几何最值之瓜豆原理巩固练习（基础）-2026年中考数学几何专项复习（解析版）

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几何最值之瓜豆原理巩固练习(基础)

1.如图，是正方形场地，点E在的延长线上，力上与3c相交于点R有甲、乙、丙三名同学

同时从点/出发，甲沿着4-8-尸-C的路径行走至C,乙沿着力-/-E-C-Q的路径行走至。，丙沿着

4-/-C-。的路径行走至。，若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序(由先

至后)是()

A.甲乙丙B.甲丙乙C.乙丙甲D.丙甲乙

【解答】B

【解析】•・•四边形48C。是正方形，・・・4B=8C=CO=4。，/6=90。，

甲行走的距离是48+8产+6=/8+8。=248；

乙行走的距离是AF^EF-^EC^CDx

内行走的距离是"+H7+C。，

•：NB=NECF=9()°,：.AF>AB,EF>CF,

：.AF-\-FC-VCD>2AB,4F+FC-CD〈AF+EF+EC+CD,

・•・甲比丙先到，丙比乙先到，即顺序是甲丙乙，故选出

2.如图，点P(3,4),圆P半径为2,A(2.8,0),B(5.6,0),点M是圆P上的动点，点。是的

中点，则力。的最小值是.

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【解答】1.5

【解析】由题意可知M点为主动点，C点为从动点，4点为定点.

••,C是8M中点，可知。点轨迹为取8P中点凡以尸为圆心，FC为半径作圆，即为点C轨迹，如图所示

由题中数据可知0P=5,又•・•点从户分别是据何8P的中点，••知产是48尸。的中位线，・・・4尸=2.5,

当股运动到如图位置时，力。的值最小，此时月、C、。三点共线，・・・力。=2.5—1=15

3.如图，在等腰放△ZBC中，4c=8C=2及，点尸在以斜边48为直径的半圆上，，必为。。的中点，当

半圆从点力运动至点8时，点M运动的路径长为.

【解答】n

【解析】当点尸位于弧/出的中点时，"为的中点，

'：AC=BC=2y/2,：.AB=4,CM=2,

设分别为4C、8C的中点，连接力么」1.2交CP于点。，如图所示:

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丁跖赐蹋=优户。戡=1，

当点尸沿半圆从点4运动至点B时，点M的运动路径是以。为圆心，1为半径的半圆，如图蓝色半圆,

工点M的运动路径长为兀.

4.如图，正方形48。中，AR=2旧,。是8C边的中点，点£是正方形内〜动点，0E=2,

连接。E,将线段OE绕点。逆时针旋转90。得。尸，连接力£CF.求线段。尸长的最小值.

【解答】5A/2-2

【解析】法一、・・・。£=2,・••点E可以看成是在以。为圆心，2为半径的半圆上运动，延长84至

点P,使得力0=OC,连接尸E,如图所示:

'：AE=CF,ZPAE=ZOCF,：・、PAEW4OCF,:・PE=OF,

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【解答】3\女

【解析】如图，以力。为直角边作等腰直角三角形力。A且//。/,'=90"，则力用二样

•••四边形4CQE是正方形，・・・80=C0,N80c=90。，

VZBOC=ZAOF=90'>,:・NAOB=NCOF,:・AAOB9AFOC,：.CF=AB=4,

若点力、C、”三点不共线时，AF<AC+CF,

若点力、C、/三点共线时，AF=AC+CF,

・•/斤W4C+Cb=2+4=6,工彳产的最大值是6,

•・•」？=▽历/0，・・・/。的最大值是3心；

法二、考虑到48、均为定值，可以固定其中一个，比如固定4B,将4c看成动线段，由此引

发正方形8CE。的变化，求得线段力。的最大值.

根据/1C=2,可得。点轨迹是以点力为圆心，2为半径的圆.

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接下来题目求力。的最大值，所以确定O点轨迹即可，观察△AOC是等腰直角三角形，锐角顶点C

的轨迹是以点4为圆心，2为半径的圆，所以。点轨迹也是圆，以力4为斜边构造等腰直角三角形,

直角顶点M即为点O轨迹圆圆心.

连接4W并延长与圆M交点即为所求的点。，此时力。最大，根据先求力加，再根据8C与80

的比值可得圆M的半径与圆力半径的比值，得到MO,相加即得40.

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6.如图，已知点力是第一象限内横坐标为2档的一个定点，力CJ_x轴于点M,交直线丁=一工于

点N,若点尸是线段ON上的一个动点，4尸8=30。，BALPA,则点P在线段ON上运动时，A

点不变，8点随之运动.求当点P从点。运动到点N时，点8运动的路径长是.

【解答】2^/2

【分析】根据/产力8=90。，/"8=30。可得：力产:力8=退：1，故/点轨迹也是线段，且尸点轨

迹路径长与4点轨迹路径长之比也为，尸点轨迹长ON为24，故4点轨迹长为

7.如图，在平面直角坐标系中，A（一3,0）,点8是y轴正半轴上一动点，点C、。在x正半

轴二，以48为边在48的下方作等边△J8P,点8在y轴上运动时，求。尸的最小值.

【解答】OP=^

【解析】求最小值需先作出户点轨迹，根据△力8P是等边三角形且8点在直线上运动，故可

知P点轨迹也是直线.

取两特殊时刻：（1）当点〃与点。重合时，作出尸点位置尸|；（2）当点8在x轴上方且与x

轴夹角为60。时，作出尸点位置尸2.连接尸田2,即为尸点轨迹.

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y

A

------>r

/尸2

根据N/14P=6()。可知：八与y轴夹角为60。，^OPLJ\PV所得。产长度即为最小值，OP2=

04=3,所以。P

9

y

及

o

/uX

8.如图，正方形"CO的边长为4,E为BC上一点,且8E=1,户为他边上的一个动点，连接£K以

即为边向右侧作等边△EFG,连接CG,求CG的最小值是多少?

【解答】5

【解析】同样是作等边三角形，区别于上一题求动点路径长，本题是求CG最小值，可以将尸点看成是由

点B向点力运动，由此作出G点轨迹：

考虑到尸点轨迹是线段，故G点轨迹也是线段，取起点和终点即可确定线段位置，初始时刻G点

在G位置，最终G点在G2位置(62不一定在。边)，GG2即为G点运动轨迹.

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D

CG最小值即当CG_LG；G2的时候取到，作