高考数学一轮复习：用导数研究函数的极值（解析版）

专题3用导数研究函数的极值

一、考情分析

函数与导数一直是高考中的热点与难点，研究函数的极值是导数在函数中的一个重要应用，也是高考考查的

重点，本专题从求函数的极值、确定函数极值点的个数、由函数极值点个数确定参数范围、含参数的函数极

值的讨论、由极值点满足条件求解不等式问题等几个方面帮助高三学生把握极值问题求解问题.

二、解题秘籍

(一)求函数的极值

1.函数的极值与导数的关系

⑴函数的极小值与极小值点

若函数人工)在点x="处的函数值贝。)比它在点附近其他点的函数值能b/(a)=O,而且在点附近的

左侧/(x)vO,右侧/(x)>0,则点a叫做函数的极小值点面I)叫做函数的极小值.

(2)函数的极大值与极大值点

若函数贯外在点x=b处的函数值贝加比它在点x=b附近其他点的函数值都大/。)=0,而且在点x=b附近的

左侧/QAO,右侧/(x)vo,则点b叫做函数的极大值点力与叫做函数的极大值.

2.求函数人幻极值的步骤：

①确定函数的定义域；

②求导数/(x)；

③解方程人%)=0,求出函数定义域内的所有根：

④列表检验/(X)在/。)=0的根须左右两侧值的符号.如果左正右负，那么,"x)在X。处取极大值；如果左负右

正，那么凡6在xo处取极小值.

3.对极值理解：

(1)极值点不是点，注意极值与极值点的区别；

⑵若危)在(〃⑼内有极值，那么危)在3力)内绝不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值.

(3)根据函数的极值可知函数的极大值/(m)比在点K0附近的点的函数值都大，在函数的图象上表现为极大值对

应的点是局部的“高峰”；函数的极小值人的)比在点工。附近的点的函数值都小，在函数的图象上表现为极小值

对应的点是局部的“低谷”.一个函数在其定义域内可以有许多极小值和极大值,在某一点处的极小值也可能

大于另一个点处的极大值，极大值与极小值没有必然的联系，即极小值不一定比极大值小，极大值不一定比极

小值大；

(4)使/(x)=0的点称为函数兀圻的驻点，可导函数的极值点一定是它的驻点.驻点可能是极值点，也可能不是极

值点.例如人幻=/的导数/(工)=3.~在点X=0处有/(0)=0,即1=0是凡¥)=^的驻点，但从人。在(一8,+8)

上为增函数可知,X=0不是八¥)的极值点.因此若/。0)=0,则Xo不i定是极值点，即了(工0)=0是<x)在X=X0处

取到极值的必要不充分条件，函数y=/(幻的变号零点，才是函数的极值点；

(5)函数«r)在［〃力］上有极值，极值也不一定不唯一.它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间

必有一个极小值点,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地，当函数./U)在瓦上连续且有

有限个极值点时，函数凡。在力］内的极大值点、极小值点是交替出现的.

【例1】(2024届四川省叙永第一中学高三上学期入学考试)已知函数/(外=与,其中x>0,〃>0.

x

⑴当4=1时,求函数〃%)的极值;

(2)若方程=恰有两个不相等的实数根，求。的取值范围.

e

【解析】(1)当4=1时J(x)=鼠/");C'㈠T)

XX

vA>0,•.•当0vxv1时J'(x)<0：当">1时J'(x)>0.

・•・函数/⑴单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1，+8).

/(X)的极小值为了⑴=e，无极大值.

(2)•.•x>0.。>0,由方程=得=lne'-Ind=ln

eeYx

令z=J>0,则」=lnr.

x"c

令力⑺=hw—L,则力'(f)二1-L

ete

「•当()v/ve时，〃⑺>0；当f>e讨、方⑺<0.

・•・函数h(t)在(o,c)上单调递增，在e-)上单调递减.

•4(e)=0,.,.方程」=Inf有唯一解/二e.

e

「•方程高"Mnx有两个不等的实数解等价丁方程e吟有两个不相等的实数解.

等价于方程alnx=x-l有两个不相等的实数解.

构造函数上。)=4始工一工+1,则k\x)=--1.

X

•・•4>0,.,.当0<x<a时,&'(%)>0；当X>a时,k\x)<0.

•••函数仪制在(。，幻上单调递增和S,3上单调递减.

只需要A(a)=aln«-a+1>0,即lna+--1>0.

构造函数加(〃)=Ina+--1,则=-----.

aacr

...当0<a<l时,〃7'(a)<0；当a>l时，/(a)>0.

「•函数〃心)在(0,1)上单调递减，在(1，y)上单调递增.

,/，"(1)=0.，当。工1时.111〃+:-1>0恒成立.

・•・〃的取值范围为(0，1)=(1，内).

(二)函数极值点的个数问题

可导函数/")的极值点的个数，通常转化为方程尸(x)=0实根个数，再根据r(x)的单调性或图象求解，求解

时要注意/'(x)=0是％的必要不充分条件.可导函数/(幻在点七处取得极值的充要条件是：凡是导函数的

变号零点,即/'(%)=0,且在与左侧与右侧,/'*)的符号异号.另外，不可导函数也会有极值，如了数/*)=国,

在极小值点及=0是不可导的.

【例2】(2024届北京市景山学校高三上学期开学考试)已知函数/*)=(加-2W)e'(aeR).

(1)当a=T时，求/(x)的单调区间；

(2)求证：当a>0时，函数f(x)有三个不同的极值点.

【解析】(1)当a=T时,/*)=(-/-2。色

/'(x)=(-父-2x2-3x2-4x)ex=(-X3-5X2-4x)ev

=-x(x2+5x+4)ev=-x(x+l)(x+4)ev,

所以在区间(YOT),(T0)J'(X)>0J(X)单调递增，

在区间(TT),(0,+co)J'(x)<0,f(x)单调递减.

所以/W的增区间为(YQ,T)，(T,0);减区间为(Y,-1),(0，"O).

(2)依题意/(x)=(ar3-2.r)ex(a>0),

尸(x)=(加-2x2+3ax2-4x)e、=[加+(3a-2)x?-4x]ev

=A[av2+(3a-2)x-4]ev,

对于函数火（x）=ar2+（3a-2）x-4（a>0）.

由题意可知,宜线)与函数〃(x)的图象有两个公共点(非切点)，

令x)=Y+2e"-2siIIx,则//(x)=2x+2ev-2cosx,

令p(x)=2x+2e，-2cosx厕//(x)=2ev+2+2sinx>2ev>0,

所以，函数力'(x)在(^0,-KC)上为增函数，

当"。时,〃'(力</7'(0)=0：当x>0时,"(x)>"(0)=0.

所以,函数〃(x)的减区间为(-8,0)，增区间为(0,+8).

所以,函数〃(X)在4=0取得最小值，即〃(x)min=〃(0)=2,如下图所示:

由图可知，当-。>2时，即当。<-2时，直线尸一。与函数〃("的图象有两个公共点(非切点)，

且当XVX］或时,/(■¥)=12+2廿一2$m工一(一〃)=力(力一(一〃)>0,此时函数8(力单调递增,

当4时,且<力=丁+23一25m.丫一(一〃)二/7(同一(一4)<0,此时函数武力单调递减，

故当4V-2时，函数g(X)有两个极值点.

因此，实数。的取值范围是(—,-2］；

证明：(ii)因为王<马,由(D可知司<0<々,

且函数g(X)的增区间为(7°，内)、(W，*c)，减［乂间为(%,工2),

令p(x)=g(x)+g(-x)=2e'+Ze"+4cosx,其中x>0、

则〃'(1)=2e'-2e*-4sinx.令£(i)=2e'-2ex-4sinx.

则，(x)=2eA+2e-t-4cosx>4Vel-e-'-4cos.r>4-4cosx>0,

所以，函数〃'(x)在(0,+8)上为增函数,故当戈>0时,p(x)>p(O)=8、

因为吃>0,则P(W)=g(W)+g(F)>8,

又当XV。时,g（x）1mx=g&）

因为4、一再w（y,o）,则g（F）4g&）,

所以,g（%）+g（W）Ng（T2）+ga）＞8.

（四）含参数的函数极值的讨论

求含参数函数/W的极值，通常转化为不等式/'（X）＞0或/'（X）＜。的解集问题，求解时要注意对参数进行分

类讨论.

【例4】（2023届河南省郑州市等3地高三下学期6月冲刺卷）函数/（"=2or-21n.r-」5€R）,

X

（\%+11

g（x）=^7~.

2（x-l）Inx

（1）讨论/（x）的极值的个数；

⑵若/⑴送⑴,。在X£（1，E）上恒成立，求。的取值范围.

【解析】（1）/（人）=2,认-2加人-'（〃匕R）定义域为（0,十a）,

X

f（x）=2a--+-^=2/一+1令〃（0=2ad-2x+l.

Xx~x~

当,7=0时,/'"）=岑1./（力在（0,£|上单调递增,在（；,+8）上单调递减，

所以」（力有一个极大值;

当叱0时，①"0,力（力为图象开口朝下的二次函数,A=4-%＞0,

・••力（刈=0的两根为工=2±"^=1±&7^,显然1+＞^二五＜0,1-4^＞。

4。2a2a2a

・•・F（x）在（。，上方3上单调递增，在上铝^,+8）上单调递减，所以“X）有一个极大值;

②0＜〃＜人可知上且巨＞0,

22a

・•・f(x)在jo,上手红］『+手句,一］上单调递增，

［24八2aJ

在「《了，"普?)上单调递减•所以〃%)有2个极值，一个极大值，一个极小值;

③“2；时，可得ra)2o、・・・“x)在(0,+动上单调递增，所以/⑴无极值.

综上所述，当三0时,/(力有一个极大值；

当时J")有一个极大值「个极小值：当。2；时,/(工)无极值.

乙乙

(2)设尸(x)=］nx-亚^(―从尸红卜,一7一二与之〉。，

v7X+lV7x(x+l)-X(X+l)

・・・F(x)>F(l)=0,

2(v—1)Ix+1

m,两边同时取倒数赢<而可

•・・1^-上>°'・'・小)>6

又•.•/(4)送(力>0,・・・/(力>0即可,由/(力>0,可得4,上工，

2x

.n2lnXH—2|1-------inx|

以G(x)="c1)D(x)—-A一——L，

XX

•••设r(x)=］一』Tnx,/(x)=4K0,

Ar(x)<r(l)=0,.\G(x)«0,.・・G(x)单调递减,

・•・G(x)<G(l)=l,.-.d>1,

・・・a的取值范围为最”).

(五)由极值点满足条件求解不等式问题

此类问题一般是给出极值点个数或给出与极值点有关的等式不等式，证明与极值点有关的不等式或根据不等

式恒成立求参数范围，前者通常构造函数与方程求解,后者通常转化为函数最值或通过分类参数求解.

【例5】(2023届上海市曹杨第二中学高三模拟)已知函数/(x)=ar-lnx-N.

(1)若/(X)是定义域上的严格增函数，求。的取值范围;

⑵若x>lJ（x）>0,求实数。的取值范围；

⑶设演、巧是函数/（x）的两个极值点，证明：|/（x,）-/（x2）|<^7

【解析】（1）依题意，/'*）=4-%/=（彳>0）.

人X〃/一A；+"

若f（x）是定义域上的严格增函数

贝ij"，：;十"20对于xe（0,”）恒成立，即”>对于x«Q於）恒成立,

x=「,<'I=—II

而1+1x+j.-2FT2，当且仅当X=7即x=1时，等号成立.

所以a、：,即4的取值范围为；,+«>}

2

⑵由⑴知小）=。心+台”+。〉。）.

①当a«0时，在K£（l,xo）上/'（幻<0,所以“V）在（I,”）上单调递减,

所以/“）</（I）=0,所以aW（）不符合题设.

②当Ocavg时，令八幻=0,得加一…=0,解得"一叫也e（0,l），WJ/；］嗔（1,+8）,

所以当天«1,当）时八为<。,所以/（外在（I,%）上单调递减，

所以/*）〈/⑴=0,所以0<〃<g不符合题设.

③当a2g时，判别式△=1—4/V0,所以/'（X）之0,

所以/（A）在（1,位）上单调递增，所以/（A）>/（I）=0.

综上，实数。的取值范围是［；，甸.

（3）由（2）知，当0<。时J（r）在（0,大）上单调递增，在（N，xJ上单调递减，在（天,用）上单调递增,

所以A是/（X）的极大值点,X?是ZU）的极小值点.

由（2）知,入1工2=1，X］+工2=（'则12_演=d（X\+工2）2-4中2=~——

综上，要证|/（幻-/（七）卜西尹，只需证〃3）-/伍）<£一小

因为毛一玉一/（内）+/（$）=（〃+1）（王一%）一111¥+〃.^^

=24.")+h71)-1吟=3^)+宁-1哈

AiM十%\]x\x2A

二僵1、户一户通

殳+1V西\x2X

设/=?>1、g(/)=，/t；)+1一才一吊/.

所以尸⑺=—1^+-1r+—1r3—£^+("一，>(),

(r+l)-2&2t\[if|r+l)'2tyft

所以g«）在（1,y）上单调递增，所以g（，）>g⑴=。

所以毛f-/（%）+/（W）>。,即得/（王）一/伍）〈王一天成立.

所以原不等式成立.

【例6】（2024屈四川省成都市第七中学高三上学期入学考试）已知函数/（x）=mn.E-aT+l,acR.

⑴若经过点（0,。）的直线与函数/（"的图像相切于点（2J（2））,求实数。的值；

⑵设g（x）=/（x）+gf—若g（x）有两个极值点为巧，占（再内2）,且不等式g（N）+g（&）<4（N+X2）恒成立,

求实数4的取值范围.

【解析】（1）f（x）的定义域为（（），田），

由“x）=aInx_G+1,得/"（力=2-%则r（2）=5_a=_5，

因为经过点（。,。）的直线与函数/（M的图像相切于点仅〃2））,

所以&=牛=一§,

22

所以«In2-2«+1=一4、解得a=--—,

l-ln2

2aA1（l

（2）/?（x）=/（.v）+^.v-1=a]n.v_av+?x2,贝i]f,>/x\=fL_a+x=^——（x>0）,

22xx

因为g（x）有两个极值点为为,日（力工/）,

所以=0在（0,+⑼上有两个不同的根，

此时方程W一◎•+〃=0在（0,e）上有两个不同的根，

则八=/_44>0,且玉+七=4>°，玉与=4>°、解得〃>4,

若不等式g(xJ+g(W)〈a(X+W)恒成立，则义恒成立,

Xl+工2

11

因为83)+且(工2)=〃。玉一为)+5工：+a(\nx2-x2)+-xl

=a卜（斗工2）-4（E+X2）+—（x：+后）

=aln（x）%?）-4（%+s）+g[（再+/）2-2X[X?]

=alna---a2-a

2

不妨设力(幻=%12=空之二

内+x2a2

则mi力l,(，〃、)=一]一-]=—2——a,

a2la

因为。>4,所以h\a)<0,

所以〃(a)在(4,18)上递减，所以")v做4)=2In23,

所以NN21n2-3,

即实数4的取值范围为[2加2-3,田).

三、典例展示

【例I](2023届海南省文昌中学高三模拟预测)已知函数〃"=(/-a)e1

(1)若/")存在两个极值点，求实数。的取值范围；

(2)若身(x)=f(x)-限+2)工-24-3卜,且且(外在(0,2)上有两个极值点中吃,求证：g(N)g(%)<4e2.

【解析】(1)由函数/(力=(丁-。*可得/'(x)=(f+2x-a)e，，

因为/W存在两个极值点,即方程(x2+2x-a)e'=0有两个不等实根，

即方程V+-a=0有两个不等实根，

所以△=4+痴>0,解得。〉-1,所以实数”的取值范围为

(2)由g(x)=/(.r)-[(«+2)x-2A-3]e'=[x2-(6/+2)x+A+3]e',

可得/(X)=12-+1)e',

因为g(x)在(。，2)上有两个极值点中小即是方程f-奴+1=0的两个根，

令〃心)=9一依+1,则满足卜"2)=5-2〃>0，解得

->0

2

因为药,电e(O,2),且1+x2=。,西玉=I

由g(xjg(x2)=e"[X；_(。+2)U+a+3]e的[x；一(。+2)毛+a+3]

2

=9+々[仁/-2(a+2)(x+x2)+(a+2)],

将』+々=。，xix2=1代入上式，可得g(内)g(当)=e"(一/+8),

根据题意,只需证身(不)式为)=©"(8-*<4葭

令Mx)=e*(8-f).其中2vxV"|.

可得"(x)=e'(8_x2_2x)=-eT(/_2)(x+4),

当%>2时,“(力<0测〃(x)在(2,+8)上单调递减，即引力<A(2)=4e2,

即当昨(2$时d(-。2+8)<4<所以晨芭)晨看)<抬2

【例2】(2023届甘肃省张掖市高三下学期第四次模拟)已知函数&司=小一。+1为/(»的导函数.

(1)讨论了'(X)的极值；

(2)当x>-l时J(x”7<求女的取值范围.

【解析】(1)7(力=2履一-,记g(x)=—(x)(xwR),则((力=2"1.

①当心()时,g\x)<O,r(A)在R上单调递减，故ff(x)无极值.

②当/>0时，令g'(x)=0,得％=ln(2Z),

当xe(-8,ln(2k))时,g，(x)>0J[x)单调递增；

当”e(In(29,+8)时,/(x)<0J'(x)单调递减.

所以广⑴在x=ln(22)处取得极大值，且极大值为了'(ln(2Z))=24n(2左)一2八

综上所述、当&40忖J'(x)无极值：当&>0时J'(x)的极大值为兼ln(2Q-2攵.无极小值.

(2)/㈤之一.“可化为(3-1户+收+120,

当工=0时,(x—l)e'+收2+1=(O-l)e°+&X0+1=0,此时可得太6R；

当工工0时,不等式。一1)。'+心2+整()可化为(、-1产十乜一女,

x

设乂力=(”-*1(-1<A<0^X>0).则〃(力=n'-2其：-1户-2工=(丁一2二2卜,-2

设p(x)=(f_2x+2)e'-2,(-1Kx<0垢>0)，则夕'(x)=(2工-2卜，+(f_2x+2^ex=.r2er>0,

所以夕(x)单调递增,所以当x>0时@(x)>2e0-2=0,”(x)>0.

当-14xV0时,0(x)v0,/(x)>0,

所以函数/?("=色芈"1在(0,+8)和[TO)上都为增函数，

取y[T。),则〃⑸-〃(』)=9上-(/”；+、(上怛野叱二

%0(%))玉)

设尸(力=(x_l)eX+(x+l)eT(T4x<0),

则当-1W0时/(x)=xe*-(工+1)b+e-x=x(et-e--r)>0,

所以「("=(》-1)/+(1+1)心在[-1,0)上单调递增，

所以当TWO时，尸(力<尸(0)=0,

所以当一1K与<0时,万(玉)</?(一与)，

所以h(x)=2?'+1(_[<x<o^u>o)的最小值为力(一1),即1-：,

所以当x«T,O)和(0,+8)时.(1)1+1没有最小值,

X'

但当X趋近一1时,(“7，十|无限趋近1-2,

X-C

且(X-二，又(1产+7_女恒成立，所以1_22_h所以人2—1.

%-eA-ee

'2、

综上人的取值范围为--1,+8.

LeJ

【例3】(2023届安徽省亳州市第一中学高三最后一卷)已知函数=

(1)讨论函数f(X)的极值点个数:

If/\

⑵当〃?=1,方程/(力=加有两个不同的实根伍<.rj时，且e^>ln空恒成立，求正数。的取值范围.

\X2J

【解析】(1)由题可得/'(x)=欣+1—2，必设g(x)=r(A)=lnA+l-2mx,g\x)=--2m=上匹，

XA

①当时,g'(x)>O，r(x)递增.且/”)>0/(。21)=2物-1+1-2眼2K=2m(1-©2叱注0,所以尸(另有

一个变号零点，

②当〃00时,/'(X)在(O..)上递增，在《7+8)上递减,且《—)=始(，

川当0<］工I时，即〃?>〈时，所以广(力无变号零点；

2m2

［2］当一^―〉1,BP0<w<—Ebj,/jT~|=~~>f"|=-1+1~~~<0,

2m2\2inJ2m［eje

由Inr+1-Imx<\fx+1-Imx<-2/«r+x/r+1+Im=0取ro=(2：+1［厕/'(%)<。,所以尸(x)有两个变号

零点；

综上：当〃K0时，有I个极小值点,无极大值点；

当0<小<3时，有1个极小值点和1个极大值点；

当加时，无极值点.

(2)/〃=1时J(x)=bx即xlm--12=桁即1nA•一x=力有两个不同的根氏,七(七v内)』叫一N=h叫一七,

,n即eK>ln(exJ-皿=1+1叫-1叫=1+八即一+)

cf-1-z>«/ln(l+z).

下证力(x)=e"-1一x-adn(1+x)>0对Dx>0恒成立,

x

^(x)=ev-1-«ln(l+x)+

1+x

V1I

/n(x)=h'(x)=er-1-6/ln(l+x)+---,z??z(x)=e'-a-----+-------y

iiirio

^t(x)=m,(x)=ex-a-----+--------,«x)=e'+a-------+—二^

'，'，1+x(l+x)2?JV7[(J，(l+x)3

①当0<aKg时.r(x)=e'+aI2

-------7--------r>0,.•.加(x)>m,(0)=\-2a>0,/.h'(x)>“(0)=0,

(l+A)2(1+4

.•./i(x)>/z(O)=O：

②当a>；时,〃?'(。)=1-2a(0,〃?’(ln2a)-la-a1]

i+7(i+x)2“一士一

使得x«(U)时，加(0)v0,所以在(0田)上,“(力<”(0)=0,在(0用)上,Mx)<M0)=0,不存在。使不等式成

立；

综上：0<a

【例4】(2024屈湖南省部分重点学校高三上学期入学摸底考试)已知函数"x)=cr'-ar\a:>l.

⑴当。二e时,求曲线)，=f(x)在x=1处的切线方程；

⑵若/(“存在极值点小,且/(七)=0,求。的值，并分析小是极大值点还是极小值点.

【解析】⑴当。=«时,/3=©'-殳2J(x)=e'-2er,

/.r(l)=e-2e=-e,X/(1)=e-e=0,

・•.)=/(x)在x=l处的切线方程为：y=-e(x—l),即ex+y-e=0.

(2)=/'(x)=a'lna-2<2¥,.，.r(xo)=a"lna-2ax;)=0,即a"Ina=2叫)①;

•••/(小)=々"一'E=°、，

।n2

lna>0,又一67^'>0,------x=0,即玉=--->0,

2Ina0\na

22

ln

•*«=—，/=e?,代入①式得：e2=4.，

令公/送«)=/5«>0),则g'(z)=2©+百•卜产J=(2-2)e\

二.当/£(0,1)时,g'(/)<0；当，e(l,-Kc)时.g(t)>0：

・•・g⑺在(0,1)上单调递减，在(L+oo)上单调递增,••.g(，)Ng6=e2,

e2=有唯一解玉=1，此时a=e2;

当“=e?H寸J(x)=。2-金丁,广(x)=2(e2x-e2x),

令力(x)=7'(x)，则”(x)=廿-2e2，令"(x)=0,解得：x=\-

,In2

工当XW-00J----时＜0;当XE1----,+8

k2）2

.•・碓）在（5-崂上单调递减，在（1-竽抬）上单调递增，

又力［一殍'=21""2一€2+殍/）=（1112-1卜2V0,秋1）=0,/?（2）=214一2©2）＞0,

.•.当xe1一+1时,〃（x）＜0,即/（“＜0；当二£（1,2）时,即第9＞°；

\"X）在（I-竽,1）上单调递减在（1,2）上单调递增，

.••%=1是“X）的极小值点.

四、跟踪检测

1.（2024届广东省深圳市南头中学高三上学期第一次月考）已知/（x）=ox-hu,awR.

⑴讨论/3的单调性和极值;

⑵若xe（0,c］时J（x）«3有解，求口的取值范围.

【解析】(1)f\x)=a--=—.(x>0),

X.1

当心0时,广（工）＜0恒成立，函数在区间（0,户）上单调递减，无极值;

当a〉0时，令/"（%）=。,得1=：,

,函数在区间（0一〕卜单.调递减.

门工）＜0,得0＜

2x）＞0,得函数在区间（，+8）

上单调递增,

当、二:函数取得极小值dR1=i+|na,

综上可知,4w0时,函数的单调递减M间是（0,+8）,无增区间,无极值；

〉0时，函数的单调递增区间是（7+8）,单调递减区间（o.1)

，极小值1+Ina，无极大值.

（2）由题意可知.ar—lnxK3,x4（）,e］时有解,

则〃工之+史二，在x«O,e]时有解，即a<.(—+——),xw(O,e],

xXIXX/max

设g(x)=2+止，xe(O，c],

XA

，/、31-Inx-2-lnx

g(x)=r+——=——;—,

x~fx~

令g'(x)=O,得％=』，

e

当0<x<S■时,/(工)>0"(1)单调递增，

e

当最■<x4e时,g'(x)<O.g(x)单调递减，

所以g(x)的最大值为■卜e?,即q«e2,

所以实数。的取值范围是(F,e2].

2.（2024届山西省吕梁市高三上学期质量检测）已知函数/（月=以-12——（«eR）.

x

⑴讨论/（X）的单调性；

⑵若"X）的两个极值点分别为演,々,证明："但）-/宙）|＜也-16/

2a

【解析】（1）依题意，八x）=〃」+/="'7+2"（X＞0）,

AX2X2

当时J'（x）＜0,所以八幻在9+8）上单调递减；

当（）＜“＜立时，令八刈＞0,解得o＜x＜1一＞一"或x＞"＞一8＞.令f（x）＜o，解得

42a2a

1一,1-8片＜x＜1+川一8片，所以/（x）在@1々1—8/）上单调递增，在（1-^1-86?1+71^87）

2a2a2a2ala

上单调递减，在（制言:+OO）上单调递增；

当北亚时，八X）之（），所以/（X）在（0,y）上单调递增.

4

⑵不妨设0＜为＜%2,由（1）知，当0〈”且时,/（X）在（0，X）上单调递增，在（牛占）上单调递减，在（S，y）上

4

单调递增，

所以为是〃x）的极大值点，々是,（X）的极小值点，所以/&）＞/（Z），所以1，&）-〃/）1=〃用））（芍）.

由（1）知,办工2=2,X]+X,="!"，则Xy-Xt=J（X]+/）2一4X|X,=――.

a~a

要证I/Qi）-/U2）|＜、~16。，只需证/（x（）-f（x2）＜^（x2-xi）.

2a2

因为-Xl)-f(xi)+f(x2)=

2(V2X|)

=W.-x,)+—U-xl)-ln^=~4-^=S-ln^-

2X]N+占Vxix2X

,、2(/7)r\.

,8(0=———+VzH-ln/

/+!Jr

_i_+_L+_L_!=_4_+(^zl)i

所以g'(f)=0、

a+1)22，2ty[if(r+1)22t4t

所以gS在(1,+00)上单调递增，所以g(t)>g(l)=0.

所以争七

一%)-/(芭)+/02)>().即得/(*)—/(尤2)<-*2-*)成立・

所以原不等式成立.

3.(2024届宁夏银川一中高三上学期月考)已知函数/(x)=ae'(x-3)(亦0).

⑴求/(x)的单调区间；

⑵当4=一1时,求函数g(x)=/(])+/-4X的极值.

【解析】(1)/。)=祀'。—2),

若a>0,由/'(x)<0,得x<2；由盟x)>0,得x>2,

\/(x)的递减区间为(一*2),递增区间为(2,y).

若a<0,由/'(工)<0,得x〉2：由/^^>。.得不<2,

\/(x)的递减区间为(2,+co),递增区间为(—,2).

(x)=-el(x-2)+2x-4=-(x-2)(el-2).

由g'(x)=0,得x=2或x=ln2.

当X变化时,g'(x)与g(X)的变化情况如下表:

Xy/n2)hi2(ln2,2)2(2,-KO)

-0+0-

g(x)递减极小值递增极大值递减

g(x)极小伯=g(ln2)=(In2)2-6hi2+6,

g(x)极大位=g(2)=e?_4.

4.(2024届辽宁省辽东十一所重点高中联合教研体高三第一次摸底)已知函数

f(X)=-^-+7tx2-a%g(x)=2cosx.

⑴当“NO时，求证g(x)N2f2.

(2)令F(x)=/(x)-g(x)，若F(x)的两个极值点分别为〃?,〃(/〃<〃)，求证：n-m<-

【解析】(1)令G(r)=g(r)-2+才=2cosx-2+/，

则G(x)=2工-2sinx,

令”(x)=2x-2sin4则"(x)=2-2cosx20,

所以H(A)在［0,+8)上单调递增，则G'(x)=〃(力>//(0)=0,

所以G(“在［0,+司上单调递增，贝］G(x)>G(0)=0,所以g(x)>2-x2；

(2)由题可得尸(x)=—事+Q二-ax—2cosx,

则F'(.v)=—%2+2xv-a+2sin.r.令7(x)=—W+2；Lr-a+2sinx,

当a=()时，/(切=一/+27t¥+2sinx,则7',(X)=-2^4-2TI+2COSX,

令S(x)=-2x+2兀+2cosx,则S'(K)=-2-2sinxW0.所以S(x)在R上单调递减,

X5(0)=271+2>0,5(7T)=-2<0,

所以存在％w(0,冗)，使得S(%)=0,

当X«YO,%)时，7(x)=S(x)>0,T(x)单调递增,

当hw(公yo)时了(耳=5(力〈0，7(力单调递减,

又T(0)=T(2兀)=0,所以m=0,〃=27r,

[i]^r(0)=2+2n,r(2n)=2-27：,

所以曲线y=F(A)在x=0处的切线方程为y=(2+2兀)x,

在x=2兀处的切线方程为y=(2-2兀口-4兀+4兀1

令7[(x)=(2+2兀jx+x2-27u-2sinx,

则7/(x)=2+2x-2cosx,

令4(力=双刈,则式x)=2+2sinC0,所以“力在R上单调递增,

又M°)=°，所以当xe(Y°，°)时，邛(力=4(%)〈°，工(力单调递减，

当x«0,+oo)时，彳(力=%(6>0工(6单调递增，所以工。)之7(0)=0,

g|J(2+2TI)X>-X2+27LV+2sinx：

令A(x)=(2—2兀)工一4兀+4兀2+x2-27i¥-2sinx,则7j(x)=2-4n4-2x-2cosx,

令4(x)=((x),

则.(%)=2+2sinxN0,所以弓(力在R上单调递增,

又4(2兀)=0,所以当兀)时,〈(x)i(x)<O'(x)单调递减,

当工«2兀时,《(X)j(力>0Z(力单调递增，所以((x)之4(2%)=0.

即(2—2兀)不-4n+4兀2>-x2-2n.r-2sinA,.

所以当a=0时，曲线y=尸'(x)在x=川.X=〃处的切线.V=(2+2n)x,y=(2-2jt).v-4n+4/均不在

F(x)=-x2+2兀r+2sinx图象的下方，

所以(2+2n)m>-ni2+2TUH+2sin，〃=a,

(2-2九)•(〃-2n)>—n2+2n/?+2sinn=a,

得m2―--,n<―--+2n.

2+2兀2-2n

aa(a+2)兀-2兀：(a+2)7i-2n^

所以〃一mK—^―+2兀———='----——、即〃nn一〃？<-------J——.

2-2712+2兀1-7T-1-7T'

5.(2024届江苏省镇江中学高三上学期学情检测)已知函数“r)=lnx+ar-±ga)=xlnx+(a-l)x+L

XX

(1)当。=-2时，判断/(x)的单调性;

⑵当时，记/(力的零点为如g(x)的极小值点为占,判断小与毛的大小关系,并说明理由.

【解析】(1)当。=-2吐/(x)=lnx-24」j(x)的定义域为(0,+8),

.I

-2丁+工+1(2x+l)(r+l)

所以八幻=±_2+”=

XX

令「3)>0,解得：()<X<1,令广⑴<0,解得：x>L

所以/W在(04)上单调递增，在(1，y)上单调递减.

(2)因为/(x)=lnx+a・L则r(x)=L4+3="2T+%>。),

XXXX

当a>1时，则,以勾>。.故/(“)在(0,+8)上单调递增，

住」)，使/(毛)=。，

所以存在唯一的七e

因为g(x)=xlnx+3-l)x+-(x>0)^iJg\x)=\nx--y+。,

2

令力(x)=Inx——^+a(x>。),则//(.V)=—+—>0,

XXXf

所以h(x)在(0,+8)上单调递增，即/(")在(0,+8)上单调递增,

所以存在〃?e，使，("?)=5

则当0<x<m时V。；当时,g'(M>0：

所以g0)在(O./n)单调递减，在(，儿口)上单调递增，

所以机为g(x)的极小值点，故内=%

由8’(，〃)=0可得In为+a=°,故"=--In*,

%耳

](1)1

所以/(内)=In%]+咐=InX)+X)—-lnxt-----=(l_xjln%,

百Jx\

又"所以"％)=(lf)ln”<0,

乂因为/(•%)=°、且/*)在(0,+A)上单调递增，

所以X0>X].

6.（2。24届湖南省衡阳市高三上学期8月测试）已知小）="一"（＞2-漆7T

⑴证明：当a«-«＞,Y）,y=/（x）有且只有2个零点;

⑵讨论是否存在。＜0使/（“网”有极小值？并说明理由.（注：讨论过程要完整，有明确的结论）

a1ax+I

【解析】（1）因为/（x）=alnx-一，所以/（力定义域为（0,+巧,/'（1）=-+-=——

Xx~x~

因为ae(-co,-e),所以令r(x)=0得X=-，

当0＜工＜一3时,/彳勾＞0,/（工）单调递增,

当工＞-4时J'（x）＜0、/（x）单调宓减，

a

所以/（X）有最大值为了卜，+a=«(l-In(-«)),

a)Ia)

因为〃6（-＜»，7.所以111（一〃）＞1.所以/（--

>0

因为当时,〃x）单调递减，且/（e）=a—g＜0,所以〃力在（11

一-,+8上只有一个零点;

因为当0＜x＜时,〃力单调递澹目i=«lnett=-a2-e"<0.

所以/（力在上只有一个零点;

综上，当”（f-e）,y=/（x）有且只有2个零点.

lnx+2

(2)令人(力=f(x)g(A)=Inx-J(2-［：：_1)=2a,nx-

x

h.t+l+2ar

则力（X）定义域为（。，+纥）、〃'（力♦

x-

令〃?(x)=Inx+1+2av,IJIiJm(x)=—+2t?.

因为a<0,所以令加(1)=^+2。=()得工=一(,

当0v%v一5时,"?（工）〉0,/〃（x）单调递增,

当%时，加⑴＜0,/n（x）单调递减,

所以当“=$时,，"（X）取得最大值〃?（$）=ln（$）+l+2«$）=ln（w）,

当“（一义卜】n1一（卜0.即〃工时,〃7（x）W0,即〃（工）40恒成立，

所以方（工）单调递减、此时不满足题意:

当〃，(一3=^n|-T->0,即—■^<4<0时\

k2#I2a)2

由于当xf0时,〃?(x)fYO,当xf+<o时,〃?(工)fTO,

所以〃(r)=0有两个解，即/f(x)=0有两个解，且"(x)从口递增到一个正数,然后再递减到f,

所以/?(.r)存在极小值，

即存在aw信可使得/(x)g⑺有极小直

7.(2024届河南省洛阳市等三地部分名校高三上学期开学联考)已知函数/⑴=cosx+arsin%

⑴若〃=1,求曲线y=/(x)在点(几/㈤)处的切线方程；

⑵若x=0是/")的极大值点，求”的取值范围.

【解析】(1)当a=l时./(x)=cos.x+JVsinK』iJfr(x)=-sinx+sinx+xcosx=xcosx.

:•/'（兀）=兀8s兀=一兀、又/（7i）=cos7t+7rsin7i=-L

••.)=f(x)在点(冗，〃兀))处的切线为：丁+1=一兀(工一兀)・即加+7-兀2+1=0.

(2)由题意知：/'(x)=("l)sinx+公cosx,「./'(0)=0恒成立；

••・x=0是/(工)的极大值点，

存在%£(0,+8),使得当x«F，0)时，用x)>o；当xe(o,xj时J'(x)<0；

令g(x)