2025-2026学年八年级数学上学期期中模拟卷拔尖卷（苏科版）解析版

八年级数学上学期期中模拟卷.拔尖卷【苏科版

全解全析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）

1.已知。的算术平方根是12.3,b的立方根是一45.6,x的平方根是±1.23,y的立方根是456,则x和y分别

是（）

ah

A・x=碱y=100bB.x=1000a,y=—

C.x=-^,y=-1000Z?D.X=~^,y=1000/J

【答案】C

【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到a,b的值，由此可得到％与a和y与珀勺关系

【详解】解：・・・。的算术平方根是12.3,b的立方根是一45.6,%的平方根是±1.23,y的立方根是456,

.-.a=12.32=100x1.232/=（-45.6尸，

x=1.2327=1000x45.63

:覆=瑞,y=—1000b.

故选：C.

【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得与a和y与b的关系是解题的关键.

2.（25-26八年级上•河北邢台•阶段练习）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个iM0N=70。，点

A,8分别在射线OM,ON上（均不与点。重合），AAOB的角平分线AC与角平分线BD交于点E.随着点

A,8位置的变化，对于匕MOB和乙下列判断正确的是（）

A.乙MDB和41EB的度数均会改变

B.乙MD8和乙1EB的度数均不会改变

C.只有4M08的度数不会改变

D.只有乙AE8的度数不会改变

【答案】D

【分析】本题考查三角形的角平分线，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，掌握三角形内角和定理

和三角形外角的性质是解题的关键.

由角平分线得到乙。皿WAC=^OAB,从而根据三角形外角的性质得到NMDB=〃OB+T

/-ABO,即可判断NMDB的度数会改变.由N4EB=N0AC+4ADE=^OAB+^AOB+^ABO=90。+；

/-AOB=125°,可判断乙4E8的度数不会改变.

【详解】解：•.•8D平分448。，

.,.Z.OBD=

•kMDB=Z.AOB+Z.OBD=70°+^ABO,

•••随着点4,8位置的改变，乙4BO的大小也随之改变，

的度数会改变.

"C平分

.­,AOAC=^OAB,

:/AEB=Z.OAC+Z.ADE

11

=-Z.OAB+Z.AOB+-Z.ABO

22

1

=-(Z.OAB+Z.ABO)+/-AOB

1

=-(1800-Z.AOB)+乙AOB

1

=90。+54408

=90°+|x70°

乙

=125°,

,随着点力，〃位置的改变，NAEB的度数不会改变.

故选:D

3.(24-25八年级下•安徽合肥•期末)在如图所示的小正方形网格中，48,C,D均为小正方形的顶点，线段4B

和CD相交于点。，则乙AOC的度数为()

【答案】B

【分析】本题考查了勾股定理与网格，平行四边形的性质，根据题意得出四边形4CDE是平行四边形，进而

勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，即可求解.

【详解】解：如图，ED=AC,ED\AC

.••四边形力CDE是平行四边形，

.-.AEWCD

.-.Z.EAB=Z.AOC

"E=EB=Vl2+22=Vs»AB=4I.2+32=VTo

.-.AE：2+EB2=AB2

.•.△AE3是等腰直角三角形，

：.LEAB=45°

.-.AEAB=AAOC=45°

故选：B.

4.（25-26九年级上•四川绵阳•开学考试）已知实数m满足，|2。24—m|+—2025=m那么m-2024?

的值为（）

A.-2025B.2025C.2024D.-2024

【答案】B

【分析】本题考查了算术平方根的非负性、绝对值的意义，得2025是解决此题的关键.

先由算术平方根的非负性得出2025,根据绝对值方意义得出神八一2025=2024,从而得出

m-2025=20242,进而求解即可.

【洋解】因为实数m满足，|2024-m|+Vm-2025=

所以加一2025NO,解得?nZ2025,

所以2024—?n<0,

所以m一2024+77n-2025=m,

所以Vm-2025=2024,

所以m—2025=20242,

所以m—20242=2025,

故选：B.

5.如图，八。是△48C的角平分线，CE1AD,垂足为凡若NCW=30。，ZJ?=55。，则4BDE的度数为

()

A.35°B.40°C.45°D.50°

【答案】B

【分析】本题主要考查了角平分线、全等三角形的判定和性质、三角形的内角和等知识点，根据三角形的

知识求出相应各个角的度数是解题的关键.

根据三角形的内角和求出NAC8=95。，再求出4c4D=NE4D=15。，然后通过证明△4CF三△

△4CO三△4E0并利用全等三角形的性质0。=DE,再利用外角的性质求解即可.

【详解】解：・.2。48=30。,乙B=55。,

.ZACB=180°-乙CAB一乙B=180°-30°-55°=95°,

,：CE1AD,

"AFC=Z.AFE=90°,

“D是△48C的角平分线，

：.LCAD=LEAD==1X30°=15°,

又•；/!/=AF,

:.△ACFn△/EF(ASA),

.,.AC=AE,

•：AD=AD,乙CAD=Z.EAD,

•••△4CD三△4ED(SAS),

:.DC=DE,

:zDCE=乙DEC,

SCE=90°-4CAE=90°-15°=75°,

心CE=乙DEC=乙ACB-乙ACE=95°-75°=20°,

：Z3DE=乙DCE+乙DEC=20°4-20°=40°.

故选:B.

6.如图，正方.形48co中，右为8c上一点，过4作8G14E于点G,延长8G至点£使得4G=GF,连接

CF,AF.若乙DAF=a,则4。CF一定等于()

A.aB.60°—2aC.2aD.45°—a

【答案】A

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明全等三角形是解

题的关键：过C作CHJ.BF于H,证明△48G三△8CH,得AG=BH,BG=CH,从而得CH=丹7,得

Z.HFC=45°,则可■求得46.

【详解】解：如图，过C作CH_L8产于"则NCH8==90。；

在正方形为8co中，AB=BC,/.DAB=Z.ABE=Z.BCD=90°；

•••BF1AEtAG=GF,

•••LGAF=45。；

LBAG=/.DAB-Z-DAF-Z-GAF=45°-a；

-LBAG+/-ABG=90°,Z-ABG+^CAH=90°,

LCAH=乙BAG=450-a；

在与△BCH中,

/-BAG=Z-CBH

Z-AGB=乙BHC=90°,

AB=BC

.••△48GzZiBCH(AAS),

：.AG=BH,BG=CH；

-AG=GF,

BH=GF,

即BG+GH=GH+HF,

CH=FH；

-CH1BF,

••"FC=45°,

•••LBCF=180°-乙CBH-Z.HFC=90°+a,

故选：A.

7.如图，在△ABC中，AB=AC,。为BC上的一点，乙BAD=28。,在AO的右侧作△4OE,使得

AE=AD,4DAE=4BAC,连接。£、DE,DE交AC于点0,若CEIIAB,则乙DOC的度数为()

A.124°B.102°C.92°D.88°

【答案】C

【分析】根据题意由SAS可证△48。三△4EC,得到N4BO=44CE,结合两直线平行，同旁内角互补和等

边对等角可推出〃8。=乙BCA=/.ACE=1x180°=60°,从而得到△A8C是等边三角形，进而推出△ADE

是等边三角形，可知44OE=60。，结合乙。40=484。-284。=32。，由三角形外角的性质即可求得答案.

【详解】解：-Z.DAE=LBAC,

.^DAE-Z.DAC=Z.BAC-Z-DAC,^\UEAC=Z.DAB,

,；AB=AC,AE=AD,

△48。三△AEC（SAS）,

.,.Z.ABD=Z-ACE,

-CEWAB,

.•.乙ABD+乙BCE=180°,

.'./.ABD+乙BCA+Z.ACE=180°,

-AB=AC,

：.z.ABD=Z.BCA,

."BD=Z,BCA=Z.ACE=1x180°=60°,

J

.••△4BC是等边三角形，

.•Z34C=/04E=60。，

-：AE=AD,

.•.△AOE是等边三角形，

：.LADE=60°,

-Z-BAD=28°,

：.Z.0AD=Z.BAC-ABAD=60°-28°=32°,

.'./-DOC=WAD+/-ADE=32°+60°=92°.

故选:C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的

性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键.

8.（25-26八年级上•湖北武汉•阶段练习）如图，在△48。中，Z.BAC=90°,AB=AC,E、尸分别为48、

/C上的动点，且CF=/E,连接CE,BF,当CE+B/取得最小值时，则CFBE的值为（）

A.1:1B.2:1C.1:2D.1:3

【答案】A

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点。作CN1力C,使得CN=4C,连接/N,BN,BN

交AC于点、M,证明△口!£三△NC凡得CE+BF=NF+BF,当8、F、N三点共线时+CE的值最小，再

证明三△(?可£得CM=4M,进而可得C尸=BE,即可求解.

【详解】解：如图，过点。作CN_L/C,使得CN=4C,连接灯V,BN,BN交AC于点M,

在△(?力E和△可"中，

AC=CN

Z-A=乙FCN=90°,

AE=CF

△CAE=△NCT(SAS),

:.NF=CE,

：・CE+BF=NF+BF,

•:NF+BFNBN,

・••当8、F、N三点共线时，NF+Er有最小值，最小值为线段8N的长，且此时点产与点M重合,

-Z.ACN=Z.A=90°,

；.A8||CN,

"BM=乙CNM,

^­;AB=AC,AC=CN,

.-.AB=CN,

在△力BM和△CNM中，

LABM=Z.CNM

AB=CN,

(△A=乙MCN=90°

△48M三ZkCNMlASA),

.../IM=MC=^AC,即此时力2=。尸=力£=2力。，

-AB=AC,BE=AB-AE

:.BE=\AB=\AC=CF,

.••此时CF:BE=11.

故选:A.

9.（24-25七年级下•重庆•期中）如图，在△4BC中，=BC/4BC=30。，点D为力。中点，连接BD,点

£、点尸分别为B。、AB上两动点，过点F作FHJL8C于点H,当月E+EF+取最小值时=/则△ABC

的面积是（）

【答案】A

【分析1连接过点C作的对称点。，连接。反过点尸作FN_L8。于点N,作CP_L8。于点P,证明

AE=CE,FN=FH,那么AE+E尸+F"=CE+E尸+FNNCP,当点&E,F,N,P共线时，力E+E尸+F〃取

得最小值，记C&AB交于点Q,可证明△FBN三△FBH（AAS）,则此时BN=BH=&可得△0BC为等边三

角形，则8。=8。=84=C。=g,由&。关于AB对称，得到CQ=；C0=*CQ_L48,那么由坛川弘二之

ABxCQ,即可求解.

【详解】解：连接CE,过点。作力B的对称点。，连接。8,过点尸作尸N18。于点N,作CP_L8。于点P,

••.BO=BC,Z.ABO=4ABC,

•MB=8C/48C=30。，点。为4c中点,

••.BD1AC,

•••BD垂直平分4C,

••./IE—CE,

•：FH1BC,FNA.BO,LABO=£ABC,

:.FN=FH,

"E+EF+FH=CE+EF+FN>CP,

当点CEEMP共线时,4E+E尸+尸H取得最小值,如图:

O

.

记CO/B交于点Q,

---™1DC,"NJ.。。，

:/FNB=乙FHB=90°

MABO=/.ABC,BF=BF,

.•.△FBN三△FB"(AAS),

此时BN=BH=三,

"BO=^ABC=30°,

"OBC=60°,

又•:BO=BC,

.•.△08。为等边三角形，

:.CO=BO,

.'.BO=BC=BA=CO,

•••CP18。，

.-.BO=2BN=I，

8

.,.BO=BC=BA=CO=-,

•••c,。关于力B对称，

：.CQ=^CO=^,CQLAB,

„IAC"18416

AB

•••S&48C=乙2乙XDCQD=5XJ4X4=丁，

故选：A.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，轴对称

的性质，线段垂直平分线的性质，难度较大解题的关键在于将/^+后尸+尸”进行转化.

10.（25-26八年级上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）如图，在△48C中，AB=AC,ABAC=60°,AD1BC^

D,后是线段4。上一点，尸是边AS上一点，且满足CE=EF,G是8尸的中点，连接EG.则下列四个结论

①BD=DC；@Z-CEF=120°；（3）^ACE=^BFE；④当乙4EP=15°时，LBEC=150°.其中正确的个数

有（）

【答案】D

【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，有一角为30。的直角三角形的性质，熟练掌握等

腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键.连接BE,根据力B=4C,LBAC=60°,证明△力BC是等边三

角形，根据等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，逐项进行判断即可.

【详解】解：连接BE,如图

-：AB=AC,LBAC=60°,

・••△A8C是等边三角形，

二48=AC=BC,^ACB=/.BAC=/-ABC=60°,

,：AD1BC,

'-BD=CD,故①符合题意：

,：AD1BC,BD=CD,

••.BE=CE,

:/BCE=乙CBE,

-CE=EF,

:.BE=EF,

:.乙FBE=乙BFE,

■:乙BFE=乙BAD+Z.AEF,乙BAD=30°,

"AEF=乙BFE-Z.BAD=LFBE-30°,

t.,AD1BC,

"DC=90°,

,：Z.AEC=/-ADC+乙BCE,

.-.Z-AEC=900+"BE,

•.Z.CFF=Z.AEC+乙AC",

:2CEF=90°+乙CBE+乙FBE-30°

“ABC=乙FBE+CBE=60°,

"EF=90°+60°-30°=120°,故②符合题意;

•：AB=ACt

:/ABC=乙ACB,

■:BE=CE,

"BCE=乙CBE,

"FBE=Z.ACE,

•••BE=EFt

:.乙FBE=Z.BFE,

：./-ACE=乙BFE,故③符合题意：

vLAEF=15°,乙BFE=乙BAD+Z.AEF,

.­.z5FF=30o+15o=45°,

•；BE=CE,CE=EF,

••.BE=EF,

•••G为BF的中点,

：.BG=GF,

.,.EG1AB,

：/EGF=90°,

••.△EGQ为等腰直角三角形，

LBFE=Z-FEG=45°,EG=FG,

.,.BG=FG=EG,

-Z,BGE=90°,

「.△BGE为等腰直角三角形，

“BEG=45°,

=360°-LBEG-Z.FEG-LCEF=150°,故④符合题意；

综二分析可知：正确的有4个.

故选：D.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

11.（25-26八年级上•陕西西安•阶段练习）如图，正方形48。。的边长为8,将正方形折叠，使顶点。落在BC

边二的点E处，折痕为GH,若BE:EC=2:1,则线段CH的长为.

At-----------------------\D

Gl

BEC

【答案】第3,

【分析】本题考行了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识.先根据正方形的性质得到EC=*

DC=8,LC=90°,再根据折叠的性质得到。H=EH,设CH=%,则£77=8—羽在中，根据勾

股定理列出方程，解方程即可求解.

【详解】解：•.•正方形力8c。的边长为8,BE:EC=2:1,

...EC=^BC=I，DC=8,Z-C=90°,

由折叠的性质得D4=EH,

设C4二x,则。斤=£77=8—x,

在Rt△CHE中，根据勾股定理得）2+（1）2=（8-%）2,

解得％=系

即c”=等.

故答案为:y.

12.（25-26八年级上•江苏南京•阶段练习）如图是5x5的正方形网格，△4BC的顶点都在小正方形的顶点

上，像△A8C这样的三角形叫格点三角形.画与△48C有一条公共边且全等的格点三角形，这样的格点三

角形最多可以画个.

【分析】本题考查全等三角形的性质，三条对应边分别相等，以及格点的概念，熟练掌握全等三角形的判

定定理是解决问题的关键.可以以48和8C为公共边分别画出3个，4c不可以，故可求出结果.

【详解】解：以BC为公共边可画出△8CC,ABEC,△8FC三个三角形和原三角形全等.以AB为公共边

可画出三个三角形△A8G,△力BM,和原三角形全等，所以可画出6个这样的三角形.

故答案为：6.

H

13.（25-26八年级上•江苏无锡•阶段练习）如图，点P为等边△力内一点，若PC=3,PB=4,PA=5,

则/8PC的度数是.

【答案】1507150&

【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理逆定理，等边三角形的判定与性质等知识，利用旋转作辅助线

构造出宜角三角形和等边三角形是解题的关键.

将△8PC绕点8逆时针旋转60。得到△8D4连接PD,根据旋转的性质可得

BD=PB=4,AD=PC=3/BPC=4ADB,判断出△8DP是等边三角形，根据等边三角形的性质可得

PD=PB.^BDP=60°,利用勾股定理逆定理判断出△4DP是直角三角形，Z-ADP=90°,然后求出N/ID8,

即可得解.

【洋解】解：如图，将△BPC绕点B逆时针旋转60。得到△BD4连接PD,

由旋转的性质得，BD=PB=4,4）=PC=3/BPC=4ADB,

.•.△BDP是等边三角形，

.-.PD=PB=4/BDP=60°,

vAD2+DP2=32+42=25"=52=25,

AD2+DP2=PA2,

••・△4DP是直角三角形，4Aop=90。，

LADB=600+90°=150。，

•••，8PC=150。，

故答案为:150°.

14.（25-26八年级上•江苏泰州•阶段练习）如图，△4BC是等边三角形，BC=BD.Z.BAD=25°,则Z/?CD

的度数为一.

【答案】55。

【分析】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用

这些性质进行推理.

由等边三角形的性质可得4B=BC,448c=60。，由等腰三角形的性质可求N4BD=130。，可求解.

【详解】解：•••A48C是等边三角形，

AB=BC,Z-ABC=60°,

•：BC=BD,

AB=BD,

A2.BAD=Z-ADB=25°,

LABD=130°,

LCBD=70°,

XvBC=BD,

/-BCD=Z-BDC=1(180°-NCBD)=55°,

故答案为：55。.

15.(24-25七年级上•浙江杭州•开学考试)若将一个校长为10cm的立方体体积减少U(cm3)，而保留立方

体形状不变，则棱长应减少cm(用含V的代数式表示)，若V=875cm3,则极长应减少cm.

【答案】(10-V1000-V)5

【分析】本题考查了立方根的应用，代数式求值，根据题意求出立方体体积减少的体积，进而得到减少后

立方体的棱长，可得棱长减少的数量，再把V=875cm3代入计算即可求解，掌握立方根的定义是解题的关

键.

【详解】解：•••立方体的棱长为10cm,

二立方体的体积为IO?=1000cm3.

•••立方体体积减少V(cm3)后剩余的体积为(1000-V)cm3,

,此时的棱长为V1000—Vcm,

•••棱长应减少(10-V1000-l/)cm,

当廿=875cm3时，10-V1000-K=10-V1000-875=10-V125=10-5=5cm,

若P=875cm3,则棱长应减少5cm,

故答案为：(10-V1000-K)：5.

16.如图，在直角三角形A8C中，LACB=90°,。在8C边上，£在力。边上，且

^ADE=45°/力BC=2^CDEfAE=3,BD=2,则AB=.

A

【答案】5

【分析】在A8上截取=AE,连接DF,先根据三角形的外角性质和直角三角形锐角互余证明

△.4FD-A/1FD(SAS),再根据全等三角形的性质证明BF=8D,最后由48=AF+8F求解即可.

【详解】解：在AB上截取A/=RE=3,连接DF,

设/COE=a,则由题意得/ABC=2a,

-Z.ADC=+/.BAD,Z.ADE=45°,

.*.45°+a=2a+Z.BAD,

：.z.3AD=45°-a,

"ACB=90%

：.Z.DAC=90°-Z.ADC=90°一(45°+a)=45°-a,

.,.Z.DAC=/.BAD,

•：AD=AD,

△HFO三△HED(SAS),

：.^FDA=乙EDA=45°,

"BFD=LFDA+乙FAD=45°+45°—a=90°-a,

-Z.BDF=180°-Z.FDE一乙CDE=90°-a,

"BDF=乙BFD,

:.BF=BD=2,

.'.AB=AF+BF=3+2=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，三角形的外角性

质等知识点，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关健.

三、解答题(本大题共8小题，满分72分)

17.(6分)如图，在△48C中，AB=AC,=90。，点。在斜边8C边上，以40为直角边向右作等腰

直角三角形△/1OE,连接CE.

⑴求证：A/IBD空△4CE：

⑵判断线段。。、CD、“。间的数量关系，并说明理由.

【答案】(1)详见解析

(2)BD2+DC2=DE2,理由见解析

【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用.

(1)根据SAS,只要证明乙BAD=/CAE即可解决问题；

(2)结论：CD2+BD2=DE2.证明/ECO=90。，BD=CE,利用勾股定理即可解决问题.

【详解】(1)证明：•.N0/E=90°=ZB4C,

：/DAC+Z-CAE=90°=Z-DAC+乙BAD,

.,./.BAD=Z.CAE.

在a/lBO和■中，

AB=AC

vLBAD=/,CAE,

AD=AE

:.△ABD=△ACE.

(2)解：CD2+BD2=DE2,理由如I下：

,:△ABD=△ACE

:.BD=CE,乙B=Z,ACE=45°,

"ECB=Z.ACE+乙4cB=90°,

：.CE2+DC2=DE2,

即8。2+。。2=。乩

18.（6分）（25-26八年级上•江苏泰州•阶段练习）如图，&4BC中，AB=AC,将沿着EF翻折使点4

恰好落在8C上点。处，且。尸1BC.

图①图②

⑴求证：乙DFC=T乙BAC；

⑵延长ED交/C延长线于点G,求证：DF=DG；

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的外角等知识点，熟练掌握相

关知识点，是解题的关键：

（1）过点力作AHJ.BC于点H,根据等腰三角形的性质得出NBA"=4&4H证明DFIM”，得出

“FC=MAE,即可证明结论；

（2）根据折叠得出48力。=居根据ZDFC=得出/EOF=240/。，

根据NED/得出4OFG=NG,根据等腰三角形的判定得出结论；

【详解】（1）证明：过点力作4H1BC于点〃，如图所示：

.-.Z.BAH=Z.CAH=^Z-BAC,

.'.AHIBC,DF1BC,

.-.DF\\AH,

"DFC=Z.CAH,

：/3FC=^BACi

（2）解：根据折叠可知：乙BAC=MDF,

"DFC=^BAC；

"EDF=2乙DFC,

•:lEDF=乙DFC+乙G,

:.乙DFG=乙G,

：.DF=DG.

19.（8分）我们用⑷表示不大于a的最大整数，Q—⑷的值称为数a的小数部分，如[2.13]=2,2.13的小

数部分为2.13—[2.13]=0.13.

（1）[V3]=,[V7]=,兀的小数部分=:

⑵设疗的小数部分为a,求a+[加]一遍的值；

⑶已知10+V5=x+y,其中％是整数，且0<y<l,求x-y的相反数.

【答案】（1）1,2,TT-3

⑵1

⑶后一12

【分析】（1）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点即可求得[依]和卜例：已知

[n],则可求得兀的小数部分；

（2）利用实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算等知识点可求得遍的整数部分和小数部分，进

而可求得a,遵循同样步骤可求得[g],将a和[g]代入原式即可得解；

（3）利用有理数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，不等式的性质等知识点可求得10+旧的

取值范围，进而根据已知条件可求得％和y,于是可求得％—y,并最终求得％—y的相反数.

【详解】（1）解：v1<3<4,

1<\/3<2,

二问=1,

,•,4<7<9,

2<V7<3,

••・西=2,

园=3，

开的小数部分为TT-[7T]=7T-3,

故答案为：1,2,7T—3;

(2)解：•••4<5<9,

2<V5<3,

“㈣=2,

・•・痣的小数部分为遮-[遮]=遥-2,

:.a—>/S-2,

•••9<13<16,

•••3<V13<4,

••・[\/13]=3,

G十[V13]—V5=V5—2+3—V5=1;

(3)解：v1<3<4,

1<V3<2,

11<10+V3<12,

104-V3=x+y,%是整数，且0vy<l,

x=11,y=10+V3—x=104-V3-11=V3—1,

=11-(V3-1)=H-V3+1=12-V3,

「一丫的相反数为仃一12.

【点睛】本题主要考查了实数大小比较，求算术平方根，无理数的大小估算，代数式求值，入等式的性质,

求相反数等知识点，熟练掌握相关知识点并能综合运用是解题的关键.

20.(8分)(24-25八年级下•山东德州•阶段练习)叶老师在与学生研究“蚂蚁怎样爬最近〃的课题时设计了

以下问题.请你根据下面所给的条件分别求出蚂蚊需要爬行的最短路程(结果保留根号).

(1)如图①，正方体的棱长为5cm,一只蚂蚁欲从正方体底面上的点力处沿着正方体表面爬到点的处;

⑵如图②，长方体的长和宽都为5cm,高为6cm,一只蚂蚁从长方体底面上的点力处沿着长方体表面爬到

点G处；

⑶如图③，长方体的长、宽、高分别是6cm、5cm和3cm,一•只蚂蚁要从顶点4处沿着长方体的表面爬

到长方体上和人相对的顶点B处.

【答案】（1）蚂蚁需要爬行的最短路程为5遮cm；

⑵蚂蚁爬行的最短路程为2幅cm：

⑶蚂蚁爬行的最短路程是10cm.

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，找出最短路径，用勾股定理来解决路径长，在进行实数大小比

较是解题关键.

（1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接，4Ci，两点之间线段最短，ACi是最短路径,

利用勾股定理求4Q即可：

（2）分两种情况讨论：①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接/4Q,两点之间线段最短，

4C：是最短路径，利用勾股定理求AQ,②将长方体的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连接4%,两

点之间线段最短，力G是最短路径，利用勾股定理求4的比较两种方法之下的力的，确定最短的即可.

（3）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可.

【详解】（1）解：将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连接AG，

两点之间线段最短，4cl是最短路径，

如图所示，在Rt△力CCi中，由勾股定理得

AC1=.2+3彳

=J（5+5）2+52=5匹（cm）；

（2）解：分两种情况讨论：

①将长方体的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连接

两点之间线段最短，力Ci是最短路径，

如图所示，有AQ={AC?+CC：="02+62=V136(cm).

②将长方体的上面翻折，使它与前面在同〜平面内，连接4Q，

两点之间线段最短，4G是最短路径，

如图所示AC1=JAB2+罔=如2+112=V146(cm).

因为

所以最短路程为VT^cm,即最短路程为2房cm.

aCi

AB

(3)解：将长方体按下列三种方案展开:

第一种；如图④，

④

vXD=5+3=8(cm),DB=6(cm)

;根据勾股定理得

AB=7AD24-DB2==v82+62=10(cm)：

第二种：如图⑤，

十二

A3C

⑤

•••C8=6+5=11(cm),AC=3cm；

••・根据勾股定理得

AB=J112+32=V130(cm)

第三种：如图⑥，

_____B

-713

/6

J5C

⑥

•••CB=3+6=9(cm)/C=5cm.

••・根据勾股定理得

AB=J92+52=V106(cm)

•••10<V106<V130,

二蚂蚁爬行的最短路程是10cm.

21.(10分)(25-26八年级上•广东中山•期中)如图1,在中，AC=BC,匕力CB=90°,点。是48

的中点，点E是力8边上一点.直线8F垂直于直线CE,垂足为点F,交CD于点、G.

⑴若乙4CE=20。，求2C8G的度数；

(2)求证：AE=CG,

⑶如图2,直线力月垂直于直线CE,垂足为点儿交C。的延长线于点M,找出图中与BE相等的线段，并证

明.

【答案】(1)20°

(2)见解析

(3)BE=CM,见解析

【分析】此题考查等腰直角三角形的性质、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，证明三角

形全等是解题的关键.

(1)根据〃CE+乙BCF=90°和乙CBF+乙BCF=90。可得结论：

(2)首先根据点。是48中点，/.ACB=90°,可得出N4CD=ZBCC=45。，判断出△4ECM△CG8,即可

得出4E=CG；

(3)根据垂直的定义得出々CM/1+4MCH=90。，^BEC+^MCH=90°,再根据4。=BC,

/.ACM=Z.CBE=45°,得出进而证明出BE=CM.

【详解】(1)解：-BFICE,

"CBG+乙BCF=90°,

乂•.NACE+乙8CF=90。，

.•zCBG=Zi4CF=20°；

(2)•••点。是4B中点，AC=BC,乙ACB=90。,

.-.CD±AB,乙ACD=乙PCD=45°,

"CAD=Z.CBD=45°,

.,.Z.CAE=乙BCG,

在△?!£"(?和△CGB中，

(Z.CAE=乙BCG

AC=BC,

(/,ACE=乙CBG

△4ECMACG8(ASA),

J.AE=CG,

(3)BE=CM.理由如下：

•：CH工HM,CDLED,

:.LCMA+LMCH=90°,(BEC+乙MCH=90°,

：.LCMA=乙BEC,

又"CM=Z-CBE=45°,

在CBCE和△<74M中，

(Z.BEC=Z.CMA,

\AACM="BE,

IBC=AC,

:.△BCEm△a4M(AAS),

:.BE=CM.

22.（10分）（25-26八年级上•浙江绍兴•阶段练习）如图，A8=16cm,AC1AB,BDLAB,

⑴如图1,若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当运动时间t=l（s）,ZkACP与△BPQ是否全等？说

明理由，并直接判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

（2）如图2,ACLAB,8。14夕改为2。8=484〃，其他条件不变，若Q的运动速度与P的运动速度不

相等，当Q的运动速度为多少时，能使AACP与△BPQ全等.

⑶在图2的基础上延长AC,8。交于点E,使C,D分别是AE,BE中点，如图3,若点Q以（2）中的运动速

度从点8出发，点P以原来速度从点A同时出发，都逆时针沿△48E三边运动，求出经过多长时间点P与点Q

第一次相遇.

【答案】（1）全等，理由见解析；垂直

（2）6cm/s

（3）24s

【分析】（1）利用SAS证得△"Pw2k£?PQ,^AACP=Z.BPQ,进一步得出

乙APC+乙BPQ=4Ape+乙4cp=90°,得出结论即可；

（2）根据Q的运动速度与P的运动速度不相等，可得APHBQ,那么要使△ACP与全等，则只存在

△4CP三△BQP这种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可■:

（3）因为Q以（2）中的运动速度6cm/s从点8出发，点P以原来速度4cm/s从点4同时出发，都逆时针沿

三边运动，只能是Q点绕圈追上P点，即点P比点Q多走+i的路程，据此列出方程，解这个方程即可.

【详解】（1）解：全等，理由如下：

当£=l（s）时，AP=BQ=4cm,BP=AB—AP=12cm=AC,

•••AC1AB,BDLAB,

.•.乙4=Z.B=90°,

在A/ICP与中,

AP=BQ

NA=,

AC=BP

.••△4CP三△BPQ(SAS),

LACP=乙BPQ,

LAPC+乙BPQ=Z.APC+Z.ACP=90°,

"PQ=90°,

二线段尸。与线段PQ垂直.

(2)解：设点Q的运动速度xcm/s,

•••Q的运动速度与P的运动速度不相等，

•••AP工BQ,

•.•乙4=乙B,

要使△ACP^j△UFQ全等，则只存在△ACP^△"QP这种情况，

.'.AC=BQ,AP=BP,

.[12=xt

•*l4t=16-4C*

K：t

••・当点Q的运动速度为6cm/s时，能使△HCP与△BPQ全等.

(3)解：•：C,。分别是/E,RE中点，AC=BD=12cm,

AE=BE=24cm,

・••Q以(2)中的运动速度6cm/s从点B出发，点P以原来速度4cm/s从点4同时出发，都逆时针沿△4BE三边

运动，

・•.第一次二者相遇时，只能是Q点绕圈追上P点，即点Q比点P多走8E+/E的路程，

设运动时间为m秒，

贝ij67n—4m=24+24,

解得：m=24,

故经过24s,点P与点Q第一次相遇.

23.(12分)综合实践

教材再现：等边三角形是三边都相等的特殊的等腰三角形：等边三角形的三个内角都相等，并且都等于

60。：三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60。的等腰三角形是等边三角形.

探究问题：等边三角形的三个内角都等于60。，由此可得等边三角形的每一个外角都等于120。，那么等边三

角形与120。的角是否还有某些特殊关系，为此某数学兴趣小组的同学做了如下探究，请你帮助他们完成证

明过程或解答过程.

⑴如图1,△力8c是等边三角形，点。、E分别在C8和BC的延长线上，R^DAE=120°,该兴趣小组的同学

发现，当乙D的度数确定时，NE的度数也随之确定.

①若ND=26。，则NE的度数为

②求证：ZD=^EAC.

⑵如图2,△ABC是等边三角形，点P是三角形内一点，且-108=120°,延长力P交8C于点0,延长BP交力。

于点E,判断线段P/l、PB、PD、PE之间有什么数量关系，并说明理由.

(3)如图3,△48C是等边三角形，点尸是三角形外一点，且NBPC=120。，连接力P,判断线段户力、PB、PC

之间有什么数量关系，并说明理由.

【答案】(1)①34°②证明见解析

(2)P4+PD=PB+PE,理由见解析

(3)PA=PB+PC,理由见解析

【分析】本题考查三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形判定与性质，解题的关键是

作辅助线，构造全等三角形解决问题.

(1)①根据三角形的内角和定理直接求解即可；②由等边三隹形的性质知乙408=60。，根据内外角关系

可得乙E4C=Z.ACB-ZF=26°,从而=/.EAC；

(2)由△ABC是等边三角形，得AB=8C,Z.ABD=LBCE=60°,有4E8C+48EC=120。，而

LAPB=120°,^AEBC+^ADB=120°,故NBEC=NAD8,可得△/WD三△BCE(AAS),故AD=BE,即

P4+PD=PB+PE；

(3)延长BP到M,使PM=PC,连接CM,由NBPC=120。，有4cpM=60。，知ACPM是等边三角形，从

而尸C=PM=CM,ZPCM=60°,可得24cB=/PCM,^\^Z.ACB+Z.BCP=Z-PCM+zFCP,即

上ACP=cBCM,即可证△/CP二△9CM(SAS)，得P/=9M,故P/l=P9+PC

【详解】(1)解：①•.zn4E=120。，ZD=26°,

ZE=180°-Z.DAE-CD=34°；

故答案为：34°；

②证明：・・•△48C是等边三角形，

LACB=60°,

•••/£•=34°,

LEAC=乙ACB一(E=26°,

vzD=26°,

/D=Z.EAC-

(2)解：PA+PD=PB+PE,理由如下：

•・•△ABC是等边三角形，

••“3=DC,乙ABD=乙DCE=60°,

LEBC+Z-BEC=120°,

vLAPB=120°,

LEBC+/-ADB=