行（或垂直）的充要条件是它们的法向量平行（或垂直），故选项C，D正确．故选：ABCD．【答案】题型二：异面直线所成角【答案】D【解析】【分析】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【详解】以为坐标原点，向量，，方向分别为、、轴建立空间直角坐标系，故选：D.A. B. C. D.【答案】D【解析】因为点E是的中点，点F是的中点，所以异面直线和所成角的余弦值是．故选:D．（1）求的长；（2）求异面直线和夹角的余弦值.【解析】 A． B． C． D．【答案】D【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，故选：D.【解析】所以的轨迹是以为圆心半径为的圆，建立如下图所示的空间直角坐标系：设直线与直线的所成角为，题型三：直线与平面所成的角【答案】【分析】根据题意求出平面的法向量，利用线面角的向量公式即可求解.故答案为：【解析】【答案】C【解析】【详解】如图，以为原点，为轴，为轴，为