2025-2026学年新疆喀什巴楚县一中高二上学期9月考数学试题含答案

高中巴楚县第一中学2025-2026学年第一学期高二年级月考数学学科时间：90分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.在四面体PABC中，（）A. B. C. D.2已知向量，则（）A.2 B.4 C.6 D.83.空间中，若向量共面，则（）A.2 B.3 C.4 D.54.长方体中，，则=（）A B.C. D.5.设，，向量，且，则（）A.1 B.2 C.3 D.46.如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.7.如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（）A. B. C. D.8.已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则（）．A. B. C. D.2二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，10.已知点,在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B的坐标为（）A B.C. D.11.已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）A.直线与直线所成角为90°B.直线与平面所成角的余弦值为C.平面D.点到平面的距离为第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么__________．13.在空间四边形中，，，，，则______．14.若向量（1，λ，2），（﹣2，1，1），，夹角的余弦值为，则λ=__________.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知空间向量.（1）求；（2）若向量与垂直，求实数的值.16.如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量．17.如图，在三棱锥V­ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．18.如图，在平行六面体中，是的中点，求证：//面．19.如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，．（1）用为基底表示向量，并求的长；（2）求的值．

巴楚县第一中学2025-2026学年第一学期高二年级月考数学学科时间：90分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.在四面体PABC中，（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量的计算法则计算即可.【详解】由题可知故选：A2.已知向量，则（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】应用空间向量线性关系、模的坐标运算求向量的模长.【详解】由题设，所以.故选：B3.空间中，若向量共面，则（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理有，，结合向量的坐标表示列方程求参数值，即可得.【详解】由向量共面知，，则，所以，可得.故选：C4.在长方体中，，则=（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的坐标表示求解【详解】因为，所以，所以，故选：B5.设，，向量，且，则（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可.【详解】设、，向量，且，，解得，又因为，所以，解得，所以，故选：．6.如图，在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立空间直角坐标系，求出平面法向量，利用点到平面的距离公式求解即可.【详解】分别以，，为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，设平面的一个法向量，由，得，取，得，又，点到平面的距离为，故选：D．7.如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，通过表示出点坐标，利用数量积求出夹角余弦值的范围，进而得出答案.【详解】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，，，设得：，所以，，由，所以，当时，等号成立，则，即异面直线与MN所成角的正弦值的最小值为.故选：C8.已知矩形中，，，将矩形沿对角线折起，使平面与平面垂直，则（）．A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】过点，分别向作垂线，垂足分别为，，由，平方后结合长度和垂直关系可得解.【详解】过点，分别向作垂线，垂足分别为，，则可得，，，，．由于，所以，所以．故选:A．【点睛】本题主要考查了空间向量数量积的应用，属于基础题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（）A.，， B.，，C.，， D.，，【答案】AD【解析】【分析】根据空间共面向量定理和空间向量基底的定义逐一验证即可.【详解】对于A：设，则，由无解，故不存在，使得，所以，，不共面，故A正确；对于B：，所以，，共面，故B错误；对于C：，所以，，共面，故C错误；对于D：设，则，由无解，故不存在，使得，所以，，不共面，故D正确.故选：AD.10.已知点,在z轴上求一点B，使|AB|＝7，则点B坐标为（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】设点B的坐标为,根据空间两点间距离公式列式求解.【详解】设点B的坐标为,由空间两点间距离公式可得，解得或10,所以B点的坐标为或.故选：AC.11.已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（）A.直线与直线所成的角为90°B.直线与平面所成角的余弦值为C.平面D.点到平面的距离为【答案】ABC【解析】【分析】以正方体的棱建立空间直角坐标系，然后得到点的坐标，由向量与向量数量积为0得到线线垂直；求出面的法向量，由求出线面角的正弦值，然后得到线面角的余弦值；由法向量与相等，证明平面；由向量的投影计算出点到面的距离.【详解】在正方体，以为原点，分别为如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，∴，，∵，∴，∴A选项正确；∵，，设平面的一个法向量为，则，令，解得，即，设直线与平面所成角为，则，∴，∴B选项正确；∵，∴平面，∴C选项正确；点到平面的距离，∴D选项错误.故选：ABC.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知均为单位向量，它们的夹角为60°，那么__________．【答案】.【解析】【详解】.13.在空间四边形中，，，，，则______．【答案】22【解析】分析】由，可得，化简可得，然后结合可得答案.【详解】因，则，，则，整理得，因此．.故答案为：2214.若向量（1，λ，2），（﹣2，1，1），，夹角的余弦值为，则λ=__________.【答案】1【解析】【分析】利用空间向量的夹角公式即可得出．【详解】∵向量（1，λ，2），（﹣2，1，1），∴2+λ+2＝λ，，．又，夹角的余弦值为，∴，可知λ＞0．解得λ＝1．故答案为：1．【点睛】本题考查了数量积运算、向量的夹角公式，属于基础题．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知空间向量.（1）求；（2）若向量与垂直，求实数的值.【答案】（1）（2）5【解析】【分析】（1）利用空间向量的坐标运算求解向量的模长即可；（2）根据空间向量垂直的坐标运算列方程即可得实数的值.【小问1详解】因为空间向量，所以，所以；【小问2详解】由题得，由向量与垂直，则，则，解得：.16.如图，已知正方体中，的坐标分别为，，，．分别求平面与平面的一个法向量．【答案】，【解析】【分析】由于轴垂直于平面，则该平面法向量易得，根据法向量的性质列方程组求平面的法向量即可.【详解】由于轴垂直于平面，而z轴可用方向向量表示，因此是平面的一个法向量；设是平面的法向量．由已知得，，因而取，得，则是平面的一个法向量．17.如图，在三棱锥V­ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，求异面直线AC与VD所成角的余弦值．【答案】.【解析】【分析】由题设，写出点C、A、B、D、V的坐标，进而得到、坐标，利用向量数量积的坐标表示求的余弦值，即可确定异面直线AC与VD所成角的余弦值．【详解】∵AC＝BC＝2，D是AB的中点，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0)．在Rt△VCD中，，故．∴，．∴.∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为.18.如图，在平行六面体中，是的中点，求证：//面．【答案】证明见解析.【解析】【分析】选定为基底，用表示向量，即可用向量法证明线面垂直.【详解】设，则，若存在实数，使得成立，则因不共面，故，即，则故