2025年下学期高二数学解答题专项训练（三）

2025年下学期高二数学解答题专项训练（三）一、函数与导数综合题（12分）题目：已知函数$f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x$（$a\in\mathbb{R}$），讨论函数$f(x)$的单调性。解答过程：确定定义域：函数$f(x)$的定义域为$(0,+\infty)$。求导函数：[f'(x)=\lnx+1-2ax+2a-1=\lnx-2a(x-1)]分类讨论导函数符号：当$a=0$时：$f'(x)=\lnx$。令$f'(x)>0$，得$x>1$；令$f'(x)<0$，得$0<x<1$。故$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增。当$a>0$时：设$g(x)=\lnx-2a(x-1)$，则$g'(x)=\frac{1}{x}-2a$。令$g'(x)=0$，得$x=\frac{1}{2a}$。若$\frac{1}{2a}=1$，即$a=\frac{1}{2}$：$g'(x)=\frac{1}{x}-1$，当$x\in(0,1)$时$g'(x)>0$，当$x\in(1,+\infty)$时$g'(x)<0$。$g(x)\leqg(1)=0$，即$f'(x)\leq0$，故$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减。若$\frac{1}{2a}>1$，即$0<a<\frac{1}{2}$：$x\in(0,1)$时，$g'(x)>0$，$g(x)$单调递增；$x\in(1,\frac{1}{2a})$时，$g'(x)>0$，$g(x)$单调递增；$x\in(\frac{1}{2a},+\infty)$时，$g'(x)<0$，$g(x)$单调递减。$g(1)=0$，$g(\frac{1}{2a})=\ln\frac{1}{2a}-2a(\frac{1}{2a}-1)=-\ln(2a)+2a-1$。设$h(a)=-\ln(2a)+2a-1$（$0<a<\frac{1}{2}$），则$h'(a)=-\frac{1}{a}+2<0$，故$h(a)>h(\frac{1}{2})=0$。因此，$f'(x)>0$在$(0,1)\cup(\frac{1}{2a},+\infty)$成立，$f'(x)<0$在$(1,\frac{1}{2a})$成立。综上，$f(x)$在$(0,1)$和$(\frac{1}{2a},+\infty)$上单调递增，在$(1,\frac{1}{2a})$上单调递减。若$\frac{1}{2a}<1$，即$a>\frac{1}{2}$：类似分析可得，$f(x)$在$(0,\frac{1}{2a})$上单调递增，在$(\frac{1}{2a},1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增。当$a<0$时：$g'(x)=\frac{1}{x}-2a>0$恒成立，故$g(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增。$g(1)=0$，则当$x\in(0,1)$时$g(x)<0$，$f'(x)<0$；当$x\in(1,+\infty)$时$g(x)>0$，$f'(x)>0$。故$f(x)$在$(0,1)$上单调递减，在$(1,+\infty)$上单调递增。结论：当$a\leq0$或$a>\frac{1}{2}$时，$f(x)$的单调性需分区间讨论；当$a=\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减；当$0<a<\frac{1}{2}$时，$f(x)$在$(0,1)$和$(\frac{1}{2a},+\infty)$上单调递增，在$(1,\frac{1}{2a})$上单调递减。二、立体几何证明与体积计算（12分）题目：如图，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$为$BC$中点，$E$为$A_1C_1$中点。（1）求证：$DE\parallel$平面$A_1ABB_1$；（2）求三棱锥$A_1-BDE$的体积。解答过程：（1）证明线面平行法一：构造平行四边形取$AB$中点$F$，连接$A_1F$、$FD$。在$\triangleABC$中，$F$、$D$分别为$AB$、$BC$中点，故$FD\parallelAC$且$FD=\frac{1}{2}AC=1$。在直三棱柱中，$A_1E\parallelAC$且$A_1E=\frac{1}{2}A_1C_1=\frac{1}{2}AC=1$，故$FD\parallelA_1E$且$FD=A_1E$。四边形$A_1FDE$为平行四边形，因此$DE\parallelA_1F$。又$A_1F\subset$平面$A_1ABB_1$，$DE\not\subset$平面$A_1ABB_1$，故$DE\parallel$平面$A_1ABB_1$。（2）计算三棱锥体积方法：等体积法转化顶点由题意，直三棱柱底面$ABC$为等腰直角三角形，$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=2\sqrt{2}$，$D$为$BC$中点，故$AD\perpBC$，$AD=\frac{1}{2}BC=\sqrt{2}$。以$A$为原点，$AB$、$AC$、$AA_1$为$x$、$y$、$z$轴建立坐标系，则：$A_1(0,0,2)$，$B(2,0,0)$，$D(1,1,0)$，$E(0,1,2)$。向量$\overrightarrow{BA_1}=(-2,0,2)$，$\overrightarrow{BD}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{BE}=(-2,1,2)$。三棱锥$A_1-BDE$的体积$V=\frac{1}{3}\timesS_{\triangleBDE}\timesh$，但直接求高较复杂，改用坐标法求混合积：$V=\frac{1}{6}|\overrightarrow{BD}\cdot(\overrightarrow{BE}\times\overrightarrow{BA_1})|$。$\overrightarrow{BE}\times\overrightarrow{BA_1}=\begin{vmatrix}i&j&k\-2&1&2\-2&0&2\end{vmatrix}=i(1\times2-2\times0)-j(-2\times2-2\times(-2))+k(-2\times0-1\times(-2))=(2,0,2)$。$\overrightarrow{BD}\cdot(2,0,2)=(-1)\times2+1\times0+0\times2=-2$，故$V=\frac{1}{6}|-2|=\frac{1}{3}$。三、圆锥曲线与直线综合题（12分）题目：已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，右焦点为$F(2\sqrt{3},0)$，过点$F$的直线$l$交椭圆于$A$、$B$两点。（1）求椭圆$C$的标准方程；（2）设$O$为坐标原点，若$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-4$，求直线$l$的方程。解答过程：（1）求椭圆方程由离心率$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$c=2\sqrt{3}$，得$a=4$。$b^2=a^2-c^2=16-12=4$，故椭圆方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$。（2）求直线$l$的方程当直线$l$斜率不存在时：$l:x=2\sqrt{3}$，代入椭圆方程得$y^2=4(1-\frac{12}{16})=1$，即$y=\pm1$。$A(2\sqrt{3},1)$，$B(2\sqrt{3},-1)$，$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=(2\sqrt{3})^2+1\times(-1)=12-1=11\neq-4$，故斜率不存在不成立。当直线$l$斜率存在时：设$l:y=k(x-2\sqrt{3})$，联立椭圆方程：[\begin{cases}\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\y=k(x-2\sqrt{3})\end{cases}]消去$y$得$(1+4k^2)x^2-16\sqrt{3}k^2x+48k^2-16=0$。设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则：$x_1+x_2=\frac{16\sqrt{3}k^2}{1+4k^2}$，$x_1x_2=\frac{48k^2-16}{1+4k^2}$。$y_1y_2=k^2(x_1-2\sqrt{3})(x_2-2\sqrt{3})=k^2[x_1x_2-2\sqrt{3}(x_1+x_2)+12]$。代入$x_1+x_2$和$x_1x_2$：$y_1y_2=k^2\left[\frac{48k^2-16}{1+4k^2}-2\sqrt{3}\cdot\frac{16\sqrt{3}k^2}{1+4k^2}+12\right]=\frac{-4k^2}{1+4k^2}$。$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=\frac{48k^2-16}{1+4k^2}+\frac{-4k^2}{1+4k^2}=\frac{44k^2-16}{1+4k^2}=-4$。解方程：$44k^2-16=-4(1+4k^2)\Rightarrow44k^2-16=-4-16k^2\Rightarrow60k^2=12\Rightarrowk^2=\frac{1}{5}\Rightarrowk=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}$。故直线$l$的方程为$y=\pm\frac{\sqrt{5}}{5}(x-2\sqrt{3})$。四、数列与不等式证明（12分）题目：已知数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=3a_n+2^n$（$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）求数列${a_n}$的通项公式；（2）证明：对任意$n\geq2$，$\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_3}+\cdots+\frac{1}{a_n}<\frac{3}{10}$。解答过程：（1）求通项公式构造等比数列：由$a_{n+1}=3a_n+2^n$，设$a_{n+1}+\lambda\cdot2^{n+1}=3(a_n+\lambda\cdot2^n)$。展开得$a_{n+1}=3a_n+3\lambda\cdot2^n-2\lambda\cdot2^n=3a_n+\lambda\cdot2^n$，对比原式得$\lambda=1$。故数列${a_n+2^n}$是以$a_1+2^1=3$为首项，3为公比的等比数列。$a_n+2^n=3\cdot3^{n-1}=3^n$，因此$a_n=3^n-2^n$。（2）不等式证明放缩法：当$n\geq2$时，$3^n-2^n>3^n-3^{n-1}=2\cdot3^{n-1}$（因为$2^n<3^{n-1}$对$n\geq2$成立，如$n=2$时$2^2=4<3^{1}=3$不成立，修正为$3^n-2^n>2^n(3-2)=2^n$，但需更精确放缩）。当$n\geq2$时，$3^n-2^n=3^n-2^n\geq3^2-2^2=5$，且$3^n-2^n>2^n$（$n\geq2$时$3^n=3\cdot3^{n-1}>2\cdot2^{n-1}=2^n$）。但更优放缩：$3^n-2^n=3\cdot3^{n-1}-2^n>3\cdot2^{n-1}-2^n=2^{n-1}(3-2)=2^{n-1}$，故$\frac{1}{a_n}<\frac{1}{2^{n-1}}$。验证$n=2$：$a_2=3^2-2^2=5$，$\frac{1}{a_2}=\frac{1}{5}$；$\frac{1}{2^{2-1}}=\frac{1}{2}$，放缩过松。正确放缩：$3^n-2^n=3^n-2^n=3^n-2^n=3^n-2^n>3^n-\frac{3^n}{2}=\frac{3^n}{2}$（当$2^n<\frac{3^n}{2}\Rightarrow(\frac{3}{2})^n>2$，$n\geq2$时$(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}>2$成立），故$\frac{1}{a_n}<\frac{2}{3^n}$。则$\sum_{k=2}^n\frac{1}{a_k}<2\sum_{k=2}^n\frac{1}{3^k}=2\cdot\frac{\frac{1}{9}(1-(\frac{1}{3})^{n-1})}{1-\frac{1}{3}}=2\cdot\frac{1}{6}(1-(\frac{1}{3})^{n-1})=\frac{1}{3}(1-(\frac{1}{3})^{n-1})<\frac{1}{3}\approx0.333$，仍大于$\frac{3}{10}=0.3$。精确放缩：当$n=2$时$\frac{1}{a_2}=\frac{1}{5}=0.2$；当$n\geq3$时，$3^n-2^n=3^n-2^n>3^n-(\frac{3}{2})^n\cdot3^{n-1}=3^n-\frac{3^n}{2}=\frac{3^n}{2}$（利用$2<\frac{3}{2}\cdot3^{n-1}$），故$\frac{1}{a_n}<\frac{2}{3^n}$。$\sum_{k=2}^n\frac{1}{a_k}=\frac{1}{5}+\sum_{k=3}^n\frac{1}{3^k-2^k}<\frac{1}{5}+2\sum_{k=3}^n\frac{1}{3^k}=\frac{1}{5}+2\cdot\frac{\frac{1}{27}(1-(\frac{1}{3})^{n-2})}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{5}+\frac{1}{9}(1-(\frac{1}{3})^{n-2})<\frac{1}{5}+\frac{1}{9}=\frac{14}{45}\approx0.311<\frac{3}{10}=0.3$，不成立。正确方法：直接计算前几项并放缩剩余项：$n=2$：$\frac{1}{5}=0.2<0.3$；$n=3$：$\frac{1}{5}+\frac{1}{3^3-2^3}=\frac{1}{5}+\frac{1}{19}\approx0.2+0.0526=0.2526<0.3$；$n\geq4$时，$3^n-2^n>3^4-2^4=81-16=65$，且$\frac{1}{a_n}<\frac{1}{65}$，后续项和$<\frac{n-3}{65}$，但更优：$3^n-2^n>2\cdot3^{n-1}$（$n\geq2$时$3^n-2^n-2\cdot3^{n-1}=3^{n-1}-2^n$，当$n\geq2$时$n=2$：$3-4=-1<0$；$n=3$：$9-8=1>0$，故$n\geq3$时$3^n-2^n>2\cdot3^{n-1}$）。因此，当$n\geq3$时，$\frac{1}{a_n}<\frac{1}{2\cdot3^{n-1}}$，则：$\sum_{k=2}^n\frac{1}{a_k}=\frac{1}{5}+\sum_{k=3}^n\frac{1}{3^k-2^n}<\frac{1}{5}+\frac{1}{2}\sum_{k=3}^n\frac{1}{3^{n-1}}=\frac{1}{5}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\frac{1}{9}(1-(\frac{1}{3})^{n-2})}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{5}+\frac{1}{12}(1-(\frac{1}{3})^{n-2})<\frac{1}{5}+\frac{1}{12}=\frac{17}{60}\approx0.283<0.3=\frac{3}{10}$。结论：对任意$n\geq2$，$\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}<\frac{3}{10}$成立。五、概率与统计综合题（12分）题目：某工厂生产的零件尺寸服从正态分布$N(50,4)$（单位：mm），质检部门从生产线上随机抽取100个零件进行检测，记$X$为尺寸在$(48,52]$内的零件数。（1）求单个零件尺寸在$(48,52]$内的概率；（2）求$X$的数学期望$E(X)$和方差$D(X)$；（3）若规定尺寸在$(46,54]$内的零件为合格品，从抽取的100个零件中随机抽取2个，求至少有1个合格品的概率。解答过程：（1）求单个零件概率零件尺寸$Y\simN(50,4)$，即$\mu=50$，$\sigma=2$。$P(48<Y\leq52)=P(\mu-\sigma<Y\leq\mu+\sigma)=0.6826$（正态分布$3\sigma$原则）。（2）二项分布的期望与方差$X$服从二项分布$B(n,p)$，其中$n=100$，$p=0.6826$。$E(X)=np=100\times0.6826=68.26$。$D(X)=np(1-p)=100\times0.6826\times0.3174\approx21.67$。（3）至少有1个合格品的概率合格品尺寸范围$(46,54]$，即$\mu-2\sigma<Y\leq\mu+2\sigma$，概率$P=0.9544$。100个零件中合格品数$M\simB(100,0.9544)$，但抽取2个至少1个合格品的概率：$P=1-P($2个都不合格$)=1-\frac{C_{100-M}^2}{C_{100}^2}$，但由于$M$服从二项分布，此处应视为100个零件中不合格品概率为$q=1-0.9544=0.0456$，故不合格品数$Z\simB(100,0.0456)$，但实际计算时，直接用单个零件不合格概率$q=0.0456$，则2个都不合格的概率为$q^2$（独立事件近似），但更精确为超几何分布：$P=1-\frac{C_{Z}^2}{C_{100}^2}$，但题目未给出$Z$的具体值，故按二项分布近似，$Z$的期望$E(Z)=100\times0.0456=4.56$，但实际应直接用概率：至少1个合格品的概率$=1-(1-0.9544)^2=1-0.0456^2\approx1-0.0021=0.9979$。六、导数应用与不等式恒成立问题（12分）题目：已知函数$f(x)=e^x-ax-1$（$a\in\mathbb{R}$），若对任意$x\geq0$，$f(x)\geq0$恒成立，求$a$的取值范围。解答过程：求导分析单调性：$f'(x)=e^x-a$，$x\geq0$时$e^x\geq1$。当$a\leq1$时：$f'(x)\geq0$在$[0,+\infty)$上恒成立，$f(x)$单调递增，$f(x)\geqf(0)=0$，满足条件。当$a>1$时：令$f'(x)=0$，得$x=\lna>0$。$x\in[0,\lna)$时，$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减；$x\in(\lna,+\infty)$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增。$f(x)_{\min}=f(\lna)=e^{\lna}-a\lna-1=a-a\lna-1$。令$g(a)=a-a\lna-1$（$a>1$），则$g'(a)=1-(\lna+1)=-\lna<0$，故$g(a)$在$(1,+\infty)$上单调递减。$g(a)<g(1)=0$，即$f(x)_{\min}<0$，不满足$f(x)\geq0$恒成立。结论：$a$的取值范围为$(-\infty,1]$。七、三角函数与解三角形（10分）题目：在$\triangle