21.3二次函数与一元二次方程（4知识点+5题型+强化训练）学生版

21.3二次函数与一元二次方程课程标准学习目标知道二次函数和一元二次方程之间的关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。课时1：①体会方程与函数之间的联系：②理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，会判断何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根；③理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标的关系，会运用二次函数解一元二次不等式。※课时2：由二次函数的图象认识一元二次不等式的解集知识点01y=ax2+bx+c与x轴交点的个数与ax2+bx+c=0根的个数之间的关系一元二次方程ax2+bx+c=0的解是其对应的二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的交点坐标。利用判别式可以判断二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴是否有交点：当>0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点。y=ax2+bx+c(a≠0)图象a>0a<0取y=0，ax2+bx+c=0：两个交点：一个交点：无交点存在实数根x1<x2存在实数根x1=x2不存在实数根提示：根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的位置，可以判断ax2+bx+c=0的近似解。【即学即练1】若二次函数与x轴有两个交点，则k的取值范围是．【即学即练2】因为方程的根是，，所以抛物线与轴的公共点坐标是和．【即学即练3】抛物线图象如图所示，求解一元二次方程的根为；

【即学即练4】（22-23九年级上·山东东营·期末）如图，已知抛物线的图象与轴交于、两点，其中点坐标，对称轴为，则一元二次方程的解为．

知识点02二次函数与y=m(m是实数)交点的情况与一元二次方程的关系一元二次方程ax2+bx+c=h的根是二次函数y=ax2+bx+c与y=h(h是实数)交点的横坐标【即学即练5】抛物线图象如图所示，求解一元二次方程．

（1）方程的根为；（2）方程的根为；知识点03二次函数与y=kx+b(k≠0，k、b是实数)交点的情况与一元二次方程的关系y=ax2+bx+c(a≠0)与y=kx+b(k≠0)图象的交点情况图象令y值相等，ax2+bx+c=kx+b：两个交点：一个交点：无交点存在实数根x1<x2存在实数根x1=x2不存在实数根【即学即练6】如图，抛物线y＝ax2与直线y＝bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B(1，3)，则方程ax2﹣bx﹣c＝0的解是．【即学即练7】（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，则关于的方程的解为．

※知识点04二次函数y=ax2+bx+c与一元二次不等式的关系y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点有两个交点x1<x2有1个交点x1=x2=x0没有交点a>0，

不等式y＞0和y＜0的解y＞0，x<x1或x>x2y＜0，x1<x<x2y＞0，x0之外所有实数y＜0，无实数解y＞0，所有实数y＜0，无实数解a<0，不等式y＞0和y＜0的解y＞0，x1<x<x2y＜0，x<x1或x>x2y＞0，无实数解y＜0，x0之外所有实数y＞0，无实数解y＜0，所有实数【即学即练8】（22-23九年级上·江苏宿迁·期末）已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是．

【即学即练9】阅读材料，解答问题：例：用图象法解一元二次不等式：．解：设，则是的二次函数．抛物线开口向上．又当时，，解得．由此得抛物线的大致图象如图所示．

观察函数图象可知：当或时，．的解集是：或．（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：．运用方程的思想抛物线与直线的交点坐标问题：（1）表示抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与直线y=kx+b(k≠0)的交点坐标：先令ax2+bx+c=kx+b，求交点的横坐标；再代入直线，求交点的纵坐标.（2）表示抛物线与直线的截线长：先求抛物线与直线的交点坐标案例：在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于、两点，与直线交于点、．表示AB的长：设，令y=0，，利用跟与系数的关系得，AB=；表示BC的长：设，令，得，，∴，BC=（3）表示抛物线与直线的截线段之间的等量关系（含参问题中即可转化为绝对值方程进行解题）：题干中出现全等三角形、平行四边形等隐含对应边相等或对边相等的条件。先求出交点坐标，再利用对边相等建立方程解题设点，则点的坐标为，．轴，，轴，关于直线对称，点的横坐标为，．，．分两种情况：（i），解得或；（ii），解得或设点，则点的坐标为，．轴，，轴，关于直线对称，点的横坐标为，．，．分两种情况：（i），解得或；（ii），解得或．综上所述，点的横坐标为2或或或．（4）表示出相关图形的面积（含参问题中即可转化为绝对值方程进行解题）①表示交点坐标；②表示截线长；③表示出三角形或四边形的面积。提示：在二次函数与图形的综合问题中，涉及到动点问题，需要设动点的横坐标为m，将横坐标代入到二次函数表示纵坐标来解题。【题型一：求抛物线与x轴的交点坐标】例1．（22-23九年级上·陕西西安·期中）如果抛物线与轴的一个交点为，那么与轴的另一个交点的坐标是．变式1.（23-24九年级上·安徽安庆·期末）规定：对于二次函数，我们把它的图象与轴交点的横坐标称为二次函数的零点．已知二次函数只有一个零点且图象开口向下，则该零点是（

）A． B． C．3 D．或3【解题技巧与方法】·根据判别式确定零点的情况·已知抛物线与x轴的一个交点求另一个交点：①利用二次函数的性质找出抛物线的对称轴，再利用对称性即可找出抛物线与x轴的另一交点坐标；②利用根与系数的关系。【题型二：函数图象法确定一元二次方程的根】例2．已知二次函数中x和y的值如下表所示：x0.100.110.120.130.14y0.91.8若其图象的对称轴为直线，则的较大的根的范围是（

）A． B．C． D．变式2-1．已知二次函数中x和y的值如下表所示，根据表格估计一元二次方程的一个解的范围是（

）xA． B． C． D．【技巧方法与总结】观察表中数据找到方程最接近0时x的取值范围，利用“夹逼”思想求一元二次方程的近似解变式2-2．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，，则方程的解是．【技巧方法与总结】利用二次函数与直线的图象求方程的解：两个函数图象的交点的横坐标。比如：方程的解，是抛物线（a≠0）与直线（b≠0）的两个交点的横坐标。【题型三：根据抛物线与x轴的交点情况求参数范围】例3．（2023·山东东营·二模）关于的函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是．变式3．已知在平面直角坐标系中有两点，抛物线与线段有且只有一个交点，则k的取值范围是．【方法技巧与总结】①利用二次函数与一元二次方程根的关系，结合判别式定理列不等式（组）求参数范围；②利用数形结合分析图象，必要时根据交点的位置进行分类讨论。【题型四：求抛物线与直线的交点坐标和截线长】例4.如图，在中，轴，轴，点A在抛物线上，点在轴正半轴上，点在抛物线上，过点A平行于轴的直线交抛物线于点，交抛物线于点，则的值为．变式4.（22-23九年级上·广东广州·期末）已知抛物线的顶点坐标是，图象与x轴交于点和点C，且点B在点C的左侧，那么线段的长是．（请用含字母m的代数式表示）例5．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，抛物线的对称轴与x轴交于点M．问题：矩形ADEF的边AF在x轴负半轴上，边AD在第二象限，，，将矩形ADEF沿x轴正方向平移得到矩形，直线与直线分别交抛物线于点G、H．在平移过程中，是否存在以点、、G、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出平移距离；若不存在，请说明理由．例6.（2024·安徽合肥·二模）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，顶点为D，直线与抛物线交于点是线段的中点．(1)求抛物线的解析式．(2)若点E的横坐标是，求点M的坐标．(3)若，求四边形的面积的最小值．【方法技巧与总结】根据点的坐标表示线段的长，然后建立方程求解。【题型五：含绝对值的二次函数与一元二次方程的关系综合问题】例7．（2024·山东青岛·一模）小明、小红和小亮三位同学对问题“关于的方程有实数根，求实数的取值范围”提出了自己的解题思路：［辨析与解答]小明说：“只需分类讨论，将方程中的绝对值去掉，讨论关于的一元二次方程根的情况．”小红说：“用函数思想，设，只须在的取值范围内．”小亮说：“可以数形结合，把方程两边分别看成关于的函数，利用函数图像解决．”结合上述解题思路综合考量，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即实数的取值范围是______．请写出你的解题过程．［应用与拓展]（1）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______．（2）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______．变式7.已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是．【方法技巧与总结】①的图象：由的图象沿y轴右翻左，右侧不变得到，②的图象：由的图象沿x轴下翻上得到。例：①； ②一、选择题1．一元二次方程的根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（

）A．和 B．和C．和 D．和2．根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（

）A． B．C． D．3．（23-24九年级上·安徽芜湖·期中）如图，抛物线的一部分经过点，且其对称轴是直线，则一元二次方程的根是（

）A． B．，C．， D．，4．（23-24九年级上·广东东莞·期中）二次函数的图像过点，方程的解为（）A． B．C． D．5．（22-23九年级上·安徽合肥·期中）已知二次函数（），当和时，函数值相等，则的值为（

）A．4 B．2 C． D．6．若关于x的一元二次方程（t为实数），在的范围内有解，则t的取值范围是（

）．A． B． C． D．二、填空题7．（22-23九年级上·江苏镇江·期末）已知函数，当时，函数值等于5．8．（23-24九年级上·云南昆明·期末）抛物线与轴只有一个交点，则．9．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，则关于的方程的解是．10．（22-23九年级上·湖北宜昌·期中）抛物线的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为，对称轴为，则方程的两个根是．

11．如图，二次函数的图象交轴于A、两点，交轴于点，的面积为．

三、解答题12.（22-23九年级上·江苏淮安·期中）小明在画一个二次函数的图像时，列出了下面几组x与y的对应值．0123430(1)求该二次函数的表达式；(2)当时，x的值为；(3)该二次函数图像与直线有两个交点A、B，若时，n的取值范围为．13．（22-23九年级上·河南南阳·期末）根据二次函数和一元二次方程、一元二次不等式的关系解答如下问题：(1)由一元二次方程的两根为____________，可知二次函数与轴两个交点的坐标为____________；(2)用配方法将二次函数化成的形式；(3)由以上信息，并结合该二次函数图像可知：该函数图像的对称轴是______，顶点坐标是______，不等式的解集是______．1．（2023·山东青岛·二模）如图，抛物线与轴交于点，顶点坐标，与轴的交点在，之间（包含端点），则下列结论：；；对于任意实数，总成立；关于的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论为（只填序号）2．（2023·四川南充·二模）如图，平移抛物线，使顶点在线段上运动，与x