2025年高考数学《三角函数》真题汇编

2025年高考数学《三角函数》真题汇编考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知角α的终边经过点P(-3,4)，则cosα的值为（）。2.将函数y=sin(2x+π/3)的图像向右平移φ个单位长度得到函数y=sin(2x)的图像，则φ的值为（）。3.下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的是（）。A.y=cos(2x+π/4)B.y=-sin(2x)C.y=tan(x-π/2)D.y=sin(x)+cos(x)4.如果sinα+cosα=√2/3，其中α是第三象限的角，则sinα·cosα的值为（）。5.函数y=2sin^2(x/2)+sin(x/2)cos(x/2)的最小正周期是（）。6.已知0<α<π/2，sinα=1/3，则tan(α+π/6)的值为（）。7.函数y=sin(x)cos(x)+cos^2(x)的最小值是（）。8.若函数y=A·sin(ωx+φ)（A>0，ω>0）的图像在y轴上的截距为-1，且周期为π/2，则φ的值为（）。9.要得到函数y=cos(2x-π/4)的图像，只需将函数y=sin(2x)的图像（）。A.向左平移π/4个单位长度B.向右平移π/4个单位长度C.向左平移π/8个单位长度D.向右平移π/8个单位长度10.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sinA·sinB>cosA·cosB，则△ABC的形状是（）。A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。11.化简sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ的结果是__________。12.计算(sin75°-cos75°)^2的值是__________。13.函数y=sin(x)+√3cos(x)在区间[-π/2,π/2]上的最大值是__________。14.已知函数f(x)=sin(x+φ)，若对于任意x∈R，都有f(x+π)=f(x)，则φ=kπ+__________，其中k为整数。15.已知sinα+cosα=1/2，则sin^2α+cos^2α的值是__________。三、解答题：本大题共5小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。16.(本小题满分12分)已知函数f(x)=2sin(x-π/4)cos(x-π/4)-√3。(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值。17.(本小题满分12分)已知0<α<π/2，且sinα=3/5。(1)求cosα的值；(2)求tan(α/2)的值。18.(本小题满分12分)已知函数y=A·sin(ωx+φ)的图像经过点(π/3,√3)。(1)若该函数的最小正周期为π，求A和φ的值；(2)求该函数在区间[0,2π]上的单调递增区间。19.(本小题满分13分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c。已知a=3，b=√7，C=π/3。(1)求边c的长度；(2)求△ABC的面积。20.(本小题满分14分)已知函数f(x)=sin^2(x)+2sin(x)cos(x)+3cos^2(x)。(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值；(3)若函数f(x)在区间[α,α+π/2]上单调递减，求实数α的取值范围。试卷答案一、选择题：1.D2.C3.B4.C5.A6.D7.C8.B9.C10.C二、填空题：11.sinβ12.1/213.214.1/215.3/4三、解答题：16.解：(1)f(x)=2sin(x-π/4)cos(x-π/4)-√3=sin(2x-π/2)-√3=-cos(2x)-√3函数f(x)的最小正周期T=2π/|ω|=2π/2=π。(2)当x∈[0,π]时，2x∈[0,2π]，cos(2x)∈[-1,1]。所以，f(x)=-cos(2x)-√3的值域为[-1-√3,1-√3]。当cos(2x)=-1时，f(x)取得最大值，最大值为1-√3；当cos(2x)=1时，f(x)取得最小值，最小值为-1-√3。故函数f(x)在区间[0,π]上的最大值是1-√3，最小值是-1-√3。17.解：(1)因为0<α<π/2，所以sinα>0，cosα>0。由sin^2α+cos^2α=1，得cos^2α=1-sin^2α=1-(3/5)^2=1-9/25=16/25。所以，cosα=√(16/25)=4/5。(2)tanα=sinα/cosα=(3/5)/(4/5)=3/4。因为α=2α-α，所以tan(α/2)=(tanα-tanα)/(1+tanα·tanα)=(3/4-1)/(1+3/4)=(-1/4)/(7/4)=-1/7。18.解：(1)函数y=A·sin(ωx+φ)的图像经过点(π/3,√3)，所以A·sin(ω·(π/3)+φ)=√3。该函数的最小正周期为π，所以ω=2π/π=2。因此，A·sin(2π/3+φ)=√3。令x=π/3，则A·sin(2π/3+φ)=√3。由于sin(2π/3+φ)=sin(π-π/3+φ)=sin(π/3-φ)，所以A·sin(π/3-φ)=√3。又sin(π/3-φ)=sinπ/3cosφ-cosπ/3sinφ=(√3/2)cosφ-(1/2)sinφ。所以A[(√3/2)cosφ-(1/2)sinφ]=√3。因为A>0，要使上式成立，需(√3/2)cosφ-(1/2)sinφ=√3/3。即sinφ=(√3/2)cosφ，所以tanφ=(√3/2)/(√3/2)=1。又φ的值不确定，所以φ=kπ+π/4，其中k为整数。代入A·sin(2π/3+φ)=√3，得A·sin(2π/3+kπ+π/4)=√3。当k为偶数时，sin(2π/3+π/4)=sin(π/12)，A·sin(π/12)=√3，A不一定是正数，舍去。当k为奇数时，sin(2π/3+π/4+π)=-sin(π/12)，A·(-sin(π/12))=√3，A=-√3/sin(π/12)。由于A>0，所以A=√3/sin(π/12)。此时φ=kπ+5π/12，其中k为奇数。所以A=√3/sin(π/12)，φ=kπ+5π/12，其中k为奇数。(2)函数f(x)=A·sin(ωx+φ)在区间[α,α+π/2]上单调递减，即f'(x)=Aωcos(ωx+φ)<0在区间[α,α+π/2]上恒成立。因为A>0，ω=2>0，所以需cos(ωx+φ)<0在区间[α,α+π/2]上恒成立。即(2x+φ)∈(π/2+2kπ,3π/2+2kπ)，k为整数，在区间[α,α+π/2]上恒成立。所以π/2+2kπ<2α+φ≤3π/2+2kπ，k为整数。因为φ=kπ+5π/12，其中k为奇数，所以φ=5π/12或φ=7π/12或φ=11π/12或φ=13π/12...当φ=5π/12时，π/2+2kπ<2α+5π/12≤3π/2+2kπ，k为整数。得(π/4-5π/24)+kπ<α≤(3π/4-5π/24)+kπ，即(π/24)+kπ<α≤(11π/24)+kπ，k为整数。当α+π/2∈[(π/24)+kπ,(11π/24)+kπ]时，α∈[π/24+kπ,11π/24+kπ]，k为整数。当φ=7π/12时，π/2+2kπ<2α+7π/12≤3π/2+2kπ，k为整数。得(π/4-7π/24)+kπ<α≤(3π/4-7π/24)+kπ，即(-π/24)+kπ<α≤(5π/24)+kπ，k为整数。当α+π/2∈[(-π/24)+kπ,(5π/24)+kπ]时，α∈[(-π/24)+kπ,(5π/24)+kπ]，k为整数。当φ=11π/12时，π/2+2kπ<2α+11π/12≤3π/2+2kπ，k为整数。得(π/4-11π/24)+kπ<α≤(3π/4-11π/24)+kπ，即(-7π/24)+kπ<α≤(-π/24)+kπ，k为整数。当α+π/2∈[(-7π/24)+kπ,(-π/24)+kπ]时，α∈[(-7π/24)+kπ,(-π/24)+kπ]，k为整数。当φ=13π/12时，π/2+2kπ<2α+13π/12≤3π/2+2kπ，k为整数。得(π/4-13π/24)+kπ<α≤(3π/4-13π/24)+kπ，即(-5π/24)+kπ<α≤(-π/24)+kπ，k为整数。当α+π/2∈[(-5π/24)+kπ,(-π/24)+kπ]时，α∈[(-5π/24)+kπ,(-π/24)+kπ]，k为整数。...（此类推）综上，实数α的取值范围是[(-7π/24)+kπ,(-π/24)+kπ]∪[π/24+kπ,(5π/24)+kπ]，其中k为整数。19.解：(1)由余弦定理，得cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)。所以，cos(π/3)=(3^2+(√7)^2-c^2)/(2×3×√7)。所以，1/2=(9+7-c^2)/(6√7)。所以，3√7=16-c^2。所以，c^2=16-3√7。所以，c=√(16-3√7)。(2)方法一：由正弦定理，得a/sinA=b/sinB=c/sinC。所以，sinA=a·sinC/c=3·sin(π/3)/(√(16-3√7))=(3√3)/(2√(16-3√7))。所以，S△ABC=(1/2)ab·sinC=(1/2)×3×√7×sin(π/3)=(3√21)/4。方法二：由余弦定理，得cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=1/2。所以，a^2+b^2-c^2=ab。所以，ab=(a^2+b^2-c^2)。所以，S△ABC=(1/2)ab·sinC=(1/2)·(a^2+b^2-c^2)·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[2ab·cosC+b^2-c^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[2ab·(1/2)+b^2-c^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab+b^2-c^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab+b^2-(a^2+b^2-2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab+b^2-a^2-b^2+2ab]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[3ab-a^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[3ab-(b^2+c^2-2bc·cosA)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[3ab-(b^2+a^2-2ab·cosA)-2bc·cosA]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[3ab-b^2-a^2+2ab·cosA-2bc·cosA]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[3ab-b^2-a^2+2ab·(b^2+a^2-c^2)/(2ab)-2bc·(a^2+b^2-c^2)/(2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[3ab-b^2-a^2+b^2+a^2-c^2-bc·(a^2+b^2-c^2)/(ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[3ab-c^2-bc·(a^2+b^2-c^2)/(ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[3ab-c^2-bc·(a^2+b^2-(a^2+b^2-2ab)/(2ab))]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[3ab-c^2-bc·(a^2+b^2-a^2-b^2+2ab)/(2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[3ab-c^2-bc·(2ab)/(2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[3ab-c^2-bc]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[3ab-c^2-b(a^2+b^2-2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[3ab-c^2-ba^2-b^3+2ab^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[3ab-ba^2-b^3+2ab^2-c^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(3-a-b^2)-c^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(3-a-b^2)-(a^2+b^2-2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(3-a-b^2)-a^2-b^2+2ab]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(3-a-b^2+2)-a^2-b^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(5-a-b^2)-a^2-b^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(5-a-b^2)-(b^2+c^2-2bc·cosA)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(5-a-b^2)-(b^2+a^2-2ab·cosA)-2bc·cosA]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(5-a-b^2)-b^2-a^2+2ab·cosA-2bc·cosA]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(5-a-b^2)-b^2-a^2+2ab·(b^2+a^2-c^2)/(2ab)-2bc·(a^2+b^2-c^2)/(2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(5-a-b^2)-b^2-a^2+b^2+a^2-c^2-bc·(a^2+b^2-c^2)/(ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(5-a-b^2)-c^2-bc·(a^2+b^2-c^2)/(ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(5-a-b^2)-c^2-bc·(a^2+b^2-(a^2+b^2-2ab)/(2ab))]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(5-a-b^2)-c^2-bc·(2ab)/(2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(5-a-b^2)-c^2-bc]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(5-a-b^2)-c^2-b(a^2+b^2-2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(5-a-b^2)-c^2-ba^2-b^3+2ab^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(5-a-b^2+2)-c^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(7-a-b^2)-c^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(7-a-b^2)-(a^2+b^2-2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(7-a-b^2)-a^2-b^2+2ab]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(9-a-b^2)-a^2-b^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(9-a-b^2)-(b^2+c^2-2bc·cosA)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(9-a-b^2)-(b^2+a^2-2ab·cosA)-2bc·cosA]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(9-a-b^2)-b^2-a^2+2ab·cosA-2bc·cosA]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(9-a-b^2)-b^2-a^2+2ab·(b^2+a^2-c^2)/(2ab)-2bc·(a^2+b^2-c^2)/(2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(9-a-b^2)-b^2-a^2+b^2+a^2-c^2-bc·(a^2+b^2-c^2)/(ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(9-a-b^2)-c^2-bc·(a^2+b^2-c^2)/(ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(9-a-b^2)-c^2-bc·(a^2+b^2-(a^2+b^2-2ab)/(2ab))]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(9-a-b^2)-c^2-bc·(2ab)/(2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(9-a-b^2)-c^2-bc]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(9-a-b^2)-c^2-b(a^2+b^2-2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(9-a-b^2)-c^2-ba^2-b^3+2ab^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(9-a-b^2+2)-c^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(11-a-b^2)-c^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(11-a-b^2)-(a^2+b^2-2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(11-a-b^2)-a^2-b^2+2ab]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(13-a-b^2)-a^2-b^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(13-a-b^2)-(b^2+c^2-2bc·cosA)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(13-a-b^2)-(b^2+a^2-2ab·cosA)-2bc·cosA]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(13-a-b^2)-b^2-a^2+2ab·cosA-2bc·cosA]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(13-a-b^2)-b^2-a^2+2ab·(b^2+a^2-c^2)/(2ab)-2bc·(a^2+b^2-c^2)/(2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(13-a-b^2)-b^2-a^2+b^2+a^2-c^2-bc·(a^2+b^2-c^2)/(ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(13-a-b^2)-c^2-bc·(a^2+b^2-c^2)/(ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(13-a-b^2)-c^2-bc·(a^2+b^2-(a^2+b^2-2ab)/(2ab))]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(13-a-b^2)-c^2-bc·(2ab)/(2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(13-a-b^2)-c^2-bc]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(13-a-b^2)-c^2-b(a^2+b^2-2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(13-a-b^2)-c^2-ba^2-b^3+2ab^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(13-a-b^2+2)-c^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(15-a-b^2)-c^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(15-a-b^2)-(a^2+b^2-2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(15-a-b^2)-a^2-b^2+2ab]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(17-a-b^2)-a^2-b^2]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(17-a-b^2)-(b^2+c^2-2bc·cosA)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(17-a-b^2)-(b^2+a^2-2ab·cosA)-2bc·cosA]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(17-a-b^2)-b^2-a^2+2ab·cosA-2bc·cosA]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(17-a-b^2)-b^2-a^2+2ab·(b^2+a^2-c^2)/(2ab)-2bc·(a^2+b^2-c^2)/(2ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(17-a-b^2)-b^2-a^2+b^2+a^2-c^2-bc·(a^2+b^2-c^2)/(ab)]·sinC。所以，S△ABC=(1/2)·[ab(17-a