等腰三角形存在性问题巩固练习（基础）-2026年中考数学几何专项复习（解析版）

中考撤号

等腰三角形存在性问题巩固练习

1.如图，在矩形力的中，16=12。〃，8c=23〃，点〃从点6出发沿8C以2c〃/s的速度移动到点G同时，

点，从点A出发沿49以\cm/s的速度移动到点A当点2运动到点C时点。也随之停止运动，设点〃的运

动时间为抬是否存在点A使△/过是等腰三角形？如果存在，求出所有符合条件的/的值；如果不存在,

请说明理由.

备用图空用图

【分析】先表示出/砧如，DQ,再分三种情况讨论计算即可.

【解答】解：如图，过点。作。反L_La；

由题意得，AQ=t,PE=BP-BE=BP-AQ=2t-t=t,

：,DQ=2\-t,PC=2\-26QE=\2,（0</<y）

在Rf△侬中，微=122+凡

在R/ZkR第中，加=（21-27）2+122,

•••△〃夕。是等腰三角形，

①当”小时,即：122+/2=（21-202+122,

・37或/=21（舍）；

②当&时，即：122+/2=21

此方程无解，

③当外=〃0时，（21-21）2+122=21-/,

・•・此方程无解.

即：/=7时，△勿©是等腰三角形.

【点评】此题是矩形的性质，主要考查了勾股定理，矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是表

示出弘DQ,PQ.

2.如图，已知抛物线y=av2+bx+c与x轴交于力（加，0）,B（n,0）,点/I位于点8的右侧，且〃?，〃是一

元二次方程/+2丫・3=0的两个根，与y轴交于。（0,3）.在抛物线上的对称轴上是否存在点P,使得△为C

为等腰直角三角形？若存在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

中考撤号

【分析】解方程求得力和〃的坐标，求得对称轴，当力是直角顶点时，求得过力于力C垂直的直线与抛物线

的对称轴的交点，然后判断是否是等腰三角形；同理当。是直角顶点时利用相同的方法判断：当力。是等腰

三角形的底边时，求得力。的中垂线与对称轴的交点，然后判断是否是吏角三角形即可.

【解答】解：解方程必+2工・3=0得为=・3,也=1，

则4的坐标是（1,0）,8的坐标是（-3,0）.

抛物线的对称轴是x=-1.

设"的解析式是》=h+4则｛:二2二°，

解得：仁广，

则直线力C的解析式是y=-3/3.

当,4是直角顶点时，过力且垂直于力。的直线解析式设是y=*+c,

把4代入得：-4-c=0,

解得：c=

则解析式是＞=5/.

令工=-1,则y==一|,

则交点是（・1，-I）.到力的距离是J（」」）2+（-|）2=蜉,力。=4行7=回，

则三角形不是等腰三角形；

同理，当。时直角时，过C于力。垂直的直线的解析式是》=*+3,与对称轴x=-l的交点是（・1,勺.到

C的距离是J（-l_l）2+6）2=+〃；则不是等腰直角三角形；

当户是直角，即力。是斜边时，”的中点是4，|）,过这点且与力C垂直的直线的解析式是歹=%+*

[8

当了=-1时,，），=_§+£=1.

中考撤号

则与对称轴的交点是（・1，1）.则到4的距离是、/（_1一1）2+好=/.

V（V5）2+（75）2=（如）2,

••/的坐标是（-1,1）.

【点评】本题考查了二次函数与X轴的交点以及等腰直角三角形的判定，正确进行讨论是关键.

3.如图，直线人与直线物尸方相交于点N（24+1,3）,且与y轴交于点4（0,6）.

（1）求〃的值；

（2）求直线人的函数关系式;

（3）直线/平行于y轴，分别交直线小和》轴于点风1、R设点尸的横坐标为/（/>0,/^4）,在y轴

上是否存在点尸，使得△用£¥为等腰直角三角形？若存在，请求出3的值；若不存在，请说明理由.

【分析】（1）把点力（2〃+1,3）代入y=%,即可求得。的值；

（2）利用待定系数法即可求得直线/1的函数关系式：

（3）分别利用/表示出必、*的坐标，可表示出歌分/现V、/£恸和/如V为直角三种情况，分别求得尸

点的坐标，表示出婷/、FN,分别得到关于机的方程可求得切.

【解答】解：（1）•・•直线物歹=3经过点力⑵+1,3）,

3

••・3=9（2a+l）,

解得a=；;

（2）设直线。的函数关系式y=h+b,

•・•点）（4,3）,点。（0,6）.

.（4k+b=3

,,瓜=6，

解得：一：4.

D=6

•二直线人的函数关系式y=-1x+6；

中考撤号

【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到N力。是直角，再根据相似三角形的判定方法证明即

可.

（2）利用三角形相似求出点"的坐标，然后根据儿/，两点的坐标，重新假设抛物线的解析式，代入点。

坐标求出。即可.

（3）分别以①为底边和腰求出等腰三角形中点〃的坐标.

【解答】（1）证明：•・•以力6为直径的圆恰好经过点4

・•・/力%=90°,

'：£AOC=4BOC=90°,

工/力办/〃。刀=90°,N比沙NCW=9（）°,

"ACO=/CBO,

:.HXAOgxcOB.

(2),:XAOCsXcOB,

：.0a=A80B、

•・,/(_4p0),点C(0,3),

、9

:JO=K4OC=3,

又•：C&=A>OB,

9

(

，普=74)B,

：・0B=%

：.B(4,0),

•・•抛物线经过8(4,0),A(J,0),可以假设抛物线为(x-4)(x+》，把(0,3)代入得。=£

中考撤号

.'.y=-^x2+合+3.

(3)①OD=DB,如图：

〃在仍的中垂线上，过D悍DH10B,垂足是"则//是如中点.

②做=〃〃，如图:

过，作发_1_如，垂足是G,

.BG_BD_DC

'*~GB~~CB~~0C

,:QB=4,CB=5,

:・BD=0B=4,

CD1

__—_

CB~5

BG4DG

--——~~~--

4-5—3

:.BG=SDG*,

4

：,OG=BO-BG=g

・•・〃（l，y）

中考撤号

【点评】本题考查的是二次函数的综合题、圆的有关性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定

和性质，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题.

5.如图，在平面直角坐标系中，点。的坐标为(3,1),动点4以每秒1个单位的速度从点小出发沿x轴

正半轴运动，同时动点6以每秒2个单位的速度从点。出发沿『轴正半轴运动，作直线//.设运动的时间

为，秒，是否存在/,使△力旗是等腰三角形？若存在，求/的值；若不存在，请说明理由.

VA

【分析】运动的时间是3则面=3如=23利用勾股定理把力召，8c和力仪用/表示出来，然后利用勾股

定理列方程求得,的值，然后判断/是否满足条件，以及是否是等腰三角形即可.

【解答】解：运动的时间是/,则%=/,0B=2t.

在直角中，/+如=»+(2/)2=5凡

中考撤号

过C作⑦_Lx轴于点〃，则〃的坐标是(3,0).

在直角△力山中,裕=9+9=1+(3-/)2=1-6什10,

的=32+(2/-1)2=4/2-47+10,

当,48是斜边时,Aff=AG+B%则5»=产-6什10+4--4件10,

解得：f=2.

此时力"=20,/妙=2,叱=18,此时不是等胺三角形，故不符合条件;

当，化是斜边时，AG=A8+BG,则於・6计10=52+(4入4/+10),

解得：/=0或-4(不符合题意，舍去)；

当％是斜边时，A^A0=BG,则5於+(z2-6/+10)=4/2-4/+19,

解得：/=0(舍去)，或1.

当1=1H寸，力杼=5,A(?=\-6+10=5,jltU'jAB=AC.

总之，当f=l时，△力帆’是等腰直角三角形.

【点评】本题考查了一次函数与勾股定理的综合应用，正确进行讨论，利用〃?表示出月杼，犯和是关

键.

6.如图，直线y=7x+7交x轴于点4交y轴于点6.

⑴S^AOBi

(2)第一象限内是否存在点U使△4%为等腰直角二角形且N“ZU90°?若存在，求出。点坐标；若不

存在，请说明理由.

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【分析】(1)由直线解析式，分别令工与y为0求出y与X的值，确定出力与《坐标，进而求出物与如的

长，即可求出三角形力切面积；

(2)第一象限内存在点。，使△出％为等腰直角三角形且N〃E=9()°,理由为：设C(x,y；(x>0,>'>

0),根据题意得叱=/,“+m=A",列出关于x与)，的方程组，求出方程组的解得到x与y的值，即

可确定出C坐标.

【解答】解：(1)对于直线y=7/7,

令I=0,得到y=7；令y=0,得到x=-l,

：./(-1,0),B(0,7),即的=1,勿=7,

17

则％力如=5%•"=下

(2)第一象限内存在点C,使△月蛇为等腰直角三角形且/力亦90°,理由为：

设C(x,y)(x>0,y>0),

根据题意得:BG=AG,BG+AG=册,即｛，二；二%［学；岚能第=#+72，

解得:(；：3-

此时C(3,3).

【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形性质，两点

间的距离公式，以及等腰直角二角形的判定与性质，熟练掌握一次困数的性质是解本题的关键.

7.在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，直线/1过点力(1,0)且与y轴平行，直线，2过点8(0,2)

且与x轴平行，直线人与，2相交于尸.点£为直线，2上一点，反比例函数y=；(%>0)的图象过点少且与

直线。相交于点尸.

(1)若点£与点尸重合，求人的值；

(2)连接近OF、EF,若△畋'的面积为△阳'面积的2倍，求点£的坐标；

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（3）当4>2时，在y轴上是否存在一点G,使△£仍是等腰直角三角形？如果存在，求出6点坐标；若不

存在，说明理由.

【分析】（1）利用待定系数法即可解决.

（2）分两种情形列方程解决问题：①如图2中，当£在夕右边时，作扇轴于设£（〃?，2）则〃（1,

2m）,②如图3中，当少在夕左边时，作/汕_x轴于M.设少（用，2）则/*,（1,2m）.

（3）分四种情形①如图4中，当后在尸右边时，/FEG=90“，EF=EG,设£3〃，2）,则尸U,2m）,②

如图5中，当£在〃右边时，/GFE=90°,FG=FE,作初Ly轴于跳设£（m，2）,则尸（1,2〃?），③如

图6中，当£在尸左边时，/月%=90°,EG=EF.设少（〃7,2）,则尸（1,2机），④如图7口，当£在〃

左边时，/EFG=90°,EF=FG,作CW_L为于机设£（加，2）,则尸（1,2m）,利用全等三角形的性质，

列出方程即可解决问题.

由题意〃（1,2）,把尸（1,2）代入y=g得到，k=2,

的值为2.

（2）①如图2中，当/在夕右边时，作四/_Lx轴于祝设后（加，2）则，'（1,2m）,

:&屈予=梯形,必冲-S^OEM，S2ROT=Sz皿!,

•■SdGE尸S悌形

中考撤号

-,(/??-1)=2xjx(m-1)(2w-2),

乙乙

.*.w=3,

此时£(3,2)

②如图3中，当£在〃左边时，作£MJ_x轴于"设£(小，2)则“(1,2〃力,

.1

..w=-,

此时£号2)

综上所述，当£(3,2)或(：，2)时，△戚的面积为△密面积的2倍.

(3)如图4中,

①当£在。右边时，ZFEG=90°,EF=EG,设£(〃?，2),则尸(1,2〃?),

♦:么EPF=4EBG,EF=EG,/FEP=/BEG,

:.PF=BE,BG=PE,

中考撤号

•*.m=2m-2f

:.BG=PE=1,

，G（0,1）.

②如图5中，当夕在P右边时，£GFE=90°,FG=FE、作/<JLy轴于机设〃（加，2）,则41,2w）,

点、FP恒RMG、得到FM=PKMG=PE,

**•2ni-2=1,

・3

••〃=3，

：.PE=MG=\,BGJ

③如图6中，当£在尸左边时，NFEG=90°,EG=EF.设£（川，2）,则尸（1,2m）,

由△EFP^XGEB,得到，EB-PF,BG=PE,

m=2-2mf

,1

..W=T

J

：.BG=PE=l，()G=g,

中考撤号

4

，G(0,

VA>2,此时£（，2）,不符合题意.

④如图7中，当，在尸左边时，NEFG=9。：EF=FG,作GML处于此设E（m,2）,则尸（1,2m）,

由△牙壮得到比=£帆PP=GM,

：.2-2m=1,

...w=-1,

3

:,BG=P2EM=3,

：.0G=%,

：.C（0,I）,

VA>2,此时£0,2）,不符合题意：

综上所述，满足条件的点G左边为（0,1）或（0,1）.

【点评】本题考查反比例函数综合题、待定系数法、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解

题的关键是学会利用分割法求三角形的面积，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想思考问

题，属于中考压轴题.

8.如图，将抛物线向右平移。个单位长度，顶点为人与歹轴交于点〃，且为等腰直角二角

形.

（1）求。的值；

（2）在图中的抛物线上是否存在点C,使△月回为等腰直角三角形？若存在，直接写出点。的坐标，并求S

△的若不存在，请说明理由.

中考撤号

【分析】⑴根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式尸r-2仆+心令其x=0找出点4的坐标，根

据△月面为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值；

（2）作点〃关于抛物线对称轴对称的点乙连接〃C：交抛物线的对称釉于点〃，根据等腰直角三角形的判

定定理找出△力/K为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点/，的坐标即可得出点。的坐标，再利用三角

形的面积公式即可求出S△，睨的值.

【解答】解：（1）平移后的抛物线的解析式为y=（x・a）2=/-2ax+a2,

令y=x2-2ax+a2中x=0,则y=（r,

：.B（0,a2）.

•••△力如为等腰直角三角形，

•\a=a2,解得：a=l或a=0（舍去）.

故」的值为1.

（2）作点6关丁抛物线对称轴对称的点G连接6。，交抛物线的对称釉丁点"如图所示.

•・•△力仍为等腰直角三角形，

•••△力劭为等腰直角三角形，

：・4BAD=45°.

••NO为抛物线的对称轴，

：.AB=AC.NOZ?=NZ<4g45°,

•••△4弘为等腰直角二角形.

•・•点〃（0,1）,抛物线对称轴为x=l,

・••点。的坐标为（2,1）.

SZBC=\AB*AC=^x蚀xM=1.

故在图中的抛物线上存在点。，使△力砥为等腰直角三角形，点。的坐标为（2,1）且S△做=1.

中考撤号

【点评】本题考查了平移的性质、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的

关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置.本题属于中档题，难度不入，解决该题

时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点。的位置.

9.如图，0限班的长分别是关于x的方程12/32=0的两根，且如〉如，点尸在/I6上，且PB=

32.请解答下列问题：

（1）求点尸的坐标.

（2）求直线力?的解析式；

（3）在坐标平面内是否存在点。，使得以小只0、。为顶点的科边形是等腰梯形？若存在，请直接写出点

【分析】（1）首先解始-1以+32=0,即可求得点小与少的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线月8的

解析式；首先过点夕作/力Lr轴子点〃，由加=3为，利用平行线分线段成比例定理，即可求得力〃的长，

则可求得点〃的横坐标，代入一次函数解析式，即可求得点〃的坐标；

（2）利用（1）的解题结果即可；

（3）分别从/铝〃力。，AQ//PO,用力仅去分析，利用函数解析式与两点间的距离公式即可求得答案.

【解答】解：⑴Vx2-12x+32=0,

:.（x-4）（x-8）=0,

解得：币=4,X2=8.

•・•加、加的长分别是关于x的方程x2-12x+32=0的两根，且的＞如,

中考微号

/.0A=8,08=4.

・•./(-8,0),B(0,4).

设直线/位的解析式为则

+bO

-=

b8=k4

k1

一

解许2

b4

•••直线力的解析式为：y=/+4.

过点〃作P4轴于点H.

：./.H=\-8-x|=x+8.

•・・/W〃y轴，

AP1

••而=7

tAH_1

・,法-7

x+81

gHPn-=?

解得x=-6.

••,点〃在y=*+4上，

A/y=Zx(-6)+4=1.

/.?(-6,1).

(2)由(1)知，直线的解析式为：y=%+4；

(3)存在.

如图①，若闷1AO、过点。作优让力。于G,过点尸作物L/O于

中考撤号

图①

•・•梯形而掰是等腰梯形，

:,AH=OG=8-6=2,QG=PI0,

工点。的坐标为(-2,1)；

设直线力。的解析式为：y=-^ni,

・6

V/(-8,0),

x

-76(-8)+〃?=0»

解得：m=一：，

工直线40的解析式为：y=

设点0的坐标为：(,-9二)，

o5

•・•梯形4W是等腰梯形，

:・PA=OQ,

14.

••j2+(-yx-p2=[-8-(-6)产+12,

中考撤号

整理得:37x2+16x-116=0,

即(37x-58)(x+2)=0,

解得：或(舍去),

•3/x=-2

.158459

-y=-6x-3=~f

・••点Q的坐标为：谭，-粉；

如图③，若/俨〃附

,直线力2的解析式为：y=^.v+4,

二直线｛⑷的解析式为：y=jx,

设点。的坐标为（x,*）,

'：AQ=OP,

・•・（x+8）2+（夕）2=12+（-6）2,

整理得：5X2+64J+108=0,

即:（5x+54）（x+2）=0,

解得：x=_^0Jx=-2（舍去），

・1,54、27

<-T）=-T»

工点0的坐标为（鼻-V）-

综上，点0的坐标为（-2,1）或（券或-尽）・

中考核等

【点评】此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数求函数解析式、平行线分线段成比例定理、因式分

解法解一元二次方程以及等腰梯形的性质.此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合

思想的应用.

10.如图，过点C（0,-2）的抛物线y=or2+/）x+c的顶点M坐标为（2,-3）,过点C作S〃x轴交抛物线

于点〃，点P在线段上，CP=m.

（1）求占点坐标，并用含，〃的代数式表不用的长；

（2）点40分别为x轴和抛物线上的动点，若恰好存在以少为边，点43P,。为顶点的平行四边形,

求出所有符合条件的点0坐标；

（3）是否存在〃?值，使△劭如为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的〃，值；若不存在，请说明理

【分析】（1）由C与8关于抛物线的对称轴、=2对称，。（0,-2）,可得少点坐标为（4,-2）,那么仁

4,再根据PB=BC-6r可用含m的代数式表示阳的长；

（2）分两种情况进行讨论：①当〃为一边时，CP//AQ,则点@为抛物线与x轴的交点坐标；②当〃为对

角线时，根据平行四边形相对的两个顶点到另一条对角线的距离相等求解：

（3）先由以B、U三点的坐标，利用两点间的距离公式求出屹=5,」户=（w-2）2+1,"々4-6.再分

三种情况进行讨论：①由物三跖列出方程。〃-2）2+1=5,解方程求出小的值；②由物—即列出方程（加

-2）2+1=（4-W）2,解方程求出机的值：③由叫物列出方程（4-w）2=5,解方程求出机的值.

【解答】解：（1）与6关于抛物线的对称轴x=2对称，。（0,-2）,

・"点坐标为（4,-2）,

•:CP=m,

：.PB=BC-CP=\-mx

（2）•・•抛物线y=a/+队+c的顶点”坐标为（2,-3）,

(x-2)2・3,

中考核等

将C(0,-2)代入，得a(0-2)2-3=-2,

解得a/

•*y=\(x-2)2-3,即y=/2-x-2.

・•・当y=0时，!(x-2)2-3=0,解得x=2±2$,

••・抛物线与x轴的交点坐标为(2・2、后，0)或(2+2$,0).

点P在线段8。上，⑦〃x轴，

当⑦为一边时，CP//AQ,则点。坐标为(2-2/，0)或(2+2g，0)；

所以符合条件的点。坐标坐标为(2-2/，0)或(2+273,0)；

(3)7.1/(2,-3),B(4,-2),P(w,-2),

2222

:,好=(4-2)+(-2+3)2=5,J庐=(w-2)+(-2+3)=(〃]-2)+1,BP=4-m.

当△加夕尸为等腰三角形时，分三种情况：

①如果物:监那么(〃L2)2+1=5,解得〃h=0,62=4(不合题意舍去)，

所以m=0；

②如果MP=BP,那么(川-2)2+1=(4-w)2,解得〃?=弓，

所以m=?

③如果那么(4-〃?)』5,解得小i=4_、/5,〃?2=4+、/5(不合题意舍去)，

所以〃1=4_、用：

【点评】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物

线的性质，平行四边形、等腰三角形的性质，综合性较强，难度适中.在求有关动点问题时要注意分析题

中考核等

意分情况讨论结果.

11.已知直线£］：j，=?+5与坐标轴交于力、4两点，直线4：p=-2x+】()与坐标轴交于C、D两点,两直

线交于点P.

(1)求夕点坐标；

(2)判别△*C的形状，并说明理由；

(3)在X轴上是否存在点。，使△41。是等腰三角形？若存在，请直接写出。点的坐标.

【分析】(1)将y=*+5和y=-2x+10组成方程组，方程组的解就是交点坐标；

(2)根据系数的积的比为-1,判断出两直线垂直，得到△必。、为直角三角形.

(3)过户作/L■轴于反右点坐标为⑵0),根据勾股定理求出处的长，直接求出Q,Q\,作(g

AP,求出G&解析式，得到&的坐标.

【解答】解：如图：

'1

(1)将安身5和尸・2x+10组成方程组得丫=5；+5

2(y=-2x+10

解陶：》

可得尸(2,6).

(2)VZ1：y=$+5的比例系数为瓦Z2：y=-2x+10的比例系数为-2,

可得5x(-2)=-1,

：,AAPC=W,△/。为直角三角形.

(3)过尸作阳_x轴于反

£点坐标为(2,0).

,:P(2,6),J(-10,0),

PA=\62+12?=6\^5,

，可见，的=6、用一10,

q：6^-10,0),Q,(-6V5-10,0),

作陶_L",设G&解析式为尸=-2x+b,〃坐标为(・4,3),

将，夕(-4,3)代入y=-2x+6得，3=-2X(-4)+b,

中考撤号

解得b=-5,

-2x-5,

【点评】本题考查了一次函数综合题，熟悉函数和方程的关系，充分利用图形，根据一次函数的特点，分

别求出各点的坐标再计算.

12.如图，在矩形力aZ?中，8c=4,CD=3,直线JW过点4点〃是直线极'上的一个动点

（不与点力重合），点£在射线曲上，满足NPBE=NBDC,设川=x,

（1）如图①，若点尸在射线4V上.求线段膜的长（用含x的代数式表示）并直接写出x的取值范围；

（2）如图②.若点尸在射线/例上，求雾的值：

C1

（3）设宜线陛交直线/历于点八是否存在x的值，使△川〃为等腰三角形？若存在，直接写出x的值：若