2024北师大版八年级数学上册《三元一次方程组》教学设计

*5.5三元一次方程组教学设计

学科数学年级八年级课型新授课单元五单元

课题*5.5三元一次方程组课时1

依据2022版数学新深标“数与代数”领域”方程与不等式”主题要求，本节需引导学生

理解三元一次方程、方程组及其解的概念，掌握代入消元法解三元一次方程组的基本思路，深

化“消元”思想的迁移应用。通过古算题情境与解题实践，发展运算能力、逻辑推理素养，

课标要求

体会“多元到一元”的转化思想，落实“用数学思维分析问题、用数学方法解决问题”的

课程目标。作为选学内容，需兼顾基础与拓展，为学有余力的学生搭建“二元到三元”的思

维阶梯，为后续高中多元方程学习奠定认知基础。

本节是第五章“二元一次方程组”的拓展延伸内容，以《九章算术》中“上中下禾实”古

算题为切入点，自然引出三元一次方程与方程组的概念，承接二元一次方程组“消元”核心

思想，通过例题示范“三元一二元一一元”的转化流程，遵循“概念引入一方法迁移一

教材分析

实践应用一思想提炼”的思路。教材既渗透数学文化，又突出“消元思想”的一致性，虽

为选学内容，但能完善学生对“多元一次方程”的认知体系，培养其思维的连贯性与迁移能

力，是深化“转化思想”的重要载体。

学生已熟练掌握二元一次方程组的“消元”解法，具备“二元一一元”的转化经验，但面

对“三元”时，易因未知数数量增加导致“消元顺序混乱”，如不确定先消去哪个未知数、

学情分析消元后方程整理出错；部分学生对“三个方程对应三个未知数”的逻辑关系理解不深，解题

时易遗漏某一方程的约束。此外，计算步骤增多易引发符号、系数运算错误，需通过分层引导

与步骤拆解突破认知难点。

1.理解三元一次方程、方程组及其解的概念，能判断给定式子是否为三元一次方程（组），能检

验一组值是否为方程组的解；

2.掌握代入消元法解三元一次方程组的基本步骤，能规范完成“三元一二元一一元”的转化

教学目标与求解,深化“消元”思想的迁移应用：

3.通过解决古算题与实际问题，体会数学文化与“转化思想”的价值，发展运算能力与逻辑

推理能力；

4.通过小组合作探究不同消元顺序，提升合作交流能力，培养解题策略的优化意识。

教学重点1.理解三元一次方程、方程组及其解的概念；

2.掌握“三元一二元一一元”的消元思路，能用代入消元法解简单的三元一次方程组。

教学难点确定合理的消元顺序（如先消去系数较简单的未知数），避免因消无顺序不当导致后续计算更

杂，或在多次消元中出现方程整理错误。

教法与学教法采用问题驱动法、分层教学法，结合古算题情境激趣，通过“二元消元回顾f三元消元设

法分析问一步骤示范”引导思维迁移；学法以“回顾二元消元一尝试三元消元一归纳步骤一

纠错反思”为主线，学生通过小组讨论探究消元顺序，实现“教师引导、学生主动建构”的

教学效果，兼顾不同层次学生需求。

教学过程

教学步骤教学主要内容教师活动学生活动设计意图

环节一：复习回顾：通过复习回积极思考通过对前面的

依标靠1什.么是二元一次方程（组）？顾，引发学问题知识回顾激发

本，独立含有两个未知数，并且未知数的次数为1的方程生的学习兴学生学习的积

研学为二元一次方程；趣极性，为后面

两个含有相同未知数的二元一次方程组成了二元的学习奠定基

一次方程组.础.

2.什么是二元一次方程的解？二元一次方程组的

解？

能使二元•次方程左右两边相等的•组未知数的

值，叫二元一次方程的解，一般情况下二元一次

方程组有无数组解；

能同时满足两个二元一次方程的一组解叫二元一

次方程组的解.

3.解二元一次方程蛆的基本思路是什么？解二元

一次方程组有哪几种方法？

基本思路为：消元；

方法有：代入消元法和加减消元法.

探究活动一：三元一次方程组出示《九章根据题意借古算题渗透

活动1：《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，算术》古算列方程组，数学文化，让

中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中题，引导设对比分析学生自主建构

禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾未知数列方未知数数三元一次方程

二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上中下禾实一秉程组，通过量与次数，组概念，明确

各几何？”对比二元一归纳三元核心特征。

题目大意；有上禾3束，中禾2束，下禾1束，可次方程组，一次方程

得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，可提问“新方组的定义。

得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，可程组的特

得米26斗。上、中、下禾每束各可得米多少斗？点”，总结三

在这个问题中，设每束上禾可得米X斗，每束元一次方程

中禾可得米y斗，每束下禾可得米z斗，根据题意组概念及条

(3x+2y+z=39,件。

可得方程组：［2x+3y+z=34,

(x+2y+3z=26。

思考：这个方程组和前面学过的二元一次方程组有

什么区别和联系？

观察方程3x+2y+z=39,2x+3y+z=34和x+2y+3z=26

问题1：它们有什么共同特点？

它们都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次

数都是1。

问题2：类比二元一次方程，你能说出这三个方程

是什么方程吗？

是三元一次方程。

问题3：你能得出什么是三元一次方程组的解吗？

三元一次方程组中各个方程的公共解。

归纳总结：

像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成

的一组方程，叫作三元一次方程组。

三元一次方程组必须满足的三个条件：

1.共含有三个不相同的未知数。

2.未知数的项的次数都是1。

3共.有三个一次方程。

注意：

三元一次方程组中的方程不一定每个方程都要含

有3个未知数，只要是一共含有三个未知数的三个

一次方程所组成一组方程，就是三元一次方程组。

环节二；探究活动二；示范古算题模仿步骤通过例题示

同伴分尝试思考：方程组的求独立解题，范，让学生掌

享，互助1.怎样解上述这个三元一次方程组呢？解，强调同桌互查握“三元一二

研学我们可以仿照二元一次方程组消元的方法对三元“先消Z得消元与计元T一元”的

一次方程组进行消元（代入消元法和加减消元法）.二元方程算过程，纠消元流程，突

2.解二元一次方程组的基本思路是什么？你认为组，再解一正符号、系破计算与步骤

用类似的思路可以求解这个三元一次方程组吗？元方程”的数错误。梳理难点。

请你试一试？步骤，标注

消元，将三元转化为二元，然后再解二元一次方程消元关键

组即可.（用含X、

例题精讲：y的式子表

（3x+2y+z=39,①示Z）。

解方程组：］2x+3y+z=34,②

（x+2y+3z=26o③

解：由①得，z=39-3x-2y。④

把④分别代入②③并化简，得

x-y=5,⑤

8x+4y=91o©

注意；消去了未知数z,变成了二元一次方程组！

'_37

解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得|X-J，

把X亭，y=?代入④，得Z若。

经检验，x号，y=gz=:适合原方程组。

444

注意：检验时可以口算或在草稿纸上演算，以后可

以不写！

37

x=Z，

所以原方程组的解是y=Y，

Z=-110

4

总结归纳：先观察各个方程的特点，如果已有某个

未知数的表达式，直接用代入消元，否则常用加减

消元，用加减消元时，先比较未知数的系数然后再

选择消去的未知数.

环节三：探究活动三：引导学生尝分组用不通过多方法对

全班展尝试交流：试先消X同消元顺比，让学生优

学，互动（1）在解上面的方程组时，你能用代入消元法先消（或y）解序解题，分化消元策略，

深入去未知数x（或y）,从而得到方程组的解吗？同一方程享过程，归深化对“消元

可以，消去x或y都可以变成一元一次方程组.组，对比不纳最优消思想”灵活性

（2）你还有其他方法吗？与同伴交流各自的解法，同消元顺序元技巧，验的理解.

并思考不同方法之间的区别和联系。的优劣，总证解的正

还可以用加减消元法，把“三元”转化成“二元”，结“优先消确性。

使解三元•次方程组转化为解二元•次方程组，进

系数简单的

而转化为解一元一次方程.

未知数”的

总结归纳：

策略。

解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或

“加减”进行消元，把“三元”转化成“二元”，

使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进

而转化为解一元一次方程.

探究活动四：

思考交流：

回顾二元一次方程组和三元一次方程组的求解过

程，说说求解三元一次方程组的基本思路，并与

同伴进行交流。

解三元一次方程组的基本思路仍然是“消元”——

把“三元”化为“二元”，再化为“一元”。

I-Tp___E'L-TT-XVirlMifl|5人»一元一次方程1

总结归纳：核心思路为“消元”，步骤：

①选易消未知数（如系数为1或・1）,用代入/加减

消元法将三元化为二元；

②解二元一次方程组得2个未知数的值；

③代入原方程求第3个未知数的值，检验后写解。

关键技巧；优先消去系数简单的未知数，减少计算

量；每步消元后检验方程整理是否正确。

环节四：巩固训练巡视课堂迅当堂小测，学以致用，及

巩固内1.下列四组数中，适合三元一次方程3x-2），+z=6速掌握学情用所学知时获知学生对

的是（）

化，拓展识解决问所学知识的掌

A/=l,y=~1»z=-3

延伸题，学生代握情况，明确

B.x=l,y=l,z=4

表回答。哪些学生需要

C.x=0»y=0,z=6

Da=-1,y=l,z=3在课后加强辅

导，达到全面

(x+y=l,®

2.三元一次方程组Jy+z=5,②的解是（）提高的目的

(z+%=6③

‘％=1,(x=L(x=1,(x=4,

A・y=o,B|y=2.C.Jy=o,D.y=].

、z=5lz=4vz=4Vz=0

3.设■”表示三种不同的物体，现用天

平称了三次，如图所示，那么这三种物体的质量

分别是.

xoriA/

zs

\OAAz\_50g_/

IA.I

\OnA/、o36g/

।1~

zs

4.如图是一个正方体表面展开图，若该正方体相

对的两个面上的代数式的值相等，则z+广工的值

2y+3z的值等于T2,求。的值.

课堂小结通过本节课的学习你收获了什么？教师以提问学生思考课堂小结可以

1.知识：的形式小结自由回答，帮助学生理清

概念：自我小结所学知识的层

①三元一次方程：含3个未知数，未知数项次数次结构，掌握

为1的方程；其外在的形式

②三元一次方程组：共含3个未知数的3个一和内在联系，

次方程组成的方程组；形成知识系列

③解：能同时满足方程组中所有方程的一组未知及一定的结构

数的值。框架。

解法：核心思路为“消元”，步骤：

①选易消未知数（如系数为1或・1）,用代入

/加减消元法将三元化为二元；

②解二元一次方程组得2个未知数的值；

③代入原方程求第3个未知数的值，检验后写

解。

关键技巧：优先消去系数简单的未知数，减少计

算量：每步消元后检验方程整理是否正确。

板书设计*5.5三元一次方程组利用简洁的文

1.三元一次方程与三元一次方程组的概念字、符号、图表

2三.元一次方程组的解等呈现本节课

3解.三元一次方程组的思路：消元的新知，可以

帮助学生理解

掌握知识，形

成完整的知识

体系。

作业设计基础达标：

（2x-y+3z=1,

1.解方程组M+y-7z=2,如果要使运算简便，那么消元时最好应（）

（5x-y+3z=3。

A.先消去xB.先消去1yC.先消去zD.先消去常数项

(x+y=4,

2.已知方程组卜+z=6,则x+y+z的