2024人教版八年级数学上册 分式方程（第1课时）教学设计

18.5分式方程（第1课时）教学设计

一、内容和内容解析

1.内容

本节课是在学习了分式的概念、基本性质和运算的基础上进一步学习分式的应用一一分式方程及其解

法。

2.内容分析

分式方程是分母中含有未知数的方程，它是整式方程的延伸和发展，是人们对方程认识的一次提升。

解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，其关键步骤是去分母。去分母时可能引起方程同解性

的变化。因此，检验分式方程的根是解分式方程过程中必不可少的重要环节。利用去分母的方法将分式方

程化为整式方程，并把整式方程逐步化为最简的形式，然后对分式方程的根进行检验，这•过程蕴含着化

归思想和程序化思想。

基于以上分析，确定本节课的教学重点为：会解可化为一元一次方程的简单的分式方程。

二、目标和目标解析

1.目标

（1）了解分式方程的概念。

（2）会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想。

（3）了解解分式方程根需要进行检验的原因。

2.目标解析

（1）学生需要能清晰地说出分式方程的定义，并能准确判断一个方程是不是分式方程。通过与整式方

程的对比，强化”分母中含未知数,这一关键特征。

（2）学生需要掌握解分式方程的完整步骤（去分母、解整式方程、检验、写解）。理解“去分母”的

目的是将分式方程转化为整式方程。体会解分式方程需要遵循一定的步骤，每一步都有明确目的。

（3）学生需要明白，检验不是可有可无的步骤，而是必须的。因为在去分母时，方程两边同乘了含有

未知数的整式，如果这个整式的值为零，就可能产生使原方程分母为零的“增根”，检验的目的就是剔除

增根，确保解的有效性。

三、教学问题诊断分析

问题I：去分母时，漏乘不含分母的项。

应对策略：强调“每一项都要乘”，包括不含分母的项；用不同颜色的粉笔标出每一项要乘的公分母，

进行视觉强化；示范时，把每一步都写清楚，不跳步。

问题2：忘记检验或检验方法不正确。

应对策略：引导学生自己发现问题，体会检验的必要性；强调检验方法：代入原方程或最简公分母，

检查分母是否为零：把检验作为解题的必要步骤进行要求和评分。

基于以上分析，确定本节课的教学难点为：了解解分式方程根需要进行检验的原因。

四、教学过程设计

(一)复习引入

问题为解决章引言中提出的问题，我们通过设未知数，用分式表示问题中的量，根据问题中的等量关

系得到了方程息=善-①.

30+v30-v

追问它与我们以前学习的方程有何不同？

答方程①的分母中含有未知数.

概念像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程.

设计意图：通过回顾拿引言中问题产生的方程，通过“追问”引导学生对比该方程与之前学习的方程

的不同，从而自然引出“分式方程”的概念。

(二)合作探究

思考1如何解分式方程①呢？

追问1解整式方程的步骤有哪些？

答去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1.

追问2能否将分式方程化为型式方程呢？

答通过“去分母”将分式方程化为整式方程.

追问3在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？

答两边同时乘以(30+v)(30r，)

追问4这样做的依据是什么？

答等式的性质2.

总结

(1)分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了.

(2)利用等式的性质2,在方程两边都乘以各分母的最简公分母.

解方程两边乘(30+v)(30-i，)，得

90(30-v)=60(30+u)

解得y=6.

检验：将v=6代入①中，左边言，右边言，这时左、右两边的值相等，所以，原分式方程的解为v=6.

由此可知，江水的流速为6km/h.

探究运用上述“去分母化为整式方程''的方法解分式方程々=②，你发现了什么问题？

«-5X2-25

解方程两边乘a+5)a-5),得

x+5=10

解得x=5.

检验：当户5时，尸5=(),犬-25=(),相应的分式无意义.

所以，原分式方程无解.

注意虽然是整式方程x+5=10的解，但不是分式方程②的解.尸5是分式方程②的增根.

思考2比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式方程的解就是①的解，而

分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②的解呢？

9060110

-----=------①=2

30+~30-〃X-5X-252

两边同时■乘以(30+v)(30-")两边同时乘以("+5)(尸5)

当】=6时，(30+r)(30-r)#0当.v=5时，(.v+5)(.v-5)=0

去分母时，①两边乘了同一个不为。的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同.

去分母时，②两边乘了同一个等于。的式子，这时所得整式方程的解使②分母为0,因此这样的解不是

②的解.

归纳解分式方程

一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为。，因此应做如下检验:

将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；否则，

这个解不是原分式方程的解.

设计意图：通过对分式方程解法的探究、增根概念的理解，完善学生的“方程”知识体系，让学生清

晰区分分式方程与整式方程的解法差异，掌握分式方程特有的检验”要求，形成完整的方程求解认知结

构。

(三)典例分析

例1解方程2=3.

X-JX

解方程两边乘M.v-3),得

2n.

解得

A-=9.

检验：当下9时，x(x-3)#0.

所以，原分式方程的解为49.

x3

例2解方程丁1=

(x-l)(x+2)*

解方程两边乘(xT)(x+2),得

.r(x+2)-fx-l)(.r+2)=3.

解得

^=1.

检验：当x=l时，(xT)(x+2)=0,因此x=l不是原分式方程的解.

所以，原分式方程无解.

设计意图：通过例题巩固解法步骤，尤其是“检脸”环节。通过对比“有解”与“无解”两种情况,

深化学生对增根概念和检验必要性的理解。

(四)巩固练习

1.下列关于x的方程中，不是分式方程的是(B)

B.*

A.x+-=3cD.

3x5-

2.解下列方程:

12

⑴三=」-⑵京=六(3)—=---;

xx-22xX+3

(5)1

⑷・=悬+1;六二高;(6)次5一』=_6A

解(1)方程两边乘x(xT),得

5(x-2)=7x.

解得

x=-5.

检验：当时，

所以，原分式方程的解为m

(2)方程两边乘(x+3)(xT),得

2QT)=x+3.

解得

x=5.

检验：当x=5时，(x+3)QT)W0.

所以，原分式方程的解为户5.

(3)方程两边乘2Mx+3),得

x+3=4x.

解得

A-1.

检验：当户1时,2X(J+3)^0.

所以，原分式方程的解为ml.

(4)方程两边乘3(x+l),得

3x=2x+3(x+l).

解得

3

检验：当后一号时，3("1)WO.

所以，原分式方程的解为4-去

(5)方程两边乘(x+l)QT),得

2(x4-1)=4.

解得

x=l.

检验：当x=l时，(x+l)QT)=O,因此x=l不是原分式方程的解.

所以，原分式方程无解.

(6)方程两边乘Nx+l)(xT),得

5(xd)-(x+l)=0.

解得

3

检验：当二时，Hr+l)(xT)#O.

所以，原分式方程的解为叶.

设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知

的理解，还可以及时反馈学习情近，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略。

（五）归纳总结

分式方程

定义分母中含未知数的方程叫作分式方程.

解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母”,即方

程两边龙最前公分母.得到整式方嘏的解后，灰对其进行检哈.

解

分

式

方

程

（六）感受中考

1.（2025•湖南）将分式方程二二7去分母后得到的整式方程为（A）

xx+\

A.x+\=2xB.x+2=lC.l=2xD.x=2（x+\）

2.（2024•山东济宁）解分式方程1-1=2时，去分母变形正确的是（A）

73xT-l2-av

A.2-6.r+2=-5B.6.r-2-2=-5

C.2-6*1=5D.6x-2+l=5

3.（2024•四川遂宁）分式方程。=1-£的解为正数，则〃?的取值范围（B）

X-l.V-1

A./心-3B."?>-3且〃?，-2

C.w<3D.”<3且〃?#-2

4.（2025•四川遂宁）若关于x的分式方程看=5-1无解，贝物的值为（D）

2-xx-2

A.2B.3C.0或2D.-1或3

5.（2025•浙江）解分式方程：々-乙力.

方程两边同时乘以（x-1）（x+1）得：3（X-1）-（x+1）=0,

解得：尸2,

检验：当x=2时，（x-l）（x+l）和，

・・・x=2是原方程的解.

设计意图：在学