2025-2026学年上海市mou 中学高二年级上册质量检测一数学试卷（含答案）

2025-2026学年上海市市北中学高二上学期质量检测一

数学试卷

一、选择题：本大题共有4题，满分18分，第1、2题每题4分，第3、4题每题5分。

1.如图，空间四边形4BCD四边相等，顺次连接各边中点E,F,G,H,则四边形EFGH一定是（）

A.菱形B.正方形C.矩形D.空间四边形

2.已知S是正方形48CD所在平面外一点，连接S4,SB,SC,SD,AC,BD,则在所有的10条直线中，异

面直线共有（）

A.8对B.10对C.12对D.14对

3.如图，长方体ABCO-AiBiGDi中，功力5=45。，zCZ）G=30\那么异面直线人为与0Q所成角的余

弦值是

•苧g

cD.T

4.若干个能确定•个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”.已知长方体ABC。-4/IGDI，下

列四组量中，一定能成为该长方体的“基本量”的是（）

A.4B1，AC,力。1的长度BMC,BQ41c的长度

C.BCCD,CD的长度D.4Q,BD,CG的长度

二、填空题：本题共12题，第570题每题4分，第1176题，每题5分，共54分。

5.空间中已知直线a,直线从直线c,若直线a〃直线比直线a与直线c异面，则直线b与直线c的位置关系

是.

6.空间四边形中，E,尸分别在边4D,CO上，且满足普=蓼，则直线E尸与平面ABC的位置关系

EAPC

是.

7.在正方体ABCD-48解1。1中，二面角4一8C的大小是.

第1页，共9页

8.如图所示，ABCD-AB，C'D'是长方体，其中48=2,4。=44=1,点E是棱C'D'上一点，若异面直

线与DE互相垂直，则D'E=.

9.如图，在棱长为2的正方体＜BCD—&BiGZ）i中，E是40的中点，『是8丛的中点，则直线EF与平面

10.三条直线两两相交可以确定个平面.

11.已知机,九是空间的两条不同有线.a,"是两个不同的平而，下列四个命题中直命题的编号是.

①.mJLa,n〃S，a〃£,则m_L九②.m1a,m1.n,a//p,则n〃/?

③.7711a〃夕，则九_L夕④.m1a,m//n,a//p,则几_L夕

12.如图，在A48C中，点P在△H8C所在平面外，点。是P在平面48c上的射影且点。在△48C的内部.若

P至1|△ABC三边的距离相等，那么。是AABC的

13.在长方体A8CD-4181cmi中，4B=BC=2,CC,=2/2,E为CG的中点，则直线力的与平面8ED的

距离为.

14.如图是正方体平面展开图，在这个正方体中：（1）8M〃£Z）：（2）CN和BE是异面直线；（3）CN和BM成60。

角；（4）0M_L8N；以上四个命中正确的序号是：

15.如图，在正方体—中，M、N、P分别是86、D4和力B的中点，则下列关系:

第2页，共9页

①8M1AB：

②3M〃平面4产G；

③3M1GP；

④BiNl平面力/G，

正确的编号为.

16.一斜坡的坡面与水平面所成的二面角大小为30。，斜坡有一直道，它和坡脚水平线成60。角，沿这条直

道向上100米后，升高了米.

三、解答题：本题共5小题，共78分°解答防写出文字说明，讦明过程或演算步骤.

17.(本小题13分)

在正方体488-4%。1。］中,求：

(D二面角C-D］BLG的大小

(2)点M在棱CD上，若4M与平面&GC8所成角的正弦值为穿，判断点M位置并说明理由

18.(本小题15分)

如图，在正方体ABCD-AiBiGD］中，

(1)证明:BiHl&Q：

(2)证明：为。1平面力］8。1；

(3)若正方体的棱长为1,求点当到平面的距离.

第3页，共9页

19.(本小题16分)

四边形ABC。为直角梯形，AB/\\/CD,LADC=90。,P。=CD=2AD=2AB=2.

(1)求异面直线AB与PC所成角的大小;

(2)求二面角8-PC-。的余弦值.

20.(本小题17分)

我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍(cH)薨者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也

薨，窟盖也。”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍薨的字面意思为茅草屋顶

.，，现有一个“刍薨”如图所示.四边形为正方形,四边形//?口?、CD/年为两个全等的等腰梯形.

EF!/AB,AB=4,EF=2,EA=ED=FB=FC=/17.

(1)设过点F且与直线EF垂直的平面为平面a，且平面a与直线48、CO分别交于P、Q两点，求“FPQ的周

长:

(2)点N在线段AD上且满足罂=《.试问：在线段CF上是否存在点M,使NF八!/平面BDM?若存在，求H燥

r\UOCr

的值；若不存在，请说明理由.

21.(本小题17分)

(1)如图1,己知平面a,B，且=m//a,m〃/?.求证：〃/m.

(2)如图2,已知平面a,£,y,且aly,£ly,记an/?=，.求证：11y.

第4页，共9页

参考答案

\.c

2.6

34

4.A

5.相交或异面

6.平行

7(/45。

8.1/0.5

9号/海

10.1或？

II.①④

12.内心

13.1

14.⑶(4)

15.①②④

16.25/3

17.解：(1)设正方体棱长为1,以砺，比，西分别为％y,z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系

则。(0,0,0)41(1,0,1),。1(0,0,1),C(0,l,0),当(1,1,1),

显然平面当D1G的一个法向量为西=(0,0,1),

设平面的一个法向量为记=(x,y,z),砧=瓦瓦=(1,1,0),

第5页，共9页

由BJL泉，五1瓦瓦,得[二变=°,毗二仁T,令z=l，得五=(-1,1,1),

设汇西的夹角为a,cosa=g鬻=苧，由图知二面角。一。*1一6为锐二面角，

叫DD“3

所以二面角C—D1B1—Q大小为arccos号.

(2)设M(0,t,0),t6[0,1],则而?=(-l,t,-l),平面BiCiCB的一个法向量为配=(0,1,0),

区幽一祟即4=%£=：

设与平面81cle占所成角为"，sin"=|cos(而比而)|=而网一

19V193

产+2

所以当DM=《DC时，41M与平面BiGCB所成角的正弦值为誉.

OAX

18.解：(1)连接昆。1，四48CD-4$心。1为正方体,则D/1平面力/iGDi，/。「。的,

因41Gu平面则0。114G，

乂BRCDDLD],当。1，。。1u平囿々Di。，则&Ci_1_平面当外。，

又Bi。u平面Bi。/,则4101瓦。；

(2)连接BiC,因CD1平面BCG/BQu平面BCC®则CDJL8C，

因&C1BQ,BCCDu平面1CD,则BQ1平面&CD,

又B]Du平面DCB],则1Bg,

因41G-LBi。,ACu平面ABC1,则BiD1平面力止小；

(3)设点名到平面的距离为d,

因，&8G为等边三角形，且其边长为42,则=

因％IMGB=匕?-418仔1，则Sa41cl8,d=BB]•SaAiBg，

则d=*l皿

则点当到平面力/Ci的距离为詈.

第6页，共9页

19.解：⑴由48/\!/C0,

则异面直线48与PC所成角即为乙PCD,

由题意知，PO_L平面力又CDu平面48CD,

故PDJ.C。，所以tan乙PCD=皆=1,即“8=%

即异面直线与PC所成角为全

(2)因为PD1平面ABC。，ADu平面ABCO,

所以尸0_L4。，又PDLDC,AD1DC,

所以以。为原点，。40。,。尸分别为乙％2轴建立：空间直角坐标系：

则。(000),4(1,0,0),8(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),

则正=(0,2,-2),=(-4,1,0),前=(0,0,2),同=(1,0,—2),

设平面PBC的法向量为元=(x,y,z),

则f'2Z-0,取％=1,得y=l,z=l,得元=(1,1,1),

ln-BC=-x+y=0

取平面PDC的法向量为赤=(1,0,0),

设二面角3—PC-。的大小为0,由图形知，。为锐角，

所以8$9=版=焉=等，

所以二面角8—PC—。的余弦值为苧.

20.解：⑴

过点F分别作FQ1EF,FP1EF,分别交4B,CD于P,Q,连接PQ,

第7页，共9页

所以平面a即为平面rPQ,

因为四边形4BCD为正方形，EF/(AB,

所以FP14B,FQ1CD,

由已知得FP=FQ=V17-1=4,PQ=BC=4,

所以△尸PQ的周长为尸产+FQ+PQ=12.

(2)

假设存在点M.

当点N在线段40卜时,连接CN交P0干/?.

则▲DNR~ABCR,因为缥=：,

因为FN〃平面BOM,FN

^