2024北师大版八年级数学上册 平方根与立方根（第3课时）教学设计

第二章实数

2平方根与立方根（第3课时）

一、学习任务分析

本节课是北师大版初中数学八年级（上册）第二章“实数”第二节的第3课时。立方根

是数与式中重要的知识点之一，立方根的计算有着广泛的应用，几何体的计算经常涉及开立

方。学习立方根，学生可以更加深入地了解无理数，为后面学习实数奠定基础。

以求小立方块的棱长问题为情境，引导学生观察其空间结构，引出立方根的概念。通过

对立方根与平方根的类比，探索两者之间的联系和区别。因此，除了具体的知识技能（如知

道一个数的立方根的意义，会用根号表示一个数的立方根，掌握立方根的运算等）学习以外,

还要引导学生尝试运用类比等数学方法，并在过程中不断发展学生的空间观念。

二、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生已经学习了平方根，并较为熟练地掌握了平方根的概念和性

质，了解了平方运算与开平方互为逆运算，学会了求一个非负数的平方根和算术平方根的计

算方法。学生在七年级上册已经学过数的立方的计算，并通过类比平方根的学习，能够更好

地进行立方根的探究。

学生的活动经验基础：学牛.已经经历了平方根知识的学习探索，体验了用根号表示非负

数的算术平方根和平方根，运用类比的思想，可以为立方根的探究提供一定的学习路径。

三、教学目标

1.了解立方根的概念，能用根号表示一个数的立方根；能用立方运算求某些数的立方根,

体会一个数的立方根的唯一-性；理解立方根与平方根的区别和联系。

2.经历对立方根的探究过程，在探究中学会解决立方根问题的一些基本方法和策略，培

养逆向思维能力和分类讨论的意识。

3.利用类比思想，学习立方根。在开立方与立方互为逆运算的探究过程中，渗透从特殊

到一般的思想，并培养运用逆向思维解决问题的能力。

教学重点：了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。

教学难点：能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方和立方互为逆运算。

四、教学过程设计

【第一环节】情境引入，提出问题

1.活动内容.77彳

图1是由大小相同的小立方块搭成的几何体。如果这个几何体的体

积为216cm3,那么每个小立方块的棱长是多少？_______ZZH

提问：这个几何体是由几个小立方块搭成的？每个小立方块的体积一一

是多少？怎样求出小立方块的棱长呢？

让我们通过解决这些问题来学习新知识。

2.活动目的

通过问题情境引入，让学生感受学习新知的必要性，激发学生的求知欲望。

3.注意事项

设置上述儿个问题，引导学生思考：这个几何体的边长川能是多少？引导学生通过猜想

得到几何体棱长为6cm,进而得到小立方块棱长为2cm。另外也可以发现几何体由27个小

立方块组成，每个小立方块的体积是8cm3,从而得到小立方块棱长是2cm。

【第二环节】理解概念，汲取新知

1.活动内容

提问：什么数的立方等于8?

追问：你能类比平方根的定义给出立方根的定义吗？

概念归纳：

一般地，如果一个数x的立方等于/即/="，那么这个数x就叫作。的立方根(也叫

作三次方根)。如2是8的立方根，_2是-焉的立方根，。是。的立方根。

327

2.活动目的

通过情境问题的解决，引出立方根的概念，为后面研究立方根的性质做好铺垫。

【第三环节】初步探究

1.活动内容

尝试-思考

怎样求下列括号内的数？各题中已知什么数？求什么数？

3

(1)(尸二8：(2)()3=0：(3)()=-270

(2)一个数的平方根可能有两个，一个数的立方根可能有几个呢？

(3)正数有几个立方根？。有几个立方根？负数呢？

2.活动目的

通过具体的计算练习，让学生进一步了解求一个数的立方与求一个数的立方根互为逆运

算，感受一个数的立方根的唯一性，算式中对。的取值分别选为正数、负数、0。这样的设

计可以帮助学生渗透分类讨论的思想方法。

设计问题串是为了方便平方根与立方根的对比，帮助学生弄清两者的区别和联系。

3.注意事项

在上面的基础上明晰下列内容，对所学知识进行梳理。

(1)每个数。都有一个立方根，记作“监”，读作“三次根号。例如：当^=7

时，x是7的立方根，记作％=折。与数的平方根的表示比较，数的立方根中根号前没有“土”

符号，但根指数3不能省略。

(2)正数的立方根是正数，0的立方根是0,负数的立方根是负数。

(3)求一个数a的立方根的运算叫作开立方，。叫作被开方数。开立方与立方互为逆

运算。

【第四环节】尝试反馈，巩固练习

1.活动内容

例1求下列各数的立方根：

8

(1)-27；(2)—：(3)0.216；(4)-5。

解：(1)因为(-3)3=-27,所以-27的立方根是-3,即亚方=-3；

(2)因为(2丫=3，所以展的立方根是自，即俱=］；

⑸1255"255

(3)因为(0.6)3=0.216,所以0.216的立方根是0.6,即疝丞=0.6;

(4)-5的立方根是行。

2.活动目的

本例让学生根据定义求立方根，巩固对立方根概念的理解。通过按照立方根的定义表述

解题过程，促进学生理解立方根的概念。

3.注意事项

教师可以先行示范，规范书写要求，学生在熟练以后可以简化写法。

【第五环节】思考交流，深入探究

1.活动内容

思考-交流

(1)在例1中，一些数的立方根的结果没有“了，这些数有什么特点？

(2)在例1中，产药=-3,也就是一(一3)3=—3。一般地，〃成立吗？

(3)(yz)3=。成立吗？与同伴进行交流。

例2求下列各式的值：

(1)口;⑵V0.064;(3)；(4)眄丫。

解：⑴V-8=V(-2)3=-2；(2)V0.064=\/0.43=0.4;

⑶-倡=-符=V⑷(@=9。

巩固练习

(1)求下列各式的值：

V0.008；^^64：一病；旧(啊;

(2)一个正方体，它的体积是棱长为3cm的正方体体积的8倍，这个正方体的

棱长是多少？

2.活动目的

“思考•交流”环节进一步讨论如何对各式进行化简，求立方根。例2则根据“思考•交

流”的所学内容求立方根，进一步巩固立方根的求法。

3.注意事项

学生通过练习掌握立方根的概念和计算方法，并通过对计算结果的分析得出立方根的性

质，若学生不能发现规律，教师可以再给出几个例子，引导学生观察被开方数、根指数及运

算结果之间的关系，从而得出立方根的性质；也可以安排学生分小组讨论，通过交流，展示

学生发现的规律，若学生的讨论不够深入，可由教师补充得出结论。

【第六环节】课堂小结，反思归纳

1.活动内容

通过本节课的学习你学到了哪些内容？

归纳、总结学生的回答，得出下列内容：

(1)了解立方根的概念，会用三次根号表示一个数的立方根，能用立方运算求一个数

的立方根；

(2)在学习中应注意以下5点：

①符号右中根指数“3”不能省略：

②对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、次数都有一个立方根，即一个数的立

方根是唯一的；

③平方根和立方根的区别：正数有两个平方根，但只有一个立方根；

负数没有平方根，但却有一个立方根；

④灵活运用公式：(后)3:4,折=4,V-6Z=~\[a;

⑤立方与开立方互为逆运算。可以用立方运算求一个数的立方根，或检验一个数是不

是另一个数的立方根。

2.活动目的

引导学生自己总结本节课的知识要点及数学方法，使知识系统化。

3.注意事项

通过小结，对所学知识进行了梳理，学生进一步巩固了立方根的概念和求解方法，加深

了类比等学习方法，有助于学生理解、掌握数学的基本知识和基本技能，形成数学基本思想,

积累数学活动经验。

如有时间，学生学有余力，还可以安排学生探究下列问题：

求下列各式中的X。

(1).r3-64=o；(2)底+27=0。

【第七环节】布置作业

1.活动内容

基础作业：

1.求下列各数的立方根：

18

0.001,-1，飞，8000,而，-5⑵

2.求卜歹恪式的值：

(1)](-3)3；(2)(V125)3;(3)-V27o

3.一个人每天平均要饮用大约0.001511?的各种液体，按70岁计算，他所饮用的液体总

量大约为40m3。如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约

有多高（兀取3.14,结果精确到1m）?

4.一个正方体的体积变为原来的8倍,它的棱长变为原来的多少倍？体枳变为原来的27

倍，它的梭长变为原来的多少倍？体积变为原来的1000倍呢？体积变为原来的〃倍呢？

拓展作业：

1.求下列各式中的X：

（1）9+125=0；（2）64（尸2尸-216=0。

2.已知：V374»7.205,收4。3.344,则V-0.00）374%。

3.若5x+9的立方根是4,求2计3的平方根。

2.活动目的

通过对作业进行分层安排，让不同层次的学生根据自己的水平进行选择，使每个学生

都能得到不同的提升。

五、教学设计反思

1.关注类比思想的渗透以及学习方法的指导

类比是在两类不同的事物之间进行的对比，在找出若干相同或相似点之后，推测在这两

类事物的其他方面也可能存在相同或相似之处的一种思维方式.当然，类比的结果是猜测的，

不一定可靠，但它作为一种思考问题的方法，可以发现数学结论，沟通数学知识，进而解决

生活中的一些实际问题，有助于培养学生的创新能力。因此，学习过程中要注意类比思想的

渗透。实际上，类比学习法可以让学生省时省力，在学习新知的同时巩固I学的知识，通过

新旧对比更好地掌握知识，为此，本节课通过类比的方法让学生自然、顺畅地建构立方根的

概念、性质与运算。

2.关注学生的个体差弁，构建学生探究过程

根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》的评价理念，教师在课堂教学中应尊重

学生的个体差异，满足多样化的学习需要，鼓励探索方式、表述方式和解题方法多样化。在

教学活动中，教师关注的是学生的参与程度和表现出来的思维水平，关注的是