2023-2025年湖南中考数学试题分类汇编：方程（组）与不等式（组）解析版

►►►三年（2023-2025）中考真题分类汇编

专题06方程（组）与不等式（组）

考点（）1一次方程（组）

1.（2023•永州）关于x的一元一次方程2x+加=5的解为x=l，则机的值为（）

A.3B.・3C.7D.-7

【分析】根据方程的解的定义把x=l代入方程即可求出〃?的值.

【解答】解：・・"=1是关于x的一元一次方程2x+=5的解，

A2X1+〃？=5，

/n=3,

故选：A.

【点评】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟知：使方程左右两边相等的未知数的值是方程的

解.

2.（2023•益阳）某学校为进一步开展好劳动教育实践活动，用1580元购进A,8两种劳动工具共145件，

A，8两种劳动工具每件分别为10元，12元.设购买A,B两种劳动工具的件数分别为x,y,那么下面

列出的方程组中正确的是（）

（x+y=145

A'（10x4-12y=1580

fx-y=145

〔IO%+12y=1580

fx+y=145

（12x+lOy=1580

（x-y=145

（IZx+lUy=158U

【分析】利用总价=单价X数量，结合学校用1580元购进A,3两种劳动工具共145件，可列出关于x,

y的二元一次方程组，此题得解.

【解答】解：•・•购进A，B两种劳动工具共145件，

•\x+y=145；

•••4,8两种劳动工具每件分别为10元，12元.且购买这批劳动工具共花费1580元，

/.10xM2y=1580,

・•・根据题意可列出方程组]匕;158。

故选：故

【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解

题的关键.

3.（2023•衡阳）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足,

问鸡兔各几何.”

设有x只鸡，y只兔，依题意,可列方程组为()

产y=35(x+y=94

{4x+2y=946(4%+2y=35

(x+y=35

J12x+4y=94

【分析】根据今有鸡兔同笼，上有三十五头，可以得到x+y=35,再根据下有九十四足，可以得到2叶4》，

=94,然后即可得到相应的方程组.

【解答】解：由题意可得，

（X+y=35

[2x+4y=94'

故选：C.

【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组.

4.12025•长沙）衣服穿戴整不整齐，系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正道，要严格

遵守国家法律法规.同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则.

例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的.

命题：如果a,b,c为实数，且满足。+〃=一c.那么2=1.

推理过程如下：

第一步：根据上述命题条件有。+人=-。；①

第二步：根据七年级学过的整式运算法则有。=2a-〃/=2b-bc=2c-c；②

第三步：把②代入①，可得（2a-“）+3-/2）=-（2c-c）；③

第四步：把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等，变形可得2（〃+b+c）=（a+0+c）；④

第五步：把④两边同时除以5+人+c）,得2=1.⑤

请你判断上述推理过程中，第步是错误的，它违背了数学的基本法则.

【答案】五

【知识点】等式的性质2

【分析】本题考查了等式的性质，熟记相关结论即可.

【详解】解：•・•等式两边同时乘或除以同一个不为0的整式，或是等式左右两边同时乘方，等式仍然成

立.

工对于等式2("+"+°)=3"+c)；

当a+〃+c=()时，该等式恒成立；

当4+〃+c=(),两边同时除以仅+6+c),得2=1；

•/a+b=-c,

.・.a+b+c=O

・•・上述推理过程中，第五步是错误的；

故答案为：五.

5.(2024•长沙)为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为

在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,

4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字，先乘以10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘以10,

然后加上1978,最后减去参与者的出生年份(注：出生年份是一个四位数，比如201()年对应的四位数

是2010),得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年

份.若某位参与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是2009.

【分析】根据题意列出方程，再根据实际情况推理即可得解.

【解答】解：设这位参与者的出生年份乂选取的数字为〃?，

(lO/n+4.6)X10+1978-x=915

・・・100〃?+46+1978-x=915,

，工=1109+100〃?，

,・•此时中学生的出生时间应该在2000年后，

•e•/n-9,

/.x=2009.

故答案为：2009.

【点评】本题主要考查一元一次方程实际应用以及逻辑推理等知以，理解题意列出关系式进行推理是解

期关键.

辆数时用'‘收尾法"，而不是“四舍五入”.

考点02不等式与不等式组

1.(2024•湖南)在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x,y),若x,y均为整数，则称点P为“整点”，

特别地，当?(其中孙W0)的值为整数时，称“整点”P为“超整点”.已知点P(2〃-4,〃+3)在第

二象限，下列说法正确的是()

A.a<-3

B.若点。为“整点”，则点P的个数为3个

C.若点。为“超整点”，则点P的个数为1个

D.若点。为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和大于10

【分析】根据点P(2a-4,〃+3)在第二象限得2a-4<0,〃+3>0,解得-3<。<2,由此可对选项A

进行判断；根据“整点”定义得。=-2,-1,0,1,进而得当〃=-2时，点尸(-8,1)；当〃=-I

时，点尸(-6,2)；当。=0时，点P(-4,3)；当。=1时，点P(-2,4),由此可对选项B进

行判断：根据“超整点”的定义得：当。=1时，点P(-2,4)是“超整点”，由此可对选项C进行判

断：根据当点P为“超整点”，则点尸到两坐标轴的距离之和为6可对选项。进行判断，综上所述即可

得出答案.

【解答】解：•・•点］(2。-4,4+3)在第二象限，

'2a-4<0

解得：-3<〃V2,

。+3>0

故选项A不正确，不符合题意；

•・•点P(2a-4,。+3)为“整点”，

工。为整数，

又丁-3V〃V2,

：,a=-2,-1,0,I,

当a=-2时，2a-4=-8,a-3=1,此时点P(-8,1)；

当〃=-1时，2«-4=-6,4-3=2,此时点P(-6,2)；

当。=0时，2a-4=-4,4+3=3,此时点P(-4,3)；

当。=1时，2a-4=-2,«+3=4,此时点尸(-2,4)：

・,・“整点”。的个数是4个，

故选项8不正确，不符合题意；

根据''超整点"的定义得：当。=1时，点尸（-2,4）是“超整点”，

:•点、P为“超整点”，则点。的个数为1个，

故选项。正确，符合题意：

当点。为“超整点”，则点P到两坐标轴的距离之和为：52|+|4|=6,

故选项。不正确，不符合题意.

故选：C.

【点评】此题主要考查了点的坐标，一元一次不等式组的应用，理解点的坐标，“整点”及“超整点”

的定义，熟练掌握解一元一次不等式组的方法与技巧是解决问题的关键.

2.（2023•长沙）不等式组［2*+4>°的解集在数轴上表示正确的是（）

-1<0

J1LII

A.-2-101B.-2-101

F111A——।——।-----

C.-2-101D.-2-101

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式外的解集表示

在数轴上即可.

【解答】解：由2竹4>0得x>-2,

由x-1W0得xWl,

解集在数轴上表示为：

则不等式组的解集为-2VxWl.

故选：A.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上

表示出来（>,2向右画；V,W向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表

示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几个.在表示解集

时“2”，“W”要用实心圆点表示；“V”，要用空心圆点表示.

3.（2023•娄底）不等式组厂"+3<5的解集在数轴上表示正确的是（）

（2%-2<0

A.-2-10I2

-O---1----1-------L

B.-2-1012

-d------1-------1--------------

C.-2-1012

_।——।I~~»A

D.-2-10I2

【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答.

r+3<5①

【解答】解:

2x-2<0②‘

解不等式①得：x>-2,

解不等式②得：xWl,

・••原不等式组的解集为：-2VxWl,

・••该不等式组的解集在数轴上表示如图所示:

-0------1-------1--------------

-2-1012

故选：C.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组

的步骤是解题的关键.

4.（2023•郴州）一元一次不等式组｛：；：：：的解集在数轴上表示正确的是（）

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小

无解了确定不等式组的解集.

【解答】解：解不等式3-x20,得：xW3,

解不等式x+l>0,得：x>・1,

则不等式组的解集为-1VXW3,

故选：C.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同

小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.

5.（2023•益阳）将不等式组卜>°的解集在数轴上表示，正确的是（）

（X-2<0

C.-2-101MD.-2-1012X

【分析】先求出不等式组中每•个小等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把小等式的解集表不在

数轴上即可.

【解答】解：由工=2W0得xW2,又Q0,

则不等式组的解集为（）VxW2.

A项代表0Wx<2；

B项代表0<启2；

C代表xVO且x22；

D代表£>0.

故选:B.

【点评】本题主要考查解不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来，解题的关键是注意>,2

向右画；V,W向左画；同时还要注意“2”，“W”要用实心圆点表示；“V”，“>”要用空心圆

B.-2-101

【分析】分别求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可.

【解答】解：卜

{-2x<4@

由①得，xV1,

由②得，-2,

在数轴上表示为：

-2-101

故选：A.

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找：大大小小

找不到”的原则是解答此题的关键.

（V-1<2

7.（2023•湘西州）不等式组的解集在数轴上表示正询的是（）

（1-x<4

_।----Ji;।।।!二—>

A.-4-3-2-10I234

।Xi।।।iik।.

B.-4-3-2-101234

C.-4-3-2-101234

11i।।।।।,

D-4-3-2-101234

【分析】分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可.

【解答】解：由x-1V2,得：x<3；

由1-xV4,得：x>-3；

・•・不等式组的解集为：-3Vx<3；

I2K11tliI

在数轴上表示如下：一4—3-2-101234

故选：A.

【点评】本题考查求不等式组的解集，并在数轴上表示出解集.解题的关键是正确的求出每一个不等式

的解集.

8.(2023•常德)不等式组二■JU”的解集是，)

A.x<5B.0V5C.-l<x<5D.xW-1

【分析】先解出每个不等式的解集，即可得到不等式组的解集.

%-3<2①

【解答】解:

,3x+1>2x②‘

解不等式①，得：x<5,

解不等式②，得：-1,

・•・该不等式组的解集是-1«5,

故选：C.

【点评】本题考查解一元-一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法.

9.[2025•湖南)已知，a,b,c是VA3C的三条边长，记，=(7)+(£)，其中忆为整数.

(1)若三角形为等边三角形，则/=；

(2)下列结论正确的是(写出所有正确的结论)

①若k=2,r=l,则V4AC为直第三角形

②若左=1,〃=gb+2,c=l,则

③若攵=1,Kg,〃，b,。为三个连续整数，且av〃vc,则满足条件的VA8C的个数为7

【答案】2①②/②①

【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用、等边三角形的性质、利用勾股定理的逆定理求

蟀

【分析】本题主要考杳了勾股定理的逆定理，解一元一次不等式组，三角形三边的关系，等边三角形的

性质等等，熟知相关知识是解题的关键.

(1)根据等边三角形的性质可得据此求解即可;

,,,a=—b+2

（2）当％=2,，=1时，可证明G+"=广，由勾股定理的逆定理可判断①；当％=1,2,c=\

i]

\-b+2-b<\b--b-2<\

j22

t=-b+2[-b+2>b—1/,?+c2</，?

时，可得2；当。2力时，可得】2,当avb时，可得2，则可求出2<〃<6,

a+b,,5

t=------a+b<—c

据此求出l的取值范围即可判断②；当左=1时，则。，则可得到3；根据题意不妨设c=〃+2,

则剩下两个数分别为几，?+1（n为正整数），则可得3'\解不等式组求出整数n

即可判断③.

【详解】解：（I）:。，力，c•是V/1BC的三条边长，jlV/IBC是等边三角形,

：.a=b=c.

=1*4-1*

=1+1

=2,

故答案为；2；

t=-+-

(2)①当攵=2,，=1时，1

.a2=c2,

・・・VA3c为直角三角形，故①壬确;

a=—b+2

②当A=l,2,c=l时，

112

当〃时，

,/a-b<ct

-b+2-b<\

2

-h+2>b

•・•12

;<2</?<4.

当。<〃时，

•/b-a<cf

b--b-2<\

2

-b+2<b

•-•12

.・.4<b<6,

•*2<<6.*

3,c

t=-b+2

•・・2,

・・・t随b的增大而增大,

当力=2时，f=5,

当。=6时，'=11,

故②正确；

raY（力丫a+b

t=—+—=------

③当％=1时，则VcJc,

//

*/3,

a+b5

----<一

・・•C-3,

a+b<-c

・・・3；

•・・a、b、c是三个相邻的正整数，

.・・不妨设c=〃+2,则剩下两个数分别为〃，〃+l（n为正整数），

c<a+b<-c

・・•3,

〃+2<〃+〃+l<—（7?+2）

3,

解得

・•・符合题意的n的值有2、3、4、5、6、7,共6个，

・•・符合题意的a、b、c的取值一共有6组，

・•・满足条件的VA3C的个数为6,故③错误；

故答案为：①②.

1

10.（2023•株洲）关于x的不等式1〉0的解集为.r>2.

【分析】根据一元一次不等式的解法，即可得出答案.

【解答】解：V1>0,

移项，得：|x>l,

系数化1,得x>2.

故答案为：x>2.

【点评】此题主要考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握不等式的性质是解题关键.

l+2x>A-6,

11.（2025•长沙）解不等式组：［八0

4x<3x+2.

【答案】-7<XW2

【知识点】求不等式组的解集

【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同

小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集.

1+2x>x-6①

【详解】解：|4x43x+2②

解不等式①，得x>-7.

悔不等式②，得XW2.

・・・不等式组的解集为-7vxW2.

,2x+1>%+3①

12.（2023•岳阳）解不等式组:

2x-4<x（2）

【分析】利用解一元•次不等式组的方法进行求解即可.

'2x+l>x+3©

【解答】解:

.2%-4<x(2)

解不等式①得：x>2,

解不等式②得：x<4,

故不等式组的解集为：2<x<4.

【点评】本题主要考查解一元一次不等式组，解答的关键是熟练掌握解一.元一次不等式组的方法.

13.(2023•湘潭)解不等式组：-144°⑦并把它的解集在数轴上表示出来.

(2(x+3)>x+4@

-5-4-3-2-I012345

【分析】先解不等式组求得其解集，然后在数轴上表示其解集即可.

14<0®

【解答】解:

,2(x+3)>x+4@，

由①得7xW14,

则xW2,

由②得2x+6>.r+4,

则x>-2,

故原不等式组的解集为：・2VxW2,

在数轴上表示其解集如下：

-5-4-3-2-I012345

【点评】本题考查在数轴上表示一元一次不等式组的解集，正确解不等式组求得其解集是解题的关键.

14.(2023•衡阳)解不等式组：仔一4①

(.2(x+l)<3x@

【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答.

x-4<0(V

【解答】解:

2(x+1)<3x(2)f

解不等式①得：xW4,

解不等式②得：x>2,

・,•原不等式组的解集为：2VxW4.

【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键.

2x-2>0

15.（2023•永州）解关于x的不等式组:

,3(x-l)-7<-2x

【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可.

【解答】解：解不等式2_v-2>0得，x>\,

解不等式3（x7）-7V-2x得，x<2,

所以不等式组的解集为1VXV2.

【点评】本题主要考查了解一元一次不等式组，掌握求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大

小小大中间找，大大小小找不到（无解）是解题的关键.

16.（2025•湖南）同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A,9两种香料.已知A种材料的单价比

B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件8种材料的费用相等.

（1）求A种材料和8种材料的单价：

（2）若需购买A种材料和3种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？

【答案】（1）A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；

12）最多能购买A种材料20件.

【知识点】销售、利润问题（二元一次方程组的应用）、用一元一次不等式解决实际问题

【分析】本题主要考查二元一•次方程组的应用、一元一次不等式的应用.

（1）设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；

（2）设最多可以购买A种材粒m件，则购买8种材料（5°一〃。件，根据题意列出不等式求解即可.

【详解】（1）解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元，

x-y=3

依题意4x=6y

卜=9

蟀得L=6,

答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元；

（2）解：设最多可以购买A种材料m件，则购买8种材料（5°一〃）件,

+6(50-4360

依题意得:

解得，后20.

的最大值为20.

答：最多能购买A种材料20件.

17.（2025•长沙）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精和工转变.根

据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A,B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A

等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收

入68元.（不考虑加工损耗）

（1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售:单价分别为多少元？

（2）若该食品企业以每千克8元购进6000千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16000元，

则至少需加工A等级农产品多少「克？

【答案】（1）A等级农产品每千克销售单价为12元，B等级农产品每千克销售单价为1。元

12）要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品2000千克

【知识点】销售、利润问题（二元一次方程组的应用）、用一元一次不等式解决实际问题

【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意即可.

（1）设A等级农产品每千克俏售单价为x元，B等级农产品每千克销售单价为y元，由题意得

6x+4y=112,

4x+2y=68.即可求解;

（2）设需加工A等级农产品，〃千克，则需加工B等级农产品I6000-'“）千克，由题意得

（12-8>〃+（10—8）（6000—〃?）216000即可求解；

【详解】（1）解：设A等级农产品每千克销售单价为x元，B等级农产品每千克销售单价为）'元，

6x+4y=112,卜=12,

由题意得i4工+2尸68.解得b=io.

答：A等级农产品每千克销售单价为12元，B等级农产品每千克销售单价为1。元.

（2）解：设需加工A等级农产品〃1千克，则需加工B等级农产品（G000-"）千克，

由题意得（12-8）〃?+（10-8）（6000_〃7）216000

解得〃后2mo,

答：要求总利润不低于16000元，则至少需加工A等级农产品2000千克.

18.（2024•长沙）刺绣是我国民间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巳黎奥运会倒

计时50天之际，某国际旅游公司计划购买4、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件A

种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A和湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200

元.

（1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？

（2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么

最多能购买A种湘绣作品多少件？

【分析】（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件4种湘绣作

品与2件8种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件8种湘绣作品共需要1200元”，

可列出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购买4种湘绣作品机件・，则购买4种湘绣作品（200-机）件，利用总价=单价X数量，结合总

价不超过50（X）0元，可列出关于〃?的一元一次不等式，解之双其中的最大值，即可得出结论.

【解答】解：（1）设八种湘绣作品的单价为工元,B种湘绣作品的单价为y元.

根据题意得：爆鹭=7乳0,

解得:

答：4种湘绣作品的单价为300元，8种湘绣作品的单价为20（）元；

（2）设购买A种湘绣作品机件，则购买8种湘绣作品（200-6）件，

根据题意得：300^+200（200-m）<50000,

解得:mW100,

・•・加的最大值为100.

答：最多能购买100件A种湘绣作品.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量

关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

19.（2024•湖南）某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增攻致富.已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金

贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元.

（1）求脐橙树苗和黄金贞柚树苗的单价；

（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙

树苗多少棵？

【分析】（1）设脐橙树苗的单价为工元，黄金贡柚树苗的单价为y元，根据购买1棵脐橙树苗和2棵黄

金贡柚树苗共需110元：购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元.列出二元一次方程组，解

方程组即可；

（2）设可以购买脐橙树苗加棵，则购买黄金贡柚树苗（lOOO-w）棵，根据总费用不超过38000元,列

出一元一次不等式，解不等式即可.

【解答】解：（1）设脐橙树苗的单价为x元，黄金贡柚树苗的单价为‘，元，

由题意得：酋x==i；靠，

解得:

答：脐橙树苗的单价为50元，黄金贡柚树苗的单价为30元；

（2）设可以购买脐橙树苗m棵,则购买黄金贡柚树苗（1000・加）棵，

由题意得:50m+30（1000-m）W38000,

解得：mW400,

答：最多可以购买脐橙树苗400棵.

【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找出数量

关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式.

20.（2023•娄底）为落实“五育并举”，绿化美化环境，学校在劳动周组织学生到校园周边种植甲、乙两

种树苗，已知购买甲种树苗3棵，乙种树苗2棵共需12元；购买甲种树苗I棵，乙种树苗3棵共需II

7L.

（1）求每棵甲、乙树苗的价格；

（2）本次活动共种植了200棵甲、乙树苗，假设所种的树苗若干年后全部长成了参天大树，并且平均每

棵树的价值（含生态价值、经济价值等）均为原来树苗价的100倍，要想获得不低于5万元的价值，请

问乙种树苗种植数量不得少于多少棵？

【分析】（1）设甲种树苗的价格为文元/棵，乙种树苗的价格为），元/棵，根据“购买甲种树苗3棵，乙

种树苗2棵共需12元；购买用种树苗I棵，乙种树苗3棵共需11元”，可列出关于My的二元一次方

程组，解之即可得出结论；

（2）设种植乙种树苗〃［棵，则种植甲种树苗（200-/H）棵，根据要获得不低于5万元的价值，可列出

关于〃?的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论.

【解答】解：（1）设甲种树苗的价格为x元/棵，乙种树苗的价格为），元/棵，

根据题意得：层V3r=］：2,

解得:C：3-

答：甲种树苗的价格为2元/棵，乙种树苗的价格为3元/棵；

（2）设种植乙种树苗二棵,则种植甲种树苗（200-m）棵,

根据题意得:2X100（200-m）+3X100m>50000,

解得：机2100,

・・・切的最小值为100.

答：乙种树苗种植数量不得少于100棵.

【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量

关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

21.（2023•怀化）某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座

位；若租用可坐乘客60人的，种客车，则可少租6辆，且恰好坐满.

（1）求原计划租用A种客车多少辆？这次研学去了多少人？

（2）若该校计划和用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，口每人都有座位，则有哪儿

种租车方案？

（3）在（2）的条件下，若A种客车租金为每辆220元，B种客车租金每辆300元，应该怎样租车才最

合算？

【分析】（1）设原计划租用A种客车上•辆，则这次研学去了（451+30）人，根据这次去研学的人数不变，

可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）设租用“种客车），辆，则租用A种客车（25-y）柄，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于

120（）人，且租用的8种客车不超过7辆”，可得出关于y的一元一次不等式组，解之可得出），的取值范

围，再结合），为正整数，即可得出各租车方案；

（3）利用总租金=每辆A种客车的租金又租用A种客车的辆数+每辆8种客车的租金X租用B种客车的

辆数，可分别求出选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论.

【解答】解：（1）设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了（45A-+30）人，

根据题意得：45A+30-60（x-6）,

解得：x=26,

.,.45x+30=45X26+30=1200.

答：原计划租用A种客车26辆，这次研学去了1200人；

（2）设租用8种客车），辆，则租用A种客车（25-），）辆，

根据题意得:鬻r）+60y“2。。.

解得：5W,W7,

又•・•丁为正整数，

可以为5,6,7,

・•・该学校共有3种租车方案，

方案1：租用5辆B种客车，20辆人种客车；

方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车；

方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车；

（3）选择方案1的总租金为300X5+220X20=5900（元）：

选择方案2的总租金为300X>220X19=5980（元）：

选择方案3的总租金为300X7+220X18=6060（元）.

V5900<5980<6060,

工和用5辆8种客车，20辆A种客车最合算.

【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有埋数的混合运算，解题的关

键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次

方程，（3）根据各数量之间的关系，求出选择各方案所需总租金.

22.（2023•邵阳）低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深.“低碳环保，

绿色出行”成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行.某公司销化:甲、乙两种型号的自行车，其中

甲型白行车进货价格为每台5（X）元，乙型白行车进货价格为每台800元.该公司销售3台甲型白行车和

2台乙型自行车，可获利650元，销售I台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利350元.

（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？

（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过13000元，最

少需要购买甲型自行车多少台？

【分析】（1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是4元，一台乙型自行车的利润是），元，根据该公司

销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利650元，销售1台甲型自行车和2台乙型自行车，可获

利350元.列出二元一次方程组，解方程组即可；

（2）需要购买甲型自行车机台，则需要购买乙型自行车（20-加）台，根据资金不超过13000元，列出

一元一次不等式，解不等式即可.

【解答】解：（1）设该公司销售一台甲型自行车的利润是大元，一台乙型自行车的利润是y元，

由题意得：｛肥篇餐

解得:{;:《

答：该公司销售一台甲型自行车的利润是150元，一台乙型自行车的利润是100元；

（2）需要购买甲型自行车阳台，则需要购买乙型自行车（20-,〃）台，

由题意得：500m+800（20-in）W13000,

解得：m210,

答：最少需要购买甲型自行车10台.

【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（】）找准等量

关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式.

23.（2023•长沙）为提升学生身体素质，落实教育部门“在校学生每天锻炼时间不少于1小时”的文件精

神.某校利用课后服务时间，在八年级开展“体育赋能，助力成长”班级篮球赛，共16个班级参加.

（1）比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一-场积3分，负一场积1分.某班级在15场比赛中获

得总枳分为41分，问该班级胜负场数分别是多少？

（2）投篮得分规则：在3分线外投篮，投中一球可得3分，在3分线内（含3分线）投篮，投中一球可

得2分，某班级在其中一场比赛中，共投中26个球（只有2分球和3分球），所得总分不少于56分，

问该班级这场比赛中至少投中了多少个3分球？

【分析】（1）设胜了x场，负了y场，根据15场比赛中获得总积分为41分可列方程组，求解即可.

（2）设班级这场比赛中投中了〃?个3分球，则投中了（26-加）个2分球，根据所得总分不少于56分,

列出相应的不等式，从而可以求出答案.

【解答】解：（I）设胜了x场，负了），场，

根据题意得：苣;11"

解得忧;3,

答：该班级胜负场数分别是13场和2场：

<2）设班级这场比赛中投中了，〃个3分球，则投中了（26-/〃）个2分球，

根据题意得：3m+2（26-m）256,

解得〃i24,

答：该班级这场比赛中至少投中了4个3分球.

【点评】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出

相应的方程组和不等式.

考点03分式方程

12

1.（2025•湖南）将分式方程上=,去分母后得到的整式方程为（）

xx+1

A.x+i=2xB.x+2=lC.1=2xD.x=2（x+1）

【答案】A

【知识点】解分式方程（化为一元一次）

【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程

求解.

将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程.

_2

【详解】解：％一工+1.

方程两边同时乘以“（X+1），得：八十1=2人.

故选：A.

31

2.（2023•株洲）将关于x的分式方程丁=—;去分母可得（)

2xx-1

A.3x-3=2xB.3x-1=2xC.3x-1=xD.3x-3=x

【分析】方程两边同乘2A■a-1）,然后整理即可判断哪个选项符合题意.

【解答】解《

去分母，得：3（x-I）=2x,

整理，得：3x-3=2x,

故选：A.

【点评】本题考查解分式方程，解答本题的关键是找出最简公分母.

3.（2023•湘潭）某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米.师生乘大巴车前往，

某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的1.2倍前往，结果同时到达.设大巴车

的平均速度为x千米/时，则可列方程为（）

505015050

A.—=+-B.+10=

X1.2x6X1.2x

505050150

C.—=+1()D.—+-=

X1.2%X61.2x

【分析】设大巴车的平均速度为工千米/时，则小车的平均速度为12t千米/时，根据题意列出方程即可.

【解答】解：设大巴车的平均速度为工T・米/时，则小车的平均速度为1.2A■千•米/时，

50501

根据题意可得：-=—+

X1.2X6

故选：A.

【点评】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题关键关键是分析题意找出相等关系.

4.（2023•张家界）《四元玉鉴》是我国古代的一部数学著作.该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯

二百一十钱，倩人去买几株椽,每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”，大意是：现请人代买一批椽，这

枇椽的总售价为6210文.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于•株

椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文购买椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）

A.3G7)=警B.3(x-1)=6210

x-1

6210

C.3(1)=等D.----=3x

x-1

【分析】设621。元购买椽的数量为“株，根据单价=总价+数量，求出一株椽的价钱为等，再根据

少拿一株椽后剩卜的椽的运费恰好等十一株椽的价钱，即可列出分式方程，得到答案.

【解答】解•：设6210文购买橡的数量为x株，则一株椽的价钱为名

x

由题意得：3（x-I）=跆，

故选：C.

【点评】本题考查了从实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找出等量关系是解题关键.

5.（2023•郴州）小王从4地开车去“地，两地相距240Mz.原计划平均速度为x&〃?〃?，实际平均速度提

高了50%,结果提前1小时到达.由此可建立方程为（