2024北师大版八年级数学上册 二元一次方程组的解法（第2课时 加减消元法）导学案

5.2二元一次方程组的解法

第2课时加减消元法

01学习目标

1.学生能准确埋解加减消元法的概念，知道通过将方程组中两个方程相加或相减，消去一个未知数，将二元

一次方程组转化为一元一次方程求解的方法即为加减消元法.

2.学生在探索加减消元法的过程中，经历“观察方程组特点一提出消元思路一尝试求解一总结方法”

的过程，培养观察能力、分析推理能力和逻辑思维能力.

学习重点：掌握用加减法解二元一次方程组.

学习难点：理解加减消无法所体现的“化未知为己知''的化归思想方法.

学习过程

第一环节自主学习

温故知新：

I.解二元一次方程组的基本思想是什么？"我们之前学习了哪种消元方法?

2.你能用代入法解下列方程组吗？

3X+5^=21

2x-5y=-11

新知自研：自研课本P117-P118页的内容，思考：

【学法指导】

情景引入

01.观察上面的这个方程组，思考：这个方程组中y的系数有什么特点？除了代入法，有没有更简便的方法

消去y呢？”

团2.尝试按照下面的提示解方程组.

3A+5y=21①

.2%-5y=-11②

【解答】解:由①+②得：-消元

解得：_____________

把代入①，得

解得，_____________

二原方程组的解是_________________

•探究一：用加减消元法解二元一次方程

即.例3:解方程组：［?一常7幺

（2x+3y=-1@

【分析】（1）系数相等时，如何消去x呢？

即：①左边②左边二①右边②右边

［解答］解：②一①得：

解得：___________________

将代入①，得

解得：_________________

•••原方程组的解是：

完成解题并检验.

团2例4:解方程组:

+①

以+4y=17.（2）

【分析】（I）这个方程组中X和），的系数都不互为相反数，也不相等，该如何用消元法求解呢？

【解答】解：由①X,得③

由②X,得（4）

由③®，得

将代入①，得

解得：______________

•••原方程组的解是

【思考】（1）上面的解法是“消去X”尝试如何“消去V来解方程组.

（2）在变形的过程中的注意事项是什么？

团3.总结归纳：

（1）上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？

基本思路：：化-

（2）加减消元法：加减消元法的一般步骤：是通过两式相加（或）消去其中一个未知数，这种解

二元一次方程组的方法称为加减消元法.

①同一未知数的系数互为相反数时，把两个方程的两边分别.

②同一未知数的系数相等时，把两个方程的两边分别.

（3）同一未知数的系数时，如果其中一未知数的系数呈倍数关系时，利用等

式的性质，使得未知数的系数，再用加减法消元.

（4）如何优先选择代入消元法或加减消元法？

【例题导析】

自研下面典例的内容，回答问题：

典例分析

例1：用加减消元法解下列方程组

31尸9,①

5叶2$=7,②

【分析】由于方程组中的未知数J的系数,因此可以直接用消元法，把方程

中的①②可消去系数，求出X的值，再求），的值即可解答.

【解答】

例2：解方程组:

4x+=5①

2.v—y=—5②

【分析】这个方程组适合用代入法还是加减法？为什么？

【分析】方程②中y的系数是,可用代入法（用表示）；也可将

②x，使y的系数变为-3,与①中y的系数3互为柞反数，用加减法消元”.

【解答】

第二环节合作探究

小组群学

在d组长的带领下：

A.探讨如何用加减消元法解二元一次方程组；

B.交流例题的解题思路和易错点.

C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.

库巩固练习

1.用加减消元法解二元一次方程组-1=5幺时，下列方法中，能消元的是（）

A.①x2+②B.®x（-2）-@

C.①*3+②D.①x（-3）+②

2.已知方程组｛；：；；二:，贝k+y的值是（）

A.2B.0C.-1D.-2

3.若则x与），的关系式是

4.解方程组,消去未知数X，也可用,消去未知数户方程组的

IX翦时，既可用

解是,

'T=2

5.解方程组:

I2x+3y=12

6.（拓展提升）在解方程组震募工时，由于粗心，甲看错了方程组中的Q,而得到方程组的解为C二I

乙看错了方程组中的b,而得到方程组的解为匕z一:.

（y--5

（1）求出a和b的值;

⑵求出原方程组的正确解.

提升专练

题型一：加减消元法

1.对于方程组匕”一［丫二二飓），用加减法消去x得到的方程是（）

（4x+4y=15@

A.-3y=-2B.-3j=-32C.-lly=-32D.-12v=-2

2.用加减消元法解方程组;:时，下列方法中无法消元的是()

A.①x2-②B.②x(-3)-①C.①x(-2)+②D.①-②x3

3.用加减法解方程组［3”二2'"及具体步骤如下：(1)①•②，得2x=4；(2)解得x=2：(3)把

(x+2y=-30

-I(x=2

x=2代入①，解得)口木(4).••这个方程组的解是、_1.其中，开始出现错误的步骤是()

乙U=2

A.(4)B.(3)C.(2)D.(1)

4.关于x、y的二元一次方程组上二3幺，小华用加减消元法消去未知数x,按照他的思路，用②x2

⑶+y=-15(2)

-①得到的方程是.

5.已知二元一次方程组Z用加减法解该方程组时，将方程①两边同时乘以,再将得

到的方程与方程②两边相,即可消去.

题型二：加减法解二元一次方程组

6.用加减法解下列方程组：

3%+2y=12,

(1)

.3%—2y=5；

4x+5y=9,

(2)

Ax-5y=-1

7.用加减法解下列方程组:

8.用加减法解下列方程组:

(6x4-5y=25

⑴时沈1(2)(3%+4y=20,

9.用加减法解下列方程组:

⑴以慧瑞,⑺[2x+3y=3①

(3x+2y=11@

10.用加减法解卜列方程组:

⑴产+7…，x-2=2(y—1),

(4x—7y=5；.2(x-2)4-(y-1)=5.

题型三用适当的方法解二元一次方程组

11.用适当的方法解下列方程组.

P=2y-1(2)-x+2y=2

(1)()

(4x+3y=7:2[2x+3y=28,,

12.用适当的方法解下列方程组:

(2x-3y=70.3p+0.4q=4

(1)(2)

[x-3y=7*0.2p+2=0.9Q-

13.用适当的方法解下列方程组

⑴卷工品⑵徭招工

14.用适当的方法解下列方程组:

⑴I2s+t3s—2t

(2)

15.用适当的方法解下列方程组:

x+l_y+2

x+y=5~3~=~V~

(1)(2)

7.x—y—4,x-3y-31,

—r=i2

05随堂笔记

▲i.加减消元法：加减消元法的一般步骤：是通过两式相加（或）消去其中一个未知数，这种解

二元一次方程组的方法称为加减消元法.

①同一-未知数的系数互为相反数时，把两个方程的两边分别.

②同一未知数的系数相等时，把两个方程的两边分别.

▲2.同一未知数的系数时，如果其中一未知数的系数呈倍数关系时，

利用等式的性质，使得未知数的系数，再用加减法消元.

参考答案与试题解析

5.2二元一次方程组的解法

第2课时加减消元法

01学习目标

i.学生能准确理解加减消元法的概念，知道通过将方程组中两个方程相加或相减，消去一个未知数，将二元

一次方程组转化为一元一次方程求解的方法即为加减消元法.

2.学生在探索加减消元法的过程中，经历“观察方程组特点一提出消元思路一尝试求解一总结方法”

的过程，培养观察能力、分析推理能力和逻辑思维能力.

学习重点：掌握用加减法解二元一次方程组.

学习难点：理解加减消元法所体现的“化未知为已知''的化归思想方法.

学习过程

第一环节自主学习

温故知新：

1.解二元一次方程组的基本思想是什么？“我们之前学习了哪种消元方法？

“消元，将二元转化为•元”：代人消元法

2.你能用代入法解下列方程组吗？

3x+5y=21

<2x-5y=-ll

解油①得：)，=三竺T变形

将③代入②，得2%-5X%丝=-11T代入消元

2x-(2\-3x)=-11

2x-21+3x=-\\

5x=101求解

将42代入③，得产3一回代求解

原方程组的解｛一>写解

新知自研：自研课本P117-P118页的内容，思考：

【学法指导】

情景引入

.观察上面的这个方程组，思考：这个方程组中y的系数有什么特点？除了代入法，有没有更简便的方法

消去y呢？”

y的系数”为相反数，相加可以可以消去)、.

团2.尝试按照下面的提示解方程组.

'3/+5y=21①

,2x-5y=-ll@

【解答】解油①+②得：3x+2r=21-llt消元

解得：x=2

把/=2代入①,得6+5尸21

解得：v=3

•••原方程组的解是,；：3

•探究一：用加减消元法解二元一次方程

EIL例3:解方程组：］?一？=72

【分析】（1）系数相等时，如何消去x呢？

相等的两个数相减得0,因此可以用两个方程相减”.

即：①左边二②左边二①右边二②右边

［解答］解：②一①得：3y—（-5次-1-7

解得：尸-1

将尸-1代入①,得2x+5=7

解得：E

原方程组的解是：｛

完成解题并检验.

团2例4:解方程组：

2r+3…2,①

3x+4y=17.②

【分析】（1）这个方程组中X和_v的系数都不互为相反数，也不相等，该如何用消元法求解呢？

使得未知数的系数相等或互为相反数，再用加减法消元.

［解答］解：由@）x3,得6x+9尸36③

由②x2，得6x+8v=34④

由③二④，得、,=2

将尸2代入①,得2A+6=12

解得：XE3

原方程组的解是

【思考】（1）上面的解法是“消去X”尝试如何“消去V来解方程组.

（2）在变形的过程中的注意事项是什么？

变形时方程两边所有项都要乘，不能漏乘常数项.

团3.总结归纳：

（1）上面解方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？

基本思路：道兀；化二元T一元.

（2）加减消元法：加减消元法的一般步骤：是通过两式相加（或相减）消去其中一个未知数，这种解二元一

次方程组的方法称为加减消元法.

①同一未知数的系数互为相反数时，把两个方程的两边分别相加.

②同•未知数的系数相等时，把两个方程的两边分别蝇.

（3）同一未知数的系数不相等也不互为相反数时,如果其中一未知数的系数呈倍数关系时，利用等式的性

质，使得未知数的系数相等或等为相反数,再用加减法消元.

（4）如何优先选择代入消元法或加减消元法？

①解二元一次方程组时，根据方程组系数的特点选择较简单的方法消元；

②当方程组较复杂时，通常先化筒变形，再选择最佳方法消元.

【例题导析】

自研下面典例的内容，回答问题：

典例分析

例1：用加减消元法解下列方程组

3a①

5什2尸7.②

【分析】由分方程组中的未知数Y的系数互为相反数,因此可以直接用加遮消元法，把方程中的①土②可

消去系数匚，求出x的值，再求y的值即可解答..

【解答】解：①+②，得8x=16,

解得x=2,

把i=2代入②，

3

-

7

3

•••原方程组的解是）,-

2

例2：解方程组:

J4x+3v=5①

[2.r-y=-5②

【分析】这个方程组适合用代入法还是加减法？为什么？

【分析】方程②中y的系数是二1，可用代入法（用x表示¥）；也可将②X3,使y的系数变为-

3,与①中y的系数3互为相反数，用加减法消元”.

【解答】解法一：I®x2,得4.「2y=-10③

①一③，得5）=15

）=3

将y=3代入②得m-1

x=1

y=3

解法二：②x3,得6『3产-15③

①+③,得10A-=-10

解得：x=-1

将尸-1代入②,得・2・）口・5

解得：5=3

•••原方程组的解是

y=3

第二环节合作探究

小组群学

在•侬下:

A.探讨如何用加减消元法解二元一次方程组;

B.交流例题的解题思路和易错点.

C.相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定.

库巩固练习

1.用加减消元法解二元一次方程组-1=5幺时，下列方法中，能消元的是(D)

A.①x2+②B.®x(-2)-@

C.①*3+②D.①x(T)+②

2.已知方程组｛；：；；二:，贝k+y的值是(A)

A.2B.0C.-1D.-2

3.若《=；+：’则x与y的关系式是x+v=8

4.解方程组^二52二；3歌时'既可用消去未知数-也可用消去未知数

y,方程组的解是‘T

T=2

5.解方程组:2

2x+3y=12

'T=2①

解:

2x+3y=12②

②一①x2得：3y+y=12—4,

解得y=2,

把y=2代入②得：x=3,

..•方程的解为后二

6.(拓展提升)在解方程组二［时，由于粗心，甲看错了方程组中的内而得到方程组的解为匕：

(X十oy—IT*一0

乙看错了方程组中的b,而得到方程组的解为｛;二二;.

(1)求出a和b的值;

⑴解：/二、二二以哦二代入②得2+6b=14,

卜+by=14②(V=6-

解得b=2；

把1二二:代入①得一2a+5=7,

解得：a=-l

(2)求出原方程组的正确解.

③

解：⑵把a=-1,b=2代入二-x-y=7

x+2y=14(4)

③+④得，y=21

把y=21代入③得x=-28

・•・原解方程组的解为｛菰方.

04提升专练

题型一：加减消元法

i.对于方程组匕”一1'=二飓)，用加减法消去％得到的方程是()

[4x+4y=15@

A.-3)，=-2B.-3y=-32C.-Ily=-32D.-\2y=-2

【分析】根据加减消元法，将方程①-方程②即可.

【解答】解：方程①-方程②得，-lly=-32,

故选：C.

【点评】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是正确解答的前提.

2.用加减消元法解方程组上+3y=40时，下列方法中无法消元的是()

(2x-y=l@

A.(5)x2■②B.②x(・3)-①C.①x(-2)+②D.①・②x3

【分析】方程组利用加减消元法判断即可.

【解答】解：用加减消元法解方程组卜+“=40时，①X2-②或①X(-2)+②消去K,②X(-3)-

①或①+②x3消去)，.

故选:D.

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消无法与加减消元法.

需具体步骤如下

3.用加减法解方程组①-②，得2x=4；(2)解得x=2；(3)把

fX=2

_=1

x=2代入①，解得尸]⑷.••这个方程组的解是Iy-其中，开始出现错误的步骤是()

k2

A.(4)B.(3)C.(2)D.(1)

【分析】第(1)步两方程相减时出现错误.

【解答】解：用加减消元法解方程组：F”22y=及.(1)①■②，得2x=10：(2)所以x=5；(3)

[x+2y=-3(2)

把工=5代入①，得尸・4；(4)所以这个方程组得解为

最先出现错误的一步是(1),

故选：。.

【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法.

4.关于x、y的二元一次方程组髅，小华用加减消元法消去未知数x,按照他的思路，用②X2

-①得到的方程是.

【分析】利用加减消元法进行计算即可.

【解答】解：解二元一次方程组-Sy=3幺时，小华用加减消元法消去未知数-按照他的思路，用

(3%+y=-15@

②x2-①得到的方程是：7y=-33,

故答案为:ly=-33.

【点评】本撅考杳了解二元一次方程绢，熟练堂握加减消元法是解题的关键.

5.已知二元一次方程组J用加减法解该方程组时，将方程①两边同时乘以,再将得

到的方程与方程②两边相,即可消去.

【分析】解决本题关键是寻找式子间的关系，寻找方法降元，可把x的系数化为相同，然后用加法化去，达

到消元的目的.

【解答】解："+了；3®

(-8%-2y=7(2)

把①式两边同时乘以10,得：8x+7y=30③，

②+③得：5)，=37即可消去x,

解得：)=今.

把¥=5代入①或②可求解x.

【点评】本题主要考查了加减消元法的步骤，使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相

等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有个未知数而得以求解.

题型二：加减法解二元一次方程组

6.用加减法解下列方程组：

⑴伊+2y=12,

(3%-2y=5；

4%4-5y=9,

(2)

.4x-5y=-1

【分析】（1）利用①+②消去），得出关于X的一元一次方程，解方程求出X的值，利用①-②消去X得出

关于），的一元一次方程，解方程求出y的值，即可得出方程组的解；

（2）利用①+②消去了得出关于x的一元一次方程，解方程求Hx的值，利用①■②消去x得出关于），的

一元一次方程，解方程求出y的值，即可得出方程组的解.

3x+2y=120

【解答】解：（1）

3x-2y=5®，

①十②得：6x=17,

解得：x=素,

①■②得：4y=7,

解得：产1，

.•.原方程组的解为）“一£

⑵产+5y=9j,

N-5y=-1@

①+②得：8.r=8,

解得：x=l,

①-②得：IOy=IO,

解得：y=\,

•••原方程组的解为

【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组是解决问题的关键.

7.用加减法解下列方程组:

3nl4-2n=16

(1)

3ni—n=1

[3s+4t=7

(2)

l2s-3t=-1

【分析】利用加减消元法解各方程组即可.

3m+2n=16①

【解答】解：（1）

3m—n=1@'

①■②得：3〃=15,

解得：〃=5,

将川=5代入②得3/〃-5=1,

解得：〃?=2,

故原方程组的解为｛：二::

3s+4t=7①

(2)

,2s-3t=一1②‘

①x2-②x3得：17f=17,

解得：/=!,

将『1代入①得35+4=7,

解得：s=l,

故原方程组的解为仁二;

【点评】本题考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键.

8.用加减法解下列方程组:

Cix+2y=7

(1)

(3x-4y=13:

(6x+5y=25

(2)

(3x+4y=20,

【分析】利用加减消元法解方程即可.

3x+2y=7①

【解答】解：（1）

3x-4y=13②'

①■②得：6y=-6,

解得：y=-1,

将y=-1代入①得：3x-2=7,

解得：x=3,

故原方程组的解为

6x+Sy=25①

(2)

3x+4y=20②'

②x2-①得：3)，=15,

解得：y=5,

将了=5代入①得：6x+25=25,

解得：x=0,

x=0

故原方程组的解为

y=5-

【点评】本题考查加减消元法解方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键.

9.用加减法解下列方程组:

'3x-7y=-I0

(1)

.3%+7y=13②

2x+3y=3①

(2)

3x+2y=11(2)*

【分析】（I）两方程相加求出x的值，再求），的值;

（2）变形方程，再相减，求其中一个未知数的值，再计算另一个未知数的值.

3x-7y=-1①

【解答】解：（1）

3x+7y=13②'

①+②得：6r=12,

x=2>

把x=2代入①得：6-7y=-1,

y=l,

x=2

•••方程组的解为:

y=r

2x+3y=3①

(2)

3x+2y=11②'

6x+9y=9③

方程组变形为:

6x+4y=22④'

③-④得：5y=-13,

13

产一至

把尸一半代入①得:2X+3X（--y）=3

27

27

X=T

•••方程组的解为:

13,

【点评】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握二元一次方程组的解法.

10.用加减法解下列方程组:

3x+7y=9,

(1)

4x-7y=5；

x-2=2(y-l),

2(x-2)+(y-l)=5.

【分析】（1）利用①+②消去），得出关于x的一元一次方程，解方程求出x=2,将x=2代入①求出），的

值，即可得出方程组的解；

（2）把原方程组化为—=°幺，利用①+②x2消去），得出关于x的一元一次方程，解方程求出x=

（2x+y=10②

4,将x=4代入②求出y的值，即可得出方程组的解.

【解答】解：⑴［，+?=艇，

Ux-7y=5②

①+②得：7x=14,

解得：x=2,

把工=2代入①得：6+7）=9,

解得：产率

（X=2

原方程组的解为3；

口=7

（2）原方程组可化为［：-2、=°幺，

（2x+y=10（2）

①+②x2得：5x=20,

解得：x=4,

把工=4代入②得：8+y=10,

解得:尸2,

•••原方程组的解为

【点评】本题考查了解二元•次方程组，掌握加减消元法解二元•次方程组是解决问题的关键.

题型三用适当的方法解二元一次方程组

II.用适当的方法解下列方程组.

(x=2y-l3x+2y=2

(1)(2)

(4x+3y=7:2x+3y=28,

【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可;

（2）用方程①X3-②x2,可消去未知数户求出未知数X,进而得出），的值.

x=2y-1①

【解答】解：（1）

4x+3y=7②'

把①代入②，得4(2y-1)+3y=7,

解得y=l

把y=l代入①，得x=l,

故原方程组的解为

3x+2y=2①

(2)

.2%+3y=28②'

①x3-②x2,得5x=-50,

解得人=-10,

把工=・10代入①，得y=16,

故原方程组的解为

【点评】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键.

12.用适当的方法解下列方程组：

（I）（2%-3y=7（03p+0.4g=4

1（x-3y=7,（0.2p+2=0.9g,

【分析】（1）利用加减法消元法解二元一次方程组即可；

（2）先整理方程，再利用加减消元法解二元一次方程组即可.

_...,«、（2x-3y=7①

【解答】解：（1）（一/

U-3y=7②

①-②得l=0,

把上=0代入②得0-3），=7,

解得）,=-g，

fx=0

方程组的解为、，7；

1^=-3

⑵整理原方程组得伊+"q=40®,

（2p-9Q=-20②

®x2-②x3得35夕=MO,

q=4,

把t/=4代入②得2P-36=-20,

解得〃=8,