专题01 集合与常用逻辑用语（11大题型）（期末专项训练）高一数学上学期苏教版（解析版）

2/24专题01集合与常用逻辑用语题型一利用元素的互异性求参数（共4小题）1．已知，若集合，则的值为（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【分析】根据集合相等结合集合的互异性求，代入即可得结果.【详解】因为，可知，且，可得，即，可得，且，解得，代入，检验符合题意，所以.故选：B.2．（25-26高一上·江苏扬州·期中）已知集合，若，则．【答案】【分析】分情况讨论元素与集合间的关系，解方程即可.【详解】因为，，当时，则，此时，不符题意：当时，解得（舍去）或，若，则，符合题意；综上所述，，故答案为：.3．已知集合，，则（

）A．-1 B．-3或1 C．3 D．-3【答案】D【分析】根据元素与集合的关系求出的值，验证集合元素互异性即得.【详解】由可得或.①当时，解得或，若，则，与集合元素互异性矛盾，若，则，此时，符合题意，故；②当时，，由上分析可知不合题意.故.故选：D.4．若集合具有性质：“对任意，与至少有一个属于”，则称集合为型集合．已知集合为型集合，且，则（

）A．1025 B．3075 C．4050 D．4100【答案】C【分析】根据题意，得到，得到，再由，结合元素的互异性，即可求解.【详解】由集合为型集合，则，因为对任意，与至少有一个属于，则，所以，又因为，则，根据集合元素的互异性，可得，所以.故选：C.题型二集合子集个数判断（共5小题）5．若集合，则集合的真子集的个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．15【答案】D【分析】分类讨论和时，的可能取值，得出集合，即可求出集合的真子集.【详解】集合，集合，若，则或；若，则或1，∴，∴的真子集的个数为.故选：D.6．（25-26高一上·江苏常州·期中）已知集合满足⫋，则满足条件的集合A的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．7个【答案】D【分析】根据集合中的元素个数分类讨论即可求解.【详解】由⫋有：当集合中有3个元素时，可以为，共3个当集合中有4个元素时，可以为，共3个，当集合中有5个元素时，为，共1个，所以满足条件的集合A的个数为个，故选：D.7．若且则称非空集合为“和谐集”．已知集合，则集合的子集中“和谐集”的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由“和谐集”定义对集合中的元素逐一讨论可得只有可以作为“和谐集”中的一组元素，可得结果.【详解】根据题意可知，当时，，所以不是“和谐集”中的元素；当时，；当时，；当时，；所以是“和谐集”中的一组元素；当时，，当时，无意义，所以不是“和谐集”中的元素；综上可知，集合的子集中“和谐集”的个数只有1个，即.故选：B8．已知集合，，则集合的真子集个数为（

）A．8 B．16 C．31 D．63【答案】C【分析】根据题意，利用列举法求化简集合，从而求得集合的真子集个数.【详解】依题意，得；；；；；；；；，故，其真子集的个数为：．故选：C.9．定义，设集合，集合，则集合的子集的个数是（

）A．14 B．15 C．16 D．17【答案】C【分析】根据题中定义，运用列举法、集合子集个数公式进行求解即可.【详解】因为，所以集合的子集的个数是，故选：C题型三根据集合包含关系求参数（共5小题）10．（25-26高一上·江苏·月考）若集合有个子集，则实数的值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】分析可知，集合有且只有个元素，对实数的取值进行分类讨论，当时，直接验证即可；当时，可得出，综合可得出实数的值.【详解】因为集合有个子集，故集合有且只有个元素，当时，，合乎题意；当时，则关于的方程有两个相等的实根，所以，解得.综上所述，或.故选：C.11．已知集合，非空集合，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用集合关系列出不等式组求解即可.【详解】因为集合，非空集合，且，所以，解得：．故选：C．12．设集合，，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意和子集的概念列出不等式组，求解即可.【详解】由题意可得，，且，因此，解得．故选：B．13．已知集合，，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合，分析可知集合中必含元素、，可得出关于实数的方程，结合集合中的元素满足互异性可得出实数的值.【详解】因为且，所以，所以或，得或，根据集合中元素的互异性可得，解得且且，故.故选：A.14．（25-26高一上·江苏淮安·期中）已知全集，设为实数，集合，集合(1)若，求；(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)或(2)【分析】（1）当时，写出集合，利用并集和补集的定义可求得集合；（2）分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），综合可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，集合，由集合，所以，所以或.（2）分以下两种情况讨论：①当时，，解得，此时，合乎题意；②当时，由可得，解得.综上所述，实数的取值范围是.题型四集合的交并补运算（共5小题）15．已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由和化简集合，再由交集运算即可求解.【详解】由得到或，即，由得到，即，所以，故选：C16．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，若，满足条件的所有集合B中元素的和.【答案】36【分析】由题意可知，将等式两边平方整理得，根据判别式可得，再依次经检验得，再根据可得满足条件的所有集合B，即可计算元素的和.【详解】根据题意，将等式两边平方得继续平方整理得，故该方程有解；所以，即，解得.又因为，故；当时，即，解得，代入验证可知不符合题意；当时，即，解得或，代入验证可知符合题意；当时，即，解得，代入验证可知符合题意；当时，即，解得，代入验证可知符合题意；故，由，可知集合B是集合A的子集；所以，满足条件的所有集合B共有，，，，，，，所以，所有元素之和为.故答案为：36.17．设全集，集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别求出集合A与集合B，再求补集及交集运算即可.【详解】解不等式得或，所以；解不等式得，所以，所以，所以，故选：B18．设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先明确集合，再利用集合的混合运算求.【详解】由，所以.所以，.故选：A19．（24-25高一上·江苏宿迁·期末）已知集合{为不大于的正奇数}，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合.【详解】{为不大于的正奇数}，，故.故选：B.题型五根据交并补混合运算求参数（共6小题）20．已知集合，，且，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】先求解集合，再得到，然后根据，即可求解实数的取值范围.【详解】因为，所以或，所以，所以，因为，所以，所以实数的取值范围为.故选：.21．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知集合，集合，若，则实数的值为．【答案】【分析】结合题意得到，进而建立方程并合理取舍，最后得到参数值即可.【详解】因为，所以，而，则讨论即可，当时，可得，解得或，当时，不满足互异性，故排除，当时，，满足条件，所以.故答案为：22．集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解.【详解】由集合，，可得，则，因为，则满足，解得，结合选项，可得选项D不满足题意.故选:D.23．已知集合，，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，求得或，结合，即可求解.【详解】由集合，，可得或，因为，则满足.故选：A.24．（25-26高一上·江苏镇江·月考）设，，若，则实数a的值不可以是（

）A．0 B． C． D．3【答案】D【分析】利用交集的概念分类讨论方程的解判定选项即可.【详解】易知的解为或，即,若，即，显然符合题意；若,则或，即或；综上所述：，或.故选：D25．（24-25高一上·江苏·期末）已知集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2).【分析】（1）依题意可得，即可得到不等式组，解得即可；（2）依题意可得或，即可求出参数的取值范围.【详解】（1）解：因为，所以，所以，即；（2）解：因为，所以或，所以.题型六Venn图及容斥原理的应用（共7小题）26．（多选）如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，则阴影部分可表示为（

）

A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用集合的交集、并集以及补集的定义，结合韦恩图分析各选项即可求得结果.【详解】根据图示可知阴影部分表示的元素是属于集合，而不属于集合，即在阴影部分区域内任取一个元素，则满足，且，即且；因此阴影部分可表示为，即A正确；且，因此阴影部分可表示为，C正确；易知阴影部分表示的集合是和的真子集，即B错误，D错误.故选：AC.27．高一（1）班共有50名同学，暑假期间，有18人观看电影《南京照相馆》，有15人观看电影《浪浪山小妖怪》，这两部电影均不观看有25人．则这两部电影都观看的有（

）A．6人 B．7人 C．8人 D．9人【答案】C【分析】画出韦恩图，列方程可得.【详解】设这两部电影都观看的有人，由图形可知，解得.故选：C28．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为．

【答案】【分析】利用Venn图得出阴影部分表示的集合为，再利用交集、补集的概念和运算规则求解．【详解】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为，，，或，，或，故答案为：．29．现统计到某校高一（8）班45名同学参加机器人编程兴趣小组、非遗文化兴趣小组的情况，其中有25名同学参加了机器人编程兴趣小组，有22名同学参加了非遗文化兴趣小组，已知这两个兴趣小组都参加的有12名同学，则该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为（

）A．10 B．8 C．9 D．14【答案】A【分析】利用容斥原理即可得到答案.【详解】该班没有参加这两个兴趣小组的同学人数为．故选：A30．某班学生积极参加学校组织的体育特色课堂，课堂分为球类项目、径赛项目、其他健身项目．该班有25名同学选择球类项目，20名同学选择径赛项目，18名同学选择其他健身项目；其中有6名同学同时选择和，4名同学同时选择和，3名同学同时选择和．若全班同学每人至少选择一类项目且有2名同学同时选择三类项目，则这个班同学人数是（

）A．52 B．51 C．50 D．49【答案】A【分析】根据选择三类项目的人数，得出选择两类项目和一类项目的人数，求和可得答案.【详解】因为有2名同学同时选择三类项目，所以只选择和两个项目的同学有4人，只选择和两个项目的同学有2人，只选择和两个项目的同学有1人，只选择一个项目的同学有17人，只选择一个项目的同学有13人，只选择一个项目的同学有13人，如图，所以班级人数为：.故选：A31．“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高一（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器”的同学构成集合，关注了“紫东太初3.0”的同学构成集合，利用韦恩图求解.【详解】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器”的同学构成集合，关注了“紫东太初3.0”的同学构成集合，由题可得，，，，，，如图，可得，，即得，所以只关注了“紫东太初3.0”的人数为.故选：C.32．已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则图中阴影部分所表示的集合为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据题意，结合集合交集和并集的概念，即可求解.【详解】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为，即阴影部分表示集合为.故选：B.题型七集合新定义（共5小题）33．若，则，则称是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（

）A．16 B．15 C．14 D．13【答案】B【分析】由已知，根据给出的定义列举出所有满足条件的情况即可.【详解】时，则；时，则；时，则；时，则，集合的所有满足新定义的元素有6个，那么，，，，，，，，，，，，，，，共有15个.故选：B34．已知集合，，若且，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出集合，结合题中定义可得结合.【详解】因为集合，，所以且.故选：A.35．对于集合，我们把集合且叫做集合的差集，记作．已知集合，，则下列说法正确的有（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．存在，使得【答案】C【分析】先化简集合，根据差集得定义可判断AB选项；根据，，结合题意，转化为集合之间的关系可判断CD选项.【详解】由，得，解得，则，对于A，当时，，又，则，故A错误；对于B，若，则，则，故B错误；对于C，由定义知，又，则，因此可得，则，解得，故C正确；对于D，由，，又，可得，则，无解，因此不存在这样的，使得，故D错误；故选：C.36．若数集具有性质：对任意的，与中至少有一个属于，则称集合为“权集”，则（

）A．为“权集” B．为“权集”C．“权集”中元素可以有0 D．“权集”中一定有1【答案】B【分析】根据集合的新定义，验证选项A、B，集合“权集”中不能有0，判定C错误，举例验证，判定D错误.【详解】因为与均不属于数集，所以A错误；因为都属于数集，所以B正确；由“权集”的定义可知不能有0，所以C错误；易知是“权集”，所以“权集”中不一定有1，故D错误.故选：B.37．已知实数集，定义．(1)若，求；(2)若，求；(3)若中的元素个数为7，求的元素个数的最小值．【答案】(1)(2)或．(3)9【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可；（2）根据给定定义可得，再按中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负分类讨论列式计算；（3）按中没有负数和中至少有一个负数两种情况分类讨论求解.【详解】（1）因为，所以．（2）因为，所以．因为中除0外还有6个元素，所以中除0外至少还有4个元素．因为中除0外有3个负数，3个正数，所以中除0外的4个数是1负3正或1正3负．①若中除0外的4个数是1负3正，设，其中．由，可得．由，可得，所以，从而，即．②若中除0外的4个数是1正3负，设，其中．由，可得．由，可得，所以，从而，即．综上所述，或．（3）因为将中的所有元素均变为原来的相反数时，不变，所以不妨设中正数个数不少于负数个数．①当中没有负数时，设，其中，则．上式从小到大的数共有个，它们都是的元素，说明最少有10个元素．②当中至少有一个负数时，设是中的全部负元素，是中的全部非负元素，不妨设，其中为正整数，．因为，其中从小到大的数共有个，所以中至少有6个非正元素．因为，所以中至少有3个正元素，所以中至少有9个元素．综上所述，中至少有9个元素．题型八充分条件、必要条件、充要条件的判断（共8小题）38．2025年10月24日，全国人大常委会通过决定，将10月25日设立为台湾光复纪念日．台湾是中国不可分割的一部分，这一历史事实无可辩驳．那么“小明是台湾人”是“小明是中国人”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分不必要条件的概念进行判断.【详解】因为“小明是台湾人”可以推出“小明是中国人”，“小明是中国人”不能推出“小明是台湾人”，所以“小明是台湾人”是“小明是中国人”的充分不必要条件．故选：A39．设，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】由解出，的两种关系，再用充分、必要条件的定义进行判断.【详解】由，，，可得，或，.则可知“”是“”的必要不充分条件.故选：B.40．对于实数x，“”是“”的（

）A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】利用推出关系来判断充要关系即可.【详解】由“”等价于“且"，当时无法保证，但当且时必然有，故“”是“”的必要且不充分条件.故选：B41．（多选）下列结论中正确的是（

）A．“”是“”的必要不充分条件.B．在△ABC中，“”是“为直角三角形”的充要条件.C．若，则“”是“a，b不全为0”的充要条件.D．“”是“”的充分不必要条件.【答案】ACD【分析】利用集合的包含关系可判断AD；利用充分条件、必要条件的定义可判断B、C选项的正误.【详解】对于A，是的真子集，所以“”是“”的必要不充分条件，正确；对于B，充分性：若，则为直角，所以为直角三角形，充分性成立；必要性：若为直角三角形，则“为直角”或“是直角”或“为直角”，所以“”或“”或“”，即必要性不成立.因此“”是“为直角三角形”的充分不必要条件，错误.对于C选项，充分性：因为，若，则，所以不成立，所以、不全为，充分性成立；必要性：若、不全为，则，必要性成立.因此“”是“、不全为”的充要条件，正确；对于D选项，，，是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件，正确.故选：ACD.42．已知函数的定义域为，命题，命题是增函数，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据函数的单调性及命题充分必要性的概念直接判断.【详解】充分性：函数的定义域为，若，不能就此判断是增函数，例如函数，此时，满足，但该函数在定义域不是增函数，所以则是的不充分条件.必要性：若是增函数，根据增函数定义，一定有，则是的必要条件.综上，是的必要不充分条件.故选：B.43．“”的一个必要不充分条件是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】应用充分必要条件的定义分别判断各个选项即可.【详解】可以推出，不能推出，所以是的必要不充分条件，D选项正确；“”是的充要条件，A选项错误；“”可以推出，“”是的充分条件，B选项错误；“”不可以推出，“”不是的必要条件，C选项错误；故选：D.44．“知之者不如好之者，好之者不如乐之者”出自《论语·雍也》，意思是：对于学习，了解怎么学习的人，不如喜爱学习的人；喜爱学习的人，又不如以学习为乐的人.设命题：“一个人以学习为乐”，命题：“一个人喜爱学习”，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分、必要条件的知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】根据题意，若命题（一个人以学习为乐）成立，则命题（一个人喜爱学习）一定成立，即；但命题成立时，命题不一定成立（喜爱学习的人未必以学习为乐），即.因此，是的充分不必要条件.故选A.45．”匈奴未灭，何以家为”是西汉名将霍去病在抗击匈奴获胜后，拒绝汉武帝赏赐府第时所说的豪言壮语．体现出在千百年前中华儿女就明白一个道理，没有一个强大的国家，就没有百姓安定的生活．没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”．请问“大国崛起”是“小民尊严”的（）条件．A．充要条件 B．既不充分也不必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件【答案】C【分析】由充分、必要条件概念即可判断.【详解】​​没有“大国崛起”，就没有“小民尊严”​​，这等价于：如果有“小民尊严”，则一定有“大国崛起”.也就是说：“大国崛起”是“小民尊严”的​​必要条件.条件中没有说“大国崛起”一定导致“小民尊严”，所以不充分.因此，“大国崛起”是“小民尊严”的​​必要不充分条件​​.​​故选：C​题型九根据充分条件、必要条件求参数（共6小题）46．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将必要不充分条件转化为真子集关系即可求解.【详解】设集合，集合，若是的必要不充分条件，所以是的真子集，可得.故选：B.47．已知集合，，若：，：，是的必要不充分条件，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据充分必要条件的定义，结合集合的包含关系可得．【详解】是的必要不充分条件，则是的真子集，当，即时，符合题意；当，即时，，则且两个等号不能同时取得，解得，所以，综上，，故选：C．48．已知集合或，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求得，由题意可得⫋，列出不等式，即可得答案.【详解】由或，得，由是的充分不必要条件，得⫋，可得，解得.故选：C.49．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解.【详解】，若，则，BA，若，则，BA，若，则，BA，∴BA的一个充分不必要条件是.故选：B50．已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合间的包含关系列不等式求解即可.【详解】由得，即，记；由得，解得.因为是的充分不必要条件，所以，所以，解得.故选：A51．已知命题，当命题为真命题时，实数的取值集合为．(1)求集合；(2)设非空集合，若是的必要条件，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）由题意可得方程有解，根据求解即可；（2）由题意可得，列出不等式组求解即可.【详解】（1）解：由题意可得方程有解，所以，解得，所以；（2）解：因为是的必要条件，所以，又因为为非空集合，所以，解得，所以实数的取值范围为.题型十全称量词命题和存在量词命题的否定（共4小题）52．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】由存在量词命题的否定可得.【详解】由存在量词命题的否定可知，原命题的否定为，.故选：B53．命题“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由全称量词命题的否定为存在量词命题即可求解.【详解】命题“，”的否定是，，故选：D54．已知命题，，则为（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题，结合已知命题求出其否定，进而判断选项．【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，全称量词命题的否定为，故D正确．故选：D．55．已知命题“，则为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据存在命题的否定是全称命题进行判断即可.【详解】因为命题为“，所以命题为“”故选：C.题型十一根据命题的真假求参数（共5小题）56．已知命题“，