专题127逆命题和逆定理（举一反三讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题12.7逆命题和逆定理（举一反三讲义） 【华东师大版2024】TOC\o"13"\h\u【题型1逆命题和逆定理】 2【题型2根据垂直平分线的性质求长度】 4【题型3根据垂直平分线的性质求角度】 7【题型4根据垂直平分线的性质求面积】 10【题型5根据垂直平分线的性质求最值】 14【题型6根据垂直平分线的性质求证明】 18【题型7判断是垂直平分线】 23【题型8垂直平分线的判定与性质的综合】 27【题型9利用角平分线的性质求长度】 30【题型10利用角平分线的性质求面积】 34【题型11利用角平分线的性质求角度】 38【题型12利用角平分线的性质求最值】 41【题型13利用角平分线的性质证明】 45【题型14角平分线的判定】 47【题型15角平分线的应用】 51【题型16角平分线的判定与性质的综合】 53知识点1互逆命题和互逆定理两个命题的题设、结论正好相反，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题，如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理．知识点2线段垂直平分线的定义及其性质1.定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．书写格式：如图所示，点P在线段AB的垂直平分线上，则PA=PB．知识点3线段垂直平分线性质定理的逆定理1.定义：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．2.书写格式：如图所示，若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上．知识点4角的平分线的性质1.定义：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．2.拓展：（1）这里的距离指的是点到角的两边垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，不需要再用全等三角形；（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直；（4）运用角的平分线时常添加的辅助线：由角的平分线上的已知点向两边作垂线段，利用其相等来推导其他结论．知识点5角的平分线的性质定理的逆定理1.定义：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．2.拓展：角的平分线的判定的前提条件是指在角的内部的点到角两边的距离相等时，它才是在角的平分线上，角的外部的点不会在角的平分线上．【题型1逆命题和逆定理】【例1】（2425八年级下·湖北宜昌·阶段练习）下列命题的逆命题成立的是（

）A．同旁内角互补，两直线平行 B．等边三角形是锐角三角形C．如果两个实数相等，那么它们的平方相等 D．全等三角形的对应角相等【答案】A【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出各个命题的逆命题，掌握判断真假命题的方法是解题的关键．分别写出各个命题的逆命题，然后判断真假即可．【详解】解：A、逆命题为：两直线平行，同旁内角互补，正确，是真命题；B、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，错误，是假命题；C、逆命题为：平方相等的两个实数相等，错误，是假命题；D、逆命题为：对应角相等的两个三角形全等，错误，是假命题，故选：A．【变式11】下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，请写出逆定理．(1)同旁内角互补，两直线平行．(2)三边对应相等的两个三角形全等．【答案】(1)有，逆定理见解析；(2)有，逆定理见解析．【分析】（1）先写出各命题的逆命题，在判断真假即可解答；（2）先写出各命题的逆命题，在判断真假即可解答．【详解】（1）定理“同旁内角互补，两直线平行”有逆定理，逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”．（2）定理“三边对应相等的两个三角形全等”有逆定理，逆定理是“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的三边对应相等．”【点睛】本题考查平行线的性质与判定两直线平行的方法，熟记平行线的性质与判定方法是关键．【变式12】下列命题的逆命题成立的序号是①同旁内角互补，两直线平行②等边三角形是锐角三角形③如果两个实数相等，那么它们的平方相等④全等三角形的三条对应边相等【答案】①④/④①【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可．【详解】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，成立，符合题意；②等边三角形是锐角三角形的逆命题为锐角三角形是等边三角形，不成立，不符合题意；③如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题为平方相等的两个实数相等，不成立，不符合题意；④全等三角形的三条边对应相等的逆命题为三条边相等的三角形全等，成立，符合题意，故答案为：①④．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．【变式13】（2526八年级上·全国·课后作业）下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？(1)同旁内角互补，两直线平行；(2)如果两个实数相等，那么它们的平方相等；(3)全等三角形的对应边相等【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；成立(2)如果两个实数的平方相等，那么它们相等；不成立(3)如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等；成立【分析】本题主要考查命题与逆命题，解此题的关键在于准确写出逆命题，且熟练掌握各个基本知识点．首先写出各自的逆命题，再根据所学知识进行判断：（1）逆命题：两直线平行，同旁内角互补，根据平行线的性质定理，命题成立；（2）逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相等；如果两个实数的平方相等，那么它们不一定相等，有可能互为相反数，命题不成立；（3）逆命题：如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等；如果两个三角形的三条对应边相等，则它们一定全等，命题成立．【详解】（1）解：逆命题：两直线平行，同旁内角互补；根据平行线的性质定理，命题成立；（2）解：逆命题：如果两个实数的平方相等，那么它们相等；如果两个实数的平方相等，那么它们不一定相等，有可能互为相反数，命题不成立；（3）解：逆命题：如果两个三角形的三条对应边相等，则它们全等；如果两个三角形的三条对应边相等，则它们一定全等，命题成立．【题型2根据垂直平分线的性质求长度】【例2】（2425八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，在△ACF中，CE垂直平分AF，若CF=6，CD=5，则△ABC的周长为（

）A．24 B．22 C．20 D．18【答案】B【分析】此题考查了垂直平分线的性质，根据垂直平分线的性质得到AC=CF=6，AB=AC=6，CD=BD=5，进而求解即可．【详解】∵CE垂直平分AF，CF=6∴AC=CF=6∵AD垂直平分BC，∴AB=AC=6，CD=BD=5∴△ABC的周长为AC+AB+CD+BD=6+6+5+5=22．故选：B．【变式21】（2425七年级下·四川成都·期中）如图，将三角形纸片ABC的一角沿AB的垂直平分线翻折，折痕为DE，点B与点A重合，已知△ACD的周长是20，AE=6，则△ABC的周长是．【答案】32【分析】本题考查了垂直平分线性质，根据垂直平分线性质得到BE=AE=6,BD=AD，再结合C△ABC=AB+BC+AC【详解】解：∵DE为AB的垂直平分线，AE=6，∴BE=AE=6,BD=AD，∵C△ACD则C=AE+BE+BD+DC+AC=AE+BE+AD+DC+AC=6+6+20=32；故答案为：32．【变式22】（2425八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，BC=8cm，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则△APQ的周长为cm【答案】8【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键．由线段垂直平分线的性质可得BP=AP，AQ=CQ，再根据三角形的周长公式计算即可得解．【详解】解：∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，∴BP=AP，AQ=CQ，∴△APQ的周长=AP+AQ+PQ=BP+CQ+PQ=BC=8cm故答案为：8．【变式23】（2425七年级下·河南郑州·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于点D，交边AC于点E．若△ABC与△EBC的周长分别是40cm、24cm，则AD=【答案】8【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得，AE=BE，AD=BD=12AB，进而由△EBC的周长是24cm可得AC+BC=24，再根据△ABC的周长是【详解】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，AD=BD=1∵△EBC的周长是24cm∴BE+CE+BC=24，∴AE+CE+BC=24，即AC+BC=24，又∵△ABC的周长是40cm∴AB+AC+BC=40，∴AB+24=40，∴AB=16cm∴AD=1故答案为：8．【题型3根据垂直平分线的性质求角度】【例3】（2425七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）在△ABC中，AC与AB边上的垂直平分线DM、EN分别交BC于点D、点E．连接DA、EA，∠DAE=60°，则∠BAC=．【答案】60°或120°【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．分2种情况，①根据线段垂直平分线的性质推得∠B=∠BAE、∠C=∠CAD，根据题意得∠AED+∠ADE=120°，利用三角形的外角的性质求得∠BAE+∠CAD=60°，根据∠BAC=∠BAE+∠DAE+∠CAD即可求解；②当点D与点B重合，点E与点C重合，∠BAC=∠DAE=60°．【详解】解：根据题意，有2种情况，①如图，∵AC与AB边上的垂直平分线DM、EN分别交BC于点D、点E，∴AE=BE，AD=CD，∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAD，∵∠DAE=60°，∴∠AED+∠ADE=120°，∵∠AED是△ABE的一个外角，∠ADE是△ADC的一个外角，∴∠AED=∠B+∠BAE=2∠BAE，∠ADE=∠C+∠CAD=2∠CAD，∴2∠BAE+2∠CAD=120°，∴∠BAE+∠CAD=60°，∴∠BAC=∠BAE+∠DAE+∠CAD=120°．②如图，当点D与点B重合，点E与点C重合，此时，∠BAC=∠DAE=60°．∴综上所述，∠BAC=60°或120°．故答案为：60°或120°．【变式31】（2425八年级下·山西晋中·期中）如图，△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，连接BD．若∠C=24°，DB⊥BC，则A．24° B．30° C．33° D．66°【答案】C【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角性质等，由线段垂直平分线的性质得AD=BD，即得∠A=∠DBA，由直角三角形两锐角互余得∠BDC=90°−∠C=66°，进而由三角形外角性质可得2∠A=66°，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AD=BD∴∠A=∠DBA，∵DB⊥BC，∴∠DBC=90°，∵∠C=24°，∴∠BDC=90°−∠C=90°−24°=66°，∵∠BDC=∠A+∠DBA=2∠A，∴2∠A=66°，∴∠A=33°，故选：C．【变式32】（2425八年级下·辽宁丹东·期中）如图，在△ABC中，∠B=35°，∠C=50°，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交BC于点F，∠FAC的平分线AD交FC于点D，则∠DAF的度数为．【答案】30°/30度【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和三角形的内角和定理，属于常见题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．根据三角形内角和定理得出∠BAC=95°，根据等腰三角形的性质的性质和线段垂直平分线的性质可得∠B=∠BAF=35°，从而得∠CAF=60°，然后根据角平分线即得答案．【详解】解：∵∠B=35°，∠C=50°，∴∠BAC=180°−50°−35°=95°，∵EF垂直平分AB，∴FA=FB，∴∠B=∠BAF=35°，∴∠CAF=∠BAC−∠BAF=95°−35°=60°，∵AD平分∠FAC，∴∠DAF=1故答案为：30°．【变式33】（2425七年级下·山东威海·期中）如图，在△ABC中，AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，点O是AC、BC的垂直平分线的交点，连接AO、BO，若∠AOB=α，则∠AIB的大小为（

）A．90°+12αC．90°−14α【答案】B【分析】本题考查角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，连接常用的辅助线是解题关键．连接CO并延长，交BI于点D，由线段垂直平分线的性质可知OA=OC，OB=OC，即得出∠OCA=∠OAC，∠OCB=∠OBC，结合三角形外角的性质可求出∠AOB=2∠ACB=α，即∠ACB=α2，再根据三角形内角和定理有∠CAB+∠CBA=180°−α【详解】解：如图，连接CO并延长，交BI于点D．∵点O是AC、BC的垂直平分线的交点，∴OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，∴∠AOD=∠OCA+∠OAC=2∠OCA，∠BOD=∠OCB+∠OBC=2∠OCB，∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠OCA+2∠OCB=2∠ACB=α，∴∠ACB=α∴∠CAB+∠CBA=180°−∠ACB=180°−α∵AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，∴∠BAI=12∠CAB∴∠BAI+∠ABI=1∴∠AIB=180°−∠BAI+∠ABI故选B．【题型4根据垂直平分线的性质求面积】【例4】（2425八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在△ABC中，BD是ΔABC的中线，EF是BC边的中垂线，且BD与EF相交于点G，连结AG，CG，若四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为8和13，则△ABC的面积为(A．36 B．22 C．20 D．21【答案】B【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的面积计算，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据三角形的面积公式计算，得到答案．【详解】解：∵四边形CDGE与四边形ACEG的面积分别为8和13，∴S∵BD是△ABC的中线，∴S∴S∵EF是BC边的中垂线，∴E是BC的中点，∴S∴S∴S故选：B【变式41】（2425八年级上·浙江湖州·期中）如图，AD是△ABC的对称轴，E,F是AD上的两点，若BD=2，AD=3，则图中阴影部分的面积是．【答案】3【分析】本题考查了轴对称图形的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握轴对称图形的性质是解题的关键．根据题意得到AD是BC的垂直平分线，可证△BEF≌△CEFSSS，得到S△BEF=【详解】解：∵AD是△ABC的对称轴，∴AD是BC的垂直平分线，∴BE=CE,BF=CF，在△BEF和△CEF中，BE=CEBF=CF∴△BEF≌△CEFSSS∴S△BEF∴S阴影故答案为：3．【变式42】（2425八年级上·广东中山·期末）如图，在△ABC中，AB=AC,BC=6cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，点F为BC的中点，点M为线段DE上一动点，若△BFM周长的最小值为10cm，则△ABC的面积是【答案】21【分析】本题考查轴对称求最短距离、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质等知识．由垂直平分线的性质可得A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点M′，连接BM′，则当A、M′、F三点共线时，△M′BF周长最小，即当点M与M′重合时，【详解】解：∵ED是线段AB的垂直平分线，∴A与B关于ED对称，连接AF，交ED于点M′，连接∵AM∴C△当A、M′、F三点共线时，△M′BF周长最小，即当点M与∵△BFM周长的最小值为10cm∴C△MBF∵F为BC边的中点，AB=AC，BC=6cm∴AF⊥BC，BF=CF=3cm∴AF=10−3=7cm∴S△ABC故答案为：21．【变式43】（2425八年级上·河北邯郸·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=45°，BC=4，S△ABC=12，D为边BC上的动点，点D关于AB，AC的对称点分别是点E，F，连接AE，AF，EF，△AEF面积的最小值为【答案】18【分析】本题考查求三角形面积最小值的问题，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质．根据轴对称的性质得AE=AD，AF=AD，∠EAB=∠DAB，∠CAD=∠CAF，等量代换得AE=AF=AD，∠EAF=90°，得△EAF是等腰直角三角形，再根据垂线段最短得当AD⊥BC时，AD取最小值，即可作答．【详解】解：连接AD，如图所示：

∵点D关于AB，AC的对称点分别是点E，F，∴AB是DE的垂直平分线，AC是DF的垂直平分线，∴AE=AD，AF=AD，∠EAB=∠DAB，∠CAD=∠CAF，∴AE=AF=AD，∠EAF=2∠BAC=90°，∴△EAF是等腰直角三角形，∴当AE最小即AD取最小值时，△AEF的面积最小，∴当AD⊥BC，AD取最小值，∵BC=4，S△ABC∴12∴AC=6，∴△AEF的面积的最小值=1故答案为：18．【题型5根据垂直平分线的性质求最值】【例5】（2425八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值是（）A．8 B．3 C．6 D．4【答案】A【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接AD，AP，由AB=AC，点D是BC边的中点，则AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，当A、P、D三点共线时，即AD的长为CP+PD的最小值，由此即可得出结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：连接AD，AP，∵AB=AC，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC∴AD=6，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴当A、P、D三点共线时，即AD的长为CP+PD的最小值，∴△CDP的周长最短=CP+PD故选：A．【变式51】（2425八年级上·河北邯郸·期末）如图，在△ABC中，直线m是线段BC的垂直平分线，点P是直线m上的一个动点．若AB=7，AC=4，BC=5，则△APC周长的最小值是．【答案】11【分析】本题考查了轴对称，动点最值问题中的“将军饮马”问题，解法是：作定点关于动点轨迹的对称点，由于点C关于直线m的对称点为点B，故当点P在AB上时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论．【详解】解：设直线m交AB于D，连接BP，如图所示：∵直线m是BC的垂直平分线，∴B、C关于直线m对称，∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长，∴△APC周长=AP+PC+AC，且AP+CP的最小值等于AB，∴△APC周长的最小值是AB+AC=7+4=11，故答案为：11．【变式52】如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB=12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则【答案】8cm【分析】根据垂直平分线的性质得到MA=MC，再利用三角形两边之差小于第三边解答即可．【详解】解：∵MN垂直平分AC，∴MA=MC，又∵C△BMC=BM+MC+BC=20∴BC=20−12=8cm在MN上取点P，连接PA、PB、PC，∵MN垂直平分AC，∴PA=PC，∴PA−PB=PC−PB，在△PBC中PC−PB<BC，当P、B、C共线时，即P运动到与P′重合时，(PC−PB)此时PC−PB=BC=8cm故答案为：8cm【点睛】本题考查了线段之差的最大值，熟练运用三角形边角关系与垂直平分线的性质是解题的关键．【变式53】（2425七年级下·江苏泰州·期末）在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=5，AC=12，BC=13，EF垂直平分AB，点P是EF上一动点，过P作PH⊥BC，垂足为点H，连接BP，则BP+PH的最小值为【答案】60【分析】本题考查了垂直平分线的性质、三角形的高，利用垂直平分线的性质转化BP是解题的关键．连接AP，根据垂直平分线的性质得到AP=BP，则有BP+PH=AP+PH≥AH，分析可知当A,P,H三点共线时，BP+PH有最小值，最小值为AH的长，此时AH是Rt△ABC【详解】解：如图，连接AP，∵EF垂直平分AB，点P是EF上一动点，∴AP=BP，∴BP+PH=AP+PH≥AH，∴当A,P,H三点共线时，BP+PH有最小值，最小值为AH的长，∵PH⊥BC，A,P,H三点共线，∴此时AH是Rt△ABC∴AH=∴BP+PH的最小值为6013故答案为：6013【题型6根据垂直平分线的性质求证明】【例6】（2425八年级上·广东潮州·期中）如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC于点E，l1与l2相交于点O，连接OA，(1)若△ADE的周长为8cm，线段BC(2)判断点O是否在BC的垂直平分线上；(3)若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．【答案】(1)8(2)点O在BC的垂直平分线上(3)∠DAE=60°．【分析】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．（1）根据垂直平分线的性质得出DA=DB，EA=EC，求出BC=BD+DE+EC；（2）根据垂直平分线的性质得出OA=OB，OA=OC，推出OB=OC，即可证明点O在BC的垂直平分线上；（3）根据三角形内角和得出∠ABC+∠ACB=60°，根据等腰三角形的性质得出∠BAD=∠ABC，∠EAC=∠ACB，根据∠DAE=∠BAC−∠BAD−∠EAC求出结果即可．【详解】（1）解：∵l1是AB∴DA=DB，∵l2是AC∴EA=EC，∵△ADE的周长为8cm∴BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=8cm故答案为：8cm（2）解：点O在BC的垂直平分线上，理由：∵l1是AB∴OA=OB，∵l2是AC∴OA=OC，∴OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上；（3）解：∵∠BAC=120°，∴∠ABC+∠ACB=60°，∵DA=DB，EA=EC，∴∠BAD=∠ABC，∠EAC=∠ACB，∴∠DAE=∠BAC−∠BAD−∠EAC=120°−60°=60°．【变式61】（2425八年级上·河南南阳·阶段练习）演绎推理的方法是研究图形属性的重要方法，请你认真阅读并完整解答．(1)如图1，直线MN是线段AB的垂直平分线，P是MN上任一点，连接PA、PB，将线段AB沿直线MN对折，我们发现PA与PB完全重合，由此可得线段垂直平分线的性质定理：________．(2)请你结合图形把已知和求证补充完整，并写出证明过程．已知：如图1，MN⊥AB于点C，________，点P是直线MN上的任意一点．求证：________．证明：(3)如图2，CD是线段AB的垂直平分线，∠CAD=22°，∠CBA=50°，则∠ADP=________．【答案】(1)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等(2)AC=BC；PA=PB；证明见解析(3)62°【分析】此题考查的是轴对称图形、线段垂直平分线的性质，经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(中垂线)垂直平分线，简称“中垂线”．（1）根据线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质即可解答；（2）根据线段垂直平分线的性质及全等三角形的判定与性质即可解答；（3）根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质及直角三角形两锐角互余即可解答．【详解】（1）解：∵直线MN是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∠ACP=∠BCP=90°在△ACP和△BCP中AC=BC∴△ACP≌△BCP∴AP=BP．即线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．（2）解：已知：如图1，MN⊥AB于点C，AC=BC，点P是直线MN上的任意一点．求证：PA=PB．故答案为∶AC=BC；PA=PB；证明：解：∵MN⊥AB，∴∠ACP=∠BCP=90°在△ACP和△BCP中AC=BC∴△ACP≌△BCP∴AP=BP．（3）解：∵CD是线段AB的垂直平分线，∴AC=BC，∠APC=90°．∴∠CAB=∠CBA=50°．∵∠CAD+∠DAP=∠CAB，∴∠DAP=∠CAB−∠CAD=50°−22°=28°．∵∠DAP+∠ADP=90°，∴∠ADP=90°−∠DAP=90°−28°=62°．【变式62】如图，在△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE，连接AE．(1)求证：AB=EC；(2)若△ABC的周长为42cm，AC=16cm，求【答案】(1)证明见解析(2)DC=13【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．（1）根据垂直平分线的性质，可AE=EC，再根据AD⊥BC，BD=DE，得到AD是BE的垂直平分线，等量代换，即可；（2）根据题意，则AB+BC+AC=42cm，求出AB+BC=42cm-16cm=26cm，再根据AB+BD+DE+EC=26cm【详解】（1）解：证明如下：∵EF垂直平分AC，∴AE=EC，∵AD⊥BC，BD=DE，∴AD是BE的垂直平分线，∴AB=AE，∴AB=EC．（2）解：∵△ABC的周长为42cm∴AB+BC+AC=42cm∵AC=16cm∴AB+BC=42cm-16cm∵BD=DE，AB=EC，∴AB+BD+DE+EC=26cm∴2DE+2EC=26cm∴DE+EC=13cm∵DC=DE+EC，∴DC=13cm【变式63】（2425八年级上·山西临汾·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，AD⊥BC，垂足为D，AC的垂直平分线交AC于点E，交AD于点F，连接BF．(1)求证：AF=BF；(2)求∠FBD度数．【答案】(1)见解析(2)∠FBD=40°【分析】本题考查了等腰三角形的性质及判定、线段垂直平分线的性质、三角形的内角和定理等知识，具有一定的综合性，但难度不大，属于常见题型，熟练掌握上述知识是解题的关键．（1）连接CF，根据线段垂直平分线的性质可得AF=CF，再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明AD是BC的垂直平分线，得BF=CF，即可证得结论；（2）由三角形的内角和定理求出∠ABC=∠ACB=65°,再根据等腰三角形“三线合一”的性质证明∠CAF=12∠BAC=25°，根据线段垂直平分线的性质可得AF=CF，进而可求得∠CAF=∠ACF=25°，然后根据角的和差即可求出∠BCF，由CF=BF【详解】（1）证明：连接CF，∵EF是AC的垂直平分线，∴AF=CF，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∴AD是BC的垂直平分线，∴BF=CF，∴AF=BF；（2）解：∵AB=AC，∠BAC=50°，∴∠ABC=∠ACB=1∵AD⊥BC，∴∠CAF=1∵AF=CF，∴∠CAF=∠ACF=25°，∴∠FBD=∠BCF=40°．【题型7判断是垂直平分线】【例7】（2425八年级上·江苏南通·阶段练习）已知：如图，AB=AC,BE⊥AC,CD⊥AB，垂足分别为E、D．

(1)求证：AD=AE；(2)连接AO、BC，判断直线AO与BC的关系．【答案】(1)见解析(2)AO垂直平分BC【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．（1）由“AAS”可证△ADC≌△AEB，可得AD=AE；（2）由全等三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠DCB=∠EBC，进而可得OB=OC，即可得结论．【详解】（1）证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC=∠AEB=90°，在△ADC和△AEB中，∠A=∠A∠ADC=∠AEB∴△ADC≌△AEB(AAS∴AD=AE；（2）解：AO垂直平分BC，理由如下：如图，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵△ADC≌△AEB，∴∠ABE=∠ACD，∴∠DCB=∠EBC，∴BO=CO，又∵AB=AC，∴AO垂直平分BC．【变式71】（2425八年级下·陕西西安·阶段练习）如图所示，在△ABC中，D是AB上的一点，且AD=AC，DE∥BC，CD平分∠EDF，求证：AF垂直平分【答案】见解析【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质．根据平行线的性质得到∠CDE=∠DCF，根据角平分线的定义得到∠CDF=∠CDE，等量代换得到∠CDF=∠DCF，求得点F在线段CD的垂直平分线上，根据已知条件得到点A在线段CD的垂直平分线上，于是得到结论．【详解】证明：∵DE∥∴∠CDE=∠DCF，∵CD平分∠EDF，∴∠CDF=∠CDE，∴∠CDF=∠DCF，∴DF=CF，∴点F在线段CD的垂直平分线上，∵AD=AC，∴点A在线段CD的垂直平分线上，∴AF垂直平分CD．【变式72】如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)直线AC是线段BD的垂直平分线吗？请说明理由．【答案】(1)见解析(2)直线AC是线段BD的垂直平分线，理由见解析【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分的判定；（1）根据全等三角形的判定和性质进行证明即可；（2）根据垂直平分线的判定即可得出证明；【详解】（1）证明：在△ABC和△ADC中，AB=ADBC=DC∴△ABC≌△ADC，（2）AC是线段BD的垂直平分线，理由如下：∵AB=AD，BC=DC，∴A,C在BD的垂直平分线上，即AC是线段BD的垂直平分线．【变式73】如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD，CE相交于点O．(1)求证：OB=OC．(2)连接OA，试说明直线OA是线段BC的垂直平分线．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等腰三角形的判定与性质．（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE，由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可证∠OBC=∠OCB，可得（2）根据OB=OC，AB=AC，得出A、O在线段BC的垂直平分线上，即可证明结论．【详解】（1）证明：∵BD，CE分别是边AC，AB上的中线，∴AD=12AC∵AB=AC，∴AD=AE，在△ABD与△ACE中，AB=∴△ABE≌∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC−∠ABD=∠ACB−∠ACE，∴∠OBC=∠OCB，∴OB=OC．（2）证明：∵OB=OC，AB=AC，∴A、O在线段BC的垂直平分线上，∵两点确定一条直线，∴直线OA是线段BC的垂直平分线．【题型8垂直平分线的判定与性质的综合】【例8】（2425七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC的中点，且AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AD=12，CD=5，则AB的长为．【答案】8【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键．由“AAS”可证△BEF≌△CED，可得EF=DE，BF=CD=4，由线段垂直平分线的性质可得AD=AF=12，进一步求解即可．【详解】解：∵E为BC的中点，∴BE=EC，∵AB∥DC，∴∠F=∠CDE，∠FBE=∠DCE，在△BEF与△CED中，∠F=∠CDE∠FBE=∠DCE∴△BEF≌△CEDAAS∴EF=DE，BF=CD=4，∵AE⊥DE，∴AD=AF=12，∴AF=AB+BF=AB+4=12，∴AB=8，故答案为：8．【变式81】（2425八年级下·陕西西安·期末）如图，点A、B在直线m上，点P、H在直线n上，m⊥n于点O，连接AP、BP、AH、BH，AP=BP，若AH=11，则BH的长为（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】A【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和线段垂直平分线的判定定理，根据题意可证明PH垂直平分AB，则由线段垂直平分线的性质即可得到答案．【详解】解：∵AP=BP，∴点P在线段AB的垂直平分线上，又∵m⊥n，∴PH垂直平分AB，∴BH=AH=11，故选：A．【变式82】（2425八年级上·江苏常州·期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AC的垂直平分线交DC于点E，且BD=DE，求证：AB+BD=DC．【答案】见解析【分析】连接AE，根据垂直平分线的判定和性质，证明即可．本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．【详解】证明：连接AE，∵AD⊥BC，BD=DE，∴直线AD是线段BE的垂直平分线，∴AB=AE，∵AC的垂直平分线交DC于点E，∴EC=AE，∴EC=AB，∵EC+DE=DC，∴AB+BD=DC．．【变式83】（2425八年级上·全国·期末）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接OC，若∠AOC=120°，则【答案】60°【分析】本题考查了三角形的外角性质以及垂直平分线的判定与性质，等边对等角，以及角平分线的定义，先由三角形的外角性质得∠C=30°，因为AD⊥BC，D为BC的中点，所以OD是BC的垂直平分线，则∠OBC=∠C=30°，因为BO是∠ABC的角平分线，则BO是∠ABC的角平分线，即可作答．【详解】解：∠AOC=120°，AD⊥BC，∴∠ODC=90°，∵AD⊥BC，D为BC的中点，∴OD是BC的垂直平分线，∴OB=OC，∴∠OBC=∠C=30°，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠ABC=2∠OBC=60°，故答案为：60°．【题型9利用角平分线的性质求长度】【例9】（2425八年级下·安徽宿州·期中）如图，已知∠AOB=150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC∥OB交OA于点C，若PD=4，则OC的长为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【分析】本题考查角平分线定义，等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线性质定理，30°角直角三角形性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．如图，过点P作PE⊥OC，垂足为E，由角平分线性质，得PE=PD=4，∠POD=∠POE，由平行性质，可推证∠PCO=30°，∠CPO=POE，得CO=CP，Rt△CPE中，CP=2PE=8，所以CO=CP=8【详解】解：如图，过点P作PE⊥OC，垂足为E，∵OP平分∠AOB，PD⊥OB，∴PE=PD=4，∠POD=∠POE，∵PC∥OB，∴∠PCO+∠AOB=180°，∠CPO=∠POD；∴∠PCO=180°−150°=30°，∠CPO=POE；∴CO=CP，Rt△CPE中，CP=2PE=2×4=8∴CO=CP=8；故选：B．【变式91】（2425八年级上·福建厦门·期末）如图，BD平分∠ABC交AC于D点，DE⊥BC于E点，若AB=4，BC=5，S△ABC=9，则DE的长为【答案】2【分析】过点D作DF⊥BA于F，根据角平分线的性质得到DE=DF，再根据三角形周长公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，熟记角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【详解】解：如图，过点D作DF⊥BA，交BA的延长线于F，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥BA，∴DE=DF，∵AB=4，BC=5，S△ABC∴1解得：DE=DF=2，故答案为：2.【变式92】（2425八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知△ABC中，D为BC边上一点，E为AB边上一点，连接AD，DE，DE∥AC，AE=ED，若AB=2.7，BD=1.5，CD=1，则AC=【答案】1.8【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，先根据AE=ED，DE∥AC，证明∠BAD=∠DAC，令点A到BC的距离为ℎ，点D到AB，AC的距离为ℎ1，ℎ2，则【详解】解：∵AE=ED，∴∠BAD=∠ADE，又∵DE∥∴∠ADE=∠DAC，∴∠BAD=∠DAC，则AD平分∠BAC，令点A到BC的距离为ℎ，点D到AB，AC的距离为ℎ1，ℎ2，则∴S△ABD则ABAC=BD∴AC=1.8，故答案为：1.8．【变式93】（2425八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm,AB=5cm，O是∠CAB与∠CBA平分线的交点，则点【答案】1cm【分析】本题考查了角平分线的性质定理及与三角形高有关的计算，分别过点O作OE⊥AC,OF⊥BC,OG⊥AB，连接OC，易得点O在∠ACB的角平分线上，推出OF=OE=OG，设OE=OF=OG=x，根据S△ABC【详解】解：分别过点O作OE⊥AC,OF⊥BC,OG⊥AB，连接OC，∵点O是∠CAB与∠CBA平分线的交点，∴点O在∠ACB的角平分线上，∴OF=OE=OG，设OE=OF=OG=x，∵S△ABC在△ABC中，∠C=90°,AC=4cm∴12∴6x=6，∴x=1，∴点O到AB的距离等于1cm故答案为：1cm【题型10利用角平分线的性质求面积】【例10】（2425八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在△ABC中，AB=7，AC=6，AD平分∠BAC，DE⊥AC于E，DE=2，则△ABC的面积为（

）A．13 B．19 C．20 D．26【答案】A【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，熟练掌握该知识点是解答本题的关键．过D点作DF⊥AB于F，如图，根据角平分线的性质得到DF=DE=2，然后利用三角形面积公式，利用S△ABC【详解】解：如图，过D点作DF⊥AB于F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DF=DE=2，∴S=1=13．故选：A．【变式101】（2425七年级下·四川成都·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以小于AC长为半径作弧，分别交AC，AB于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于12MN的长为半径作弧，在∠BAC内两弧交于点O；③作射线AO，交BC于点D．若CD的长为3，AB=8，则△ABD【答案】12【分析】本题考查了角平分线的性质及其尺规作图，过点D作DE⊥AB于点E，根据作图可得AD为∠CAB的角平分线，根据角平分线的性质可得CD=DE=3，再利用三角形面积计算公式求解即可．【详解】解：过点D作DE⊥AB于点E，根据作图可知AD为∠CAB的角平分线，∵∠C=90°,DE⊥AB∴CD=DE=3，∵AB=8，∴S△ABD故答案为：12【变式102】（2425八年级上·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=2，BC=3，BD是∠ABC的平分线，如果△ABC的面积为32，那么△DBC

【答案】910/【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作AB，BC的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得DE=DF，则可证明【详解】解：如图所示，过点D分别作AB，BC的垂线，垂足为E、

∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，∵S△ABD∴S△CBD故答案为；910【变式103】（2425七年级下·重庆·期中）如图，在△ABC中，AD⊥BC，且CD=2BD，4BC=3AC，CF为∠ACB的角平分线，交AD于点E，交AB于点F，若△CDE的面积为7，则图中阴影部分四边形BDEF的面积为．【答案】13【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，设BD=a，则有BC=3a，AC=4a，过点E作EG⊥AC于点G，即可得到ED=EG，然后根据S△CDE可得DE⋅a=7，然后可得S△ACE=12AC⋅EG=14，则S△ADC=S△ACE+S△CDE【详解】解：设BD=a，则CD=2a，∴BC=3a，∵4BC=3AC，∴AC=4a，过点E作EG⊥AC于点G，过点F分别作BC，AC的垂线，垂足分别为M、∵CF平分∠ACB，AD⊥BC，EG⊥AC∴ED=EG，∵S△CDE∴DE⋅a=7，∴S△ACE∴S△ADC∵S△ABC∴S△ABC同理可得FM=FN，∵S△BCF∴BFAF∴BF=3∴S△BCF∴S阴影故答案为：132【题型11利用角平分线的性质求角度】【例11】（2425八年级下·辽宁辽阳·期中）已知：如图，CD为Rt△ABC斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交CD、BC于E,F,FG⊥AB，垂足为点G(1)求证：CE=FG．(2)若∠B=20°，求∠AFG的度数．【答案】(1)见解析(2)55°【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键；（1）由题意易得CF=FG，∠CAF=∠BAF，则有∠BAF+∠AED=∠CAF+∠AFC=90°，然后可得∠AED=∠AFC=∠CEF，进而问题可求证；（2）由（1）可得∠BAF=12∠BAC=35°，则有∠AED=90°−∠BAF=55°【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠BAC的平分线分别交CD、BC于E,F,FG⊥AB，∴CF=FG，∠CAF=∠BAF，∵CD⊥AB，∴∠BAF+∠AED=∠CAF+∠AFC=90°，∴∠AED=∠AFC=∠CEF，∴CE=CF=FG；（2）解：∵∠B=20°，∴∠BAC=90°−∠B=70°，∴∠BAF=1∴∠AED=90°−∠BAF=55°，∵CD⊥AB,FG⊥AB，∴CD∥FG，∴∠AFG=∠AED=55°．【变式111】如图，DE⊥OA于E，DF⊥OB于F，DE=DF，∠AOD=25°，则∠EDF的度数是．【答案】130°【分析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上解答．结合垂直定义以及四边形内角和360度，进行列式计算即可．本题考查了角平分线的性质，熟记在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键．【详解】解：∵DE⊥OA，DF⊥OB，DE=DF，∴点D在∠AOB的平分线上，∴∠AOD=∠BOD=25°．∴∠BOA=50°∴360°−90°−90°−50°=130°故答案为：130°【变式112】如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A落在点A′处，恰好满足A′B平分∠ABC,A′C平分∠ACB，若【答案】70°/70度【分析】本题考查了翻折变换的性质、角平分线的判定与性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的内角和等于180°是解题的关键．连接AA′，过A′作A′M⊥AB,A′N⊥BC,A′P⊥AC【详解】解：连接AA′，过A′∵A′B平分∠ABC，A′∴A∴AA′平分∴∠DAA′=∠EAA′，∵A′B平分∠ABC，A′∴∠A∵∠1=125°，∴∠A′BC+∠A′CB∴∠ABC+∠ACB=2∠∴∠BAC=180°−110°=70°，∵将△ABC纸片沿DE折叠，点A落在点A′∴DA=DA′，∴∠DAA′=∠DA′A，∵∠DAA′=∠CAA′，∴∠DAA′=∠DA′A=∠CAA′，∵∠2是△A∴∠2=∠DA′A+∠DAA′=∠DAA′+∠CAA′=∠BAC=70°，故答案为：70°．【变式113】（2425七年级下·山东烟台·期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线与内角∠ABC的平分线交于点E，若∠CAE=54°，则∠BEC的度数是．【答案】36°【分析】本题主要考查了三角形外角性质，角平分线性质的应用，延长BA，过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，然后证明AE是∠CAH的平分线，进而可得∠CAH的度数，再求出∠BAC的度数，从而可得答案，关键是掌握角平分线的性质．【详解】解：延长BA，过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分线，∵∠CAE=54°，∴∠CAH=2∠CAE=108°，∴∠BAC=180°−∠CAH=72°，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠ACD=2∠ECD，∠ABC=2∠EBC，∵∠ECD=∠BEC+∠EBC，∠ACD=∠ABC+∠BAC，∴∠BAC=2∠BEC=72°，∴∠BEC=36°；故答案为：36°．【题型12利用角平分线的性质求最值】【例12】（2425九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上，连接BD，过点D作DE∥BC交AB于点E，DE=BE，点P为线段AB上一动点，连接DP，若CD=6【答案】6【分析】由垂线段最短得，当DP⊥AB时，线段DP的值最小，由等边对等角得∠BDE=∠DBE，根据平行线的性质得∠BDE=∠DBC，则BD平分∠ABC，根据角平分线的性质即可求解．【详解】解：由垂线段最短得，当DP⊥AB时，线段DP的值最小，∵DE=BE，∴∠BDE=∠DBE，∵DE∥∴∠BDE=∠DBC，∴∠DBE=∠DBC，即BD平分∠ABC，∵∠C=90°，当DP⊥AB时，线段DP的值最小，∴线段DP的最小值是：DP=CD=6，故答案为：6．【点睛】本题考查平行线的性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质以及垂线段最短，等腰三角形的性质，角平分线的性质是解题的关键．【变式121】（2425八年级上·天津·期末）如图，以∠AOB的顶点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N，再分别以点M和点N为圆心，大于12MN长为半径画弧（弧所在圆的半径都相等），两弧交于点P．画射线OP，作PC⊥OA于点C，且PC=2，Q是射线OB上一个动点，则PQ【答案】2【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线的性质；由作法得OP是∠AOB的平分线，由垂线段最短得PQ⊥OB时，PQ的值最小，由角平分线的性质即可求解；掌握垂线段最短，角平分线的性质是解题的关键．【详解】解：由作法得：OP是∠AOB的平分线，当PQ⊥OB时，PQ的值最小，∵PC⊥OA，∴PQ=PC=2，∴PQ的最小值为2，故答案：2．【变式122】在△ABC中，已知BC=6，BC边上的高ℎ=4，△ABC两个内角的角平分线相交于点O，过O作OD⊥BC于点D，则OD的最大值是．【答案】2【分析】首先要根据条件画出草图，如图所示，根据条件可知：点O为△ABC角平分线的交点，则OD为到△ABC各边的距离，根据角平分线的性质：到三角形三条边的距离相等．可得△OAB，△OBC，△OAC的高都是OD，则S【详解】解：如图：∵点O为△ABC两个内角的角平分线的交点，OD⊥BC∴OD为点O到△ABC三边的距离设OD=r则S代入数据得：r=∵AB+AC>BC∴AB+AC>6∴r<∴OD的最大值为2故答案为2【点睛】本题考查了三角形角平分线的性质、三角形三边关系、等积法求线段长度等，三角形角平分线的性质的熟练运用是解决本题的关键．【变式123】（2425八年级上·安徽亳州·期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点M，N分别是AD和AB上的动点．（1）若∠BAC=60∘，∠C=40∘，则（2）若S△ABC=12，AC=8，则BM+MN的最小值为【答案】70°/70度3【分析】（1）根据角平分线的定义，三角形外角的性质即可求解；（2）如图，过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B′，则∠AGB=∠AGB′=90∘，可证△ABG≌△AB′GASA，得到BG=B′G，AB=AB′，即点B′与点B关于AD对称，过点B′作B′N⊥AB于点N，交AD于点【详解】解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=60∴∠CAD=1∵∠ADB=∠CAD+∠C，∠C=40∴∠ADB=30（2）如图，过点B作BB′⊥AD于点G，交AC于点B∵AD平分∠BAC，∴∠BAG=∠B∵AG=AG，∴△ABG≌△AB∴BG=B′G，AB=AB′，即点B′与点B关于AD对称，过点B′作B′N⊥AB于点N，交AD于点M，由轴对称的性质可知，点M即为使BM+MN∵S△ABC=12，∴12解得，BE=3，∵AB=AB∴△ABB∴B′N=BE=3，即故答案为：①70°；②3．【点睛】本题主要考查角平分线的定义及性质定理，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，轴对称求最短路径的计算等知识的综合，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键．【题型13利用角平分线的性质证明】【例13】（2425八年级上·安徽合肥·期末）如图，OM是∠AOB的平分线，C是OM上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E，点F是OM上的另一点，连接DF，EF．求证：【答案】见详解【分析】本题考查了角平分线的性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由角平分线的性质得∠DOC=∠EOC,∠ODC=∠OEC=90°,DC=CE,结合外角性质得∠DCF=∠ECF，因为CF=CF，证明△DFC≌△EFCSAS【详解】解：∵OM是∠AOB的平分线，CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠DOC=∠EOC,∠ODC=∠OEC=90°,DC=CE,∴∠DOC+∠ODC=∠EOC+∠OEC，即∠DCF=∠ECF，∵CF=CF，∴△DFC≌△EFCSAS∴∠DFO=∠EFO．【变式131】如图，BD是∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N，求证：PM=PN．【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得∠ABD=∠CBD，再结合AB=BC，BD=BD，证明△ABD≌△CBD，则∠MDP=∠NDP，因为PM⊥AD，PN⊥CD，故【详解】证明：∵BD是∠ABC的角平分线∴∠ABD=∠CBD，∵AB=BC，BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴∠MDP=∠NDP，∵PM⊥AD，∴PM=PN．【变式132】（2425八年级上·山东滨州·期中）如图，AO平分∠BAC，CO⊥AB，BO⊥AC，垂足分别为D，E．求证：∠OBC=∠OCB．【答案】证明见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，等边对等角，先由角平分线的性质得到OD=OE，再证明△BOD≌△COEASA得到OB=OC，则可证明∠OBC=∠OCB【详解】证明：∵AO平分∠BAC，CO⊥AB，BO⊥AC，∴OD=OE，又∵∠BOD=∠COE，∴△BOD≌△COEASA∴OB=OC，∴∠OBC=∠OCB．【变式133】（2425八年级上·四川乐山·期末）如图所示，点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，求证：AD+BC=AB．【答案】证明见解析．【分析】本题考查角平分线的性质，熟记角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．根据角平分线的性质得出BC=BP，AD=AP，根据线段的和差关系即可得结论．【详解】解：∵点A、B分别是∠NOP、∠MOP平分线上的点，AB⊥OP，BC⊥MN，AD⊥MN，∴BC=BP，AD=AP，∴AD+BC=BP+AP=AB．【题型14角平分线的判定】【例14】（2425八年级下·陕西延安·期中）如图，BP是∠ABC内部的一条射线，点D在BP上，连接AD、CD，AD=CD，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，M，N分别是垂足，且PM=PN，求证：BP平分∠ABC．【答案】见解析【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键；先由角平分线的性质定理得到∠ADP=∠CDP，再证明△ABD≌△CBD(SAS)，得到【详解】证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD，PM=PN，∴DP为∠ADC的角平分线，∴∠ADP=∠CDP，∴∠ADB=∠CDB，在△ABD和△CBD中，AD=CD,∴△ABD≌△CBD(SAS∴∠ABP=∠CBP，∴BP平分∠ABC．【变式141】小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在∠AOB上，两把直尺的接触点为P，边OA与其中一把直尺边缘的交点为C，点C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，则OC的长度是．【答案】3【分析】本题考查角平分线性质定理的逆定理，平行线的性质，过P作PN⊥OB于N，由角平分线性质定理的逆定理推出PO平分∠AOB，得到∠COP=∠NOP，由平行线的性质推出∠CPO=∠NOP，得到∠COP=∠CPO，因此OC=PC，由PC=5−2=3(cm)，即可得到OC的长度是【详解】解：过P作PN⊥OB于N，由题意得：PM=PN，PC∥OB，∴PO平分∠AOB，∴∠COP=∠NOP，∵PC∥∴∠CPO=∠NOP，∴∠COP=∠CPO，∴OC=PC，∵C、P在这把直尺上的刻度读数分别是2、5，∴PC=5−2=3(cm∴OC的长度是3cm故答案为：3cm【变式142】（2425八年级上·广东肇庆·期中）如图，锐角△ABC的两条高BD,CE相交于点O，且OB=OC．(1)求证：BE=CD；(2)求证：判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)点O在∠BAC的平分线上．理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，以及等腰三角形的性质和判定，解决此题的关键是找到△BEC≌△CDB．（1）根据等边对等角先求出∠OBC=∠OCB，再证明△BEC≌△CDB即可解决问题．（2）先由（1）的全等得到BD=CE，再得到OD=OE，即可得到点在角平分线上．【详解】（1）解：∵BD、CE是△ABC的高，∴∠BEC=∠CDB=90°∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，又∵BC是公共边，∴△BEC≌△CDB∴BE=CD．（2）解：点O在∠BAC的角平分线上．理由如下：∵△BEC≌△CDB，∴BD=CE，又∵OB=OC，∴EC−OC=BD−OB，即：OD=OE又∵OD⊥AC，∴点O在∠BAC的角平分线上．【变式143】（2425八年级下·江西九江·期中）在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=α，连接BD和CE相交于点P，交AC于点M，交AD于点N．(1)求证：△BAD≌△CAE；(2)求证：PA平分∠BPE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．（1）利用角的和差可得∠BAD=∠CAE，结合AB=AC，AD=AE，即可由SAS证得；（2）过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，由（1）可知△BAD≌△CAE，推出S△BAD=S△CAE，【详解】（1）证明：∵∠BAC=∠DAE=α，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD∴∠BAD=∠CAE，又∵AB=AC，AD=AE，∴△BAD≌△CAESAS（2）证明：过点A作AH⊥BD，AF⊥CE，如图，由（1）可知△BAD≌△CAE，∴S△BAD=∴1∴AH=AF，又∵AH⊥BD，AF⊥CE，∴PA平分∠BPE．【题型15角平分线的应用】【例15】如图，四边形区域是音乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，要求喷泉到两条道路OA，OB的距离相等，且到入口A、C的距离相等请确定喷泉的位置P．【答案】见解析【分析】本题考查了角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法；利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出P点即可．【详解】如图所示：P点即为所求．【变式151】（2425八年级上·广东中山·期中）如图，AB，AC，BC是三条相互交叉的公路，现要在三条公路围成的三角形区域内修建一座加油站，要求加油站到三条公路的距离相等，则加油站应修建在（

）A．△ABC三条角平分线的交点位置 B．△ABC三条高的交点位置C．△ABC三边的中垂线的交点位置 D．△ABC三条中线的交点位置【答案】A【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质解答．【详解】解：∵加油站在三条公路围成的平地上且到三条公路的距离相等，∴加油站应该在△ABC三条角平分线的交点处．故选：A【变式152】如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P．【答案】见解析【分析】作∠AOB的角平分线OD，OD与MN的交点到∠AOB的两边OA，OB的距离相等．【详解】如图所示：作∠AOB