高考数学一轮复习：幂函数（原卷版）

2.6幕函数

思维导图

知识点总结

知识点一幕函数的概念

一般地，函数—叫做事函数，其中x是自变量，a是常数.

知识点二五个导函数的图象与性质

1.在同一平面直角坐标系内函数(l)y=x；(2))，=婷；0))，=/；(4).y=x1(5)、=/的图象

如图.

定义域RRR［0,+8)一

值域R—R—

奇偶性——a—一

在［0,+00)—,在(0,+8)上

单调性增一一

在(一8,()］上_在(一8,0)±_

知识点三一般寻函数的I］象特征

1.所有的基函数在(0,+8)上都有定义，并且图象都过点___一

2.当a>0时，幕函数的图象通过并且在区间［0,+8)上是增函数.特别地，当«>1

时，鼎函数的图象当Ovavl时，凝函数的图象

3.当—时，基函数的图象在区间(0,+8)上是减函数.

4.塞指数互为倒数的事函数在第一象限内的图象关于直线y=x对称.

5.在笫一象限，作直线x=a(a>l),它同各转函数图象相交，按交点从下到上的顺序，■指

数按从小到大的顺序排列.

典型例题分析

考向一帮函数的概念

例1(1)下列函数：

①y=R②y=(J)；③y=4/；④,=./+1；⑤y=(x-1)5®y=xi®y=a\a>\).其中累

函数的个数为()

A.1B.2C.3D.4

⑵己知)=(>+2加一2).-2+2〃-3是基函数，求机，〃的值.

反思感悟判断函数为寐函数的方法

(1)自变量X前的系数为1.

⑵底数为自变量K.

(3)指数为常数.

考向二幕函数的图象及应用

例2(1)已知哥函数4r)=片的图象过点《2,试画出人灯的图象并指出该函数的定义域

与单调区间.

反思感悟(1)寐函数图象的画法

①确定幕函数在第一象限内的图象：先根据a的取值，确定寐函数)，=d在第一象限内的图

象.

②确定簌函数在其他象限内的图象：根据寐函数的定义城及奇偶性确定簇函数在其他象

限内的图象.

(2)解决与标的数为关的综合性问题的方法

首先要考虑寐函数的概念，对于寐图数y=V(a£R),由于a的取值不同，所以相应解函数

的单调性和奇偶性也不同,同时，注意分类讨论思想的应用.

考向三比较塞值的大小

例3比较下列各组数的大小.

⑴加与凯

(2)(-0「与(-0%

3.已知哥函数（〃曲©的图象与刀轴和），轴没有交点，且关于），轴对称，则小等

于（）

A.1B.0,2C.-1,1,3D.0,1,2

,22

4.已知函数是定义在R上的奇函数,当xNO时,/（幻二；（卜-叩|\x-2a|-3«),若

VxeR,/（x-l）＜/（x）,则实数〃的取值范围为（)

£_x/6R\_

A.B.C.D.［正叵

6,633T'T

5.下列比较大小中正确的是（）

3、YU2\-i3)

A.B.<

2>

33

C.(-2.1)7<(-2.2)7D.<

6."。〉1"是"函数/（幻=丁在（0，+8）上单调递增”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、多选题

7.关于基函数y=f（aeR,a是常数），结论正确的是［）

A.基函数的图象都经过原点（0,0）

B.寻函数图象都经过点（1.1）

C.幕函数图象有可能关于）'轴对称

D.塞函数图象不可能经过第四象限

8.已知函数/。）=/的图象经过点则（）

A./*）的图象经过点（2,4）B.的图象关于原点对称

C./⑴在（0,+o。）上单调递减D./*）在（。,a）内的值域为（0,”）

二、填空题

9.己知得函数y=(加一而-3)/在(0,+e)上单调递增，则用=.

10.已知/(幻是奇函数，且当x＜0时，〃x)=Y匕若/(ln2)=8,则。=.

11.若函数/(工)=也子7为奇函数，则〃的取值范围为.

12.已知耗函数"x)=x"m+3(〃?eZ)为偶函数，且在区间(0,+8)上是单调增函数，则/(2)

的值为.

四、解答题

13.在同一坐标系内画出下列函数的图象，并加以比较：

IJ

(1)y=x2fy=川；

(2)y=x~l,y=x'2.

14.已知函数Mx)=(〃/-5m+l)x'向为辕函数，且为奇函数.

(1)求〃?的值；

(2)求函数g(K)=/?(x)+Jl-2x在的值域.

15.已知辕函数/(x)=""Fk3(/“为正整数)的图像关于v轴对称，且在(0,+8)上是严格

减函数，求满足(4+1产＞(3-2〃)号的实数〃的取值范国.

16.已知函数/(x)=log2〃?+'彳］为奇函数，其中"7,几£尺加＜0

⑴求〃7,〃的值；

(2)求使不等式＞1成立的x的取值范围.

提升题型训练

一、单选题

1.累函数/（工）的图象过点（2,；｝则/（X）的一个单调递减区间是（）

A.（0,+8）B.[0,+8）C.（…，0]D.（…，0）

2.数学学习的最终目标：让学习者会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用

数学语言表达世界.“双11“就要到了，电商的优惠活动很多，某回学借助于己学数学知以对“双

11"相关优惠活动进行研究.已知2019年"双11"期间某商品原价为〃元，商家准备在节前连

续2次对该商品进行提价且每次提价10%,然后在“双11〃活动期间连续2次对该商品进行

降价且每次降价10%.该同学得到结论：最后该商品的价格与原来价格。元相比.

A.相等B.略有提高C.略有降低D.无法确定

3.已知/"）=（〃?2-〃?-1）丁+4是暴函数，且气、”R，x产已都有"国）："」）>0,

X\~X2

则不等式/（log2x）<8的解集为（）

A.（0.4）B.（4,+oc）U（J,2）D.6,4）

4.已知哥函数/（x）=（2/-5,»+3）/为偶函数，则关于函数g0）=7%的下列四个结论中

正确的是（）

A.g（x）的图象关于原点对称B.g（x）的值域为[0，1]

C.g（x）在（。，+8）上单调递减D.

g（x）+g（m=i

5.定义在R上的偶函数/（力在[0,+-）上是增函数，则方程"x）=〃2x-3）的所有实数

根的和为（）

A.1B.2C.3D.4

6.下列命题中，正确的有（）个

①对应：A=R,8=R,f丁=」~；•是映射，也是函数；

%'+1

②若函数/。-1）的定义域是（1,2）,则函数的定义域为（0日）；

③幕函数y=与），=/图像有且只有两个交点;

④当匕＞0时，方程|2'-1一人=0恒有两个实根.

A.1B.2C.3D.4

二、多选题

7.已知函数/(x)的图象经过点(g,2),则()

A./U)的图象经过点(2,4)B./(0的图象关于原点对称

C.f(x)在(0,+8)上单调递增D./(x)在(0,+8)内的值域为(0,+8)

8.设函数/(x)=J(a+1+x一〃(a。R),则()

A.存在实数a,使/'")的定义域为R

B.函数/(%)一定有最小值

C.对任意的负实数。，/(x)的值域为［。,+8)

D.若函数八幻在区间［0,+8)上递增,则。«-1叫

三、填空题

9.已知塞函数4r)=xa的图象过点(4,2),则用

10.实数〃满足(2〃_1)4＞3+1)＜，则实数。的取值集合为.

11.已知基函数/(x)=/-*3(,〃wN.)的图像关于直线工=0对称，且在(0,+功上单调递减,

则关于。的不等式(〃+］产＜(3-2“)点的解集为.

12.设函数/(力=丁-一二，