二次根式的除法课件湘教版数学八年级上册

湘教版（2024）数学8年级上册第3章

二次根式3.2.2二次根式的除法1.理解二次根式的除法法则及商的算术平方根的性质.掌握最简二次根式的特点.（重点）2.合理简洁地进行二次根式的除法运算.（难点）#3.2.2二次根式的除法（八年级数学课件）##幻灯片1：封面-标题：3.2.2二次根式的除法-副标题：八年级上册数学-授课教师：XXX-日期：XXXX年XX月XX日##幻灯片2：学习目标1.理解二次根式除法法则的推导过程，掌握法则$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a\geq0$，$b>0$）；2.能熟练运用除法法则进行二次根式的除法运算；3.掌握分母有理化的概念和方法，能将分母含二次根式的式子化为最简形式；4.会逆用除法法则化简二次根式，解决与除法相关的简单实际问题。##幻灯片3：复习回顾（衔接旧知）###1.已学法则与性质：-二次根式乘法法则：$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a\geq0$，$b\geq0$）；-商的算术平方根性质：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geq0$，$b>0$）；-思考：将商的算术平方根性质逆向运用，能得到什么结论？（引出除法法则）###2.计算热身：-$\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{4}}=$______；$\sqrt{\frac{16}{4}}=$______；-$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{9}}=$______；$\sqrt{\frac{36}{9}}=$______；-观察两组结果，你发现了什么规律？##幻灯片4：法则推导（探究规律）###探究过程：1.计算下列各组式子，对比结果：-第一组：$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}\approx\frac{2.828}{1.414}=2$；$\sqrt{\frac{8}{2}}=\sqrt{4}=2$；-第二组：$\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{3}}\approx\frac{3.872}{1.732}\approx2.236$；$\sqrt{\frac{15}{3}}=\sqrt{5}\approx2.236$；2.规律总结：-当$a\geq0$，$b>0$时，$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$；3.理论证明：-左边：$\left(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\right)^2=\frac{(\sqrt{a})^2}{(\sqrt{b})^2}=\frac{a}{b}$（分式的乘方性质）；-右边：$\left(\sqrt{\frac{a}{b}}\right)^2=\frac{a}{b}$（二次根式性质2）；-因为左边和右边的平方相等，且左边、右边均为非负数，所以$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$。##幻灯片5：二次根式除法法则###法则：-一般地，对于非负数$a$和正数$b$，有$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a\geq0$，$b>0$）；-语言描述：两个非负数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。###注意事项：1.条件限制：$a\geq0$（分子被开方数非负），$b>0$（分母被开方数为正，保证二次根式有意义且分母不为0）；-反例：$\frac{\sqrt{-5}}{\sqrt{2}}$无意义，$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{0}}$无意义；2.结果要求：运算结果需化为最简二次根式（不含分母、不含能开得尽方的因数或因式）；3.推广：多个非负二次根式相除，法则依然成立：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}\cdot\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a}{bc}}$（$a\geq0$，$b>0$，$c>0$）。##幻灯片6：例题1（直接运用法则计算）###计算下列各式（结果化为最简二次根式）：1.$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$-解：方法一（用法则直接计算）：$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{18}{2}}=\sqrt{9}=3$；-方法二（先化简再计算）：$\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=3$（更简便）；2.$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}$-解：$\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{24}{6}}=\sqrt{4}=2$；3.$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}$-解：$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{45}{5}}=\sqrt{9}=3$；4.$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}$-解：$\frac{\sqrt{72}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{72}{8}}=\sqrt{9}=3$或$\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=3$。###方法总结：-计算步骤：1.优先化简被除数和除数的二次根式；2.约分后再计算（若能直接约分，可避免复杂运算）；3.若无法直接约分，用法则将被开方数相除后再化简。##幻灯片7：即时练习1（基础除法运算）###计算下列各式（结果化为最简二次根式）：1.$\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$2.$\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}}$3.$\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{12}}$4.$\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{10}}$###答案：1.$\sqrt{4}=2$；2.$\sqrt{9}=3$；3.$\sqrt{4}=2$；4.$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。##幻灯片8：例题2（含字母的二次根式除法）###计算下列各式（字母均为正数，结果化为最简）：1.$\frac{\sqrt{12x^3}}{\sqrt{3x}}$-解：方法一（用法则）：$\frac{\sqrt{12x^3}}{\sqrt{3x}}=\sqrt{\frac{12x^3}{3x}}=\sqrt{4x^2}=2x$；-方法二（先化简）：$\frac{2x\sqrt{3x}}{\sqrt{3x}}=2x$；2.$\frac{\sqrt{27a^2b}}{\sqrt{3b}}$-解：$\frac{\sqrt{27a^2b}}{\sqrt{3b}}=\sqrt{\frac{27a^2b}{3b}}=\sqrt{9a^2}=3a$；3.$\frac{\sqrt{45m^5n^4}}{\sqrt{9m^3n^2}}$-解：$\sqrt{\frac{45m^5n^4}{9m^3n^2}}=\sqrt{5m^2n^2}=mn\sqrt{5}$；4.$\frac{\sqrt{8(x+y)^3}}{\sqrt{2(x+y)}}$（$x+y>0$）-解：$\sqrt{\frac{8(x+y)^3}{2(x+y)}}=\sqrt{4(x+y)^2}=2(x+y)$。###注意事项：-字母取值范围需满足“被开方数非负”且“分母不为0”，题目未说明时需注明；-相除后被开方数中的字母因式若为完全平方形式，需开方后写到根号外。##幻灯片9：即时练习2（含字母的除法运算）###计算下列各式（字母均为正数）：1.$\frac{\sqrt{18a^2}}{\sqrt{2a}}$2.$\frac{\sqrt{40x^3y}}{\sqrt{8xy}}$3.$\frac{\sqrt{75m^4n^3}}{\sqrt{3mn}}$4.$\frac{\sqrt{12(x-1)^2}}{\sqrt{3(x-1)}}$（$x>1$）###答案：1.$\sqrt{9a}=3\sqrt{a}$；2.$\sqrt{5x^2}=x\sqrt{5}$；3.$\sqrt{25m^3n^2}=5mn\sqrt{m}$；4.$\sqrt{4(x-1)}=2\sqrt{x-1}$。##幻灯片10：分母有理化（核心技能）###定义：-把分母中的根号化去，叫做分母有理化。-核心目的：将分母化为有理数（整数或整式），使式子成为最简形式。###基本类型1：分母为单个二次根式（如$\frac{1}{\sqrt{a}}$，$a>0$）-方法：分子分母同乘分母的二次根式，利用$(\sqrt{a})^2=a$消去分母根号。####例题3（分母为单个二次根式）化简下列各式（字母均为正数）：1.$\frac{1}{\sqrt{3}}$-解：$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1\times\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；2.$\frac{2}{\sqrt{5}}$-解：$\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\times\sqrt{5}}{\sqrt{5}\times\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$；3.$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}$-解：$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}\times\sqrt{6}}{\sqrt{6}\times\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{12}}{6}=\frac{2\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$（或先约分：$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{2}{6}}=\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$）；4.$\frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{2b}}$-解：$\frac{\sqrt{3a}}{\sqrt{2b}}=\frac{\sqrt{3a}\times\sqrt{2b}}{\sqrt{2b}\times\sqrt{2b}}=\frac{\sqrt{6ab}}{2b}$。##幻灯片11：分母有理化（复杂类型）###基本类型2：分母为二次根式的倍数（如$\frac{1}{k\sqrt{a}}$，$k$为非零整数，$a>0$）-方法：分子分母同乘$\sqrt{a}$，仅需化去根号，无需乘系数$k$。####例题4（分母为二次根式的倍数）化简下列各式（字母均为正数）：1.$\frac{3}{2\sqrt{2}}$-解：$\frac{3}{2\sqrt{2}}=\frac{3\times\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2\times2}=\frac{3\sqrt{2}}{4}$；2.$\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$-解：$\frac{\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{3}}{3\sqrt{3}\times\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{3\times3}=\frac{\sqrt{15}}{9}$；3.$\frac{2\sqrt{3}}{5\sqrt{6}}$-解：$\frac{2\sqrt{3}}{5\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}\times\sqrt{6}}{5\sqrt{6}\times\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{18}}{5\times6}=\frac{2\times3\sqrt{2}}{30}=\frac{6\sqrt{2}}{30}=\frac{\sqrt{2}}{5}$。###技巧总结：-分母有理化后需检查结果是否为最简二次根式，若有公因数需约分。##幻灯片12：即时练习3（分母有理化）###化简下列各式（字母均为正数）：1.$\frac{1}{\sqrt{2}}$2.$\frac{5}{\sqrt{7}}$3.$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{8}}$4.$\frac{4}{3\sqrt{5}}$5.$\frac{\sqrt{6a}}{\sqrt{8b}}$###答案：1.$\frac{\sqrt{2}}{2}$；2.$\frac{5\sqrt{7}}{7}$；3.$\frac{\sqrt{6}}{4}$；4.$\frac{4\sqrt{5}}{15}$；5.$\frac{\sqrt{12ab}}{8b}=\frac{2\sqrt{3ab}}{8b}=\frac{\sqrt{3ab}}{4b}$。##幻灯片13：法则逆用（化简二次根式）###逆用法则：-由$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a\geq0$，$b>0$），可逆用为$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$；-用途：将根号内的分母化去，或化简含分母的二次根式（与分母有理化结合）。###例题5（逆用法则化简）####化简下列二次根式（字母均为正数）：1.$\sqrt{\frac{3}{4}}$-解：$\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$；2.$\sqrt{\frac{5}{12}}$-解：$\sqrt{\frac{5}{12}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{12}}=\frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{6}$（先逆用法则，再分母有理化）；3.$\sqrt{\frac{7a}{8b}}$-解：$\sqrt{\frac{7a}{8b}}=\frac{\sqrt{7a}}{\sqrt{8b}}=\frac{\sqrt{7a}\times\sqrt{2b}}{2\sqrt{2b}\times\sqrt{2b}}=\frac{\sqrt{14ab}}{4b}$；4.$\sqrt{\frac{2(x+1)}{9(x+2)}}$（$x>-1$）-解：$\sqrt{\frac{2(x+1)}{9(x+2)}}=\frac{\sqrt{2(x+1)}}{\sqrt{9(x+2)}}=\frac{\sqrt{2(x+1)}\times\sqrt{x+2}}{3\sqrt{x+2}\times\sqrt{x+2}}=\frac{\sqrt{2(x+1)(x+2)}}{3(x+2)}$。##幻灯片14：实际应用例题###例6：-一个正方形的面积为$\frac{5}{9}$平方米，求它的边长和对角线长度（结果化为最简二次根式）。-解：1.求边长：设边长为$a$，则$a^2=\frac{5}{9}$，所以$a=\sqrt{\frac{5}{9}}=\frac{\sqrt{5}}{3}$（米）；2.求对角线：正方形对角线$d=\sqrt{2}a=\sqrt{2}\times\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{\sqrt{10}}{3}$（米）；3.答：正方形的边长为$\frac{\sqrt{5}}{3}$米，对角线长度为$\frac{\sqrt{10}}{3}$米。###例7：-已知直角三角形的两条直角边分别为$\sqrt{6}$cm和$\sqrt{12}$cm，求斜边的长度（提示：勾股定理$c=\sqrt{a^2+b^2}$）。-解：1.计算$a^2+b^2$：$(\sqrt{6})^2+(\sqrt{12})^2=6+12=18$；2.求斜边$c$：$c=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$（cm）；3.答：斜边的长度为$3\sqrt{2}$cm。##幻灯片15：易错点提醒与辨析###易错点1：忽略法则适用条件-错误：$\frac{\sqrt{-8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{\frac{-8}{2}}=\sqrt{-4}$（原因：分子被开方数为负，二次根式无意义）；-纠正：负数不能开平方，此类式子无意义，不能运用法则计算。###易错点2：分母有理化时分子遗漏乘根号-错误：$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$（正确）；$\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$（错误，分子未乘$\sqrt{3}$）；-纠正：分子分母需同时乘同一个二次根式，保持式子值不变。###易错点3：运算结果未化简彻底-错误：$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{18}}{6}=\frac{6\sqrt{2}}{6}=\sqrt{2}$（正确）；$\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{18}}{6}$（错误，未化简彻底）；-纠正：分母有理化后需检查被开方数是否含能开得尽方的因数。###易错点4：含字母式子未注明取值范围-错误：$\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$（未说明$x\geq0$，$y>0$）；-纠正：需注明字母取值范围，即$\sqrt{\frac{x}{y}}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}$（$x\geq0$，$y>0$）。##幻灯片16：课堂小结###1.核心法则：-除法法则：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a\geq0$，$b>0$）；-逆用法则：$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a\geq0$，$b>0$）（用于化简含分母的二次根式）。###2.核心技能：-分母有理化：分子分母同乘分母的二次根式，消去分母根号，结果需最简。###3.运算步骤：-除法运算：先化简（或用法则）→

再计算

→

最后分母有理化（若需）；-化简运算：先逆用法则

→

再分母有理化

→

整理为最简形式。###4.关键提醒：-保证被开方数非负、分母不为0；-结果必须是最简二次根式（不含分母、不含能开得尽方的因数/因式）。##幻灯片17：课后作业###基础题（必做）：1.计算下列各式（结果化为最简二次根式）：-（1）$\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{7}}$（2）$\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{15}}$（3）$\frac{\sqrt{80}}{\sqrt{5}}$（4）$\frac{\sqrt{12a^3}}{\sqrt{3a}}$（$a>0$）2.分母有理化：-（1）$\frac{1}{\sqrt{6}}$（2）$\frac{3}{\sqrt{8}}$（3）$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{12}}$（4）$\frac{\sqrt{2x}}{\sqrt{3y}}$（$x\geq0$，$y>0$）3.化简下列二次根式（字母均为正数）：-（1）$\sqrt{\frac{7}{25}}$（2）$\sqrt{\frac{8}{27}}$（3）$\sqrt{\frac{5a}{12b}}$###提升题（选做）：1.计算：$\frac{\sqrt{18}\times\sqrt{21}}{\sqrt{7}}$；2.已知$\frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x-1}}=\sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$，求$x$的取值范围；3.一个长方形的面积为$6\sqrt{2}$平方厘米，长为$2\sqrt{3}$厘米，求它的宽（结果化为最简二次根式）。##幻灯片18：结束页-感谢聆听！-疑问解答与交流站在海拔高度为

h

米的地方可以看到的水平距离为

d

米，它们近似地符合公式

.解：问题1

某一登山者爬到海拔100米处，即时，他看到的水平距离

d1的值是多少？问题2

该登山者接着爬到海拔200米的山顶，即时，此时他看到的水平线的距离

d2的值是多少？问题3

他从海拔100米处登上海拔

200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？解：二次根式相除该怎样算呢？解：思考

乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？1.计算下列各式：___÷___=____;(1)=_____;___÷___=____;___÷___=____.(2)=_____;(3)=_____;234567观察两者有什么关系？

二次根式的除法1观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：(1)(2)(3)思考通过上述二次根式除法运算结果，联想到二次根式乘法的运算法则，你能说出的结果吗？特殊一般一般地，如果

a>0，则

因此，(a>0).

设

a>0，b≥0，则

探究证明

与

互为倒数.二次根式的除法法则:文字叙述：商的算术平方根，等于被除数的算术平方根除以除式的算术平方根.当二次根式根号外的因数(式)不为

1

时，可类比单项式除以单项式法则，易得知识要点例1

化简下列二次根式．解：

从变形到是为了去掉分母中的根号.

化简二次根式时，最后结果要求分母中不含有二次根式.典例精析例2

化简：解:还有其他解法吗?补充解法：解：先运用商的算术平方根的性质，再运用积的平方根性质1.能使等式

成立的

x

的取值范围是（）A.x≠2B.x≥0C.x＞2D.x≥2C2.化简：解：练一练我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.语言表述：各因式的算术平方根的商，等于商的算术平方根.我们知道，把积的算术平方根的性质反过来就得到二次根式的乘法法则.

类似的，把二次根式的商的算术平方根的性质反过来，就得到二次根式的除法法则:例3

计算：

典例精析3.

计算：解：除式是分数或分式时，先要转化为乘法再进行运算练一练解：

类似(4)中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.归纳例7电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波