2026年教师资格（高中数学）自测试题及答案

2026年教师资格（高中数学）自测试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______一、选择题（总共10题，每题3分，每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的序号填在括号内）1.已知函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$，则函数$f(x)$的定义域为（）A.$(-\infty,1)$B.$(1,+\infty)$C.$(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$D.$R$2.若向量$\overrightarrow{a}=(1,2)$，$\overrightarrow{b}=(3,4)$，则$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}$的值为（）A.5B.7C.11D.133.抛物线$y=2x^2$的焦点坐标为（）A.$(0,\frac{1}{2})$B.$(0,\frac{1}{4})$C.$(0,\frac{1}{8})$D.$(0,\frac{1}{16})$4.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_2=3$，$S_5=25$，则$a_7$的值为（）A.11B.13C.15D.175.函数$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的最小正周期为（）A.$\frac{\pi}{2}$B.$\pi$C.$2\pi$D.$4\pi$6.已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2-1,x\leq0\\2x,x\gt0\end{cases}$，若$f(a)=3$，则$a$的值为（）A.2B.-2C.2或-2D.$\sqrt{3}$或-27.曲线$y=x^3-3x^2+1$在点$(1,-1)$处的切线方程为（）A.$y=3x-4$B.$y=-3x+2$C.$y=-4x+3$D.$y=4x-5$8.已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)$的离心率为$2$，则其渐近线方程为（）A.$y=\pm\sqrt{3}x$B.$y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x$C.$y=\pm2x$D.$y=\pm\frac{1}{2}x$9.若函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，且$f(a)f(b)\lt0$，则函数$f(x)$在区间$(a,b)$内（）A.至少有一个零点B.至多有一个零点C.没有零点D.有且仅有一个零点10.已知圆$x^2+y^2-4x+6y=0$的圆心坐标为（）A.$(2,-3)$B.$(-2,3)$C.$(2,3)$D.$(-2,-3)$二、填空题（总共5题，每题4分，请将答案填在横线上）1.函数$f(x)=\log_2(x+1)$的定义域为______。2.已知向量$\overrightarrow{a}=(2,3)$，$\overrightarrow{b}=(x,6)$，且$\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}$，则$x$的值为______。3.已知函数$f(x)=x^3-3x$，则$f(x)$的单调递增区间为______。4.已知椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的离心率为______。5.已知函数$f(x)=\sinx+\cosx$，则$f(\frac{\pi}{4})$的值为______。三、解答题（总共4题，每题10分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.已知函数$f(x)=2\sin(2x-\frac{\pi}{6})$。（1）求函数$f(x)$的最小正周期；（2）求函数$f(x)$在区间$[0,\frac{\pi}{2}]$上的最大值和最小值。2.已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，$a_1=1$，$S_3=9$。（1）求数列$\{a_n\}$的通项公式；（2）若$b_n=2^{a_n}$，求数列$\{b_n\}$的前$n$项和$T_n$。3.已知抛物线$y^2=2px(p\gt0)$的焦点为$F$，点$M(3,m)$在抛物线上，且$|MF|=5$。（1）求抛物线的方程；（2）过点$F$作斜率为$k$的直线$l$与抛物线交于$A$，$B$两点，若$|AB|=8$，求直线$l$的斜率$k$。4.已知函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3-x^2+ax-1$。（1）若函数$f(x)$在区间$[1,2]$上单调递增，求实数$a$的取值范围；（2）若函数$f(x)$有两个极值点$x_1$，$x_2$，求$f(x_1)+f(x_2)$的值。四、材料分析题（1题，15分）阅读以下材料：在高中数学教学中，我们常常会遇到一些抽象的概念和复杂的数学问题。例如，函数的单调性、极值等概念，对于学生来说理解起来可能会有一定的困难。教师可以通过具体的实例、图形等方式来帮助学生理解这些概念。比如，在讲解函数单调性时，可以通过绘制函数图像，让学生直观地观察函数在不同区间的变化趋势，从而更好地理解单调性的概念。同时，在解决数学问题时，引导学生运用多种方法，培养学生的创新思维和解决问题的能力。例如，在求解数列通项公式时，可以引导学生尝试不同的方法，如累加法、累乘法、构造法等来找到解题的思路。问题：请结合材料，谈谈在高中数学教学中如何帮助学生更好地理解抽象概念和提高解决问题的能力。五、教学设计题（1题，15分）请设计一份关于“直线、圆的位置关系”的教学方案，要求包括教学目标、教学重难点、教学方法、教学过程以及教学反思。1.C2.D3.C4.B5.B6.D7.B8.A9.A10.A1.$(-1,+\infty)$2.43.$(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$4.$\frac{4}{5}$5.$\sqrt{2}$三、解答题答案1.（1）函数$f(x)$的最小正周期$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$。（2）当$x\in[0,\frac{\pi}{2}]$时，$2x-\frac{\pi}{6}\in[-\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}]$。当$2x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$，即$x=\frac{\pi}{3}$时，$f(x)$取得最大值$2$；当$2x-\frac{\pi}{6}=-\frac{\pi}{6}$，即$x=0$时，$f(x)$取得最小值$-1$。2.（1）设等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，由$S_3=9$得$3a_1+\frac{3\times2}{2}d=9$，又$a_1=1$，解得$d=2$。所以$a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1$。（2）由$b_n=2^{a_n}=2^{2n-1}$，可知数列$\{b_n\}$是首项为$2$，公比为$4$的等比数列。所以$T_n=\frac{2(1-4^n)}{1-4}=\frac{2(4^n-1)}{3}$。3.（1）由抛物线定义知$|MF|=3+\frac{p}{2}=5$，解得$p=4$。所以抛物线方程为$y^2=8x$。（2）焦点$F(2,0)$，设直线$l$的方程为$y=k(x-2)$。由$\begin{cases}y=k(x-2)\\y^2=8x\end{cases}$消去$y$得$k^2x^2-(4k^2+8)x+4k^2=0$。设$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，则$x_1+x_2=\frac{4k^2+8}{k^2}$。由抛物线弦长公式$|AB|=x_1+x_2+p$，即$\frac{4k^2+8}{k^2}+4=8$，解得$k=\pm1$。4.（1）$f^\prime(x)=x^2-2x+a$，因为函数$f(x)$在区间$[1,2]$上单调递增，所以$f^\prime(x)\geq0$在$[1,2]$上恒成立。即$x^2-2x+a\geq0$，$a\geq-x^2+2x$，令$g(x)=-x^2+2x$，$x\in[1,2]$，$g(x)_{max}=1$，所以$a\geq1$。（2）因为函数$f(x)$有两个极值点$x_1$，$x_2$，则$x_1$，$x_2$是方程$x^2-2x+a=0$的两个根，所以$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=a$。$f(x_1)+f(x_2)=\frac{1}{3}x_1^3-x_1^2+ax_1-1+\frac{1}{3}x_2^3-x_2^2+ax_2-1$$=\frac{1}{3}(x_1^3+x_2^3)-(x_1^2+x_2^2)+a(x_1+x_2)-2$$=\frac{1}{3}[(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)]-[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]+a(x_1+x_2)-2$把$x_1+x_2=2$，$x_1x_2=a$代入得：$f(x_1)+f(x_2)=\frac{1}{3}(8-6a)-(4-2a)+2a-2=-\frac{8}{3}$。四、材料分析题答案在高中数学教学中，帮助学生更好地理解抽象概念和提高解决问题的能力可以从以下几个方面入手：1.利用具体实例和图形辅助理解抽象概念。对于函数单调性等抽象概念，通过绘制函数图像，让学生直观观察函数在不同区间的变化趋势，从而更好地理解概念。2.引导学生运用多种方法解决问题。在求解数列通项公式等问题时，引导学生尝试累加法、累乘法、构造法等不同方法，培养学生的创新思维和解决问题的能力。通过多样化的解题方法，拓宽学生的思路，让学生从不同角度理解问题，提高解决问题的灵活性和准确性。五、教学设计题答案1.教学目标（1）知识与技能目标：理解直线与圆的位置关系，掌握判断直线与圆位置关系的方法，能根据直线与圆的位置关系解决相关问题。（2）过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等活动，培养学生的逻辑思维能力和数形结合能力。（3）情感态度与价值观目标：让学生感受数学的严谨性，提高学生学习数学的兴趣。2.教学重难点（1）教学重点：直线与圆的位置关系的判定方法及应用。（2）教学难点：用坐标法判断直线与圆的位置关系。3.教学方法讲授法、讨论法、练习法相结合。4.教学过程（1）导入新课通过展示生活中直线与圆位置关系的实例，如桥梁、摩天轮等，引出课题。（2）讲授新课①讲解直线与圆的位置关系的定义，通过图形直观展示相交、相切、相离三种情况。②推导直线与圆位置关系的判定方法：代数法：联立直线方程与圆的方程，消元后根据判别式判