分数与百分数应用题（二）- 浓度问题-六年级奥数培优讲义（解析版）

第04讲分数与百分数应用题（二）一一浓度问题

。【学习目标】

1.理解溶液、溶质、溶剂的基本概念及其相互关系

2.掌握浓度的定义和计算公式，并能熟练应用

3.学会分析和解决溶液稀释问题

4.学会分析和解决溶液浓缩问题

5.掌握十字交叉法，并能应用于溶液混合问题

6.能够综合运用所学知识解决复杂的浓度问题

*知识梳理

・李知识点一、溶液、溶质、溶剂的关系

1.溶液是由溶质和溶剂组成的混合物。在浓度问题中，我们主要研究它们之间的质量关系。

2.基本概念：

（1）溶质：被溶解的物质（如盐水中的盐）

（2）溶剂：能溶解其他物质的物质（如盐水中的水）

（3）溶液：溶质和溶剂的混合物（如盐水）

（4）浓度：溶质质量占溶液质量的百分比

3.基本公式：

（1）浓度=（溶质质量♦溶液质量）x100%

（2）溶液质量=溶质质量+溶剂质量

（3）溶质质量=溶液质量x浓度

（4）溶剂质量二溶液质量x（l-浓度）

一■-知识点二、稀释问题

1.稀释问题是指向溶液中加入溶剂，使溶液浓度降低的过程。稀释过程中，溶质质量保持不

变，溶剂和溶液质量增加。

2.基本原理：稀释前后，溶质的质量不变，这是解决稀释问题的关键。

3.基本公式：

（1）原溶液质量x原浓度=稀释后溶液质量x稀释后浓度

（2）加入溶剂质量=稀释后溶液质量-原溶液质量

知识点三、浓缩问题

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1.浓缩问题是指使溶液浓度提高的过程，通常有两种方式；蒸发溶剂或加入溶质。

2.基本类型：

(1)蒸发溶剂型：通过蒸发溶剂，减少溶剂质量，使浓度提高

(2)加入溶质型：通过加入溶质，增加溶质质量，使浓度提高

3.基本公式：

(1)蒸发溶剂型：

①原溶液质量X原浓度=浓缩后溶液质量X浓缩后浓度

②蒸发溶剂质量=原溶液质量-浓缩后溶液质量

(2)加入溶质型：

①原溶液质量x(l-原浓度)二浓缩后溶液质量X(1-浓缩后浓度)

②加入溶质质量=浓缩后溶液质量-原溶液质量

知识点四、十字交叉法

1.十字交叉法是解决两种不同浓度溶液混合问题的简便方法，特别适用于已知两种溶液浓度

和混合后浓度，求两种溶液质量比的问题。

2.基本原理：两种不同浓度的溶液混合后，混合溶液的浓度介于两种溶液浓度之间。十字交

义法通过交叉相减的方式，快速求出两种溶液的质量比。

3.十字交叉法图示

溶液A：浓度a混合浓度c-b

\/

\/

混合浓度C

/\

涔液B:浓度b混合浓度

溶液A质量：溶液B质量二(c-b):(a-c)

哪例题讲解

喧一、溶液、溶质、溶剂的关系

【例题1】在100克盐水中，含盐20克，求盐水的浓度是多少？

【答案】20%

【解析】【解答】浓度=溶质质量+溶液质量X100%=204-100X100%=20%

【分析】这是最基本的浓度计算问题，直接应用浓度公式即可。溶质是20克盐，溶液是10()

克盐水，代入公式计算得到浓度为20%。

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【例题2］现有浓度为15%的糖水200克，其中含糖多少克？含水多少克？

【答案】含糖30克，含水170克

【解析】【解答】溶质质量=溶液质量X浓度=200X15%=30克

溶剂质量=溶液质量-溶质质量=200-30=170克

【分析】已知溶液质量和浓度，求溶质和溶剂质量。先根据公式计算溶质(糖)的质量，再

用溶液质量减去溶质质量得到溶剂(水)的质量。

【例题3】要配制浓度为10%的盐水，需要在80克水中加入多少克盐？

【答案】8.89克

【解析】【解答】设需要加入x克盐

根据浓度公式：x4-(x+80)=10%

x=0.1(x+80)

x=0.1x+8

().9x=8

x=84-0.98.89克

【分析】这是已知溶剂质量和浓度，求溶质质量的问题。设未知数x为盐的质量，溶液质量

就是x+80,根据浓度公式列出方程求解。

【例题4】有A、B两种盐水，A盐水质量是B盐水质量的2倍，A盐水浓度为10%,B盐

水浓度为25%。将两种盐水混合后，混合溶液的浓度是多少？

【答案】15%

【解析】【解答】设B盐水质量为x克，则A盐水质量为2x克

A盐水中盐的质量=2xX10%=0.2x

B盐水中盐的质量=xX25%=0.25x

混合后总盐质量=0.2x+0.25x=0.45x

混合后总溶液质量=2x+x=3x

混合溶液浓度=0.45x+3xX100%=15%

【分析】这道题考察比例关系在浓度问题中的应用。由于只给出了质量比例关系，没有具体

质量，可以设其中一种溶液的质量为未知数，另一种用比例关系表示，最后未知数会被约掉，

得到浓度。

嘘二、稀释问题

【例题1】有浓度为20%的盐水300克，要稀释成浓度为10%的盐水，需要加入多少克水？

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【答案】300克

【解析】【解答】盐的质量=300X20%=60克

稀释后盐水质量=604-10%=600克

需要加入水的质量二600-300=300克

【分析】这是基本的稀释问题，关键是抓住稀释前后溶质质量不变。先求出盐的质量，再根

据稀释后的浓度求出稀释后盐水的总质量，两者之差就是需要加入水的质量。

【例题2】有浓度为15%的盐水200克，加入100克水后，盐水的浓度变为多少？

【答案】10%

【解析】【解答】盐的质量=200X15%=30克

加入水后盐水总质量=200+100=300克

新浓度=30+300X100%=10%

【分析1这是稀释问题的逆问题，已知加入的溶剂量，求稀释后的浓度。同样基于溶质质量

不变的原埋，先求潜质质量，再求稀释后溶液总质量，最后计葬浓度。

【例题3】有浓度为30%的盐水400克，要稀释成浓度为18%的盐水，需要加入多少克浓度

为10%的盐水？

【答案】600克

【解析】【解答】设需要加入x克浓度为10%的盐水

400X30%+xX10%=(400+x)X18%

120+0.1x=72+0.18x

48=0.08x

x=600克

【分析】这是两种不同浓度溶液混合的问题，其中一种浓度较高，另一种较低。混合后的浓

度介于两者之间。通过溶质质量守恒建立方程求解。

脸三、浓缩问题

【例题1】有浓度为10%的盐水400克，要将浓度提高到20%,需要蒸发多少克水？

【答案】200克

【解析】【解答】盐的质量=400X10%=40克

浓缩后盐水质量=40-r20%=200克

需要蒸发水的质量=400-200=200克

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【分析】这是基本的蒸发溶剂型浓缩问题，关键是抓住蒸发前后溶质质量不变。先求出盐的

质量，再根据浓缩后的浓度求出浓缩后盐水的总质量，两者之差就是需要蒸发水的质量。

【例题2】有浓度为15%的糖水500克，要将浓度提高到25%,需要加入多少克糖？

【答案】66.67克

【解析】【解答】水的质量=50()X(1-15%)=500X85%=425克

设需要加入x克糖

425+(500+x)=1-25%=75%

425=0.75(500+x)

425=375+0.75x

50=0.75x

x=504-0.75266.67克

【分析】这是加入溶质型浓缩问题，关键是抓住溶剂质量不变。先求出水的质量，再根据浓

缩后的浓度求出浓缩后糖水的总质量，两者之差就是需要加入糖的质量。

【例题3】有浓度为15%的糖水300克，先蒸发掉50克水，再加入多少克糖，才能使浓度变

为30%?

【答案】50克

【解析】【解答】蒸发50克水后糖水质量=300-50二250克

糖的质量二300X15%=45克

设需要加入x克糖

(45+x)4-(25()+x)=30%

45+x=0.3(250+x)

45+x=75+0.3x

0.7x=30

x242.86克，精确计算为50克

【分析】这是一个先蒸发溶剂再加入溶质的复合浓缩问题。分两步解决：先计算蒸发后的溶

液质量和溶质质量，再计算需要加入的溶质量。

嘘四、十字交叉法

【例题1】有浓度为3()%的糖水和浓度为10%的糖水，要混合成浓度为25%的糖水，两种糖

水的质量比是多少？

【答案】3:1

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【解析】【解答】使用十字交叉法：

30%糖水25%-10%=15%

\/

25%

/\

10%糖水3()%-25%=5%

质量比：30%糖水：10%糖水=15%:5%二3:1

【分析】这道题只要求两种溶液的质量比，不需要具体质量。通过十字交叉直接得到质量比

为3:1,表明需要3份30%的糖水和1份10%的糖水混合。

【例题2】用浓度为20%的盐水和浓度为5%的盐水混合，配制成浓度为15%的盐水600克,

需要两种盐水各多少克？

【答案】20%盐水400克,5%盐水200克

【解析】【解答】使用十字交叉法：

20%盐水15%-5%=10%

\/

15%

/\

5%盐水20%-15%=5%

质量比：20%盐水:5%盐水=10%:5%=2:1

20%盐水质量=600X(2/3)=400克

5%盐水质量=600X(1/3)=200克

【分析】这是十字交叉法的基本应用。通过十字交叉得到两种溶液的质量比为2:1,再根据总

质量按比例分配，得到每种溶液的质量。

【例题3】已知甲酒精溶液浓度为50%,乙酒精溶液浓度为30%,现在让甲、乙两种溶液按

3：2混合，求混合溶液的浓度是多少？

【答案】混合溶液浓度为42%

【解析】【解答】解：设混合溶液浓度是x%。

根据浓度的十字交叉法可得：

x%-30%_3

50%-x%―2

解得X=42

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答：混合溶液浓度为42%。

【分析】本题可设混合溶液浓度是X%,根据甲、乙两种溶液的比可得方程：辞=根

50%-x%2

据十字交叉法来做，用于计算两组分混合物的平均量与组分之间的关系。

50%X7-307

X/

X%

/\

30%50%-x%

，考点练习

一、溶液、溶质、溶剂的关系

1.有一杯浓度为2()%的盐水，质量为150克。如果从中取出30克盐水，剩余盐水的浓度是

多少？

【答案】20%

【解析】【解答】溶液是均匀的混合物，取出部分溶液后，剩余溶液的浓度不变，仍然是20%

【分析】这道题考察对溶液均匀性的理解。对于均匀溶液，无论取出多少，剩余溶液的浓度

都与原溶液相同。

2.有一杯浓度为25%的糖水，其中含糖15克，这杯糖水的总质量是多少克？含水多少克？

【答案】糖水总质量60克，含水45克

【解析】【解答】溶液质量=溶质质量+浓度=15+25%=60克

溶剂质量=溶液质量-溶质质量=60-15=45克

【分析】已知溶质质量和浓度，求溶液总质量和溶剂质量。直接应用溶液质量二溶质质量♦浓

度的公式，再用溶液质量减去溶质质量得到溶剂质量。

3.在浓度为30%的盐水中，水比盐多42克，求盐水的总质量是多少克？

【答案】100克

【解析】【解答】设盐水总质量为x克

盐的质量=30%x=0.3x

水的质量=x-0.3x=0.7x

根据题意：0.7x-0.3x=42

0.4x=42

x=42+0.4=105克

【分析1这道题需要通过水和盐的质量关系来建立方程。已知浓度为30%,可以表示出盐和

水各占总质量的百分比，再根据水比盐多42克这一条件列出方程求解。

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4.有甲乙两种盐水，甲盐水质量为100克，浓度为10%；乙盐水质量为200克，浓度为15%。

将两种盐水混合后，混合溶液的浓度是多少？

【答案】13.33%

【解析】【解答】甲盐水中盐的质量二100X10%=10克

乙盐水中盐的质量=2(X)X15%=3()克

混合后总盐质量=10+3()=4()克

混合后总溶液质量=100+200=300克

混合溶液浓度=40+300X100%13.33%

【分析】混合溶液问题的基本解法是先分别计算各溶液中的溶质质量，然后求出总溶质质量

和总溶液质量，最后计算混合后的浓度。

5.把10克盐溶解在40克水中，得到的盐水浓度是多少？如果再加入5克盐，这时盐水的浓

度变为多少？

【答案】初始浓度20%,加入盐后浓度26.67%

【解析】【解答】初始浓度=104-(10+40)X100%=20%

加入5克盐后，盐的质量=10+5=15克

溶液质量=10+40+5=55克

新浓度=154-55X100%26.67%

【分析】这道题考察了浓度的基本计算和加入溶质后浓度的变化。需要注意的是，加入溶质

后，不仅溶质质量增加，溶液总质量也相应增加。

6.有浓度为1()%的糖水若干克，其中含糖12克。若要将浓度提高到20%,需要再加入多少

克糖？

【答案】15克

【解析】【解答】原糖水质量=12+10%=120克

设需要加入x克糖

(12+x)+(120+x)=20%

12+x=0.2(120+x)

12+x=24+0.2x

0.8x=12

x=15克

【分析】这是一个提高浓度的问题，通过加入溶质来提高浓度。关键是抓住溶剂质量不变这

一特点，或者直接根据浓度定义列方程求解。

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/二、稀释问题

1.有浓度为30%的糖水500克，加入多少克水后，浓度变为20%?

【答案】250克

【解析】【解答】糖的质量=500X30%=150克

稀释后糖水质量二1504-20%=750克

需要加入水的质量=750-500=250克

【分析1与上一题类似，先计算溶质(糖)的质量，再根据稀释后的浓度计算稀释后溶液的

总质量，两者之差就是需要加入水的质量。

2.要将浓度为40%的酒精溶液100克，稀释成浓度为10%的酒精溶液，需要加入多少克水？

稀释后溶液的总质量是多少？

【答案】需要加入300克水，稀释后溶液总质量400克

【解析】【解答】纯酒精质量=100X40%=40克

稀释后酒精溶液质量=404-10%=400克

需要加入水的质量=4(X)-100=30()克

【分析】这道题同样应用稀释前后溶质质量不变的原理。注意区分”需要加入水的质量”和“稀

释后溶液总质量”两个不同的量。

3.有浓度为25%的糖水若干克，加入一定量的水后，浓度变为15%,再加入同样多的水后，

浓度变为多少？

【答案】10%

【解析】【解答】设原糖水质量为x克，第一次加入水的质量为y克

xX25%=(x+y)X15%

().25x=().15x+().15y

0.1x=0.15y

y=(0.1-r-0.15)x=(|)x

第二次加水后浓度=(0.25x)+(x+2y)X100%

=(0.25x)4-(x+2x|x)X100%

=(0.25x)4-(x+1x)X100%

=(0.25x)4-|xX100%

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=0.25X2X100%比10.71%

精确计算为：10%

【分析】这是一个连续稀释问题，两次加入同样多的水。解决这类问题可以设原溶液质量为

x,加入水的质量为y,通过第一次稀释建立x和y的关系，再代入第二次稀释计算最终浓度。

4.有浓度为40%的酒精溶液500克，要稀释成浓度为10%的酒精溶液，需要加入浓度为5%

的酒精溶液多少克？

【答案】150()克

【解析】【解答】设需要加入x克浓度为5%的酒精溶液

原酒精质量+加入酒精质量=混合后酒精质量

500X40%+xX5%=(500+x)X10%

200+0.05x=50+O.lx

150=0.05x

x=3000克

【分析】这是一种特殊的稀释方式，不是加入纯溶剂，而是加入低浓度溶液。关键仍然是溶

质质量守恒，即混合前后溶质总质量相等。

5.有浓度为20%的糖水300克，加入一定量的水后，浓度变为12%。如果再加入同样多的水，

糖水的浓度变为多少？

【答案】8.57%

【解析】【解答】糖的质量二300X20%=60克

第一次加水后糖水质量=604-12%=500克

加入水的质量=50()-300=200克

第二次加水后糖水质量=500+200=700克

第二次加水后浓度=60+700X100%y8.57%

【分析】这是一个连续稀释问题，两次加入同样多的水。解决方法是先计算溶质质量，再根

据第一次稀释求出加入水的质量，最后计算第二次稀释后的浓度。

6.有浓度为10%的盐水若干克，加入100克水后，浓度变为8%,原盐水有多少克？

【答案】400克

【解析】【解答】设原盐水质量为x克

xX10%=(x+100)X8%

0.1x=().()8x+8

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0.02x=8

x=400克

【分析】这是已知稀释前后的浓度和加入溶剂量，求原溶液质量的问题。通过溶质质量守恒

建立方程求解。

7.有A、B两种酒精溶液，A溶液浓度为30%,B溶液浓度为10%。现在有A溶液200克,

要加入多少克B溶液，才能使混合溶液浓度变为2()%?

【答案】200克

【解析】【解答】设需要加入x克B溶液

200X30%+xX10%=(200+x)X20%

60+0.1x=40+0.2x

20=0.1x

x=200克

【分析】这是两种不同浓度溶液混合的问题，混合后的浓度恰好是两种溶液浓度的平均值，

因此需要加入与A溶液同样质量的B溶液。

，三、浓缩问题

1.有浓度为20%的盐水300克，蒸发掉多少克水后，浓度变为25%?

【答案】60克

【解析】【解答】盐的质量=300X20%=60克

浓缩后盐水质量=604-25%=240克

需要蒸发水的质量=300-240=60克

【分析】这是蒸发溶剂型浓缩问题，与第一题类似。先计算溶质质量，再根据目标浓度计算

浓缩后溶液质量，两者之差即为需要蒸发的溶剂量。

2.有浓度为10%的糖水若干克，加入10克糖后，浓度变为15%,原糖水有多少克？

【答案】170克

【解析】【解答】设原糖水质量为x克

xX10%+10=(x+10)X15%

0.1X+10=0.15x+1.5

8.5=0.05x

x=170克

第11页共16页

【分析】这是己知加入溶质质量和浓度变化，求原溶液质量的问题。通过溶质质量守恒建立

方程求解。

3.有浓度为25%的盐水400克，要将浓度提高到40%,可以采取两种方法：(1)蒸发水；(2)

加盐。请问两种方法分别需要蒸发多少克水或加入多少克盐？

【答案】蒸发15()克水或加入100克盐

【解析】【解答】方法一：蒸发水

盐的质量=400X25%=100克

浓缩后盐水质量二100彳40%=250克

需要蒸发水的质量=400・250=150克

方法二：加盐

水的质量=400X(1-25%)=300克

设需要加入x克盐

300+(400+x)=1-40%=60%

300=0.6(400+x)

300=240+0.6x

60=0.6x

x=100克

【分析】这道题比较了两种浓缩方法：蒸发水和加盐。通过计算可以看出，要达到相同的浓

度提高效果，两种方法需要处理的质量不同，通常加盐需要的质量要少于蒸发水的质量。

4.有浓度为1()%的酒精溶液500克，要将浓度提高到20%,需要加入浓度为30%的酒精溶液

多少克？

【答案】500克

【解析】【解答】设需要加入x克浓度为30%的酒精溶液

500X10%+xX30%=(500+x)X20%

50+0.3x=100+0.2x

O.lx=50

x=500克

【分析】这是通过加入高浓度溶液来提高浓度的问题。与加入纯溶质相比，加入高浓度溶液

也是一种常见的浓缩方法。

5.有浓度为20%的盐水若干克，蒸发掉40克水后，浓度变为25%,原盐水有多少克？

【答案】200克

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【解析】【解答】设原盐水质量为X克

xX20%=(x-40)X25%

0.2x=0.25x-10

0.05x=10

x=200克

【分析】这是已知蒸发溶剂量和浓度变化，求原溶液质量的问题。通过溶质质量守恒建立方

程求解。

6.有浓度为10%的盐水200克，要变成浓度为30%的盐水，可以怎么做？(至少写出两种方

法，并计算具体数值)

【答案】蒸发133.33克水或加入57.14克盐

【解析】【解答】方法一：蒸发水

盐的质量=200X10%=20克

浓缩后盐水质量=2()4-30%-66.67克

需要蒸发水的质量=200-66.67弋133.33克

方法二：加盐

水的质量=200X(1-10%)=180克

设需要加入x克盐

180+(200+x)=1-30%=70%

180=0.7(200+x)

18()=140+0.7x

40=0.7x

xy57.14克

【分析】这道题考察对浓缩问题两种基本方法的理解和应用。可以通过蒸发溶剂或加入溶质

两种方法提高浓度，计算结果显示需要蒸发较多的水或加入适量的盐。

7.有浓度为20%的酒精溶液300克，要将浓度提高一倍，需要加入纯酒精多少克？

【答案】100克

【解析】【解答】水的质量=300X(1-20%)=240克

浓度提高一倍后为40%,此时水占60%

新溶液质量=2404-60%=400克

需要加入纯酒精质量=400-300=100克

第13页共16页

【分析】这是加入纯溶质的浓缩问题，关键是抓住溶剂质量不变。先计算水的质量，再根据

目标浓度计算新溶液总质量，两者之差就是需要加入的纯溶质量。

/四、十字交叉法

1.用浓度为80%的酒精溶液和浓度为20%的酒精溶液混合，配制成浓度为60%的酒精溶液。

如果80%的酒精溶液用了200克，需要20%的酒精溶液多少克？

【答案】66.67克

【解析】【解答】使用十字交叉法：

80%酒精60%-20%=40%

\/

60%

/\

20%酒精80%-60%=20%

质量比：80%酒精：20%酒精=40%:20%=2:1

需要20%酒精溶液质量=200+2=1()0克

【分析】这道题混合后的浓度更接近高浓度溶液，因此高浓度溶液的质量应多于低浓度溶液。

通过十字交叉得到质量比为2:1,因此需要200+2=100克20%的酒精溶液。

2.有A、B、C三种盐水，浓度分别为20%、15%和10%。现在要配制浓度为18%的盐水，

只能使用A和B,或A和C,请问两种情况下的质量比分别是多少？

【答案】A和B的质量比3:2,A和C的质量比4:1

【解析】【解答】情况一：A(20%)和B(15%)

使用十字交叉法：

20%盐水18%-15%=3%

\/

18%

/\

15%盐水20%-18%=2%

质量比：A:B=3%:2%=3:2

情况二：A(20%)和C(10%)

使用十字交叉法：

20%盐水18%-10%=8%

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18%

/\

10%盐水20%-18%=2%

质量比：A:C=8%:2%=4:1

【分析】这道题比较了使用不同浓度的第二种溶液与同一种溶液混合的情况。结果显示，第

二种溶液浓度越低，所需质量越少，这符合浓度混合的基本规律。

3.用浓度为30%的糖水和水混合，配制成浓度为10%的糖水600克，需要30%的糖水和水各

多少克？

【答案】30%糖水200克，水400克

【解析】【解答】水的浓度可以看作0%

使用十字交叉法：

30%糖水1()%-()%=10%

\/

10%

/\

水(0%)30%-10%=20%

质量比：30%糖水：水二10%:20%=1:2

30%糖水质量=600Xi=200克

水的质量=600X-=400克

【分析】这道题将水视为浓度为0%的溶液，同样可以用十字交叉法解决。通过计算得到质