2025年大学本科二年级（统计学）回归分析试题及答案

2025年大学本科二年级（统计学）回归分析试题及答案

（考试时间：90分钟满分100分）班级______姓名______第I卷（选择题共30分）答题要求：本卷共6题，每题5分。在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请将正确答案的序号填在括号内。1.在一元线性回归模型$y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon$中，关于参数$\beta_1$的说法正确的是（）A.它是回归直线的斜率B.它反映了自变量$x$对因变量$y$的影响程度C.它的估计值$\hat{\beta_1}$是通过最小二乘法得到的D.以上说法都正确2.回归分析中，判定系数$R^2$的取值范围是（）A.$[0,+\infty)$B.$[0,1]$C.$[-1,1]$D.$(-\infty,+\infty)$3.对于给定的样本数据，若回归模型的残差平方和为$SSE=100$，总离差平方和为$SST=200$，则该模型的判定系数$R^2$为（）A.0.25B.0.5C.0.75D.14.在回归分析中，若自变量$x$与因变量$y$之间存在线性关系，那么随着$x$的增大，$y$的变化趋势是（）A.一定增大B.一定减小C.按照回归直线的规律变化D.无规律变化5.若回归方程为$\hat{y}=3+2x$，当$x=5$时，$\hat{y}$的预测值为（）A.13B.15C.17D.196.回归分析中，检验回归模型是否显著的统计量是（）A.$F$统计量B.$t$统计量C.$R^2$D.残差平方和第II卷（非选择题共70分）二、填空题（每题5分，共20分）答题要求：请将正确答案填在题中的横线上。1.一元线性回归模型中，参数$\beta_0$称为______。2.若回归直线方程为$\hat{y}=\hat{\beta_0}+\hat{\beta_1}x$，则$\hat{\beta_1}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$，$\hat{\beta_0}=\bar{y}-\hat{\beta_1}\bar{x}$，其中$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$，$\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i$，这里的$\bar{x}$和$\bar{y}$分别是______和______的均值。3.在回归分析中，残差$e_i=y_i-\hat{y_i}$，其中$y_i$是______，$\hat{y_i}$是______。4.多元线性回归模型$y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_px_p+\epsilon$中，参数个数为______。三、简答题（每题10分，共20分）答题要求：简要回答问题，要有必要的文字说明。1.简述回归分析的基本思想。2.说明判定系数$R^2$的意义及作用。四、分析题（每题15分，共30分）答题要求：根据所给材料，运用回归分析的知识进行分析解答。材料：为研究某地区居民收入与消费支出之间的关系，收集了该地区10户居民的月收入（单位：千元）和月消费支出（单位：千元）数据如下：|居民编号|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10||----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----||月收入$x$|3|5|6|8|10|12|15|18|20|25||月消费支出$y$|2|3|4|5|6|7|8|9|10|12|1.建立月消费支出$y$关于月收入$x$的线性回归方程。2.检验该回归方程是否显著（给定显著性水平$\alpha=0.05$）。五、综合题（10分）答题要求：结合所学知识，综合分析解答问题。在一项关于农作物产量与施肥量关系的研究中，得到以下回归分析结果：回归方程为$\hat{y}=200+5x$，其中$y$表示农作物产量（单位：公斤），$x$表示施肥量（单位：千克），判定系数$R^2=0.8$，$F$统计量的值为$20$，显著性水平$\alpha=0.05$时的临界值$F_{0.05}(1,n-2)=4$。请分析施肥量对农作物产量的影响，并说明该回归模型的拟合效果。答案：一、1.D2.B3.B4.C5.B6.A二、1.截距2.自变量$x$、因变量$y$3.观测值、预测值4.$p+1$三、1.回归分析的基本思想是通过建立因变量与自变量之间的回归模型，试图找出它们之间的内在联系，并用数学表达式来描述这种关系。通过对样本数据的分析，估计模型中的参数，从而实现对因变量的预测和对自变量与因变量关系的研究。2.判定系数$R^2$反映了回归模型对数据的拟合程度。$R^2$越接近1，说明模型对数据的拟合效果越好，即自变量能够解释因变量的大部分变异；$R^2$越接近0，说明模型对数据的拟合效果越差。它的作用是衡量回归模型的优劣，帮助我们选择合适的模型。四、1.首先计算$\bar{x}=\frac{3+5+6+8+10+12+15+18+20+25}{10}=11.2$，$\bar{y}=\frac{2+3+4+5+6+7+8+9+10+12}{10}=6.6$。$\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=(3-11.2)(2-6.6)+(5-11.2)(3-6.6)+\cdots+(25-11.2)(12-6.6)=\cdots=71.6$，$\sum_{i=1}^{10}(x_i-\bar{x})^2=(3-11.2)^2+(5-11.2)^2+\cdots+(25-11.2)^2=\cdots=156.4$。则$\hat{\beta_1}=\frac{71.6}{156.4}\approx0.458$，$\hat{\beta_0}=6.6-0.458×11.2\approx1.5$。回归方程为$\hat{y}=1.5+0.458x$。2.计算$F$统计量，$F=\frac{SSR}{SSE/(n-2)}$，$SSR=\hat{\beta_1}^2\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2=0.458^2×156.4\approx32.9$，$SSE=SST-SSR$，$SST=\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2=\cdots=44$，$SSE=44-32.9=11.1$，$F=\frac{32.9}{11.1/(10-2)}\approx23.6$。因为$23.6>4$，所以在显著性水平$\alpha