安徽凤阳县城西中学2023-2024学年高考压轴卷数学试卷含解析

安徽凤阳县城西中学2023-2024学年高考压轴卷数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：木题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.祖晅原理：“幕势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设4、

8为两个同高的几何体，P：A、3的体积不相等，/A、8在等高处的截面积不恒相等.根据祖迪原理可知，P是

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

2.已知复数z满足g=l+贝U忖的值为()

1L72

A.-B.y[2C.—D.2

22

3.已知;qj为等比数列，%+。8=-3,。4〃9二-18,贝」1〃2+《1=（）

4.已知,b=0.2^,=嗔2,则()

12J

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.a>c>b

5.若i为虚数单位，则复数z二上匚■在复平面上对应的点位于（

)

1+2;

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6.关于函数/⑴=一呵工一向在区间偿乃J的单调性，下列叙述正确的是（）

A.单调递增B.单调递减C.先递减后递增D.先递增后递减

7.一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在［20,60）上的频率为0.8,则估计

样本在［40,50）、［50,60）内的数据个数共有（）

分组110.20)(20.30)[30.40)

频数345XU

A.14B.15C.16D.17

8.如图，双曲线。：3-氐=1（〃〉0力＞0）的左，右焦点分别是爪一。,0）,乙3,0）,直线丁二为与双曲线。的两

条渐近线分别相交于A8两点.若/8F用=（,则双曲线。的离心率为（）

A.2B.拽:

3

C.y/2D.

3

9.已知椭圆。:工+），2=1内有一条以点。（1，1］为中点的弦48,则直线A3的方程为（）

3k3J

A.3x-3y-2=OB.3x-3y十2=0

C.3x+3y-4=0D.3x+3y+4=0

10.设Ax）、g。）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且/（幻+双1）=（犬+1）2-2,则/（1）一或1）=（）

A.-1B.0C.1D.3

11.已知复数z=h二，则三的虚部为（）

1-1

A.TB.iC.-1D.1

12.如雀是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）

正视图侧视图

A.—B.2兀C.-7TD.3%

32

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知等边三角形A8C的边长为1.AM=2MB点N、7分别为线段BC、C4上的动点，则

ABNT+BCTM+CA-MN取值的集合为・

14.已知。为矩形ABC。的对角线的交点，现从ARC,。,。这5个点中任选3个点，则这3个点不共线的概率为

15.二项式［犬一^)的展开式中/项的系数为.

16.已知A、B、C、P是同一球面上的四个点，其中PAJ_平面ABC,4AAe是正三角形，PA=AB=3f则该球

的表面积为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

x=1+Gcos9

17.(12分)平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为厂(6为参数)，以原点为极点，x轴的

y=yJ3sin3

非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为。=g(p>0),直线/的极坐标方程为

psin(e+高=3,点心看、.

(1)求曲线G的极坐标方程与直线/的直角坐标方程；

(2)若直线/与曲线。2交于点A,曲线G与曲线交于点3,求的面积.

18.(12分)数列｛4｝满足4=1,凡是一1与的等差中项.

(1)证明：数列｛4+1｝为等比数列，并求数列｛〃”｝的通项公式；

(2)求数列｛q,+2〃｝的前〃项和S”.

19.（12分）设函数/。）=卜+4+卜一1|（〃£火）.

（1）当。=1时，求不等式/。）24的解集；

（2）若对任意XER都有了。）22,求实数。的取值范围.

x=tx=cos0

20.（12分）已知直线/：a为参数），曲线G：＜（0为参数）.

y=—>/3+>/3ty-sin6

（1）设/与G相交于A,3两点，求

（2）若把曲线G上各点的横坐标压缩为原来的;倍，纵坐标压缩为原来的正倍，得到曲线。2,设点户是曲线G上

的一个动点，求它到直线/距离的最小值.

21.（12分）某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校200名高三学生平均每天体育锻炼时间进

行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）

平均每天锻炼

[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)

的时间/分钟

总人数203644504010

将学生日均体育锻炼时间在［40,60）的学生评价为“锻炼达标”.

（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面2x2列联表:

锻炼不达标锻炼达标合计

男

女20110

合计

并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？

（2）在“锻炼达标”的学生中，按男女用分层抽样方法抽出10人，进行体育锻炼体会交流.

（i）求这10人中，男生、女生各有多少人？

（ii）从参加体会交流的10人中，随机选出2人发言，记这2人中女生的人数为X,求X的分布列和数学期望.

4北八4『2n(ad-be)2

参考公式：K=-------------------------,其中〃=a+〃+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

临界值表:

P（K』。）0.100.050.0250.010

。出02.7063.8415.0246.635

22.(10分)如图，已知正方形所在平面与梯形八6MV所在平面垂直，BM//AN,NA=AB=2tI3M-4,

CN=26

(1)证明：MN上平面BCN；

(2)求点N到平面COM的距离.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.

【详解】

解：由题意，若A、4的体积不相等，则A、4在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A、4在等高处的

截面积不恒相等，但4、4的体积可能相等，例如A是一个正放的正四面体，4一个倒放的正四面体，必要性不成立,

所以〃是4的充分不必要条件，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力.

2、C

【解析】

由复数的除法运算整理已知求得复数z,进而求得其模.

【详解】

故选：c

【点睛】

本题考查复数的除法运算与求复数的模，属于基础题.

3、C

【解析】

根据等比数列的下标和性质可求出出，为，便可得出等比数列的公比,再根据等比数列的性质即可求出生+〃口・

【详解】

a.=-6]4=3

•・・4+9=5+8,，4〃9=44=-18,又名+/=-3,可解得1。或,

|%=3[a^=-6

设等比数列｛q｝的公比为久则

当以_八仁八1丁a.3》-6o十(小1)£21;

当[出:时，，=氏=-2,.・・4+〃“=-^+^-=^T+(-6)X(-2)=^!-.

%=-6ci5q-22

故选：C

【点睛】

本题主要考查等比数列的性质应用，意在考查学生的数学运算能力,属于基础题.

4、B

【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和01做对比，即可判断.

【详解】

由于咱2<©=1,

-11I-

0.22=-==V5

logi2<log(1=0

故b>a>c.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题.

5、D

【解析】

31

根据复数的运算，化简得到2=§-^"再结合复数的表示，即可求解，得到答案.

【详解】

由题意，根据复数的运算，可得Z=当(l+z)(1-2/)_3-z_31.

-(1+2/)(1-2Z)-~F_5_5Z

f31

所对应的点为位于第四象限.

故选D.

【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何意义，其中解答中熟记复数的运算法则，准确化简复数为代数形式是解

答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

6、C

【解析】

先用诱导公式得/*）=-sin（工一1］=cos（x+,再根据函数图像平移的方法求解即可.

\V7\3）

【详解】

函数/⑶=一sin（x—?）=8S1+的图象可由＞=COSX向左平移?个单位得到，如图所示，仆）在吕乃）上先

递减后递增.

故选：c

【点睛】

本题考查三角函数的平移与单调性的求解.属于基础题.

7、B

【解析】

计算出样本在［20,60）的数据个数，再减去样本在［20,40）的数据个数即可得出结果.

【详解】

由题意可知，样本在［20,60）的数据个数为30x0.8=24,

样本在［20,40）的数据个数为4+5=9,

因此，样本在［40,50）、［50,60）内的数据个数为24-9=15.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用频数分布表计算频数，要理解频数、样本容量与频率三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.

8、A

【解析】

cbeBT71

易得夕-三笄），过3作x轴的垂线，垂足为7;在八斗小中，利用钎=tan彳即可得到。也。的方程.

22a//J

【详解】

由已知，得8（—三上），过B作x轴的垂线，垂足为A故叱=:，

22a2

he

又N8耳月二£,所以言=tan［=即21=2=6，

3F/3ca

2

所以双曲线C的离心率6=八+（2/=2.

故选：A.

【点睛】

本题考杳双曲线的离心率问题，在作双曲线离心率问题时，最关键的是找到a,的方程或不等式，本题属于容易题.

9、C

【解析】

丫2222

2

设A（%,y）,3（W，%），则±+）：=1,^-+y2=l,相减得到］+三左=0,解得答案.

3333

【详解】

22

设A（M，），J,B（W，%），设直线斜率为3则工+），：=］,玉1+%2=］,

33

相减得到：（玉二）（T，v2）+（y+%）（）「）,2）二0.A8的中点为

3IJ

224

即二十不左=0,故左=一1，直线A8的方程为：y=-x+-.

333

故选：C.

【点睛】

本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.

10、C

【解析】

先根据奇偶性，求出/（戈）一以外的解析式，令x=l,即可求出。

【详解】

因为/（力、g。）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，/*）+&（灯=*+1）2-2⑴,用一工替换匕，得

/(—x)+g(r)=(—工+1)2-2一川，

化简得—/(X)+g(x)=(x-1产-2-t+,,即/*)一g(x)=2•一(x-1/

令x=l,所以/(I)—g(l)=20-0=1,故选C。

【点睛】

本题主要考查函数性质奇偶性的应用o

11、C

【解析】

先将z=1^,化简转化为z=2+i,再得到I=2-i下结论.

【详解】

m2一3T二即“的

已知复数Z一三一百西一2+''

所以z=2—i，

所以z的虚部为4.

故选：C

【点睛】

本题主要考查复数的概念及运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

12、A

【解析】

由三视星还原原几何体如图，该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，半球的半径为1,圆柱的底面

半径为1,高为1.再由球与圆柱体积公式求解.

【详解】

由三视图还原原几何体如图，

该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆柱，

半球的半径为1,圆柱的底面半径为1,高为1.

则几何体的体积为V=^x^xl3+^xl2xl=^.

233

故选：A.

【点睛】

本题主要考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、{-6}

【解析】

根据题意建立平面直角坐标系,设三角形各点的坐标，依题意求出NT，TM，例N,的表达式，再进行数量积的运算,最后求

和即可得出结果.

【详解】

解：以的中点。为坐标原点,BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为J轴建立平面直角坐标系，如图所示,

设N（/,0）,AT=AAC,

07=OA+AT=OA+%AC=（0,石）+“1,-扬=（九百（1-A））,

即点丁的坐标为（尢6（1-㈤），

(2八\2石

则N7=(,TM=---/L,^--V3(l-Z),MN=tH—,------

33

所以A8NT+3CTM+CAMN

=-1x(2—/)+(―V3)x>/3(1—A)+2x(_g_2)+0x

与—瓜D

(-i)x

ri+百X-6

故答案为：{-6}

【点睛】

本题考杳平面向量的坐标表示和线性运算，以及平面向量基本定理和数量积的运算，是中档题.

4

14、-

5

【解析】

基本事件总数〃=点二10,这3个点共线的情况有两种AOC和B。。，由此能求出这3个点不共线的概率.

【详解】

解：O为矩形A3CO的对角线的交点，

现从A,B,C,D,。这5个点中任选3个点，

基本事件总数〃=C；=10,

这3个点共线的情况有两种AOC和BOD,

•••这3个点不共线的概率为〃=1喘2=41.

4

故答案为：—.

【点睛】

本题考合概率的求法，考食对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题.

15、15

【解析】

r,23r

由题得，7；+I=C；（-l）x-,令12-31=6,解得r=2,代入可得展开式中含W项的系数.

【详解】

f,2-3r

由题得，J=。：卜2）6[_3=Q（-l）x,令12—3r=6,解得〃=2,

所以二项式12—的展开式中f项的系数为C；（-l）2=15.

故答案为：15

【点睛】

本题主要考查了二项式定理的应用，考查了利用通项公式去求展开式中某项的系数问题.

16、21不

【解析】

求得等边三角形A8C的外接圆半径，利用勾股定理求得三棱锥P-A8CQ外接球的半径，进而求得外接球的表面积.

【详解】

I2r=---=—^=-=2\/3,r=\/3

设。|是等边三角形的外心，则球心。在其正上方-PA处.设QC=乙由正弦定理得.n工、行.

23T

所以得三棱锥夕一A3C0外接球的半径R=，（以,『+（℃）2=J\p4j+（QQ）2=JQ=旧，所以外接球

21

的表面积为4期??2=4»x—=21乃,

4

故答案为：21〃

H

【点睛】

本小题主要考查几何体外接球表面积的计算，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

、

17(1)zr-2pcos6>-2=0.工+百)，一6二()(2)|

【解析】

(1)根据题意代入公式化简即可得到.(2)联立极坐标方程通过极坐标P的几何意义求解I人81,再求点P到直线AB的距

离即可算出三角形面积.

【详解】

解：(1)曲线G：(x-l)2+y2=3,即V+y2-2x—2=0.

・•・〃2_2〃cos。一2=0.曲线G的极坐标方程为—2〃cos6—2=0.

/\

直线/的极坐标方程为夕sin[=3,即J5psinO+pcos，=6,

V6)

・・・直线/的直角坐标方程为X+6y-6=0.

(2)设A。八5)，'(q5/

(兀冗、

APAsin—+-=3,解得〃=3.

130；

又以一2夕883可-2二°，・,•夕8=2(28=—1舍去).

・・.|叫=3-2=1.

点尸到直线48的距离为6xsinjf-J=3,

I36>

12

・••△以8的面积为2、1*3=/.

【点睛】

此题考查参数方程，极坐标，直角坐标之间相互转化，注意参数方程只能先转化为直角坐标再转化为极坐标，属于较

易题目.

18、(1)见解析，%=2"-1(2)5”=2'川+〃2-2

【解析】

(1)根据等差中项的定义得。向T=2%,然后构造新等比数列｛q+1｝,写出｛。〃+1｝的通项即可求

(2)根据(1)的结果，分组求和即可

【详解】

解：(1)由已知可得%+「1=2勺，即。用=2。〃+1,可化为4川+1=2(4+1),故数列｛q+1｝是以q+l=2为

首项，2为公比的等比数列.

即有q产1=(%+1).2〃T=T,所以％=2”-1.

(2)由(1)知，数列｛。“+2〃｝的通项为：q+2〃=2"+2〃-1,

I23

.•.S,,=(2+2+2++2")+(1+3+5+・・,+2〃-1)

2(1-叫

=—-------^+〃2=2向+〃2-2

1-2

故S“=2”+'〃2—2.

【点睛】

考查等差中项的定义和分组求和的方法；中档题.

19、(1)(-oo,-2]u[2,+co)(2)(-<X>,3]LJ[1,-KO)

【解析】

(1)|戈+1|+|六1|24利用零点分区间法，去掉绝对值符号分组讨论求并集，

(2)f(x)22对x£R恒成立，则f(x)疝”>2,

由三角不等式,+4+1尸】闫x+。-x-11=|。+1],得|〃+1|之2求解

【详解】

解：⑴当。=1时，不等式f(x)N4即为k+l|+|M|N4,

,<

X<-1-1<X<1X>1

可得《或《或'

-A-1+1-X>4x+l+l-x>4x+l+x-1>4,

解得xW-2或工£0或工22,

则原不等式的解集为(-8,-2]。[2,+8)

(2)若对任意XER、都有/(X)N2,

即为了*)加〃32,

由k+a|+|jt-l|2|x+a-x+l|=|a+l|,当（x+a）（x—l）WO取得等号,

则/（X）〃E=|4+1|,由|。+1]22,可得4之1或〃0—3,

则4的取值范围是（-8,引Ih-HX））

【点睛】

本题考查含有两个绝对值符号的不等式解法及利用三角不等式解恒成立问题.（1）含有两个绝对值符号的不等式常用

解法可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解（2）利用三角不等

式MH同｝\a可？同+例把不等式晅成立问题转化为函数最值问题.

20、（1）M.=1；（2）2上;瓜.

【解析】

（1）将直线/和曲线G化为普通方程，联立直线/和曲线G，可得交点坐标，可得|43|的值；

（2）可得曲线G的参数方程，利用点到直线的距离公式结合三角形的最值可得答案.

【详解】

解：（1）直线/的普通方程为y=J5a—1）,G的普通方程/+）1=1・

解得/与a的交点为A（I,O）,彳盘一坐）

联立方程组J,贝11|A@=1.

x=—cosO

2（。为参数），故点尸的坐标为

（2）曲线G的参数方程为-cos^,^-sin6>

V3.Q

y=——sinO

2

—cos<9--s\n0-y/3

从而点尸到直线/的距离是，22

a二号x/2sinf<9-^1+2

2

由此当$吊（。-丁〕=-1时，d取得最小值，且最小值为"二亚.

k4J4

【点睛】

本题主要考查参数方程与普通方程的转化及参数方程的基本性质、点到直线的距离公式等，属于中档题.

4

21、（1）能；（2）（i）男生有6人，女生有4人；（ii）£（%）=-,分布列见解析.

【解析】

（1）根据所给数据可完成列联表.由总人数及女生人数得男生人数，由表格得达标人数，从而得男生中达标人数，这

样不达标人数随之而得，然后计算K?可得结论；

(2)由达标人数中男女生人数比为3：2可得抽取的人数，总共选2人，女生有4人，X的可能值为0,1,2,分别

计算概率得分布列，再由期望公式可计算出期望.

【详解】

(1)列出列联表，

锻炼不达标锻炼达标合计

男603090

女9020110

合计15050200

/200x(60x20-30x90)2200

K“=-------------------