2026届吉林省长春市榆树第一高级中学数学高二上期末学业质量监测试题含解析

2026届吉林省长春市榆树第一高级中学数学高二上期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B.2C. D.2．下列对动直线的四种表述不正确的是（）A.与曲线C：可能相离，相切，相交B.恒过定点C.时，直线斜率是0D.时，直线的倾斜角是135°3．甲乙两名运动员在某项体能测试中的6次成绩统计如表：甲9816151514乙7813151722分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）A.， B.，C.， D.，4．过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为（）A. B.C. D.5．在正方体中，下列几种说法不正确的是A. B.B1C与BD所成的角为60°C.二面角的平面角为 D.与平面ABCD所成的角为6．平面的法向量，平面的法向量，已知，则等于（）A B.C. D.7．若，则（）A B.C. D.8．已知等差数列的前n项和为Sn，首项a1=1，若，则公差d的取值范围为（）A. B.C. D.9．已知集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则M∪N＝()A.{0，x,1,2} B.{2,0,1,2}C.{0,1,2} D.不能确定10．已知双曲线C：（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，的C的离心率为（）A. B.C.2 D.11．圆与圆的位置关系为（）A.外切 B.内切C.相交 D.相离12．已知圆，若存在过点的直线与圆C相交于不同两点A，B，且，则实数a的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为抛物线的焦点，为抛物线上的任意一点，点，则的最小值为______.14．设，则_________15．若函数，则_______16．已知直线：和：，且，则实数__________，两直线与之间的距离为__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图所示等腰梯形ABCD中，，，，点E为CD的中点，沿AE将折起，使得点D到达F位置.（1）当时，求证：平面AFC；（2）当时，求二面角的余弦值.18．（12分）已知抛物线的焦点F，C上一点到焦点的距离为5（1）求C方程；（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程19．（12分）新冠肺炎疫情期间，某地为了解本地居民对当地防疫工作的满意度，从本地居民中随机抽取了1500名居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成如下表格和频率分布直方图．满意度评分满意度等级不满意基本满意满意非常满意（1）求a的值；（2）定义满意度指数，若，则防疫工作需要进行调整，否则不需要调整，根据所学知识判断该区防疫工作是否需要进行调整？20．（12分）已知椭圆：的一个焦点与曲线的焦点重合，且离心率为.（1）求椭圆的方程（2）设直线：交椭圆于M，N两点.①若且的面积为，求的值.②若轴上的任意一点到直线与直线（为椭圆的右焦点）的距离相等，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标21．（12分）已知函数（a是常数）.（1）当时，求的单调区间与极值；（2）若，求a的取值范围.22．（10分）已知两定点，，动点与两定点的斜率之积为（1）求动点M的轨迹方程；（2）设（1）中所求曲线为C，若斜率为的直线l过点，且与C交于P，Q两点．问：在x轴上是否存在一点T，使得对任意且，都有（其中，分别表示，的面积）．若存在，请求出点T的坐标；若不存在，请说明理由

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】根据点到直线距离公式进行求解即可.【详解】由双曲线的标准方程可知：，该双曲线的焦点坐标为：，双曲线的渐近线方程为：，所以焦点到渐近线的距离为：，故选：A2、A【解析】根据过定点的直线系求出恒过点可判断B，由点与圆的位置关系可判断A，由直线方程可判断CD.【详解】直线可化为，令，，解得，，所以直线恒过定点，而该定点在圆C：内部，所以必与该圆相交当时，直线方程为，故斜率为0，当时，直线方程为，故斜率为，倾斜角为135°.故选：A3、B【解析】根据给定统计表计算、，再比较、大小判断作答.【详解】依题意，，，，，所以，.故选：B4、C【解析】抛物线焦点为，准线方程为，由得或所以，故答案为C考点：1、抛物线的定义；2、直线与抛物线的位置关系5、D【解析】在正方体中，利用线面关系逐一判断即可.【详解】解：对于A，连接AC，则AC⊥BD，A1C1∥AC，∴A1C1⊥BD，故A正确；对于B，∵B1C∥D，即B1C与BD所成的角为∠DB，连接△DB为等边三角形，∴B1C与BD所成的角为60°，故B正确；对于C，∵BC⊥平面A1ABB1，A1B⊂平面A1ABB1，∴BC⊥A1B，∵AB⊥BC，平面A1BC∩平面BCD＝BC，A1B⊂平面A1BC，AB⊂平面BCD，∴∠ABA1是二面角A1﹣BC﹣D的平面角，∵△A1AB是等腰直角三角形，∴∠ABA1＝45°，故C正确；对于D，∵C1C⊥平面ABCD，AC1∩平面ABCD＝A，∴∠C1AC是AC1与平面ABCD所成的角，∵AC≠C1C，∴∠C1AC≠45°，故D错误故选D【点睛】本题考查了线面的空间位置关系及空间角，做出图形分析是关键,考查推理能力与空间想象能力6、A【解析】根据两个平面平行得出其法向量平行，根据向量共线定理进行计算即可.【详解】由题意得，因为，所以（），即，解得，所以.故选:A7、D【解析】直接利用向量的坐标运算求解即可【详解】因为，所以，故选：D8、A【解析】该等差数列有最大值，可分析得，据此可求解.【详解】，故，故有故d取值范围为.故选：A9、C【解析】集合M＝{0，x}，N＝{1,2}，若M∩N＝{2}，则.所以.故选C.点睛：集合的交集即为由两个集合的公共元素组成的集合，集合的并集即由两集合的所有元素组成.10、C【解析】由双曲线的方程可得渐近线的直线方程，根据直线和圆相交弦长可得圆心到直线的距离，进而可得，结合，可得离心率.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，即，被圆所截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离为，，解得，故选：C【点睛】本题考查了双曲线的渐近线和离心率、直线和圆的相交弦、点到直线距离等基本知识，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想，属于一般题目.11、A【解析】根据两圆半径和、差、圆心距之间的大小关系进行判断即可.【详解】由，该圆的圆心为，半径为.圆圆心为，半径为，因为两圆的圆心距为，两圆的半径和为，所以两圆的半径和等于两圆的圆心距，因此两圆相外切，故选：A12、D【解析】根据圆的割线定理，结合圆的性质进行求解即可.【详解】圆的圆心坐标为：，半径，由圆的割线定理可知：，显然有，或，因为，所以，于是有，因为，所以，而，或，所以，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由抛物线的几何性质知：，由图知为的最小值，求长度即可.【详解】点是抛物线的焦点，其准线方程为，作于，作于，∴，当且仅当为与抛物线的交点时取得等号，∴的最小值为.故答案为：.14、【解析】求出函数的导数，再令，即可得出答案.【详解】解：由，得，所以.故答案为：.15、1【解析】先对函数求导，然后令可求出的值【详解】因为，所以，则，解得故答案为：16、①.-4；②.2【解析】根据两直线平行斜率相等求解参数即可；运用两平行线间的距离公式计算两直线之间的距离可得出答案.【详解】解：直线和，，，解得；∴两直线与间的距离是：.故答案为：；2.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）【解析】（1）结合线面垂直的判定定理来证得结论成立.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法来求得二面角的大小.【小问1详解】设，由于四边形是等腰梯形，是的中点，，所以，所以四边形是平行四边形，由于，所以四边形是菱形，所以，由于，是的中点，所以，由于，所以平面.【小问2详解】由于，所以三角形、三角形、三角形是等边三角形，设是的中点，设，则，所以，所以，由于两两垂直.以为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，，,平面的法向量为，设平面法向量为，则，故可设，由图可知，二面角为钝角，设二面角为，，则.18、（1）；（2）.【解析】（1）由抛物线的定义，结合已知有求p，写出抛物线方程.（2）由题意设直线l为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得，由中点公式有，进而求k值，写出直线方程.【详解】（1）由题意知：抛物线的准线为，则，可得，∴C的方程为.（2）由（1）知：，由题意知：直线l的斜率存在，令其方程为，∴联立抛物线方程，得：，，若，则，而线段AB中点的纵坐标为-1，∴，即，得，∴直线l的方程为.【点睛】关键点点睛：（1）利用抛物线定义求参数，写出抛物线方程；（2）由直线与抛物线相交，以及相交弦的中点坐标值，应用韦达定理、中点公式求直线斜率，并写出直线方程.19、（1）（2）不需要【解析】（1）直接根据频率和为1计算得到答案.（2）计算平均值得到得到答案.【小问1详解】，解得.【小问2详解】.故不需要进行调整.20、（1）（2）①；②证明见解析，定点的坐标为【解析】（1）由所给条件确定基本量即可.（2）①代入消元，韦达定理整体思想，列出关于的方程从而得解；②由已知可知，得到关于、的一次关系式可得证.【小问1详解】由已知椭圆的右焦点坐标为，，所以，椭圆的方程：【小问2详解】①将与椭圆方程联立得.设，，则，解得，∴，，点到直线的距离为，∴，解得（舍去负值），∴.②设，，将与椭圆方程联立，得，当时，∴，，，若轴上任意一点到直线与的距离均相等，则轴为直线与的夹角的平分线，∴，即，∴.∴，解得.∴.∴直线恒过一定点，该定点的坐标为.21、（1）函数在上单调递增，在上单调递减，极小值是，无极大值.（2）【解析】（1）由当，得到，求导，再由，求解；（2）将，转化为成立，令，求其最大值即可.【小问1详解】解：当时，，定义域为，所以，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以时，取得极小值是，无极大值.【小问2详解】因为，即成立.设，则，当时，，当时,，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即.22、（1）