第一章 空间向量与立体几何（复习讲义）-人教A版高中数学选择性必修第一册（原卷版）

第一章空间向量及立体几何（复习讲义）

区区

单元目标聚焦•明核心

1.了解空间向量相关概念，经历平面向量到空间向量的推广过程，掌握其线性、数量积运算，了解投影概念

及意义。

2.了解空间向量基本定理及意义，掌握正交分解。

3.了解空间直角坐标系，会用其刻画点位置、求距离，掌握向量坐标及线性、数量积运算的坐标表示。

4.能用向量语言描述直线和平面，表述夹角及垂直平行关系，用向最方法证明必修中直线、平面位置关系的

判定定理。

又又

知识图造梳理•固基础

教材要点精析•夯重点

1.空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中,具有—_________和__________的量

相等向量方1可一—_且模___________的向量

相反向量方向一——且模___________的向量

共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相___________

（或平行向量）或___________的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

2,空间向量的有关定理

⑴共线向量定理；对任意两个空间向量。，仪%0）,a//b的充要条件是存在实数人使得

（2）共面向量定理：如果两个向量〃，方不共线，那么向量p与向量。，方共面的充要条件是存

在唯二的有序实数对），），使〃=.

（3）空间向量基本定理：如果三个向量4,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一

的有序实数组（x，户z）,使得p=,其中，｛a,乩c｝叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积

⑴两向量的夹角：已知两个非零向量〃，b,在空间任取一点O,作况=a,6=b,则乙4。8

叫做向量。与b的夹角，记作（〃，b）,其范围是〕0,R,若〈〃，6〉则称。与b,

记作aLb.

（2）两向量的数量积：已知两个非零向量0,瓦则⑷田|cos（a,b＞叫做a,b的数量积,记作a协,

即ab=.

⑶空间向量数量积的运算律

①结合律:3）力=2（。山）；

②交换律：ab=ba\

③分配律：。•（0+c）="协+a,c.

4.空间向量的坐标表示及其应用

设。一（671»672,43），b-（Z?l,厉，Z?3）.

向量表示坐标表示

数量积a-b

共线A£R)

垂直。协=0(存0,厚0)1

模⑷

,a\b\■¥aibz-\-ayb3

夹角cos

(a,b)(分0,厚0)(a,bq后+泊+总q济+%+尻

5.直线的方向向量和平面的法向量

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量〃的有向线段所在直线与直线/,则称此向

量a为直线/的方向向量.

(2)平面的法向量：直线/_La,取直线/的方向向量a,则向量。叫做平面a的法向量.

6.空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

直线，2的方向向量分1\//11—

别为〃1,"2/11/2—

直线/的方向向量为小l//a—

平面a的法向量为〃l-La—

平间出£的法向量分别a//p

为〃1，112al-P—

7.两条异面直线所成的角

设异面直线％/2所成的角为仇其方向向量分别为“，v,则

cos0=|cos[u,V)|==.

8.直线和平面所成的角

直线A3与平面a相交于点5,设直线与平面a所成的角为仇直线的方向向量为〃,

平面a的法向量为，2,则sinG=|cos(u,〃〉|==.

9,平面与平面的夹角

⑴两平面的夹角：平面a与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90。

的二面角称为平面«与平面少的夹角.

(2)两平面夹角的计算：设平面a,£的法向量分别是小，，⑵平面。与平面£的夹角为〃，则

1.空间向量的线性运算和数量积运算可类比平面向量的线性运算和数量积运算.

2.空间向量的坐标运算和坐标原点的选取无关.

3.实数。和任意向量相乘都为零向量.

4.实数与空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算.

5.在利用砒=.诵+），祀证明MN〃平面ABC时，必须说明M点或N点不在平面ABC内.

6.确定平面的法向量的方法

⑴直接法：观察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接确定.

〃。=0,

（2）待定系数法：取平面的两个相交向量〃，b,设平面的法向量为〃=（x,y,z）,由，，八求

nb=O

得.

7.方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.

8.当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方

向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角.

oo

考点题型突破•拓思维

题型一空间向量及其运算

【例1］给出下列四个命题，其中正确的有（）

（1）若空间向量a,b»c,满足。//力，bHe则a〃c；

（2）空间任意两个单位向量必相等；

（3）对于非零向量。，由a.c=，则a=〃；

（4）在向量的数量积运算中伍示"=我•伍•6）

A.0个B.1个C.2个D.4个

【变式1-1］（多选）下列说法正确的有（）

A.设a,是空间向量，若〃与〃共线，。与c共线，则4与c共线

B.若两个非零向量48与CO满足A3+CZ）=0，则A3//C。

C.零向量与任何向量都共线

D.两个单位向量一定是相等向量

【变式1-2］（多选）卜列各选项中，不正确的是（）

A.若A,B,C,。是空间任意四点，则有AB+BC+CD+D4=0

B.对于非零向量”，b»＜4g＞与＜”,-〃＞相等

C.若43，C3共线，则4B〃C。

D.对空间任意一点0与不共线的三点A,B,C,若OP=xOA+yOB+zO。（其中X,y,zER）,则尸,

A,B,C四点共面

----1—4-2一

【变式1-3】已知A,8,C三点不共线，点0为平面A8C外任意一点，若点M满足0知二不04+不。4+《8。,

则点M（填“属于”或“不属于"）平面ABC.

题型二空间向量基本定理

【例2】如图，空间四边形OABC中，0A=〃，OB=b,OC=c，点M在线段4。上，且“以|=2|欣兀点

N为BC中点、,则MN等十（）

【变式2-1】2.（多选）若｛。力,寸是空间的一个基底，则下列可作为该空间基底的是（）

r1r।rr

A.h+c,h,-b-cB.a,a+hya-bC.a+b,a-b,cD.a-b,a-\-b+c,c

【变式2-2］（多选）如图，在平行六面体A4co-4班的中，

4A=4。=48=1,/44。=/448=/84。=60,知为8也的中点，则（）

A.DM=-AB+AA--AD

2'2

B.CM=--AB-AA--AD

2"2

C.CCtAB=-

D.CMAD=--

4

【变式2-3】如图，在空间四边形中，点。为8c的中点，AE=^ADf设。4==c.

J

R

(1)试用向量aAc•表示向量ODAD；

(2)若。A=OB=OC=2,NAOC=/8OC=/4O3=90,求OEOO的值.

题型三空间向量及其运算的坐标表示

【例3-1】（多选）如图，在长方体MCD-ABCQ中，AR=5,4）=4,M=3,分别以有向直线。4。仁。〃

为工轴，》轴，z的正方向，以1为单位长度，建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（）

A.点4的坐标为(4,5,3)

B.点G关于点8对称的点为(5,8,-3)

C.点A关于直线对称的点为(0,5,3)

D.点。关于平面eA对称的点为(8,5,0)

【例3-2】给定点4。,0,0)、5(3,3)、。(2,0,1)与点0(5,-4,3).

(1)求A。在8C上的投影向量；

(2)判断四点A、B、C、。是否共面？

【变式3-1](多选)下列命题中正确的是()

A.若空间向量〃、〃、c»满足a=/?，/?=c，则a=c

B.若直线/的方向向量为e=(L-l,2),平面。的法向量为〃?=(6,4,-1),则/_L。

C.若〃、是两个单位向量，则同=%

D.点M(3,2/)关于平面)，Oz对称的点的坐标是

【变式3-2](多选)已知A,B,C,。是空间直角坐标系。-4艺中的四点，P是空间中任意一点，则()

A.若4-4,-3,2)与8(〃也c)关于平面yOz对称，则a+〃+c=—3

B.若A8=AC+A。，则4，&CfD共面

-1.4-1

C.PD=-PA+-PB--PC,贝IjA,R,C,。共面

636

D.若A(0,0,2),8(1,2,0),C(2,科〃)三点共线,则〃?+〃=2

【变式3-3】已知”=(2,-2,2),〃+〃=(6,-3,2).

(1)求向量E的坐标；

(2)设向量4=(2,肛//(/>-«),求同;

⑶若+—2〃)，求日的值.

题型四利用空间向量解决空间中的位置关系

【例4】（多选）给出下列四个命题，其中是真命题的有（）

A.若点A,8,C,。共面，则存在实数人〃，使得人=+

B.若，〃=（2次,一1）,"=（-1,2,2）分别为平面。1的法向量，且aJL/7,则2=2

C.若a=（x,T—。为=（一1,2,力分别为平面的法向量，且。〃P，则x+y=］

D.若A（0,0,0）1（1,0,0）1（001）,。（0,1,1）,则直线AD8C所成的角为;

【变式4-1］如图，在长方体ABCD-ABCQ中，AB=4,BC=3,CCi=2.

⑵线段与。中点为点尸，求证吊尸〃平面ACR.

【变式4-2］在正方体中，已知乙尸分别是笈饵,R片的中点，求证:

⑴E尸〃叫；

（2）町

【变式4-3】已知四棱锥尸—A8Q）底面是直角梯形，ZABC=ZfiCD=90,AB=BC=PB=PC=2CD,

侧面P8C_L底面A8CD证明:

(1)E41BD：

(2)平面P4O_L平面PAR

题型五空间中的距离

【例5】如图，在楼长为2的正方体人BCD-ABGR中，E,产分别为线段A4,4G的中点.

(1)求尸点到AC的距离:

(2)求点尸到平面ACE的距离.

【变式5-1］如图所不，四棱锥尸-ABC。的底面A8CQ是矩形，P8_L底面A8CZ>,

(2)求点P到平面ADF的距离.

【变式5-2］如图，在长方体A3c。一ASCA中，AB=2BC=2CC=2,点E是OC的中点.

(1)求点与到直线AR距离:

(2)求证：平面A"£_L平面

题型六空间中的角

【例6】如图，已知正方体ABCQ-ABCQ的棱长为2,点£为棱AB所在直线上一点，直线RE与。8所

(1)求/)卢与平面BQ/)所成角的正弦值;

(2)求二面角O-8G-。的余弦值.

【变式6-1］如图，在四棱锥。—4?CO中，尸。_L平面ABCO,四边形A8CO是菱形，AC=2,BD=2&,

且AC与交于点0,动点E满足=(OW2<1),异面直线必与8C所成的角为601

(1)求证：AC1DE；

(2)当丸=；时，求PC与平面£8所成角的正弦值.

【变式6-2］图I是边长为力的正方形A8CO,将dCD沿AC折起得到直一面角户-AC-乩加图2所示.

图1图2

(1)求异面直线A8与PC所成角:

（2）棱批上是否存在一点M，使得二面角M-BC-A的余弦值为空，若存在，求出翌的值；若不存在,

51AP

请说明理由.

Q

I

分层阶梯训练•提能力

基础巩固通关测

1.若直线/J■平面且/的方向向量为。=（一1，4,1）,平面。的一个法向量为〃=a,2,〃z）,则，加=（）

A.--B.-4C.7D.4

44

2.在三棱锥O-A4C中，D、E分别是OC、AB的中点，设0A=〃,08="OC=c,以松"c｝为空间的

一个基底，则力E=（）

—•2一UI<11KUB1UUU1

3.如图，在三楂锥O—A8C中，E是CO的中点，点尸在A8上，AF=-AB,记A。=a,AB=b,AC=c,

则EF=（）

232

〃1r1[2r

C.一一a+—h+—cD.—a+—b+—c

223223

4.若空间向量。=（2,1,0）,〃=（1,QI）,则向量a在向量力上的投影向量的坐标是（）

A.（4,-1,0）B.（-1,0,-1）C.（-2,1,0）D.（1,0.1）

5.已知A（2J1）,5（4,7,哂C（6,〃,2）,若A及C三点共线，则相+〃的值为（）

C.-3D.3

6.已知空间向量。=(1,〃,2)/=(-3,1,3),若〃与人垂直，则同=()

A.>/6B.VC.MD.14

7.已知经过点的平面a的一个法向量为〃=(-1,-2,3),则点N((),—2,2)到平面。的距离为()

A.叵B.如C.辿D.行

626

8.中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的儿何体，该儿何体的上、下底面平行，且均为

扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，它的高为2,AA、8々、CG、DD.

均与曲池的底面A8C。垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为90,则图中异

面直线人用与CR所成角的余弦值为()

9.(多选题)下面四个结论正确的是()

A.任意向量满足〃・伍c)

B.若对空间中任意一点。，有OP=!OA+?O8+!OC,则及C四点共面

632

C.已知,,〃工•｝是空间的一组基底，若m=a+c,贝叶”，反〃”也是空间的一组基底

D.已知〃为平面夕的一个法向量，/为一条直线，，〃为直线/的方向向量，则_L〃”是“〃/a”的充要

条件

10.(多选题)在空间直角坐标系中，A(l,0,0)1(21,-2),C(1,2,3),则()

A.AB13C=-1()B.MC|=V13

C.异面直线。8与4c所成角的余弦值为迺D.点。到直线8C的距离是叵

139

11.已知平面a的法向量为机=(2,3,5),直线/在平面a外，且方向向量〃=(1,1,-1),则直线，与平面a的

位置关系为

12.直三棱柱ABC—A4G中，A8=8C=2，M=G,/A8C=12(),E为A8边中点，则异面直线AC与

所成角的余弦值为.

13.如图，在四棱锥E—ABC。中，E4_L平面A3C。，AD//BC,NABC=90。，4)=2,EA=AB=BC=\.

(1)证明：平面EAC_L平面EC。；

(2)若点/在侧棱EC上，EF=2FC,求平面行W与平面必。夹角的余弦值.

14.如图，在正方体448—A4GQ中，P为8Q的中点.

(1)证明：4A〃平面8PC"

(2)求二面角B「PC「B的正弦值.

15.如图，四棱锥P-/W6的底面是边长为2的正方形，侧棱PC_L底面ABC。，且PG3.

⑴证明：平面PCQ_L平面附。；

(2)求点B到平面PAD的距离.

16.如图，多面体ABiQ-ABC。是三棱台A禺。-A8。和四棱锥C-B。。片的组合体，底面四边形A4C。

为菱形，443。=60,AB=2A禺=4,E为C。的中点，平面44,用8_L平面A4C。，M±AB.

(1)证明：。七〃平面AB。；

⑵若平面斗。与平面叫C夹角的余弦值为年'求三棱台AW-AM的体积.

能力提升进阶练

1.若直线/，平面a,且/的方向向量为4=(-1,4』)，平面〃的一个法向量为〃=",2,〃?)，则初=()

A.V

B.-4C-ID.4

2.在三棱锥。一人3C中，。、E分别是OC、4B的中点，设0A=a,08=40C=c,以｛。，〃，。｝为空间的

一个基底，则OE=<)

1.1,I]_

A.-a+-b——cB.a-Lb+L

222222

「11L1_[

C.—a+—b+—cD.

2222

7一l-U1IMJU11ULM11

3.如图，在三棱锥D-A8c中，石是CO的中点，点厂在A3上，AF=-AB,AD=a,AB=b,AC=c,

则M=()

„I2,1

B.——a+-b——c

232

n1r112r

D.-a+-b+-c

223

4.若空间向量〃=(2,1,0)功=(l,QI),则向量a在向量。上的投影向量的坐标是()

A.(4,—1,0)B.(—C.(-2,1,0)D.(1.0,1)

5.已知A(2,l,l),B(4,-l,/n),C(6,〃,2),若4,5,C三点共线,则〃z+〃的值为()

33

A.—B.—C.-3D.3

22

6.已知空间向量4=(1,〃⑵力=(-3,1,3),若。与垂直，则周二()

A.76B.V14C.MD.14

7.已知经过点加(2,—1,1)的平面a的一个法向量为〃2,3),则点N(0,—2,2)到平面。的距离为()

A.叵B.巫C.巫D,

626

8.中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上、下底面平行，且均为

扇环形(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池，它的高为2,44、84、CC；、DD.

均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2,对应的圆心角为90,则图中异

面直线A4与所成角的余弦值为()

二、多选题

9.下面四个结论正确的是()