分层随机抽样含解析

2.2分层随机抽样

学习目标核心素养

1.理解分层随机抽样的基本思想和适用

情形.（重点）1.通过对分层随机抽样概念的学习，培

2.掌握分层随机抽样的实施步骤.（重养数学抽象素养.

点）2.借助分层随机抽样过程的实施，培养

3.了解简单随机抽样和分层随机抽样方数据分析素养.

法的区别和联系.（易混点）

分层随机抽样的概念

将总体按其属性特征分成若干类型（有时称作层）,然后在每个类型中按

定义照反占比例随机抽取一定的个体，这种抽样方法通常叫作分层随机抽

样

适用总体是由差星明显的几类个体构成，并且知道某一类个体在总体中所

条件占的百分比

优点能很好地反映总体的规律，也会提高对总体推断的准确性

思考：1.某市为调资中生的近视情况,在全市范围内分别对生、初中生、高中

生三个群体抽样，进而了解中生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小.在

抽取样本时可以用简单随机抽样吗？为什么？

提示：在此总体中，生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质、近视情况

等方面存在着明显的差异.若采用简单随机抽样，抽取的样本可能集中于某一个

群体，不具有代表性.

2.简学随机抽样和分层随机抽样有什么区别和联系？

提示：区别：简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本；分层随机抽样则首先

将总体分成几层，在各层中按同一抽样比抽取样本.

联系：（1）抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；

（2）每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样.

1.某为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担是

否存在显著差异，拟从这二个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合

理的抽样方法是()

A.抽签法B.简单随机抽样

C.分层随机抽样D.随机数法

C[根据年级不同产生差异及按人数比例抽取，易知应为分层随机抽样法.]

2.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵.为调查树苗的生长情况，

采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的肆本，则样本中松树苗的数量为

()

A.30B.25C.20D.15

C[样本中松树苗为4000X需外=4000X熹=20(棵).]

DUUUUZA)\)

3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件,

60件.为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机抽样方法抽取了一

个容量为〃的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则〃=.

3n

♦[依题意得而=120+80+60'故〃=13.]

对分层随机抽样概念的理解

【例1】(1)下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是()

A.从1()名同学中抽取3人参加座谈会

B.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭28()个，

低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100

的样本

C.从1000名工人抽取100名调查上班途中所用时间

D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

(2)分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取

若干个个体构成样木，所以分层随机抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行

()

A.每层等可能抽样

B.每层可以不等可能抽样

C.所有层按同一抽样比等可能抽样

D.所有层抽取的个体数量相同

(1)B(2)C[(1)A中总体个体比明显差异且个敷较少，适合用简单随机抽样；C

中，D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明

显，适合用分层随机抽样.

(2)保证每个个体等可能的被抽取是分层随机抽样的基本特征，为了保证这一

点，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取.］

1.使用分层随机抽样的前提

分层随机抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而

层内个体间差异较小.

2.使用分层随机抽样应遵循的原则

(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，

即遵循不重复、不遗漏的原则；

(2)分层随机抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机

抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.

［跟进训练］

1.下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是()

A.从10名同学中抽取3人参加座谈会

B.某社区有5()()个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭28()户，

低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100

户的样本

C.从1()()0名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间

D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

B［A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总

体所含个体无差异且个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明

显，适合用分层随机抽样.］

分层随机抽样的应用

【例2】某有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后

勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对机构改革的意见，要从中抽取一个

容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程.

［解］抽样过程如v：

20I

第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为方=、.

1OUo

第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16义弓=2（人）；

O

从教师中抽取112）＜春=14（人）；

O

从后勤人员中抽取32X：=4（人）.

第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人

员4人.

第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本.

分层随机抽样的步骤

［跟进训练］

2.一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3：2：5：2：3,从

3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，己知这种疾病与不同的

地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程.

|解］因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明

显，因而采用分层随机抽样的方法.

具体过程如下：

第一步，将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层.

第二步，按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人，40A,

100人，40人，60人.

第三步，按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本.

第四步，将3（）0人合到一起，即得到一个样本.

分层随机抽样中的计算问题

［探究问题］

1.在分层随机抽样中，N为总体容量，〃为样本容量，如何确定各层的个体

数？

提示：每层抽取的个体的个数为其中M为第/（/=1,2,…，k）

层的个体数，方为抽样比.

2.在分层随机抽样中，总体容量、样本容量、各层的个体数、各层抽取的样

本数这四者之间有何关系？

提示：设总体容量为N,样本容量为〃，第/(/=1,2,…，与层的个体数为

Ni,各层抽取的样本数为m,则胃=5，这四者中，已知其中三个可以求出另外一

/V/IV

个.

[例3](1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓

情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的

总人数为M其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶

员的人数分别为12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数%为()

A.101B.808

C.1212D.2012

(2)将一个总体分为A,B,C三层,其个体数之比为5：3：2.若用分层随机抽

样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取个个体.

(l)B(2)20[(l)因为甲社区有驾驶员96人,并且在甲社区抽取的驾驶员的人数

为12人,

121

所以四个社区抽取驾驶员的比例为赤=&

VOo

所以驾驶员的总人数为(12+21+25+43)4=808(人).

O

(2)VA,B,C三层个体数之比为5：3：2,

又总体中每个个体被抽到的概率相等，

2

・•・分层随机抽样应从C中抽取1()0义正=2()(个)个体.]

1.在本例(1)中，把条件“其中甲社区有驾驶员96人，若在甲、乙、丙、丁

四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43”换为“甲社区的驾驶员人数

占四个社区驾驶员总人数的看，若从甲社区抽取的驾驶员人数为16”，则抽取的样

本容量是多少？

|解|设抽取的样区容量为〃，由题意可知号=:，解得〃=96,即所抽取的样

本容量为96.

2.在本例(2)中，把条件“其个体数之比为5：3:2”换为“已知A层的个体

数为200,且从中抽取的样本数为10”，其余不变，则总体容量是多少？

［解］设总体容量为M由题意可知，—=5Q5，解得N=2()OO.

进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的2个关系

样本容量〃该层抽取的个体数

(D总体的个数N—该层的个体数；

(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.

1.对于分层随机拍样中的比值问题，常利用以下关系式；

「、样本容量"各层抽取的样本数

(D总体容量N—该层的容量；

(2)总体中各层容量之比=对应层抽取的样本数之比.

2.选择抽样方法的规律

(1)当总体容量较小，样本容量也较小时，制签简单，号签容易搅匀，可采用

抽签法.

(2)当总体容量较大，样本容量较小时，可采月随机数法.

(3)当总体是由差异明显的几部分构成时，可兴用分层随机抽样法.

1.思考辨析(正确的画“，错误的画“X”)

(1)在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体容量的大小.()

(2)分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本数量较少，这是不公平

的.()

(3)从全班5()名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层随机抽样

()

［提示］(1)错误.在疣计实践中选择哪种抽样方法除看总体和样本容量大小外，

还要依据总体的构成情况.

(2)错误.根据抽样的意义，对每个个体都是公平的.

(3)错误.适合用简单随机抽样.

［答案］(1)X(2)X(3)X

2.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况,

从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是()

A.简单随机抽样B.抽签法

C.随机数表法D.分层随机抽样

D［从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，拈取的比例相同，

因此用的是分层随机抽样.