2026年高考数学复习难题速递之三角函数（2025年11月）

第37页（共37页）2026年高考数学复习难题速递之三角函数（2025年11月）一．选择题（共9小题）1．将函数g（x）＝2cos2（x+π6）的图象向右平移π4个单位长度，得到函数f（x）．若函数f（x）在区间[0，m]上恰有2A．[13π12，25π12） B．[25C．[7π12，19π12） D．[2．已知锐角α，β满足2α+β=2A．π12 B．π6 C．π4 3．已知函数f(x)=sinωxcosωx-3sin2ωx+32，(ω①f（x）的最小正周期为π2②将y＝f（x）的图象向右平移π6个单位长度后，得到的函数图象关于y③当f（x）取得最值时，x=④当x∈(-π4，π其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．44．设f1（x）＝sinx，f2（x）＝cos（x+φ）．若对任意t∈R，均存在i∈{1，2}，使得函数y＝fi（x）在[t，tA．4π7 B．3π7 C．25．已知cos(x+A．-2875 B．2875 C．-216．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间(π6，2π3)上单调递增，直线x=πA．-32 B．-12 C．17．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△ABC是等腰直角三角形，其中A，B两点为图象与x轴的交点，C为图象的最高点，且|OB|＝3|OA|，则f（0）+f（1）+f（2）+⋯+f（2024）＝（）A．22 B．-22 C．2 8．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图像是由y=2sin(ωx+π3)的图像向右平移π3A．[1，52) B．[1，32) C．9．已知函数f(x)=A．f(B．将f（x）的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移π3个单位，得到g（x）的图象，则gC．f（x）的对称中心为(kπ-π6，D．若-π6＜x1＜x2＜π3，且二．多选题（共3小题）（多选）10．已知函数f(A．f（x）在[-πB．f（x）在[0，π]上有2个零点 C．把f（x）的图像向左平移π12个单位，所得的图像关于y轴对称D．若f（x）＝a在[-π12，π3]（多选）11．已知函数f(x)=sinωx2cosωxA．f（x）在区间（0，π）上有且仅有3个不同的零点 B．f（x）的最小正周期可能是π2C．ω的取值范围是[13D．f（x）在区间(0，（多选）12．关于函数f(A．f（x）的一个周期为π2B．f（x）在[π2C．.g(x)=4|sin12D．f（x）的值域为[4三．填空题（共4小题）13．如图，直线l0和半径为1的圆相切于点P，当l从l0开始在平面上按逆时针方向绕点P以1弧度/秒的角速度匀速转动（转动角度不超过π）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t（单位秒）的函数，该函数的解析式为；S对于t的瞬时变化率的最大值为．14．若函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)在区间（0，215．已知函数f(x)=23sin(ωx-π)sin(3π2-ωx)+2co16．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，O为坐标原点，B，C为图象与坐标轴的交点，D为图象上的点且满足BO→+BC→=BD→，BC→⋅四．解答题（共4小题）17．我们知道：对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有x+T∈D，且f（x+T）＝f（x）成立，那么函数y＝f（x）叫做周期函数．对于一个周期函数y＝f（x），如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数y＝f（x）的最小正周期．对于定义域为R的函数h（x），若存在正常数T，使得sin（h（x））是以T为周期的函数，则称h（x）为正弦周期函数，且称T为其正弦周期．（1）判断h（x）＝x2，g(（2）已知函数f（x）＝|sinx|﹣|cosx|是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由．（3）已知存在这样一个函数f（x），它是定义在R上严格增函数，值域为R，且f（x）是以T为周期的正弦周期函数．若f(0)=-π2，f(T)=7π2，且存在x0∈（018．已知f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx，ω＞0，（1）若ω＝1，求函数y=（2）已知m＞π2，若函数y＝f（x）的最小正周期为π，且函数y＝f（x）在[π219．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ），其中(ω＞0，-π（1）求函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的周期及表达式；（2）将函数y＝f（x）的图象上各点横坐标缩小为原来的12纵坐标不变，再将图象向左平移π6个单位得到y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）﹣k在[-20．已知函数f(x)=sinωxcosωx-3cos2（1）求f（x）的解析式并求其单调递减区间；（2）若方程f(x)=12在[0，m]

2026年高考数学复习难题速递之三角函数（2025年11月）参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）题号123456789答案DBADADAAD二．多选题（共3小题）题号101112答案BCDBCDBCD一．选择题（共9小题）1．将函数g（x）＝2cos2（x+π6）的图象向右平移π4个单位长度，得到函数f（x）．若函数f（x）在区间[0，m]上恰有2A．[13π12，25π12） B．[25C．[7π12，19π12） D．[【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；余弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】D【分析】根据二倍角公式得到g（x）＝2cos2（x+π6）＝cos（2x+π3）+1，进而求得【解答】解：函数g（x）＝2cos2（x+π6）＝cos（2x+π3）+1，向右平移π4个故f（x）＝cos[2（x-π4）+π3]+1＝cos（2x令f（x）＝0，可得cos（2x-π6）＝﹣1，故2x-π6=（2因为0≤x≤m，可得-π6≤2x-π由函数f（x）在区间[0，m]上恰有2个零点，可得3π≤2m-π6＜5π，解得19故选：D．【点评】本题主要考查二倍角公式以及余弦函数的性质应用，考查计算能力，属于中档题．2．已知锐角α，β满足2α+β=2A．π12 B．π6 C．π4 【考点】求两角和与差的三角函数值．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；三角函数的求值；逻辑思维；运算求解．【答案】B【分析】根据已知，可得α=π3-β2，代入tanαtanβ2=2-3中，令t＝tanβ2，可得关于t的方程，并就t【解答】解：因为2α+β=则tanαtanβ2=tan（π3-β2令t＝tanβ2，则3t﹣t2＝2-3+（23-3）t，即t2+（3-3）解得t＝1或t＝2-3若t＝1，则tanβ2=1，β2=π4若t＝2-3，则tanβ2=2-3，tanβ=故选：B．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式，属于中档题．3．已知函数f(x)=sinωxcosωx-3sin2ωx+32，(ω①f（x）的最小正周期为π2②将y＝f（x）的图象向右平移π6个单位长度后，得到的函数图象关于y③当f（x）取得最值时，x=④当x∈(-π4，π其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】A【分析】结合二倍角公式，辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质检验各结论即可求解．【解答】解：f(∵将函数y＝f（x）的图象平移后能与函数y＝sin2x的图象完全重合，且ω＞0，∴2ω＝2，解得ω＝1，∴f(x)=sin(2x+π3)，将y＝f（x）的图象向右平移π6个单位长度得到y∴函数图象不关于y轴对称，故②错误；令2x+π3=π2令2x+π3=-π∴当f（x）取得最大值时，x=π12+kπ(k因此，当f（x）取得最值时，x=π12当x∈(-π4，π4)时，2x+故选：A．【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题．4．设f1（x）＝sinx，f2（x）＝cos（x+φ）．若对任意t∈R，均存在i∈{1，2}，使得函数y＝fi（x）在[t，tA．4π7 B．3π7 C．2【考点】三角函数应用．【专题】计算题；整体思想；解三角形；运算求解．【答案】D【分析】利用两个函数总存在一个是单调的函数，而f1（x）＝sinx的单调性是已知的，我们就对任意[t，t+π4]可能包含在π2时，会导致f1（x）＝sinx不单调，此时则需要f2（x）＝cos（x+φ）必须单调，从而去验证f2（x）＝【解答】解：由于这两个函数都是周期为2π的函数，则下面只考虑在区间[0，2π]上进行分析研究，因为f1（x）＝sinx在区间[0，π2在[3π2，2π]上单调递增，而题意要求对任意t∈R使得函数y＝fi（x）在[t所以只需要f2（x）＝cos（x+φ）在区间[π4，根据选项可知只需要满足φ＞0时取值，故π4+φ根据余弦函数的单调性，若满足π4+φ若满足5π4+φ≥π7故0＜φ≤π4故选：D．【点评】本题考查三角函数应用，属于中档题．5．已知cos(x+A．-2875 B．2875 C．-21【考点】两角和与差的三角函数；三角函数的恒等变换及化简求值；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【答案】A【分析】由于cos(x+π4)=35，利用两角和的余弦公式可得cosx-sinx=35【解答】解：∵cos(x+π4)=又17π12＜x＜7π4联立①②解得cosx=-210，sinx=-∴sin2故选：A．【点评】本题考查了两角和的余弦公式可、倍角公式、三角函数基本关系式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．6．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间(π6，2π3)上单调递增，直线x=πA．-32 B．-12 C．1【考点】正弦函数的奇偶性和对称性；正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】D【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，先求出函数的解析式，从而得出结论．【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0），在区间(πωx+φ∈（ωπ6+φ，2直线x=π6和x=2∴ωπ6+φ＝2kπ-π2，2ωπ3+φ＝2kπ+解得ω＝2且φ=-可得f（x）＝sin（2x-5则f(-5π12)=sin故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．7．函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，△ABC是等腰直角三角形，其中A，B两点为图象与x轴的交点，C为图象的最高点，且|OB|＝3|OA|，则f（0）+f（1）+f（2）+⋯+f（2024）＝（）A．22 B．-22 C．2 【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】整体思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】A【分析】由已知结合等腰三角形性质先求出A，B，C的坐标，代入可求f（x），然后结合正弦函数的周期性即可求解．【解答】解：过C作CD⊥轴于D，则|CD|＝1，因为△ABC是等腰直角三角形，所以|AB|＝2，故T＝4，ω=π因为|OB|＝3|OA|，所以|OB|＝3|OA|=3所以A（-12，0），B（32，0），C（1所以12×π2+因为0＜φ＜π，所以φ=π4，f（x）＝sin（则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=22故f（0）+f（1）+f（2）+⋯+f（2024）＝506[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（0）=2故选：A．【点评】本题主要考查了函数性质在y＝Asin（ωx+φ）解析式求解中的应用，还考查了函数的周期性在函数求值中的应用，属于中档题．8．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图像是由y=2sin(ωx+π3)的图像向右平移π3A．[1，52) B．[1，32) C．【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】函数思想；转化法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】A【分析】通过函数平移得到解析式，换元分析正弦函数零点在指定区间的个数，结合不等式求解ω的范围．【解答】解：由平移得f(令f（x）＝0，则ωx+π3当x∈[π2，sint＝0的零点为t＝kπ（k∈Z），需此区间内仅有一个k取k＝1，解不等式组π3+ωπ所以ω的取值范围是[1，故选：A．【点评】本题主要考查三角函数的图像平移、零点问题，属于中档题．9．已知函数f(x)=A．f(B．将f（x）的图象上所有点横坐标变为原来2倍，再向左平移π3个单位，得到g（x）的图象，则gC．f（x）的对称中心为(kπ-π6，D．若-π6＜x1＜x2＜π3，且【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】转化思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】D【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，结合已知利用换元法推出x1【解答】解：对于A，由图知A＝2，T＝2×（π3+π6）＝又f（x）过点(-π6则-π3+又|φ|＜π2，则故f(x)=2对于B，将f（x）的图象上所有点横坐标变为原来2倍，可得y=2sin(再向左平移π3个单位，得到g（x）的图象，则g(x对于C，令2x+π即f（x）的对称中心为(12kπ-π6，对于D，因为f（x1）＝f（x2），令t1则t1，t2∈（0，π），因为sint1＝sint2，则t1+t2＝π，所以x1+x2=π故f（x1+x2）＝f（π6）＝2sin2π3故选：D．【点评】本题考查三角函数的图象与性质，解题关键是由三角函数的部分图象确定其解析式，是中档题．二．多选题（共3小题）（多选）10．已知函数f(A．f（x）在[-πB．f（x）在[0，π]上有2个零点 C．把f（x）的图像向左平移π12个单位，所得的图像关于y轴对称D．若f（x）＝a在[-π12，π3]【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的恒等变换及化简求值．【专题】综合题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；逻辑思维．【答案】BCD【分析】先将原式化为y＝Asin（ωx+φ）的形式，然后再利用复合函数的单调性、解方程、图像平移变换的方法逐项判断即可．【解答】解：函数f＝sin（2x+π3）+cos（π6-2x）＝sin（＝2sin（2x对于A：x∈[-π8，π6]时，2因为y＝sinx在[π12，2π3]对于B：令sin（2x+π3）＝0得：2x+π3=kπ，即当k＝1时，x=π3，当k＝2时，x=5对于C：f（x）的图像向左平移π12个单位，得y＝2sin[2（x+π12）+π3该函数为偶函数，所以C正确；对于D：当x∈[-π12，π3]时，t=2此时f（x）可化为g（t）＝2sint，t∈[π6，π]该函数在[π6，π2]上递增，在[π2，且g（π6）＝1，g（π2）＝2，g（π）＝0，则要使f（x）＝a在只需1≤a＜2即可，D正确．故选：BCD．【点评】本题考查三角恒等变换以及三角函数的图像与性质的应用，属于中档题．（多选）11．已知函数f(x)=sinωx2cosωxA．f（x）在区间（0，π）上有且仅有3个不同的零点 B．f（x）的最小正周期可能是π2C．ω的取值范围是[13D．f（x）在区间(0，【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换公式化简f(x)=22sin(ωx+π4【解答】解：f(x)=sinωx当x∈[0，π]时，ωx+因为函数f（x）在[0，π]上有且仅有4条对称轴，所以7π2≤则ω的取值范围是[134，当x∈（0，π）时，ωx+而134≤ω当ωπ+π4∈[7π2，4π]当ωπ+π4∈(4π，9π2)时，即f（x）在区间（0，π）上有且仅有3个或4个不同的零点，故A错误；函数f（x）=22sin(ωx+π而π2∈(8π17，8π13]，所以当x∈(0，而134≤ω＜17所以f（x）在区间(0，π20故选：BCD．【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y＝Asin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是中档题．（多选）12．关于函数f(A．f（x）的一个周期为π2B．f（x）在[π2C．.g(x)=4|sin12D．f（x）的值域为[4【考点】正弦函数的单调性；三角函数的周期性．【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】BCD【分析】对于A：可验证f(x+π2)是否等于f（x）可判断；对于B：求出f（x）的单调递增区间可判断；对于C：根据图象左右平移的特征可得答案；对于【解答】解：对于A：f(x+对于B：当x∈[π所以f(单调递增区间为-π2+2kπ≤得-7当k＝0时，[π2，对于C：把函数f(x)=4|sin(g(x又它们的定义域都为R，所以它们的值域相同，故C正确；对于D：由C知函数f（x）与g（x）的值域相同，g(所以x∈[0，π]时，g(x)=4故选：BCD．【点评】本题考查三角函数性质的应用，属于难题．三．填空题（共4小题）13．如图，直线l0和半径为1的圆相切于点P，当l从l0开始在平面上按逆时针方向绕点P以1弧度/秒的角速度匀速转动（转动角度不超过π）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t（单位秒）的函数，该函数的解析式为S(t)=12t-12sint(0≤t【考点】三角函数应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；运算求解．【答案】S(t)=【分析】先根据扇形面积公式和三角形面积公式求出阴影部分面积的函数解析式，再对函数求导，根据导数的性质求出瞬时变化率的最大值即可．【解答】解：由题意得，直线1绕点P以1弧度/秒的角速度匀速转动，经过时间t秒，直线转过的角度为t弧度（0≤t≤π）．又圆的半径r＝1，根据扇形面积公式可得扇形的面积为12根据三角形面积公式，在由圆心、点P和扇形弧上一点构成的三角形中，三角形两边为1，夹角为t，则三角形面积为12阴影部分面积S等于扇形面积减去三角形面积，即S(函数S（t）的瞬时变化率就是S（t）的导数根据求导公式，可得S'∵cost∈[﹣1，1]，则S'(t)=1当cost＝﹣1时，S'（t）取得最大值1．故答案为：S(t)=【点评】本题考查三角函数的应用，函数解析式的求解及常用方法，导数的应用，考查运算能力，难度一般．14．若函数f(x)=sin(ωx+π6)(ω＞0)在区间（0，2【考点】正弦函数的图象；正弦函数的单调性．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】[20【分析】由x∈（0，2π）求出ωx+π6，结合极值点个数求出ω的范围，再由x∈(【解答】解：由x∈（0，2π），所以ωx+又函数f（x）在区间（0，2π）上恰有5个极值点，所以9π2＜由x∈(3又f（x）在区间(3由136＜ω所以4πω5+解得209综上，ω的取值范围为[20故答案为：[20【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．15．已知函数f(x)=23sin(ωx-π)sin(3π2-ωx)+2cos2(【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】函数思想；定义法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】[12，1]【分析】先通过三角恒等变换化简函数，然后利用x∈[0，π3]可得【解答】解：f(因为x∈[0，显然当x＝0时，可得2sinπ6=1，由f（x）的值域为利用三角函数的性质可得π2≤ω2π3+故答案为：[1【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．16．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，O为坐标原点，B，C为图象与坐标轴的交点，D为图象上的点且满足BO→+BC→=BD→，BC→⋅【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】3+1【分析】作出辅助线，根据BC→⋅BD→=10，|BD|=14得到方程，求出|OB|=|CD|=|OE|=2，|OC|=6，f（x）的【解答】解：如图，连接CD，OD，作DE垂直x轴于点E，因为BO→+BC|OB|＝|CD|＝|OE|，BC→又|BD|2＝|BE|2+|ED|2＝4|OB|2+|OC|2＝14，解得|OB|=|CD由对称性得|OB|＝|EF|，f（x）的最小正周期T=2(2|若ω＞0，则ω=由点B(-2，0)故-π3+φ=2kπ，k∈Z，解得由f(0)=6得，Asin(2kπ+π3所以f(x)=22sin故f(若ω＜0，则ω=由点B(-2，0)在图象上，可知sin(π3+φ)=0，故π由f(0)=6，得Asin(2kπ-π3所以f(x)=-2故f(故答案为：3+1【点评】本题考查三角函数图象与性质的应用，属于难题．四．解答题（共4小题）17．我们知道：对于函数y＝f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有x+T∈D，且f（x+T）＝f（x）成立，那么函数y＝f（x）叫做周期函数．对于一个周期函数y＝f（x），如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数y＝f（x）的最小正周期．对于定义域为R的函数h（x），若存在正常数T，使得sin（h（x））是以T为周期的函数，则称h（x）为正弦周期函数，且称T为其正弦周期．（1）判断h（x）＝x2，g(（2）已知函数f（x）＝|sinx|﹣|cosx|是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由．（3）已知存在这样一个函数f（x），它是定义在R上严格增函数，值域为R，且f（x）是以T为周期的正弦周期函数．若f(0)=-π2，f(T)=7π2，且存在x0∈（0【考点】三角函数的周期性．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；运算求解；新定义类．【答案】（1）h（x）＝x2不是正弦周期函数；g(（2）存在最小正周期π，理由：证明π是f（x）的最小正周期：当x∈[0，当x∈[π又f(f（π2+x）＝|sin（π2+x）|﹣|cos（π2+x）|＝|cosx|﹣|﹣sinx|＝|cosx所以f(π2-x所以当0＜T＜π2时，T假设函数有小于π的正周期，则π2取0＜a＜π﹣T，则当x∈（0，a）与x∈（T，T+a）时，函数的单调性相同，但(T而f（x）在这两个区间上单调性相反，假设错误，故当π2≤T＜π时，T综上所述：T＝π是f（x）的最小正周期；（3）15π【分析】（1）结合所给定义及正弦函数性质推导即可得；（2）结合正弦、余弦函数性质由周期函数定义求解即可得；（3）由sin[f（0）]＝sin[f（T）]＝sin[f（x0）]＝﹣1，结合严格递增函数性质与正弦函数性质进行推导即可得．【解答】解：（1）h（x）＝x2不是正弦周期函数，g(假设h（x）＝x2是正弦周期函数，则存在正常数T，使得对任意x，有sin[（x+T）2]＝sin（x2）恒成立，即有x2+T2+2Tx＝x2+2kπ（k∈Z）或x2+T2+2Tx+x2＝π+2kπ（k∈Z）恒成立，即T2+2Tx＝2kπ（k∈Z）或2x2+T2+2Tx＝π+2kπ（k∈Z）恒成立，由T＞0，则y＝T2+2Tx与y＝2x2+T2+2Tx都随x的变化而变化且连续，故T2+2Tx＝2kπ（k∈Z）或2x2+T2+2Tx＝π+2kπ（k∈Z）不可能恒成立，故不存在正常数T，使得sin[（x+T）2]＝sin（x2）恒成立，故h（x）＝x2不是正弦周期函数；由sin=sin即存在T＝10π，使得sin[g（x）]＝sin[g（x+T）]，故g(（2）由f（x+π）＝|sin（x+π）|﹣|cos（x+π）|＝|sinx|﹣|cosx|＝f（x），故π是它的一个周期，下面证明π是f（x）的最小正周期：当x∈[0，当x∈[π又f(f（π2+x）＝|sin（π2+x）|﹣|cos（π2+x）|＝|cosx|﹣|﹣sinx|＝|cosx所以f(π2-x所以当0＜T＜π2时，T假设函数有小于π的正周期，则π2取0＜a＜π﹣T，则当x∈（0，a）与x∈（T，T+a）时，函数的单调性相同，但(T而f（x）在这两个区间上单调性相反，假设错误，故当π2≤T＜π时，T综上所述：T＝π是f（x）的最小正周期；（3）因为sin[f（x）]是周期函数，T是它的一个周期，且sin[f又由题意sin[则sin[f（x0+T）]＝sin[f（x0）]＝﹣1，sin[f（2T）]＝sin[f（T）]＝﹣1，又f（x）是严格递增函数，所以f（T）＜f（x0+T）＜f（2T），又sint＝﹣1时，t=2则f(x0+因为f（x）是严格递增函数，所以{⋯，0，x0，T，T+x0，2T，⋯}与{⋯，-因此f(则f(2【点评】本题考查函数新定义，以及函数周期性的应用，属于难题．18．已知f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx，ω＞0，（1）若ω＝1，求函数y=（2）已知m＞π2，若函数y＝f（x）的最小正周期为π，且函数y＝f（x）在[π2【考点】正弦函数的图象；三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质．【答案】（1）[0，（2）[3【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式和辅助角公式可得f(x)=（2）化简得f(x)=2sin(2ωx+π【解答】解：（1）因为f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx，ω＞0，若ω＝1，则f(因为x∈[0，π2所以0≤所以函数y=f(（2）f（x）＝2sinωxcosωx+2cos2ωx，ω＞0，又因为函数y＝f（x）的最小正周期为π，所以2π2ω=π所以f(令2sin所以sin(2所以2x+π解得x=π2当k＝0时，有零点x=π2当k＝1时，有零点x=3π因为函数y＝f（x）在[π2，m]所以实数m的取值范围为[3【点评】本题考查三角函数性质的应用，属于中档题．19．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ），其中(ω＞0，-π（1）求函数f（x）＝2sin（ωx+φ）的周期及表达式；（2）将函数y＝f（x）的图象上各点横坐标缩小为原来的12纵坐标不变，再将图象向左平移π6个单位得到y＝g（x）的图象，若函数y＝g（x）﹣k在[-【考点】函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】（1）T=（2）[-【分析】（1）根据题设描述函数的对称中心和对称轴确定函数的最小正周期，进而求出相关参数值，即可得解析式；（2）根据函数图象平移得g(【解答】解：（1）由于函数以(π4，所以T4=3π4-π4=π2，故周期又由函数一条对称轴为x=3π又-π2＜φ＜（2）由题意，得g(因为x∈[-π6，3所以g（x）在[-π6且g(因为函数y＝g（x）﹣k在[-即y＝g（x）与y＝k的图象在[-画出图象如下：由图可知，k的取值范围为[-【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．20．已知函数f(x)=sinωxcosωx-3cos2（1）求f（x）的解析式并求其单调递减区间；（2）若方程f(x)=12在[0，m]【考点】三角函数中的恒等变换应用．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；三角函数的图象与性质；运算求解．【答案】（1）f(x)=（2）[13【分析】（1）根据三角恒等变换化简f(x)=sin(2ωx-π3（2）转化问题为sin(2x-π3【解答】解：（1）因为f=1所以f（x）的最小正周期T=2π2ω所以f(令π2所以可得f（x）单调减区间[5（2）因为f(x)=当x∈[0，m]时，-π若sin(2x-则116π≤2则实数m的取值范围为[13【点评】本题考查三角函数的性质的综合应用，属中档题．

考点卡片1．函数解析式的求解及常用方法【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．求解函数解析式的几种常用方法主要有1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．2．三角函数的周期性【知识点的认识】周期性①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=2【解题方法点拨】1．一点提醒求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sint的相应单调区间求解，否则将出现错误．2．两类点y＝sinx，x∈[0，2π]，y＝cosx，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．3．求周期的三种方法①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为2π|ω|，y＝tan（ωx+φ）的③利用图象．图象重复的x的长度．3．正弦函数的图象【知识点的认识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（2kπ-π2，2kπ（k∈Z）；递减区间：（2kπ+π2，2kπ（k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）递增区间：（kπ-π2，kπ（k∈Z）最值x＝2kπ+π2（k∈Z）时，ymax＝x＝2kπ-π2（k∈ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+π2，k对称中心：（kπ+π2，0）（k∈对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（kπ2，0）（k∈Z无对称轴周期2π2ππ4．正弦函数的单调性【知识点的认识】三角函数的单调性的规律方法1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．5．正弦函数的奇偶性和对称性【知识点的认识】正弦函数的对称性正弦函数是定义域为R的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有sin（﹣x）＝﹣sinx．另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为x＝kπ+π2，k∈【解题方法点拨】例：函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x＝x=kπ2解：由于函数y＝sin2x+2sin2x＝sin2x+1﹣cos2x=2而函数y＝sint的对称轴为t则2x-π4=kπ+则函数y＝sin2x+2sin2x的对称轴方程为x故答案为x=这个题很有代表性，一般三角函数都是先化简，化成一个单独的正弦或者余弦函数，然后把2x-π【命题方向】这个考点非常重要，也很简单，大家熟记这个公式，并能够理解运用就可以了．6．余弦函数的图象【知识点的认识】正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R单调性递增区间：（k∈Z）；递减区间：（k∈Z）递增区间：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；递减区间：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）递增区间：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ7．函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换【知识点的认识】函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的步骤两种变换的差异先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个【解题方法点拨】1．一个技巧列表技巧：表中“五点”中相邻两点的横向距离均为T42．两个区别（1）振幅A与函数y＝Asin（ωx+φ）+b的最大值，最小值的区别：最大值M＝A+b，最小值m＝﹣A+b，故A=M（2）由y＝sinx变换到y＝Asin（ωx+φ）先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx+φ）的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是|φ|个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是|φ|ω（ω＞0）个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于3．三点提醒（1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；（2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；（3）由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin（ωx+φ）的图象时，需平移的单位数应为|φ|ω，而不是|8．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式【知识点的认识】根据图象确定解析式的方法：在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A=M-m2，k=M+m2，ω9．同角三角函数间的基本关系【知识点的认识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：sinαcosα=tan2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（π2-α）＝cosα，cos（π2-α公式六：sin（π2+α）＝cosα，cos（π2+α）＝﹣3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α=2【解题方法点拨】诱导公式记忆口诀：对于角“kπ2±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α10．两角和与差的三角函数【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα11．求两角和与差的三角函数值【知识点的认识】（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）=tanα（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）=tanα【解题方法点拨】﹣利用和差公式：sin（α±β）＝s