概率论与数理统计 教案 第4章 数字特征与极限定理

经济数学一概率论与数理统计教案

第4章数字特征与极限定理

授课序号01

教学基本指标

教学课题第4章第1节数学期望课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点数学期望、根据随机变量的概率分布求其函数的教学难点运用数字特征的基本性质计算

数学期望具体分布的数字特征、根据二维

随机变量的联合概率分布求其

函数的数学期望,

参考教材《经济数学一概率论与数理统计（慕课版）》作业布置课后习题

大纲要求1.理解随机变量数字特征（数学期望、方差、标准差、协方差、相美系数）的概念，并会运用

数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。

2.会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望：会根据二维随机变量的联合概率分布求其

函数的数学期望。

教学基本内容

一.随机变量的数学期望

1.离散型随机变量的数学期望：设离散型随机变量X的分布律为P{X=%}="£,2=1,2,,若级数

绝对收敛，则称其和为随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记为E（X）或外,即E（X）=

«=1

8

Zap-

*=|

2.连续型随机变量的数学期望；设连续型随机变量X的概率密度为/（x）,若积分绝对收敛，

则称该积分值为随机变量X的数学期望，简称期望或均值，记为E（X）或〃x，即七（乂）=匚矿（外公.

随机变量函数的数学期望

1.定理：设有随机变量x的函数y=g（x）,且日g（x）］存在.

（1）设X为离散型随机变量，P{X=Z}=PK，Z=1,2,・・・，则£（丫）=石凶（*）］=£＞（4）/人.

k=\

（2）设x为连续型随机变量，概率密度为了（X）,则石（youEigixHurgao/oodr

2.定理：设有随机变量（X,丫）的函数z=g（x,y）,且Eig（x,y）j存在.

（1）若（x,y）为离散型随机变量，其联合分布律为F{乂=4丫=①}=〃/力=1,2,...,则

E（Z）=E[g（X,V）]=-g（4x）p7

J=1j=l

（2）若（X,y）为连续型随机变量，其联合概率密度为/（x,y）,则

E（Z）=E[g（X,y）]=rrg。,y）/（x,y）dxdy.

J-x>

三.数学期望的性质

I.设。为常数，则E（C）=C.

2.设。为常数，X为随机变量，则E（CX）=CE（X）.

3.设x,y为任意两个随机变量，则E（X+y）=E（x）+E（y）.

l

4.E（X]+X、+...+Xn）=E（XJ+£（X））+...+E（X〃）.

5.设x,y为相互独立的随机变量，则E（xy）=E（x）E（y）.

6.若X1,X2,…，x〃为相互独立的随机变量，则有E（Xd2…X〃）=E（XJE（X2）...E（X“）.

四.例题讲解

例1.求下列离散型随机变量的数学期望：（1）（0-1）分布；（2）泊松分布.

例2.求下列连续型随机变量的数学期望：（1）指数分布；（2）正态分布.

例3.某保险公司规定，如果投保人在一年内发生所投保的事件，保险公司会赔偿投保人〃元.若投保人

在一年内发生所投保的事件的概率为P，为使保险公司的平均收益达到。的10%,问该公司应该要求投保人缴

多少保险费？

洌4.一家数码商店以每台500元的价格购买了三台相同型号的手写板，准备以每台1000元的价格出售。

对于指定期限内仍未售出的手写板，制造商已同意可以每台200元的价格回购。设X表示售出的手写板数量，

其分布律为

X0123

P0.10.20.30.4

求商店的平均利润.

例5.设某供应公司在一周内出售的特殊材料数量为连续型随机变量X（吨），其概率密度为

|(l-x2),

0<x<l

fM=

0,其它

而销售价格y是x的函数：y=5ox2（万元/吨），求丫的数学期望.

例6.设二维随机变量（x,y）的分布律为

12

10.250.32

20.080.35

求”X?+y）

例7.设二维随机变量（x,y）的密度函数为

、（x+yy0<x<l,0<y<l

小0,其它

求£［x）,E（y）,E（xy）.

例8.某工厂每天从电力公司得到的电能¥（单位：千瓦）服从［10,30］上的均匀分布，该工厂每天对电

能的需要量y（单位：千瓦）服从［10,20］上的均匀分布，其中/与y相互独立.设工厂从电力公司得到的每

T瓦电能可取得300元利润，如工厂用电量超过电力公司所提供的数量，就耍使用自备发电机提供的附加电能

来补充，使用附加电能时每千瓦只能取得10（）元利润.问一天中该工厂获得利润的数学期望是多少？

例9.已知随机变量X-N（5/（）2）,求y=3X+5的数学期望凤丫）.

授课序号02

教学基本指标

教学课题第4章第2节方差课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点方差及其性质教学难点运用数字特征的基本性质计算

具体分布的数字特征.

参考教材《经济数学一概率论与数理统计(慕课版)》作业布置课后习题

大纲要求1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、协方差、相关系数)的概念，并会运用

数字特征的基本性质计算具体分布的数字特征，掌握常用分布的数字特征。

2.会根据随机变量的概率分布求其函数的数学期望；会根据二维随机变量的联合概率分布求其

函数的数学期望。

教学基本内容

随机变量的方差

1.方差：设才为随机变量，若E｛[X—E(X)/｝存在，则称之为才的方差，记为。(X)或(7；,即

D(X)=E｛[X-E(X)f).

称JD(X)为4的标准差或均方差,记为。

2.若才为离散型随机变量，其分布律为。｛乂=々｝=匕，左=1,2「一，则

1

D(X)=Y[xk-E(X)]pk.

hl

3.若1为连续型随机变量，其概率密度为/(x),则

D(X)=£jx-E(X)]2/U)^.

4.方差的计算公式:D(X)=E(X2)-[E(X)]2.

二.方差的性质

1.设。为常数，则〃(C)=9.

2.设才为随机变量，。为常数，则有。(CX)=C2O(X).

3.设随机变量X与Y相互独立，则有〃(¥/)=〃(X)+〃(K).

•1.若天，乂2,…,X”相互独立，则有。(X1+X2+…+XJ=D(XJ+D(X2)+…+D(XJ

5.一些重要分布的期望与方差

分布分布律或概率密度数学期望方差

P{X=l}=p,P{X=O}=q

0-1分布Ppq

0</?<1,/?+</=1

P{X=%}=C：p%i/=0,l,2,・・，〃

二项分布O<p<\,p+c/=]npnpq

P〈X=k}=p*,k=1,2,、q

几何分布7

〃+夕=1P

P[X=k]=—e-\k=0A,Z-^>0

泊松分布k\2A

1,

-----,a<x<ba+b（-一a）2

均匀分布fix）=Vb-a

212

0,其它

i/x1

2

正态分布小）=京…sa

1

指数分布/（x）=<2>0

、0,x<0f7下

例4.12求下列离散型随机变量的方差：（1）（0-1）分布；（2）泊松分布.

例4.13求下列连续型随机变量的方差：（1）均匀分布；（2）指数分布.

例4.14甲、乙两台机床同时加工某种零件，它们每生产100。件产品所出现的次品数分别月X-X2表示，

其分布律如下，问哪一台机床加工质量较好？

0123

P（XJ0.70.20.060.04

P（x2）0.80.060.040.1

例4.15设随机变量X和V相互独立，且X服从参数为上的指数分布，丫服从参数为9的泊松分布，求

2

D（X-2r+l）.

授课序号03

教学基本指标

教学课题第3章第3节协方差与相关系数课的类型复习、新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点协方差与相关系数教学难点协方差与相关系数

参考教材《经济数学一概率论与数理统计(慕课版)》作业布置课后习题

大纲要求理解协方差、相关系数的概念

教学基本内容

一.协方差与相关系数的概念

1.协方差：设二维随机变量(x,y),若E{[x—E(x)"y—E(y)]}存在，则称它为随机变量¥与f的协

方差，记为cov(X,y),或即cov(X,y)=E{[X-E(Xi][y-E(r)])

2.相关系数：当O(X)>0,。(丫)>0时・，称。xy=/C°vf为随机变量X与丫的相关系数。

1D(X)yjD(Y)

3.不相关：当夕XY=O时，称随机变量x与y不相关或线性无关。

4.协方差的计算公式：cov(X,y)=E(XY)-E(X)E(Y).

二.协方差与相关系数的性质

1.cov(X,Y)=cov(y,X).

2.cov(aX,〃y)=4〃cov(X,y),其中凡。为常数.

3.cov(X+K,Z)=cov(X,Z)+cov(y,Z).

4.D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y)

5.1PXY1—1•

6.1夕xy1=1的充分必要条件是X与y以概率1具有确定的线性关系，即P{y=aX+/»=l,其中

0,4力为常数.

几点说明：(1)|pxj越大，这时y与x的线性关系就越密切，当|p*y卜1时，y与x就有确定的线性关

系；反之，|pxy|越小，说明y与X的线性关系就越弱，若|".卜0,则表明y与X之间无线性关系，故称X

与y是不相关的.可见，|PX3的大小确实是x与丫间线性关系强弱的一种度量.

（2）若x与y相互独立，则x与y不相关.反之，若x与r不相关，则x与y却不一定是相互独立的.

（3）设（x,y）服从二维正态分布，即（x,y）〜％（必,〃2。；，6，。），可以证明：

E（X）=〃|,O（X）=cr：,E（y）=〃2,O（y）=b；，cov（X,Y）=pXY=p.

（4）对二维正态随机变量（MD来说，X与y相互独立的充要条件为2=0,现在又知夕灯二夕，故

对二维正态随机变量（XD来说，x与y不相关等价于x与y相互独立.

三.矩

1.设才和V是随机变量，若E（X。，k=l,2,•存在，则称它为乃的々阶原点矩.

2.若曰[X-E（X）『｝,2=1,2,•存在，则称它为X的女阶中心矩.

3.若夙X3）,Z,/=l,2,…存在，则称它为1和y的介，阶混合矩.

4.若E｛[X—E（X）riy—E（Y）]/｝,=••存在，则称它为才和V的介/阶混合中心矩.

四.例题讲解

例1.设保险公司对投保人的汽车保险和财产保险分别设定了免赔额（单位：元），现任选一位同时投保汽

车保险和财产保险的客户，X表示其汽车保单的免赔额，V表示其财产保单的免赔额，随机变量（X,y）的联合

分布律为

0100200

1000.20.10.2

2500.050.150.3

求CCV（I,Y）,pXY.

列2.设随机变量（X,y）在。=｛（x,），）|xN0,y>0,x+y<[｝上服从均匀分布.求cov（X,Y）,pXY.

例3.若X~N（OJ）,且y=x?,问x与y是否不相关？是否相互独立？

洌4.己知Z）（X）=4,O（y）=l,Pxy=05求O（3X-2Y）.

洌5.设随机变量X和y相互独立且都服从正态分布,V（0,b2）,已知U=aX+bY,

V=aX-bY,其中a,〃为常数，求。和『的相关系数4y.

授课序号04

教学基本指标

教学课题第4章第4节切比雪夫不等式大数定律与中心极限定理课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点切比雪夫不等式、切土雪夫大数定律、伯努力大教学难点切比雪夫大数定律、伯努力大数

数定律和辛钦大数定津、列维―林德伯格定理和定律和辛钦大数定律

狄莫弗一拉普拉斯定理

参考教材《经济数学一概率论F数理统计（慕课版）》作业布置课后习题

大纲要求1.了解切比雪夫不等式。

2.了解切比雪夫大数定律、伯努力大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大数定律）。

3.了解列维―林德伯格定理（独立同分布的中心极限定理）和狄莫弗-拉普拉斯定理（二项分布

以正态分布为极限分布）。

教学基本内容

一.切比雪夫不等式

1.定理：（切比雪夫不等式）设随机变量X的数学期望E（X）和方差D（X）都存在，则对于任意£>o,

有刊X-E（X）|之©〈誓^或P{|X-E（X）|<£}Nl-g9

££

二.大数定律

1.定理：（伯努利大数定律）设是〃次独立重复试验中事件AHI现的次数，而p是事件A在每次试验

中发生的概率，则必当九一8时依概率收敛于即对任意£>0,都有

n

n->oo〃

或limP{|幺一〃|N0=O.

8几

2.号理：（辛钦大数定律）设随机变量X”X2,…,X“，…独立同分布，并且有数学期望七（XJ=〃，则

区“二，之X,在〃.8时依概率收敛于〃，即对£>0,都有

〃/-I